高中數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

高中數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

一、立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納

第一章空間幾何體

(-)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)多面體一由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體.

圍成多面體的各個(gè)多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱

與棱的公共點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。

旋轉(zhuǎn)體——把一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)形成的封閉幾何體。其

中，這條定直線(xiàn)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體的軸。

(2)柱，錐，臺(tái)，球的結(jié)構(gòu)特征

1棱柱

1.1棱柱——有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且

每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何

體叫做棱柱。

1.2相關(guān)棱柱幾何體系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的關(guān)系:

斜棱柱

①棱柱底面是正多形，正棱柱

棱垂直于底面?直棱柱

其他棱柱-

②四棱柱底面為平行四邊形平行六面體側(cè)棱垂直于底面直平行六面體底面為矩形

長(zhǎng)方體底面為正方形正四棱柱喇棱與底面邊長(zhǎng)相等正方體

1.3棱柱的性質(zhì):

①側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；

②兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；

③過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；

④直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與高相等，側(cè)面與對(duì)角面是矩形。

1.4長(zhǎng)方體的性質(zhì)：

①長(zhǎng)方體一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的

平方和；【如圖】AC,2=AB2+AD2+A4,2

②（了解）長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線(xiàn)AG與過(guò)頂點(diǎn)A的三條

棱所成的角分別是尸，/,那么cos2a+cos2/?+cos2/=1

sin2a4-sin2/?4-sin2/=2;

③（了解）長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線(xiàn)AG與過(guò)頂點(diǎn)A的相鄰三個(gè)面所成的角分別是a,0,y,

貝（Jcos^a+cosN/J+cos?/=2,sin2a+sin2+sin2/=1.

1.5側(cè)面展開(kāi)圖正n棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是由n個(gè)全等矩形組成的以底面周長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)為鄰

邊的矩形.

S.=c.〃

1.6面積、體積公式：直核柱側(cè)z（其中c為底面周長(zhǎng)，h

S直棱柱全=u"+2S底'V棱柱=5底?//

為棱柱的高）

2.圓柱

2.1圓柱——以矩形的一邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，

其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.

2.2圓柱的性質(zhì)：上、下底及平行于底面的截面都是

等圓；過(guò)軸的截面（軸截面）是全等的矩形.

2.3側(cè)面展開(kāi)圖：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是以底面周長(zhǎng)和母線(xiàn)長(zhǎng)為鄰邊的矩形.

2.4面積、體積公式:

S27rHi;S酬主全二2冗rh+2萬(wàn)戶(hù)，v圓柱二S底h二7rr2h（其中r為底面半徑,h為圓柱高）

3.棱錐

3.1棱錐一有一個(gè)面是多邊形，其余

各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這

些面所圍成的幾何體叫做棱錐。

正棱錐一一如果有一個(gè)棱錐的底面

是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是

底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。

3.2犢錐的性質(zhì):

①平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面

的距離之比；

②正棱錐各側(cè)棱相等,各側(cè)面是全等的等腰三角形；

③正棱錐中六個(gè)元素，即側(cè)棱、高、斜高、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影、斜高在底面的射影、底面

邊長(zhǎng)一半，構(gòu)成四個(gè)直角三角形。）（如上圖：.SOB,SOH,SBH,OBH為直角三角形）

3.3側(cè)面展開(kāi)圖：正n棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是有n個(gè)全等的等腰三角形組成的。

3.4面積、體積公式：S正棱錐傀二,S正棱錐全二+S底,V棱錐二'S底?〃.（其中c為底

223

面周長(zhǎng)，〃側(cè)面斜高，h棱錐的高）

4.圓錐

4.1圓錐——以直角三角形的一直角邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍

成的幾何體叫圓錐。

4.2圓錐的性質(zhì):

①平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面

的距離之比；

②軸截面是等腰三角形；如右圖：LSAB年一頂點(diǎn)

③如右圖：l2=h2+r2.母久/二-軸

7h側(cè)面

4.3圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖握］錐的側(cè)面展開(kāi)圖是以頂點(diǎn)為圓心，1/

軸截面

以母線(xiàn)長(zhǎng)為半徑的扇形。/^*****"*"**?\

4.4面積、體積公式：底面

12

S圓桂側(cè)二〃r/,S圓錐全二〃r（廠+/）,V圓椎二一h（其中

r為底面半徑，h為圓錐的高，1為母線(xiàn)長(zhǎng)）

5.棱臺(tái)■S

5.1棱臺(tái)——用一個(gè)平行于底面的平面去截棱

上底面、D，二則棱_

—芭一/尊（幺側(cè)面

錐，我們把截面與底面之間的部分稱(chēng)為棱臺(tái).

TM/.\苫丁斜高

5.2正棱臺(tái)的性質(zhì)：

①各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；

②正棱臺(tái)的兩個(gè)底面以及平行于底面的截面是正多邊形；

③如右圖：四邊形O'MNO,O'3'3O都是直角梯形

④棱臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成棱推研究.如右圖：.與,SON,AS'O'B'與-SOB相似，注意考慮相似比.

5.3楂臺(tái)的表面積、體積公式：5全=$上底+S下底+S側(cè)，/臺(tái)=g（S+宿+S、）〃,（其中S,S、

是上，下底面面積，h為棱臺(tái)的高）S?

6.圓臺(tái)

6.1圓臺(tái)——用平行于圓推底面的平面去截圓錐,

底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái).

6.2圓臺(tái)的性質(zhì):

①圓臺(tái)的上下底面，與底面平行的截面都是圓；

②圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形；

③圓臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成圓錐來(lái)研究。如右圖：

SO'A與SOB相似，注意相似比的應(yīng)用.

6.3圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇環(huán)；

6.4圓臺(tái)的表面積、體積公式：S全=幾戶(hù)+兀R?+兀（R+r）l,

22

V圓臺(tái)=」（S+唇+S、）〃=」（7ir+7trR+TTR）/?,（其中r,R為上下底面半徑，h為高）

33

7.球

7.1球——以半圓的直徑所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球.

或空間中，與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)

球；

7.2球的性質(zhì)：

①球心'與截面圓心的連線(xiàn)垂直于截面；

②/=，店-屋（其中，球心到截面的距離為d、

球的半徑為R、截面的半徑為r）

7.3球與多面體的組合體：球與正四面體，球與長(zhǎng)

方體，球與正方體等的內(nèi)接與外切.

注：球的有關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓的問(wèn)題解決.

4

7.4球面積、體積公式：S球==-7VR3（其中R為球的半徑）

（二）空間幾何體的三視圖與直觀圖

1.投影:區(qū)分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。

2.三視圖一是觀察者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形；

正視圖——光線(xiàn)從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖；

側(cè)視圖——光線(xiàn)從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖；

正視圖——光線(xiàn)從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖；

注：（1）俯視圖畫(huà)在正視圖的下方，"長(zhǎng)度〃與正視圖相等；側(cè)視圖畫(huà)在正視圖的右邊，"高

度”與正視圖相等，"寬度〃與俯視圖。（簡(jiǎn)記為"正、側(cè)一樣高，正、俯一樣長(zhǎng)，俯、

側(cè)一樣寬〃.

（2）正視圖，側(cè)視圖，俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖。

3.直觀圖：

3.1直觀圖一是觀察著站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形。直觀圖通常是在平

行投影下畫(huà)出的空間圖形。

3.2斜二測(cè)法：

stepl:在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy,（即取Zwy=90。）;

st叩2:畫(huà)直觀圖時(shí)，把它畫(huà)成對(duì)應(yīng)的軸。,取Nr'。｝'=45。（“135。）,它們確定的

平面表示水平平面；

step3:在坐標(biāo)系x'o'y'中畫(huà)直觀圖時(shí)，已知圖形中平行于數(shù)軸橫段保持平行性不變，平行

于X軸（或在X軸上）的線(xiàn)段保持長(zhǎng)度不變,平行于y軸（或在y軸上）的線(xiàn)段長(zhǎng)度減半。

結(jié)論：一般地，采用斜二測(cè)法作出的直觀圖面積是原平面圖形面積的一倍.

解決兩種常見(jiàn)的題型時(shí)應(yīng)注意：（1）由幾何體的三視圖畫(huà)直觀圖時(shí)，一般先考慮“俯視圖”.

（2）由幾何體的直觀圖畫(huà)三視圖時(shí)，能看見(jiàn)的輪廓線(xiàn)和棱畫(huà)成實(shí)線(xiàn)，不能看見(jiàn)的輪廓線(xiàn)和棱

畫(huà)成虛線(xiàn)。

第二章點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系

（-）平面的基本性質(zhì)

1.平面---無(wú)限延展，無(wú)邊界

1.1三個(gè)定理與三個(gè)推論

公理1:如果一條直線(xiàn)上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么直線(xiàn)在平面內(nèi)。

用途：常用于證明直線(xiàn)在平面內(nèi).

圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：

公理2:不共線(xiàn)的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.圖形語(yǔ)言：

推論1:直線(xiàn)與直線(xiàn)外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面.圖形語(yǔ)言：

推論2:兩條相交直線(xiàn)確定一個(gè)平面.圖形語(yǔ)言：

推論3:兩條平行直線(xiàn)確定一個(gè)平面.圖形語(yǔ)言：

用途：用于確定平面。

公理3:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條直線(xiàn)（兩

個(gè)平面的交線(xiàn)）.

用途：常用于證明線(xiàn)在面內(nèi)，證明點(diǎn)在線(xiàn)上.

圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：

形語(yǔ)言，文字語(yǔ)言，符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化：

圖形請(qǐng)白文字潘育符號(hào)身引

B-點(diǎn)A在打線(xiàn).上

點(diǎn)H作H線(xiàn)K外

點(diǎn)A在平面。外?4wa

點(diǎn)B在平面。內(nèi)

K線(xiàn)a在平面。內(nèi)〃ua

X線(xiàn)b在平面＜1外baa

H線(xiàn)a與平面。相交干點(diǎn)Aof)a二H

r1《U與直線(xiàn)b交「點(diǎn)Aar\b=A

共面:aQb=A,a//b

1.空間直線(xiàn)的位置關(guān)系：

異面:a與b異面

1.1平行線(xiàn)的傳遞公理：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行。符號(hào)表述：

allb.bllallc

1.2等角定理：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

13異面直線(xiàn)：(1)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)—異面直線(xiàn)；

(2)判定定理：連平面內(nèi)的一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線(xiàn)與這個(gè)平面內(nèi)不過(guò)此點(diǎn)的

直線(xiàn)是異面直線(xiàn)。

P色a

A￡a

圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言：nPA與a異面

aua

A^a

1.4異面直線(xiàn)所成的角：（1）范圍：8e（0。,90。］；（2）作異面直線(xiàn)所成的角：平移法.

如右圖，在空間任取一點(diǎn)0,過(guò)。作優(yōu)〃。力'〃人，則優(yōu)”

所成的。角為異面直線(xiàn)。力所成的角。特別地，找異面直線(xiàn)所

成的角時(shí)，經(jīng)常把一條異面直線(xiàn)平移到另一條異面直線(xiàn)的特殊

點(diǎn)（如線(xiàn)段中點(diǎn)，端點(diǎn)等）上，形成異面直線(xiàn)所成的角.

lua

2.直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系：/、a=A

Iaa,

Illa

圖形語(yǔ)言：

平行：a//p

3.平面與平面的位置關(guān)系：/斜交：二a

相父仁士

［垂直：a工B

（三）平行關(guān)系（包括線(xiàn)面平行，面面平行）

1.線(xiàn)面平行：

①定義：直線(xiàn)與平面無(wú)公共點(diǎn).

allb

②判定定理：a2a，n?！?。（線(xiàn)線(xiàn)平行=線(xiàn)面平行）【如圖】

bua

alla

③性質(zhì)定理：au[3\^a//b（線(xiàn)面平行=線(xiàn)線(xiàn)平行）【如圖】

a°=b

④判定或證明線(xiàn)面平行的依據(jù)：（i）定義法（反證）：/'a=0^l//a（用于判斷）；（ii）

allb

判定定理：〃aa[=?！╝”線(xiàn)線(xiàn)平行n面面平行“（用于證明）;（iii）""'[n〃〃尸

buaj

bLa

“面面平行n線(xiàn)面平行〃（用于證明）；（4）8，ana〃a（用于判斷）；

aaa

2.線(xiàn)面斜交：/a=A

①直線(xiàn)與平面所成的角（簡(jiǎn)稱(chēng)線(xiàn)面角）：若直線(xiàn)與平面斜交，則平

面的斜線(xiàn)與該斜線(xiàn)在平面內(nèi)射影的夾角。【如圖】R2，a于0,

則A0是PA在平面a內(nèi)的射影，則NB4O就是直線(xiàn)PA與平面

a所成的角。

范圍：^e[0°,90°],注：若/ua或/〃a,則直線(xiàn)/與平面a所成的角為0。；若Ua,

則直線(xiàn)/與平面a所成的角為90。。

3.面面平行：

①定義：a0=0=aH0;

②判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么兩個(gè)平面互相平行；

符號(hào)表述：a,ba.a,aCb=O,alla,blla=>all(3【如下圖①】

aa

圖①圖②

推論：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相

平行

符號(hào)表述：a,bua,a(b=Od,b'u/3,al/a',bHb'nall?！救缟蠄D②】

判定2:垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面互相平行.符號(hào)表述：

a_La,a_L尸〃/.【如右圖】

③判定與證明面面平行的依據(jù)：（1）定義法；（2）判定定理

及推論（常用）（3）判定2

allp

allp

④面面平行的性質(zhì)<1）nail隊(duì)面面平行=線(xiàn)面平行)X2)ay=a>^>a//b

qua

P17=b

（面面平行=線(xiàn)線(xiàn)平行）（3）夾在兩個(gè)平行平面間的平行線(xiàn)段相等。【如圖】

（四）垂直關(guān)系（包括線(xiàn)面垂直，面面垂直）

1.線(xiàn)面垂直

①定義：若一條直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)，則這條直線(xiàn)垂直于平面。

符號(hào)表述：若任意Qua,都有/J_a，且/<za，則/_La.

a,bua

aCb=0

②判定定理：laa（線(xiàn)線(xiàn)垂直n線(xiàn)面垂直）

ILa

lib

③性質(zhì)：（1）/J_a,〃ua=>/J_4（線(xiàn)面垂直二>線(xiàn)線(xiàn)垂直）；（2）aka.bka^allb;

④證明或判定線(xiàn)面垂直的依據(jù)：（1淀義（反證）；（2）判定定理（常用）;（3）〔n力J_a

aLa

aLp

…「allaC\P=b

（較常用）；（4）H\^>aLp;（5）"'（面面垂直=>線(xiàn)面垂直）

aA..a]aua

a-Lb

常用；

⑤三垂線(xiàn)定理及逆定理：

（I）斜線(xiàn)定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線(xiàn)段與斜

p

線(xiàn)段中，POLa（1）斜線(xiàn)相等O射影相等；（2）斜線(xiàn)越

）垂線(xiàn)段最短?！救鐖D】ZrA一7

長(zhǎng)=射影越長(zhǎng)；（3

PB=PCoOB=OC；P/\>PBoOA>OB%A_c----z

（II）三垂線(xiàn)定理及逆定理：已知尸O，a,斜線(xiàn)PA在平面a內(nèi)的射影為OA,aua,

①若a_LQ4,則。_1~4,——垂直射影=垂直斜線(xiàn)，此為三垂線(xiàn)定理；

②若a_LPA，則a_LQ4-一垂直斜線(xiàn)n垂直射影，此為三

垂線(xiàn)定理的逆定理；

三垂線(xiàn)定理及逆定理的主要應(yīng)用：（1）證明異面直線(xiàn)垂直;（2）A____

作、證二面角的平面角；（3）作點(diǎn)到線(xiàn)的垂線(xiàn)段;【如圖】

3.2面面斜交

①二面角：(1)定義：【如圖】/

OB_L/,Q4_L/=>ZAO8是二面角c一/一夕的平面角,8

范圍：ZAOBe[0°,180°]\f

11?

②作二面角的平面角的方法：(1)定義法;(2)三垂線(xiàn)法(常

用)；(3)垂面法.

3.3面面垂直

(1)定義：若二面角a—/一分的平面角為90。，則;

(2)判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這

兩個(gè)平面互相垂直.

(線(xiàn)面垂直=面面垂直)

aVp

(3)性質(zhì)：①若a二面角的一個(gè)平面角為AMON,

則/MON=90。;

②

alp

af}J3=AB

>=>a_L

aua

aLAB

面垂直=線(xiàn)面垂直）；

aVp

Aeaa^p

③〉=aua.④>=>aa,a或?！╝

Aeaa1/3

a-Lfi

二、立體幾何常見(jiàn)題型歸納例講

1、概念辨析題：

(1)此題型一般出現(xiàn)在填空題，選擇題中，解題方法可采用排除法，篩選法等。

(2)對(duì)于判斷線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系，線(xiàn)面關(guān)系，面面關(guān)系等方面的問(wèn)題，必須在熟練掌握有關(guān)的定理和

性質(zhì)的前提下，利用長(zhǎng)方體，正方體，實(shí)物等為模型來(lái)進(jìn)行判斷。你認(rèn)為正確的命題需