焦半徑公式的三角形式及其應用

#(3)設x軸到直線AB的角為，由于DEAB,由(2)可得AB422，2cosAB|DEDE4.22cos234時,AB例7.(AB422，2cosAB|DEDE4.22cos234時,AB例7.(05、全國2)P、Q、422sin24邁2sin212.22sin2cos212一22-sin224DE取得最小值以2.3M、N四點都在橢圓x21上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點?已知PF與FQ共線，MF與FN共線，且PF?MF=0,求四邊形PMNQ的面積的最大值和最小值.解：y軸到直線PF的角為(0WBW—).a222,b=1,c解：y軸到直線PF的角為(0WBW—).a222,b=1,c=1,,P=b2丄由公式直接有：|PQ|=2|12二2^cos2 | 2cos2同理:|MN|.2sin????PQ!MN???Spmqn?|PQ|?|MN|2SPMQN2,22cos22sin24122—(sin2)2422由由0WBW—,所以0wsin22例&(07、安徽)切線，求切線方程；161 —WSpmqnW2.9已知拋物線G:x2=4y的焦點為F.(1)過點P(0,-4)(2)設A、B為拋物線G上異于原點的兩點，且滿足FA?FB=0.延長AF、BF分別與拋物線GFA?FB=0.延長的面積的最小值.2解：(1)設切點為Q(x0,jX°).由y，=仝,知在點Q處的切線斜率k=西?故作拋物線的4 2 2

作拋物線的22所求切線方程為：y—蟲=’（x—X。）.即y=衛(wèi)x—Xo?因為點P（0,-4）在切線上,4 2 2 4222 = 42cos2 |sin2所以：-4=號?0-鄉(xiāng)，求得22 = 42cos2 |sin2（2）設y軸到直線AC的角為B.e=1,p=2,由公式有：|AC|= |1-1同理可得：4|BD|= 2同理可得：4|BD|= 2cos? 4\o"CurrentDocument"sin242cosFA?FB=0,???AC丄BD,所以： SABCD-?|AC|?|BD|=2s^T‘32.所以Sabcd的最小值為32?附同類練習題：3 2題1.（2009年高考全國卷n理科題）已知雙曲線 的右焦點為廠,過F且斜率為叢的直線交二于—-兩點。若二：＜，則二的離心率為（）解：選上。題2.（2010年高考全國卷n理科第12題）已知橢圓 f 的離心率為￡一一-。過右焦點且斜率為一「的直線于I相交于兩點，若-」 ,貝『：一（）A18.^2了館D.2解：選呂。J .題3.（08高考江西卷理科第15題）過拋物線的焦點戸作傾斜角為三廠的直線，與拋物線交于川』兩點（點丄在卩軸左側(cè)），則有『引

\AF\1\AF\1題4.（2010年高考全國卷I理科第16題）已知F是橢圓二的一個焦點，石是短軸的一個端點，線段衣因的延長線交0于點Q,且麗二2FD，則口的離心率為 s=—解： -；C:題5（自編題）已知雙曲線=l(d>0^>0)C:題5（自編題）已知雙曲線=l(d>0^>0)的離心率為-，過左焦點F且斜率為fc>0的直線交C的兩支于出月兩點。若|皿卜引肪I,則疋= 解:k￥卑MW］卑MW］）,則有推論：已知點F和直線■是離心率為扌的圓錐曲線匚的焦點和對應準線，焦準距（焦點到對應準線的距離）為d。過點F的弦止三與曲線二的焦點所在的軸的夾角為證明：設點丄二廠在準線上的射影分別為：「,過點F作軸一匸^的垂線交直線宀＜AF |貯| "二宕二F j于點M，交直線0對于點時。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，血1 淬d，所以…’T■■:一。（1）當焦點田內(nèi)分弦血時。如圖4,國如4鋼+闕“+|腫|沖9,I硼=風州-\NB\=p-\BF\cos&o\AF\=e(p^\AF\c^&l\BF\=e{p-|5F|cos^AF\=—空— 阿=—乂—所以較長焦半徑 1-處Z，較短焦半徑 1十它wB。|如朋曲=矽+矽=學所以 1-^COS^?l+f?COS^\-GCOSdo（2）當焦點F外分弦口三時（此時曲線為雙曲線）。圖5如圖5|遜|=|如國站卜|胭J-］陽卜卩恥険把所以冷:I■ ■ ■?? ；-「所以較長焦半徑AF\=^cos^-1較短焦半徑所以較長焦半徑AF\=^cos^-1較短焦半徑所以ep ep_所以ep ep_2ej?1—-■?'一?.：丿一:匸.'.■■■JI. <■ …■'■J一。綜合(1)(2)知，較長焦半徑較短焦半徑.■L'_..-J。特別地，當曲線為無心曲線即為拋物線時，焦準距綜合(1)(2)知，較長焦半徑較短焦半徑.■L'_..-J。特別地，當曲線為無心曲線即為拋物線時，焦準距7就是通徑之半，較長焦半徑|曲|=—藝—-「-；」，較短焦半徑-L八匸，焦點弦的弦長公式為AB\=^-sm&。當曲線為有心曲線即為橢圓或雙曲線時，焦準距為112 112cos^ b ——, — 注由上可得，當焦點尸內(nèi)分弦血時，有商I陽吋阿眄P1 1 2_丄1_皿日當焦點F外分弦曲時，有阿則吋|嗎陽P。例1.(2009年高考福建卷理科第13題)過拋物線-''-的焦點F作傾斜角為二丁的直線，交拋物線于丿，丑兩點，若線段/月的長為8，則戸二 解?由拋物焦點弦的弦長公式為解?由拋物焦點弦的弦長公式為\AB\=sin245^+^-=1(^>b>0) _例2.(2010年高考遼寧卷理科第20題)已知橢圓一/ 的右焦點為廣,經(jīng)過F且傾斜角為的直線■與橢圓相交于不同兩點丄'，已知一"-o^51=—(1)求橢圓的離心率；(2)若 4,求橢圓方程。解：(1)這里匸二，〔一：，解：(1)這里匸二，〔一：，由定理1的公式得^cos60*=2-12+12e=—解得二OTOC\o"1-5"\h\zff=-re=6(T,\AB\=— 1-(-)acosa60 4(2)將匚 「，代入焦點弦的弦長公式得，- ，解_5 __5 _c_2得；-1，即_--「二，所以甘—小①，又"_、 1,設’'， _—]代入①得桿"，所以-：,所以JL「:,故所求橢圓方程為* : 'O例3.(由2007年重慶卷第16