中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)幾何專項(xiàng)知識(shí)精講+基礎(chǔ)提優(yōu)訓(xùn)練專題27 三角形的內(nèi)切圓（基礎(chǔ)）-（解析版）

專題27三角形的內(nèi)切圓（基礎(chǔ)）一．選擇題1．如圖，在△ABC中，AO，BO分別平分∠BAC，∠ABC，則點(diǎn)O是△ABC的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．中線交點(diǎn) D．高線交點(diǎn)【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)即可得結(jié)論．【解答】解：∵AO，BO分別平分∠BAC，∠ABC，∴點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解決本題的關(guān)鍵是區(qū)分三角形的內(nèi)切圓與外接圓的定義．2．已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列選項(xiàng)中⊙O的半徑為b+c?a2A． B． C． D．【分析】根據(jù)圓切線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)分別進(jìn)行判定即可．【解答】解：A、設(shè)圓的半徑是x，圓切AC于E，切BC于D，切AB于F，如圖（1），同樣得到正方形OECD，AE＝AF，BD＝BF，則a﹣x+b﹣x＝c，∴x=a+b?c故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、設(shè)圓切AB于F，圓的半徑是y，連接OF，如圖（2），則△BCA∽△OFA，OFBCyay=ab故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、連接OE、OD，∵AC、BC分別切圓O于E、D，∴∠OEC＝∠ODC＝∠C＝90°，∵OE＝OD，∴四邊形OECD是正方形，∴OE＝EC＝CD＝OD，設(shè)圓O的半徑是r，∵OE∥BC，∴∠AOE＝∠B，∵∠AEO＝∠ODB，∴△ODB∽△AEO，OEBDra?r解得：r=ab故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、從上至下三個(gè)切點(diǎn)依次為D，E，F(xiàn)；并設(shè)圓的半徑為x；∵BD＝BF，∴AD＝BD﹣BA＝BF﹣BA＝a+x﹣c；又∵b﹣x＝AE＝AD＝a+x﹣c；所以x=b+c?a故本選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)正方形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)這些性質(zhì)求出圓的半徑是解此題的關(guān)鍵．3．如圖，⊙I為△ABC的內(nèi)切圓，AB＝9，BC＝8，CA＝10，點(diǎn)D，E分別為AB，AC上的點(diǎn)，且DE與⊙I相切，DE∥BC，則DE的長(zhǎng)（）A．3.6 B．8827 C．3 D．【分析】如圖，⊙I與AB、AC、DE的切點(diǎn)為M、N、G，設(shè)DG＝DM＝x，EG＝EN＝y(tǒng)．首先求出AM、AN的長(zhǎng)，由DE∥BC，得到ADAB【解答】解：如圖，⊙I與AB、AC、DE的切點(diǎn)為M、N、G，設(shè)DG＝DM＝x，EG＝EN＝y(tǒng)．∵AM＝AN=AB+AC?BC∴AD=112?x，AE∵DE∥BC，∴ADAB∴112解得x=116，y∴DE＝x+y=11故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線長(zhǎng)定理、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．4．如圖，在△ABC中，I是△ABC的內(nèi)心，O是AB邊上一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過(guò)B點(diǎn)且與AI相切于I點(diǎn)．若tan∠BAC=247，則sin∠A．56 B．45 C．35【分析】延長(zhǎng)AI交BC于D，連接OI，作BH⊥AC于H，如圖，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得∠OBI＝∠DBI，則可證明OI∥BD，再根據(jù)切線的性質(zhì)得OI⊥AI，則BD⊥AD，加上AI平分∠BAC，所以△ABC為等腰三角形，得到AB＝AC，接著在Rt△ABH中，利用正切的定義得到tan∠BAH=BHAH=247，于是可設(shè)BH＝24x，AH＝7x，利用勾股定理得到AB＝25x，則AC＝AB＝25x，CH＝AC﹣AH＝18x，然后在Rt△BCH中，利用勾股定理計(jì)算出BC【解答】解：延長(zhǎng)AI交BC于D，連接OI，作BH⊥AC于H，如圖，∵I是△ABC的內(nèi)心，∴BI平分∠ABC，即∠OBI＝∠DBI，∵OB＝OI，∴∠OBI＝∠OIB，∴∠DBI＝∠OIB，∴OI∥BD，∵AI為⊙O的切線，∴OI⊥AI，∴BD⊥AD，∵AI平分∠BAC，∴△ABC為等腰三角形，∴AB＝AC，在Rt△ABH中，tan∠BAH=BH設(shè)BH＝24x，AH＝7x，∴AB=BH2∴AC＝AB＝25x，∴CH＝AC﹣AH＝25x﹣7x＝18x，在Rt△BCH中，BC=CH2∴sinC=BH故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．5．如圖，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長(zhǎng)相等，則下列說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心 B．點(diǎn)O是△ABC的外心 C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形【分析】過(guò)O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，連接OK、OD、OF，根據(jù)垂徑定理和已知求出DM＝KQ＝FN，根據(jù)勾股定理求出OM＝ON＝OQ，根據(jù)三角形內(nèi)心的定義求出即可．【解答】解：過(guò)O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，連接OK、OD、OF，由垂徑定理得：DM=12DE，KQ=12KH，∵DE＝FG＝HK，∴DM＝KQ＝FN，∵OD＝OK＝OF，∴由勾股定理得：OM＝ON＝OQ，即O到三角形ABC三邊的距離相等，∴O是△ABC的內(nèi)心，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的內(nèi)心的應(yīng)用，注意：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等．6．三角形的內(nèi)心是（）A．三條中線的交點(diǎn) B．三條高的交點(diǎn) C．三邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．三條角平分線的交點(diǎn)【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)心的性質(zhì)解答即可．【解答】解：因?yàn)槿切蔚膬?nèi)心為三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，解題的關(guān)鍵是要熟記內(nèi)心的定義和性質(zhì)．7．如圖，在△ABC中，點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，點(diǎn)D在BC上，且ID⊥BC，若∠ABC＝44°，∠C＝56°，則∠AID的度數(shù)為（）A．174° B．176° C．178° D．180°【分析】先利用三角形內(nèi)角和得到∠BAC＝80°，再根據(jù)三角形內(nèi)心性質(zhì)得到∠ABI＝∠DBI＝22°，∠BAI＝40°，則可計(jì)算出∠AIB＝118°，∠BID＝68°，然后根據(jù)周角的定義計(jì)算∠AID的度數(shù)．【解答】解：∵∠ABC＝44°，∠C＝56°，∴∠BAC＝180°﹣44°﹣56°＝80°，∵點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，∴∠ABI＝∠DBI=12∠ABC＝22°，∠BAI=12∠∴∠AIB＝180°﹣22°﹣40°＝118°，∵ID⊥BC，∴∠BID＝90°﹣22°＝68°，∴∠AID＝360°﹣118°﹣68°＝174°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．8．如圖，△ABC是一張三角形紙片，⊙O是它的內(nèi)切圓，點(diǎn)D、E是其中的兩個(gè)切點(diǎn)，已知AD＝6cm，小明準(zhǔn)備用剪刀沿著與⊙O相切的一條直線MN剪下一塊三角形（△AMN），則剪下的△AMN的周長(zhǎng)是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【分析】利用切線長(zhǎng)定理得出DM＝MF，F(xiàn)N＝EN，AD＝AE，進(jìn)而得出答案．【解答】解：如圖所示：∵△ABC是一張三角形的紙片，⊙O是它的內(nèi)切圓，點(diǎn)D是其中的一個(gè)切點(diǎn)，AD＝6cm，設(shè)F是⊙O的切點(diǎn)，故DM＝MF，F(xiàn)N＝EN，AD＝AE，∴△AMN的周長(zhǎng)＝AM+AN+MN＝AD+AE＝6+6＝12（cm）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)切圓、切線長(zhǎng)定理；由切線長(zhǎng)定理得出AM+AN+MN＝AD+AE是解題關(guān)鍵．9．如圖，正△ABC的三邊上有三點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AD＝BE＝CF，設(shè)AB＝x，DE＝y(tǒng)，△ADF的內(nèi)切圓的半徑為3，則關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝x﹣6 B．y=32x C．y＝x﹣3 【分析】首先證明△DEF是等邊三角形，由S△ADF＝S△BDE＝S△EFC=12（AD+AF+DF）?3=12（x+y）?3，根據(jù)S△ABC﹣S△EDF＝3?S△ADF，可得34x2?34y2＝3?12【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，且AD＝BE＝CF∴AF＝BD＝CE，又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF＝ED＝EF，∴△DEF是一個(gè)等邊三角形，∵S△ADF＝S△BDE＝S△EFC=12（AD+AF+DF）?3=12（x+∵S△ABC﹣S△EDF＝3?S△ADF，∴34x2?34y2＝3?12?（x+y∴（x2﹣y2）＝6（x+y），∴（x+y）（x﹣y）＝6（x+y），∵x+y≠0，∴x﹣y＝6，∴y＝x﹣6．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形判定及三角形面積公式，根據(jù)已知得出△ADF≌△BED≌△CFE是解題關(guān)鍵，解題的突破點(diǎn)是記住S△ABC=12（a+b+c）?r（r是△10．如圖，Rt△ABC頂點(diǎn)A，B分別在y軸，x軸上，∠ABC＝90°，且AB＝20，AC＝105．將△ABC沿AC折疊，B點(diǎn)落在D處，∠BAD+∠CBX＝90°，則△AOB的內(nèi)心的坐標(biāo)是（）A．（4，4） B．（4.5，4.5） C．（6，6） D．（6，8）【分析】延長(zhǎng)DC交x軸于E點(diǎn)，如圖，先利用勾股定理計(jì)算出BC＝10和證明AD∥OE，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝20，接著判斷四邊形AOED為矩形，然后判斷△AOB∽△BEC，利用相似比得到OABE=OBCE=ABBC=2，設(shè)OB＝t，則CE=12t，BE＝20﹣t，在Rt△CBE中利用勾股定理得到（20﹣t）2+（12t）2＝102【解答】解：延長(zhǎng)DC交x軸于E點(diǎn)，如圖，∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBE＝90°，BC=A而∠BAD+∠CBE＝90°，∴∠BAD＝∠ABO，∴AD∥OE，∵△ABC沿AC折疊，B點(diǎn)落在D處，∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝20，∴∠BEC＝90°，∴四邊形AOED為矩形，∴OE＝AD＝20，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABO+∠CBE＝90°，∴∠BAO＝∠CBE，而∠AOB＝∠BEC，∴△AOB∽△BEC，∴OABE設(shè)OB＝t，則CE=12t，BE＝20﹣在Rt△CBE中，（20﹣t）2+（12t）2＝102整理得t2﹣32t+240＝0，解得t1＝12，t2＝20（舍去），∴OB＝12，∴OA=A設(shè)△AOB的內(nèi)切圓的半徑為r，則r=12+16?20∴△AOB的內(nèi)心的坐標(biāo)為（4，4）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．也考查了勾股定理、折疊的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．11．如圖所示，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于點(diǎn)D、E、F，若∠DEF＝55°，則∠A的度數(shù)是（）A．35° B．55° C．70° D．125°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)切圓與圓心和圓周角定理即可求解．【解答】解：連接OD，OF，OA，如下圖所示，∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于點(diǎn)D、E、F，∵∠DEF＝55°，∴∠DOF＝2∠DEF＝2×55°＝110°（圓心角是圓周角的2倍），∵在三角形AOD與三角形AOF中，∵∠A+∠ADO+∠AFO+∠DOF＝360°，∵AD，AF是圓的切線，∴∠ADO＝∠AFO＝90°，∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與圓心和圓周角定理，解題關(guān)鍵根據(jù)圓周角求出圓心角∠DOF即可得出答案．12．如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，連接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，則∠BEC的大小為（）A．64° B．120° C．122° D．128°【分析】根據(jù)圓周角定理可求∠CAD＝32°，再根據(jù)三角形內(nèi)心的定義可求∠BAC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形內(nèi)心的定義可求∠EBC+∠ECB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠BEC的度數(shù)．【解答】解：在⊙O中，∵∠CBD＝32°，∴∠CAD＝32°，∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAC＝64°，∴∠EBC+∠ECB＝（180°﹣64°）÷2＝58°，∴∠BEC＝180°﹣58°＝122°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)心，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是得到∠EBC+∠ECB的度數(shù)．二．填空題13．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，正方形EFGH的邊長(zhǎng)為b，則△AEF的內(nèi)切圓半徑為a?b2【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可以證明△AEF≌△BFG，得AE＝BF，再根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的半徑等于兩條直角邊的和減去斜邊的差的一半進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：∵四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90°，EF＝FG，∴∠AFE＝∠BGF，∴△AEF≌△BFG（AAS），∴AE＝BF，∴AE+AF＝AB＝a，∴△AEF的內(nèi)切圓半徑a?b2故答案為a?b【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形內(nèi)切圓的半徑公式：直角三角形內(nèi)切圓的半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半．14．如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，若∠BAC＝80°，則∠BOC＝130°（填度數(shù)）．【分析】運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理得出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，得出∠OBC+∠OCB＝50°，從而得出答案．【解答】解：∵∠BAC＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，∴BO，CO分別為∠ABC，∠BCA的角平分線，∴∠OBC+∠OCB＝50°，∴∠BOC＝130°．故答案為：130°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)三角形的內(nèi)角和定理，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能求出∠OBC+∠OCB的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．15．等腰△ABC中，∠A＝60°，其面積為7+4327，它的內(nèi)切圓面積為73【分析】根據(jù)有一個(gè)角等于60°的三角形是等腰三角形，得到△ABC是等邊三角形，設(shè)它的內(nèi)切圓的半徑為r，求出三角形的邊長(zhǎng)和高代入三角形的面積公式解得r2=7+43813【解答】解：∵△ABC是等腰三角形．∵∠A＝60°，∴△ABC是等邊三角形，設(shè)它的內(nèi)切圓的半徑為r，∴BC＝23r，高＝3r，∴S△ABC=12×23r?3解得：r2=7+4∴內(nèi)切圓面積為：7+43813π故答案為：73+12【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，等邊三角形的面積，圓的面積，熟練掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與AB，BC，CA分別切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∠DOE＝120°，∠EOF＝110°，則∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°．【分析】利用切線的性質(zhì)得出∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°，進(jìn)而利用四邊形內(nèi)角和定理以及三角形內(nèi)角和定理得出答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與AB，BC，CA分別切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°，又∵∠DOE＝120°，∠EOF＝110°，∴∠B＝360°﹣120﹣90°﹣90°＝60°，∠C＝360°﹣110°﹣90°﹣90°＝70°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°．故答案為：50°，60°，70°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的性質(zhì)以及四邊形內(nèi)角和定理以及三角形內(nèi)角和定理，熟練應(yīng)用切線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．17．在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝6，BC＝8，且△ABC的三邊都與圓O相切，則圓O的半徑r＝2．【分析】設(shè)⊙O半徑是r，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)三角形的面積公式得出S△ACB＝S△OAC+S△OBC+S△OAB，代入求出即可．【解答】解：設(shè)⊙O半徑是r，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)是D、E、F，∴OD⊥AB，OE⊥CB，OF⊥AC，OD＝OE＝OF＝r，∵AC＝6，BC＝8，由勾股定理得：AB＝10，根據(jù)三角形的面積公式得：S△ACB＝S△OAC+S△OBC+S△OAB，∴AC×BC＝AC×r+BC×r+AB×r，即：6×8＝6r+8r+10r，∴r＝2．故⊙O半徑是2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能得出S△ACB＝S△OAC+S△OBC+S△OAB是解此題的關(guān)鍵．18．如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)依次為D、E、F，若AB＝5，BC＝7，AC＝8，那么AD＝3，BE＝2，CF＝5．【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理求出AD＝AF，F(xiàn)C＝EC，BD＝BE，設(shè)AD＝x，進(jìn)而用x表示出BC的長(zhǎng)，即可求出答案．【解答】解：∵⊙O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)依次為D、E、F，AB＝5，BC＝7，AC＝8，∴AD＝AF，F(xiàn)C＝EC，BD＝BE，設(shè)AD＝x，則AF＝x，∴FC＝8﹣x，BE＝BD＝AB﹣AD＝5﹣x，∴EC+BE＝8﹣x+5﹣x＝BC＝7，解得：x＝3，∴FC＝8﹣3＝5，BE＝BD＝5﹣3＝2，故答案為：3，2，5．【點(diǎn)評(píng)】此題主要是考查了切線長(zhǎng)定理．要掌握?qǐng)A中的有關(guān)定理，才能靈活解題．19．如圖，△ABC的三邊分別切⊙O于D、E、F，若∠A＝50°，則∠DEF＝65°．【分析】連OD，OF．則得到∠DOF與∠DEF的數(shù)量關(guān)系．而∠DOF與∠A是互補(bǔ)的，因此先求出∠DOF，再就能得到角DEF．【解答】解：連OD，OF，如圖，則OD⊥AB，OF⊥AC；∴∠DOF＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，又∵∠DEF=12∠DOF=12×故填65°．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握切線的性質(zhì)定理和圓周角定理．記住四邊形的內(nèi)角和為360°．20．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，∠A＝48°，∠BOC＝114°．【分析】利用內(nèi)心的定義，OB，OC都是角平分線，因此可求出∠OBC與∠OCB的和，從而得到∠BOC的度數(shù)．【解答】解：∵O是△ABC的內(nèi)心，∴OB，OC分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣48∴∠BOC＝180°﹣66°＝114°．故答案為：114．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)心性質(zhì)，理解三角形內(nèi)心的定義，記住三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．21．如圖，△ABC的內(nèi)切圓與三邊分別相切于點(diǎn)D、E、F，若∠B＝50°，則∠EDF＝65度．【分析】設(shè)△ABC的內(nèi)切圓圓心為O，連接OE，OF，根據(jù)△ABC的內(nèi)切圓與三邊分別相切于點(diǎn)D、E、F，可得OE⊥AB，OF⊥BC，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得∠EOF的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可得結(jié)論．【解答】解：如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓圓心為O，連接OE，OF，∵△ABC的內(nèi)切圓與三邊分別相切于點(diǎn)D、E、F，∴OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠OEB＝∠OFB＝90°，∵∠B＝50°，∴∠EOF＝180°﹣50°＝130°，∴∠EDF=12∠EOF故答案為：65．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心．22．如圖，△ABC的周長(zhǎng)為24cm，AC＝8cm，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，⊙O的切線MN與AB、BC分別交于點(diǎn)M、N，則△BMN的周長(zhǎng)為8cm．【分析】設(shè)⊙O與△ABC與各邊的切點(diǎn)分別為D、E、F，⊙O與MN相切于G點(diǎn)，如圖，利用切線長(zhǎng)定理得到AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE，MD＝MG，NG＝NE，則可計(jì)算出AD+CE＝8，接著利用AB+BC＝16得到BD+BE＝8，然后利用等線段代換得到△BMN的周長(zhǎng)＝BD+BE．【解答】解：設(shè)⊙O與△ABC與各邊的切點(diǎn)分別為D、E、F，⊙O與MN相切于G點(diǎn)，如圖，∴AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE，∵AC＝8，即AF+CF＝8，∴AD+CE＝8，∵△ABC的周長(zhǎng)為24，∴AB+BC+AC＝24，∴AB+BC＝16，即BD+AD+BE+CE＝16，∴BD+BE＝8，∵⊙O的切線MN與AB、BC分別交于點(diǎn)M、N，∴MD＝MG，NG＝NE，∴△BMN的周長(zhǎng)＝BM+BN+MN＝BM+BN+MG+NG＝BM+BN+MD+NE＝BD+BE＝8（cm）．故答案為8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．也考查了切線長(zhǎng)定理．23．如圖，⊙O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB，BC，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，D，P是DF上一點(diǎn)，則∠EPF的度數(shù)是60°．【分析】連接OE、OF，如圖，根據(jù)三角形內(nèi)切圓的定義和切線的性質(zhì)得到OE⊥AB，OF⊥BC，則利用四邊形的內(nèi)角和得到∠B+∠EOF＝180°，則可求出∠EOF＝120°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠EPF的度數(shù)．【解答】解：連接OE、OF，如圖，∵⊙O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，∴OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°，∴∠B+∠EOF＝180°，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，∴∠EOF＝180°﹣∠B＝120°，∴∠EPF=12∠EOF＝60故答案為60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．也考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和圓周角定理．三．解答題24．如圖，△ABC中，AC＝BC，I為△ABC的內(nèi)心，⊙O經(jīng)過(guò)B，I兩點(diǎn)，且O在BC邊上，⊙O與BC交于點(diǎn)D．（1）求證：CI為⊙O的切線；（2）若tan∠CBI=13，AB＝6，求【分析】（1）連接CI延長(zhǎng)CI交AB于H，連接OI，作OE⊥BI于E．只要證明CH⊥AB，OI∥AB，即可推出OI⊥CI；（2）想辦法求出BE，OE即可解決問(wèn)題；【解答】（1）證明：連接CI延長(zhǎng)CI交AB于H，連接OI，作OE⊥BI于E．∵I是內(nèi)心，∴∠IBH＝∠IBO，∵OB＝OI，∴∠OBI＝∠OIB，∴∠IBH＝∠OIB，∴OI∥AB，∵CA＝CB，∠HCA＝∠HCB，∴CH⊥AB，∴CH⊥OI∴IC是⊙O的切線．（2）∵tan∠CBI＝tan∠IBH=1∴IHBH=13，∵∴IH＝1，IB=1∵OE⊥BI，∴BE=10∵tan∠OBE=OE∴OE=10∴OB=B∵OI∥BH，∴OIBH∴53∴OC=25∴BC＝OB+OC=15【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)心與內(nèi)切圓、等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定、勾股定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，熟練應(yīng)用內(nèi)心的性質(zhì)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．25．如圖1，⊙O為△ABC的外接圓，點(diǎn)D在圓上，AD為△ABC中∠CAB的外角平分線．（1）如圖1，證明：DB＝DC；（2）如圖2，延長(zhǎng)DA交BC的延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，△CDM的內(nèi)心P在AC上，若tan∠M=34，求tan∠【分析】（1）如圖1中，只要證明∠DBC＝∠3即可解決問(wèn)題；（2）如圖2中，作PF⊥BM于F，PE⊥DM于E，連接PD、PM、PC、PA．首先證明MA＝MC，作AH⊥CM于H，由tan∠AMC=34=AHHM，設(shè)AH＝3k，HM＝4k，則AM＝CM＝5k，CF＝k，推出tan∠ACH=AHCH=3kk=3，由∠CAM＝∠【解答】（1）證明：如圖1中，∵∠2+∠DAC＝180°，∠DBC+∠DAC＝180°，∴∠2＝∠DBC，∵∠1＝∠3，∠1＝∠2，∴∠DBC＝∠3，∴DB＝DC．（2）解：如圖2中，作PF⊥BM于F，PE⊥DM于E，連接PD、PM、PC、PA．∵P是△DCM的內(nèi)心，∴∠PMA＝∠PMC，∠PDA＝∠PDC，∴PE＝PF，PA＝PC，易證△PEA≌△PFC，△PEM≌△PFM，∴AE＝CF，EM＝FM，∴AM＝CM，作AH⊥CM于H，∵tan∠AMC=3設(shè)AH＝3k，HM＝4k，則AM＝CM＝5k，CF＝k，∴tan∠ACH=AH∵∠CAM＝∠DBC＝∠DCB＝∠ACB，∴tan∠DCB＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)心、圓周角定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．26．在△ABC中，M是BC邊的中點(diǎn)，I是內(nèi)切圓的圓心，AH⊥BC于點(diǎn)H，E是直線IM與AH的交點(diǎn)，求證：AE＝r．其中r是內(nèi)切圓的半徑．【分析】設(shè)圓I與BC相切于P，連接IP，設(shè)AB＝c，AC＝b，BC＝a，根據(jù)已知條件得到BM=a2，根據(jù)切線的性質(zhì)得到PB=a+c?b2，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BH＝c?cos∠B=a2+根據(jù)三角形的面積公式得到AH=a+b+ca?r【解答】證明：設(shè)圓I與BC相切于P，連接IP，設(shè)AB＝c，AC＝b，BC＝a，則BM=a2，PB=a+c?b2，BH＝c?cos∵△IPM∽△MEH，∴EHIP∴EH＝r?b+ca三角形的面積公式知a?AH＝（a+b+c），∴AH=a+b+ca?r結(jié)合①，②可得AE＝AH﹣EH=a+b+ca?r﹣r?【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．27．如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓⊙O相交于點(diǎn)D，求證：DE＝DB．【分析】根據(jù)內(nèi)心的概念得到∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC，根據(jù)圓周角定理得到∠CAD＝∠CBD，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理證明即可．【解答】證明：∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC，由圓周角定理得，∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠DBC，∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC＝∠ABE+∠BAD＝∠DEB，∴DE＝DB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，掌握三角形的內(nèi)心是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．28．如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D．（1）若∠BAC＝θ，求∠DBC；（2）求證：BD＝DE．【分析】（1）根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得到AD是∠BAC的平分線，根據(jù)圓周角定理解答即可；（2）根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)證明．【解答】（1）解：∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC=由圓周角定理得，∠DBC＝∠CAD=12（2）證明：∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，∴∠ABE＝∠CBE，又∠DBC＝∠BAD，∴∠ABE+∠BAD＝∠CBE+∠DBC，即∠DBE＝∠DEB，∴BD＝DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、外接圓與外心的概念和性質(zhì)，掌握三角形的內(nèi)心是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．29．如圖，△ABC外切于⊙O，切點(diǎn)分別為D、E、F，BC＝7，⊙O的半徑為3，（1）∠A＝60°，求△ABC的周長(zhǎng)．（2）若∠A＝70°，點(diǎn)M為⊙O上異于F、E的動(dòng)點(diǎn)，則∠FME的度數(shù)為55或125°．【分析】（1）連接OE、OF、OA，如圖，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可切線的性質(zhì)得到BD＝BF，CD＝CE，OE⊥AC，OF⊥AB，OA平分∠BAC，則∠OAE＝30°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AE＝3，然后利用等線段代換得到△ABC的周長(zhǎng)＝2BC+2AE；（2）先利用切線的性質(zhì)得到∠OEA＝∠OFA＝90°，利用四邊形內(nèi)角和得到∠EOF＝180°