第三章 靜定結構的內(nèi)力計算

1、第三章第三章 靜定結構的靜定結構的內(nèi)力計算內(nèi)力計算 基本要求：基本要求： 理解理解恰當選取分離體和平衡方程計算 靜定結構內(nèi)力的方法和技巧，會根據(jù)幾何 組成尋找解題途徑。 掌握掌握內(nèi)力圖的形狀特征和繪制內(nèi)力圖 的方法， 靜定平面剛架、多跨梁、三鉸拱、 平面桁架及組合結構的內(nèi)力計算。 熟練掌握熟練掌握疊加法作彎矩圖。 主要主要內(nèi)容內(nèi)容 靜定結構靜定結構內(nèi)力計算內(nèi)力計算的基本方法的基本方法 靜定靜定結構內(nèi)力計算舉例結構內(nèi)力計算舉例 5.疊加法作彎矩圖疊加法作彎矩圖 1.單跨梁支反力單跨梁支反力 2.截面法求指定截面內(nèi)力截面法求指定截面內(nèi)力 3.作內(nèi)力圖的基本方法作內(nèi)力圖的基本方法 4.彎矩、剪力、荷

2、載集度之間的微分關系彎矩、剪力、荷載集度之間的微分關系 6.分段疊加法作彎矩圖分段疊加法作彎矩圖 單跨梁受力分析方法單跨梁受力分析方法 1.單跨梁支座反單跨梁支座反 力力 FX M FY L/2L/2 FP 例例.求圖示梁支反力求圖示梁支反力 A 解解: )(2/ )( 0 LFM FF F P PY X 0 0 0 A Y X M F F 彎矩 以使下側受拉為正 剪力 繞作用截面順時針轉為正 軸力 拉力為正 2.截面法求指定截面內(nèi)力截面法求指定截面內(nèi)力 K Ay F By F Ax F q A B l C 求跨中截面內(nèi)力求跨中截面內(nèi)力 )(2/ ),(2/, 0 qlF qlFF By Ay

3、Ax 8/, 0 0, 0 0, 0 2 qlMM FF FF Cc C Qy Nx C (下側受拉下側受拉) Ay F 3.作內(nèi)力圖的基本方法作內(nèi)力圖的基本方法 By F Ax F q A B l 作圖示粱內(nèi)力圖作圖示粱內(nèi)力圖 22 1 )(, 0 2 1 )(, 0 0)(, 0 x qxqlxxMM qxqxxFF xFF Qy Nx )( )( )( xFF xFF xMM NN QQ )(2/ ),(2/, 0 qlF qlFF By AyAx 2 8 1 ql ql 2 1 ql 2 1 4.彎矩、剪力、荷載集度之間的微分關系彎矩、剪力、荷載集度之間的微分關系 )(/ )( )(/

4、 )( )(/ )( 22 xqdxxMd xFdxxdM xqdxxdF Q Q q A B l x )(xM )(xFN xd )(xFQ MMd NN dFF Q dF Q F xqd FPl 截面彎矩等于該截面一截面彎矩等于該截面一 側的所有外力對該截面?zhèn)鹊乃型饬υ摻孛?的力矩之和的力矩之和 FP FP FP FP ql 2/ 2 ql 2/ 2 ql 2/ 2 ql FPl/4 FP/2 FP/2 2/ 2 ql A支座的反力支座的反力 大小為多少大小為多少, 方向怎樣方向怎樣? FPl/2 FP FP FP/2 F C m C 或或 q0 F m C 簡易法簡易法繪制內(nèi)力圖的一

5、般步驟繪制內(nèi)力圖的一般步驟 1 1）、）、求支反力；求支反力； 3 3）、）、定點；定點； 2 2）、）、分段；分段；（控制截面點的位置：集中力作用處、集中力偶作用處、（控制截面點的位置：集中力作用處、集中力偶作用處、 分布荷載起始點、支座處、桿與桿的連接點）分布荷載起始點、支座處、桿與桿的連接點） 4 4）、）、連線。連線。 FP a FP l ab AB A B l q ql2 2 BA F l ab Fab l BA q l ql2 8 m B A ab l m l a l m b l m m l FP FP FP FP FP FP FP FP FP FP FP FP FP FP FP

6、FPFP 5.疊加法作彎矩圖疊加法作彎矩圖 是豎標相加是豎標相加,不是不是 圖形的簡單拼合圖形的簡單拼合. 練習練習: q l 2 ql 2 ql 2 16 1 ql 2 16 1 ql q l 6.分段疊加法作彎矩圖分段疊加法作彎矩圖 q A B l/2l/2 C ql 8 1 2 16 1 ql q 2 16 1 ql q l/2 2 16 1 ql q l/2 2 16 1 ql q 2 16 1 ql 練習練習: 分段疊加法作彎矩圖分段疊加法作彎矩圖 q A B l C 2 4 1 ql q l ql ll ql 2 1 1.1.多跨靜定梁的組成多跨靜定梁的組成 練習練習:區(qū)分基本部分

7、和附屬部分并畫出關系圖區(qū)分基本部分和附屬部分并畫出關系圖 2.2.多跨靜定梁的內(nèi)力計算多跨靜定梁的內(nèi)力計算 qql llll2l4l2l ql ql ql q ql 2 1 ql ql ql 2 1 q2 2ql 2 ql AB Q F BA Q F AB 4/50 4/110 qlFF qlFM AB QY BA QA qql llll2l4l2l ql ql ql q ql 2 1 ql ql ql 2 1 2 ql 2 ql ql ql 4/5ql 4/11ql 2/ql 2/ql 3.3.多跨靜定梁的受力特點多跨靜定梁的受力特點 簡支梁簡支梁(兩個并列兩個并列) 多跨靜定梁多跨靜定梁

8、連續(xù)梁連續(xù)梁 為何采用多跨靜定梁這種結構型式為何采用多跨靜定梁這種結構型式? .對圖示靜定梁對圖示靜定梁,欲使欲使AB跨的最大正彎矩與支座跨的最大正彎矩與支座B截截 面的負彎矩的絕對值相等面的負彎矩的絕對值相等,確定鉸確定鉸D的位置的位置. q CB l A D l x D R 8/)( 2 xlq q D R B 解解:)(2/ )(xlqRD 2/)(2/ 2 xxlqqxM B 2/)(2/8/)( 22 xxlqqxxlq lx172. 0 2 086. 0qlM B q ll x lx172. 0 2 086. 0ql 2 086. 0ql 2 086. 0ql 2 8 1 ql q

9、 22 125. 0 8 1 qlql 與簡支梁相比與簡支梁相比:彎矩較小而且均勻彎矩較小而且均勻. 從分析過程看從分析過程看:附屬部分上若無外力附屬部分上若無外力,其上也無內(nèi)力其上也無內(nèi)力. 桁架結構桁架結構（truss structuretruss structure） 桁架內(nèi)力分析桁架內(nèi)力分析 主桁架主桁架 縱梁縱梁 橫梁橫梁 靜定平面桁架 1 1、結點法、結點法 1 1）、）、定義：定義：利用各結點的平衡條件求解桁架內(nèi)力的方法。利用各結點的平衡條件求解桁架內(nèi)力的方法。 2 2）、）、實質(zhì)：實質(zhì)：作用在結點上的各力組成一平面匯交力系。作用在結點上的各力組成一平面匯交力系。 3 3）、）、

10、注意點：注意點： （1 1）一般結點上的未知力不能多余兩個）一般結點上的未知力不能多余兩個; ; （2 2）可利用比例關系求解各軸力的鉛直、水平分量。）可利用比例關系求解各軸力的鉛直、水平分量。 FN B A FN ly lx l A FN Fx Fy B y y x xN l F l F l F 桁架的內(nèi)力計算桁架的內(nèi)力計算 例例1. 1. 求以下桁架各桿的內(nèi)力求以下桁架各桿的內(nèi)力 -33 34.8 1919 0 5 . 1 5 . 0 N N AC CD X Y AD AD kN 11 0 N AD YY kN 333 NN ADAD YX kN 33 0 N AC FX -33 34.8

11、 1919 0-33 -8 -33 34.8 -33 -8 1919 0 - -8 kN 5 . 0 75. 0 CE CD X Y DE DE 37.5 -5.4 -33 34.8 -33 -8 37.5 -5.4 1919 0 -5.4 -8 -33-33 34.8 FAy FBy 對稱結構受對稱荷載作用對稱結構受對稱荷載作用, 內(nèi)力和反內(nèi)力和反 力均為對稱力均為對稱: FAy FBy 對稱結構受反對稱荷載作用對稱結構受反對稱荷載作用, 內(nèi)力和內(nèi)力和 反力均為反對稱反力均為反對稱: FN2=0 FN1=0 FN=0 FN=0 FP/ 2 FP/2 FP FP FP 判斷結構中的零桿 特殊結

12、點：特殊結點： （1 1）L L形結點形結點：在不共線的兩桿結點：在不共線的兩桿結點 上，若無外荷載作用，則上，若無外荷載作用，則兩桿內(nèi)力兩桿內(nèi)力 均均 為零為零。內(nèi)力為零的桿稱為。內(nèi)力為零的桿稱為零桿零桿。 F FN1 N1=F =FN2 N2=0 =0 F FN2 N2F FN1 N1 F FN1 N1=F =FN2 N2 F FN3 N3=0 =0 F FN1 N1 F FN2 N2 F FN3 N3 F FN1 N1=F =FN2 N2 F FN3 N3=F =FN4 N4 F FN1 N1 F FN2 N2 F FN3 N3 F FN4 N4 （2 2）T T形結點形結點：三桿結點無

13、外荷載作用時，：三桿結點無外荷載作用時， 如其中兩桿在一條直線上，則共線的兩桿內(nèi)如其中兩桿在一條直線上，則共線的兩桿內(nèi) 力性質(zhì)相同，力性質(zhì)相同，而第三桿內(nèi)力為零。而第三桿內(nèi)力為零。 （3 3）X X形結點形結點：四桿結點無外荷載作用時，：四桿結點無外荷載作用時， 如其中兩桿在一條直線上，另外兩桿在另一如其中兩桿在一條直線上，另外兩桿在另一 條直線上，條直線上，則同一直線上的兩桿內(nèi)力性質(zhì)相則同一直線上的兩桿內(nèi)力性質(zhì)相 同。同。 （4 4）K K形結點形結點：四桿結點無外荷載作用時，：四桿結點無外荷載作用時， 如其中兩桿在一條直線上，另外兩桿在此直如其中兩桿在一條直線上，另外兩桿在此直 線同側且交

14、角相等，線同側且交角相等，則非共線兩桿內(nèi)力大小則非共線兩桿內(nèi)力大小 相等而符號相反。相等而符號相反。 F FN3 N3=-F =-FN4 N4 F FN1 N1 F FN2 N2 F FN3 N3 F FN4 N4 56 m 6m A B FPFPFPFPFP 1 2 34 2.5FP 2.5FP m m n n FN1 =-3.75FPFN2 =3.33FP FN3 =-0.50FPFN4=0.65FP 截面單桿截面單桿 截面法取出的隔離體，截面法取出的隔離體， 不管其上有幾個軸力，如果某不管其上有幾個軸力，如果某 桿的軸力可以通過列一個平衡桿的軸力可以通過列一個平衡 方程求得，則此桿稱為方

15、程求得，則此桿稱為截面單截面單 桿桿。 可能的截面單桿通常有相交型可能的截面單桿通常有相交型 和平行型兩種形式。和平行型兩種形式。 FPFPFPFPFP FP 平行情況平行情況 FP FP FP FP FP FN2 FN1 FN3 FAy FPFP 1 23 04530sinsin , 0 32 NN Y G 32 32 0coscos 0 NN NN X 1D N0M 4E N0M 剛架是由梁柱組成的含有剛結點的桿件結構剛架是由梁柱組成的含有剛結點的桿件結構 l 2 8 1 ql 2 8 1 ql 剛架剛架 梁梁 桁架桁架 . 剛架的受力特點剛架的受力特點 靜定剛架的分類靜定剛架的分類: .

16、 剛架的支座反力計算剛架的支座反力計算 簡支剛架簡支剛架 懸臂剛架懸臂剛架 單體剛架單體剛架 (聯(lián)合結構聯(lián)合結構) 三鉸剛架三鉸剛架 (三鉸結構三鉸結構) 復合剛架復合剛架 (主從結構主從結構) 1.單體剛架單體剛架(聯(lián)合結構聯(lián)合結構)的支座反力的支座反力(約束力約束力)計算計算 例例1: 求圖示剛架的支座反力求圖示剛架的支座反力 P F A C B l 2 l 2 l P F A C B A Y A X B Y 方法方法:切斷兩個剛片之間的約束切斷兩個剛片之間的約束, ,取一個剛片為隔離體取一個剛片為隔離體, ,假定約束力的方向假定約束力的方向, ,由由 隔離體的平衡建立三個平衡方程隔離體的

17、平衡建立三個平衡方程. . 解解: )(, 0, 0 PAPAx FXFXF )( 2 , 0, 0 P BABAy F YYYYF )( 2 , 0 2 , 0 P BBPA F YlY l FM 例例2: 求圖示剛架的支座反力求圖示剛架的支座反力 解解: )(, 0, 0 qlXqlXF AAx )(, 0, 0 qlYqlYF AAy )(2 , 0, 0 2 2 逆時針轉qlM qllqlMM A AA A l 2 l 2 l A Y A X A M ql q 2 ql 例例3: 求圖示剛架的支座反力求圖示剛架的支座反力 P F A C B A Y B X B M l 2 l 2 l

18、解解: )(, 0 PBx FXF 0, 0 Ay YF )(2/, 0順時針轉plMM BB 例例4: 求圖示剛架的約束力求圖示剛架的約束力 )( 2 1 , 0 qlXFF CABNx 解解: 0, 0 Cy YF )( 2 1 , 0 2 , 0 qlXlX l qlM CCA l A C l B l ql ql q C Y ABN F C X ql A C 例例5: 求圖示剛架的反力和約束力求圖示剛架的反力和約束力 解解: 1)取整體取整體 )(, 0 PAx FXF )( 2 1 , 0 PAy FYF )( 2 1 , 0 PBA FYM l B Y l l E P F A C D

19、 B A Y A X DAN F B Y E D B DCN F ECN F 2)取取DBE部分部分 )( 2 , 0 P DANx F FF )( 2 1 , 0 P DCNy FFF )( 2 1 , 0 P BCND FFM 2.三鉸剛架三鉸剛架(三鉸結構三鉸結構)的支座反力的支座反力(約束力約束力)計算計算 例例1: 求圖示剛架的支座反力求圖示剛架的支座反力 方法方法:取兩次隔離體取兩次隔離體, ,每個隔離體包含一或兩個剛片每個隔離體包含一或兩個剛片, ,建立六個平衡方程求解建立六個平衡方程求解- 雙截面法雙截面法. . 解解:1)取整體為隔離體取整體為隔離體 0, 0 BPAx XF

20、XF )( 2 , 0, 0 P BABAy F YYYYF )( 2 , 0 2 , 0 P BBPA F YlY l FM P F A C 2 l 2 l B A Y A X B Y 2 l 2 l B X 2)取右部分為隔離體取右部分為隔離體 )( 4 , 0, 0 P CCBx F XXXF )( 2 , 0, 0 P BCBCy F YYYYF )( 4 , 0 2 , 0 P BBBC F X l YlXM B C B Y C Y C X B X 例例2: 求圖示剛架的支座反力和約束力求圖示剛架的支座反力和約束力 解解:1)取整體為隔離體取整體為隔離體 )(, 0 PBx FXF

21、)(, 0, 0 PBABAy FYYYYF )( 2 1 , 0 2 , 0 順時針轉lFM lY l FMM PA BPAA 2)取右部分為隔離體取右部分為隔離體 )(, 0, 0 PCCBx FXXXF )(2, 0, 0 PBCBCy FYYYYF )(2, 0 2 , 0 PBBBC FY l YlXM B C B Y C Y C X B X P F A C 2 l 2 l B A Y A M B Y 2 l 2 l B X 3)取整體為隔離體取整體為隔離體 例例3: 求圖示剛架的約束力求圖示剛架的約束力 解解:1)取取AB為隔離體為隔離體 0, 0 qlYYF ACy )(, 02

22、, 0 qlYqlYYF ABAy )(, 0 2 2 , 0 qlYlY l qlM BBA l A C l B l ql2 q A ql2 B A Y A X B Y B X C Y C X C A X A Y A 2)取取AC為隔離體為隔離體 3)取取AB為隔離體為隔離體 )( 2/, 0 2 , 0 qlXlY l qllXM ABAC )( 2/, 0 qlXXF BCx )( 2/, 0 qlXXF ABx 例例4: 求圖示剛架的反力和約束力求圖示剛架的反力和約束力 l B X l l E P F A C D B A Y A X B Y F l 解解:1)取取BCE為隔離體為隔離體

23、 0, 0 Ax XF CDN F EFN F ECB B X B Y P F 2)取整體為隔離體取整體為隔離體 )(3, 03, 0 PBBPA FYlYlFM 0, 0 Bx XF )(2, 0, 0 PAPBAy FYFYYF 3)取取BCE為隔離體為隔離體 )(4 , 0, 0 PEFN EFNBPC FF lFlYlFM )(6, 0 P CDNy FFF 3.復合剛架復合剛架(主從結構主從結構)的支座反力的支座反力(約束力約束力)計算計算 方法方法:先算附屬部分先算附屬部分, ,后算基本部分后算基本部分, ,計算計算 順序與幾何組成順序相反順序與幾何組成順序相反. . 解解:1)取

24、附屬部分取附屬部分 2)取基本部分取基本部分 例例1: 求圖示剛架的支座反力求圖示剛架的支座反力 P F A C 2/ l 4/ l B A Y A X B Y D C Y 4/ l ll D X D Y P F A C B A Y A X B Y D C Y D Y D X )( 4/ PD FY )( 4/ PC FY )( PD FX )( 4/ PB FY )( PA FY )( PA FX P F 思考題思考題: 圖示體系支反力和約束力的計算途徑是怎樣的圖示體系支反力和約束力的計算途徑是怎樣的? P F lFP P F P F P F P F P F P F lFP P F P F

25、P F P F 習題習題: 求圖示體系約束力求圖示體系約束力. M M l l A CD B lM / lM / lM / lM / lM /lM / M 習題習題: 求圖示體系約束力求圖示體系約束力. M l ll l l 0 lM / lM / M . 剛架指定截面內(nèi)力計算剛架指定截面內(nèi)力計算 與梁的指定截面內(nèi)力計算方法相同與梁的指定截面內(nèi)力計算方法相同. . 例例1: 求圖示剛架求圖示剛架1,2截面的彎矩截面的彎矩 解解: P F A C 2 l 2 l B A Y A X B Y 2 l 2 l B X 12 )(4/ PB FX )(2/ PA FY)(2/ PB FY )(4/ P

26、A FX 2 M 4/ P F 1 M 4/ P F )(4/ 1 上側受拉lFM P )(4/ 2 右側受拉lFM P )( 21 外側受拉MM M M 連接兩個桿端的剛結點連接兩個桿端的剛結點, ,若若 結點上無外力偶作用結點上無外力偶作用, ,則兩則兩 個桿端的彎矩值相等個桿端的彎矩值相等, ,方向方向 相反相反. . . .剛架彎矩圖的繪制剛架彎矩圖的繪制 做法做法: :拆成單個桿拆成單個桿, ,求出桿兩端的彎矩求出桿兩端的彎矩, ,按與單跨按與單跨 梁相同的方法畫彎矩圖梁相同的方法畫彎矩圖. . 少求或不求反力繪制彎矩圖少求或不求反力繪制彎矩圖 例題例題1: 作圖示結構彎矩圖作圖示結

27、構彎矩圖 2/ lFP l 2/ l P 2/ l 2/ lFP2/ lFP ll l P FP F 練習練習: 作彎矩圖作彎矩圖 P F l llFP lFP lFP2 例題例題1: 作圖示結構彎矩圖作圖示結構彎矩圖 2/Pl l 2/ l P 2/ l 2/Pl2/Pl Pl lPl Pl Pl2 練習練習: 作彎矩圖作彎矩圖 ll l P P 2/ l 2/ l l P 練習練習: 作圖示結構彎矩圖作圖示結構彎矩圖 P F l l P F l l ll P F l l 練習練習: 作圖示結構彎矩圖作圖示結構彎矩圖 例題例題2: 作圖示結構彎矩圖作圖示結構彎矩圖 ll l P F 2/ l

28、FP 4/ lFP 4/3lFP 4/3lFP 4/ lFP 2/ lFP P F l l 2 l l 2 P F 2/ lFP 2/ lFP lFP 0 lFP 練習練習: 作圖示結構彎矩圖作圖示結構彎矩圖 例題例題3: 作圖示結構彎矩圖作圖示結構彎矩圖 ql 2/ 2 ql 2/ql l l q ql l 2/ l q 2/ l ll l q q 練習練習: 作圖示結構彎矩圖作圖示結構彎矩圖 ll ql l l q 4/5ql 4/5ql 4/5 2 ql 4/5 2 ql 2 ql 2/3 2 ql ql l 2/ l q 2/ l ql 例四例四: 作圖示結構彎矩圖作圖示結構彎矩圖 0

29、 P F P F lM 4/ ll M 2/M 4/M 2/M 4/3M ll lFP P F l l 2 ql l q l ql 2/ 2 ql ql2 練習練習: 試找出圖示結構彎矩圖的錯誤試找出圖示結構彎矩圖的錯誤 練習練習: 試找出圖示結構彎矩圖的錯誤試找出圖示結構彎矩圖的錯誤 做法做法: : 逐個桿作剪力圖逐個桿作剪力圖, ,利用桿的平衡條件利用桿的平衡條件, ,由由 已知的桿端彎矩和桿上的荷載求桿端剪力，已知的桿端彎矩和桿上的荷載求桿端剪力， 再由桿端剪力畫剪力圖再由桿端剪力畫剪力圖. . . .由做出的彎矩圖作剪力圖由做出的彎矩圖作剪力圖 注意注意: : 剪力圖畫在桿件任一側均可

30、剪力圖畫在桿件任一側均可, ,必須注明符必須注明符 號和控制點豎標號和控制點豎標. . P F a2 aa a /4F P /4F P 2/FPa 2/aFP 2/aFP aFP M 2/ P F /4F P 4/ P F P F Q P F l l 2 l l 2 lFP lFP lFP 練習練習: :作剪力圖作剪力圖 2/ P F P F QM 2/ P F 由做出的彎矩圖作剪力圖由做出的彎矩圖作剪力圖 l l 2 ql ql q 例例: :作剪力圖作剪力圖 M 2/P qlFF AB Q BA Q , 0 Q 2/ 2 ql 2 ql 2/3 2 ql ql A B 2 ql 2/3 2

31、 ql AB Q F BA Q F AB ql 0 BA Q F ql qlF AB Q ql 做法做法: : 逐個桿作軸力圖逐個桿作軸力圖, ,利用結點的平衡條件利用結點的平衡條件, , 由已知的桿端剪力和求桿端軸力由已知的桿端剪力和求桿端軸力, ,再由桿端再由桿端 軸力畫軸力圖軸力畫軸力圖. . . .由做出的剪力圖作軸力圖由做出的剪力圖作軸力圖 注意注意: : 軸力圖畫在桿件那一側均可軸力圖畫在桿件那一側均可, ,必須注明必須注明 符號和控制點豎標符號和控制點豎標. . N 2/3 P F 2/ P F 4/ P F 由做出的剪力圖作軸力圖由做出的剪力圖作軸力圖 P F a2 aa a

32、/4F P /4F P 2/FPa 2/aF P 2/aFP aFP M 2/ P F /4F P 4/ P F P F Q A B A 2/ P F 4/ P F B 2/ P F 4 /P F 4/ P F 2/ P F P F l l 2 l l 2 lFP lFP lFP 練習練習: :作軸力圖作軸力圖 2/ P F P F QM 2/ P F A B 2/ P F P F A 2/ P F P F B P F 2/ P F P F 2/ P F 2/ P F N P F kN2 m5 . 1 m4 例例: :作圖示結構的作圖示結構的M,Q,NM,Q,N圖圖 m5 . 1 A C B

33、kN/m4 x q A B l 2/ql 2/ql x A )(xM x 2/ql )( 2 1 22 )(xlqx x qxx ql xM 8/ 2 ql 8/ 2 ql q 4/ 2 ql 4/ 2 ql kN2 m5 . 1 m4 例例: :作圖示結構的作圖示結構的M,FM,FQ Q,F,FN N圖圖 m5 . 1 A C B kN/m4 mkN3 MkN7FkN,8 . 5 BC Q CB Q F A C B BC Q F CB Q F C B FQ kN2 7kN 5.8kN B BAN F BCN F C Y C CBN F kN2 kNF kNF kNF CBN BCN BAN

34、85. 6 75. 2 25. 7 kN75. 2 kN85. 6 A C B kN5 . 7 FN 3-5 組合結構受力分析 下面討論組合結構的內(nèi)力計算。 所謂組合結構是指結構中既有梁式桿，又有只 受軸力作用的二力桿。梁式桿的任一截面有彎矩、 剪力和軸力作用。 即：由梁式桿和桁架桿（鏈式桿）組成的結構。 實例與計算簡圖 （1）下?lián)问轿褰切挝菁?(a) 鋼筋混凝土鋼筋混凝土 角鋼角鋼 (b) 實例 計算簡圖 (a) 加勁梁加勁梁 上圖a為拱橋的 計算簡圖，其中由 多根鏈桿組成鏈桿 拱，再與加勁梁用 鏈桿連接。組成整 個結構。當跨度較 大時，加勁梁可換 成加勁桁架，如上 圖 b 所示。 (b)加

35、勁桁架加勁桁架 （2）拱橋的計算簡圖 （3）計算原則 1）在用截面法取隔離體時，不能隨意切斷梁式 桿，可以切斷二力桿，也可以拆開鉸結點。 2）先計算鏈桿的內(nèi)力，然后依據(jù)荷載和所求得 的鏈桿軸力求梁式桿的內(nèi)力M、FQ、FN。 FP E C B FxB FyB FNED FPA D E CB 例3-5-1 作圖示組合結構內(nèi)力圖。 解：結構對稱荷載對稱。 （1）求支座反力如圖示。 （2）求FNDE，取截面II以左為隔離體。 C 1kN/m B A DE FG 0 6kN 6kN I I 3m3m3m3m 0.5m 0.7m 結點D 0.7 15153.5 3 3.0806 1515.4() 3 xD

36、AyDA NDA FkNFkN FkN 拉 0 x F 0 C M 0 y F FNDFFNDA D 15kN 0.7 3 3.0806 (6 6 1 6 3)/1.215() NDE FkN 拉 0 3.5() NDFyDA NDFyDA FF FFkN 壓 （3） 求梁式桿的內(nèi)力M、FQ、FN 。 取FC段作隔離體： 求：MF 0 F M 1 3 1.5 15 0.25 4.53.750.75. () F M kN m 上拉 15 3.01 3 0.25 F 1kN/m 3m FQCF C FQFCMF FNFC FNCF 15 0.25m ? 求FC桿的剪力和軸力 0 1 (0.75 1

37、 3 1.5)1.744 3.01 C QFC M FkN 3 15cos1514.95() 3.01 0.25 1 3 sin14.953 3.01 15.20() NCF NFCNCF FkN FF kN 壓 壓 0.25 15sin15 3.01 1.246 QCF F kN 3.01 3 0.25 15 F 1kN/m 3m FQCF C FQFC0.75kN.m FNFC FNCF 15 0.25m 取AF段作隔離體： 30.25 2.5cos15sin2.5151.246 3.013.01 QAF FkN 1 (0.75131.5)1.744 3.01 Q FA FkN 0 A M

38、 15 2.5 3.01 3 0.25 A 1kN/m 3m FQFA F FNAF FNFA 15 2.5 0.75kN.m FQAF 0.25m 0.253 2.5sin15cos2.515 3.013.01 15.16( NAF F kN 壓) 0.25 1 3sin15.163 3.01 15.160.24914.91( NFANAF FF kN 壓) 15 2.5 3.01 3 0.25 A 1kN/m 3m FQFA F FNAF FNFA 15 2.5 0.75kN.m FQAF 0.25m M圖(kNm) 0.75 0.75 0.75 C A F FQ圖(kN) 1.246 1

39、.246 1.744 1.744 C A F FN圖(kN) 15.16 15.2 14.95 C A F 14.91 （4）結構內(nèi)力如下圖示。 15kN -3.5kN 15.4kN C B A DE FG 0 6kN6kN 考慮：剪力圖和軸力圖在F點的變化。 可見高跨比越小， 軸力FNDE越大，屋架的 軸力也越大。 （5）討論（看書） 影響下?lián)问轿褰切切谓M合屋架的主要因素有兩個。 1)高跨比f/l 軸力FNDE可用三鉸拱 的推力公式計算： f M F C NDE 0 2) f1 與 f2 的關系 當 f 確定后，內(nèi)力狀態(tài)隨f1 與 f2 的比例關系不 同而變，從上圖給出的結果可以看出： 下弦

40、桿軸力的變化幅度不大，但是上弦桿彎 矩的變化幅度很大； 當f1減小時，上弦負彎矩增大。當f1=0時，上 弦全部為負彎矩，此時成為“下?lián)问狡叫邢医M合結 構”。上弦彎矩有如支在A和F兩點的伸臂梁。 當 f1 加大時，上弦正彎矩增大。當 f2=0時， 上弦全部為正彎矩，此時成為“帶拉桿的三鉸拱式 屋架”。上弦彎矩有如支在A、C兩點的簡支梁。 當 f1=0.450.5f 時，上弦結點F處的負彎矩 與兩個節(jié)間的最大正彎矩，在數(shù)值上將大致相等， 且數(shù)值比兩種極限情形小得多。 所有情況參見上頁圖。 例3-5-2 作圖示結構的內(nèi)力圖。 5kN 5kN 5kN 3m4=12m 8m 3m (a) A C G F

41、 E B D I I NEG NDF NDG 2.73kN 7.5kN E D 7.28kN 2.51kN 10.61kN 7.5kN 7.5kN 2.73kN 7.5kN 21.84kNm 解：1、支反力計算(與三鉸剛架相同) FyA= FyB=7.5kN ()， FxA= -FxB =2.73kN ( ) 2、用截面法先求鏈桿內(nèi)力 取左半部分考慮。 FyDG=-7.5kN， FxDG=-7.5kN， FNDG=-10.61kN FNEG=7.28kN， FNDF=-2.51kN 利用以上結果可作出梁式桿FQ圖和FN圖。 7.28kN 2.51kN 7.5kN 2.73kN E D 7.5k

42、N A + FQ 圖 7.28 2.73 7.5kN E D 7.5kN FN 圖 A 7.5 7.5 3、用結點法求其他鏈桿內(nèi)力。 FxFC= FyFC=-2.51kN，F(xiàn)NFC =-3.55kN FNFG =2.51kN ，F(xiàn)NGC=0.22kN 4、利用對稱性可作出另一梁桿的內(nèi)力圖。 例3-5-3 作圖示結構的內(nèi)力圖。 3m3m 3m 3m 2m 2m 4m A B C D E FG 10kN FxA Fy A FxB I I 解：1、求支座反力 FyA=10kN () FxA=8.18kN () FxB=8.18kN () D E FG 10kN C FNDE FxDE FyDE Fx

43、C FyC 隔離體圖 2、取截面I-I，切開C鉸和DE桿，截面以右為隔 離體。 將 FNDE在D點分解為 FxDE和FyDE。 求得：FxDE = -12.86kN FyDE = -17.14kN FxC = -FxDE =12.86kN FyC =10 +FyDE =-7.14kN D E FG 10kN C FNDE FxDE FyDE FxC FyC 隔離體圖 3、取E結點分析 求得：FNEC =-3.03kN， FNEF -21.21kN 即有：FxEC =-2.14kN， FyEC -2.14kN FxEF = FxEC =-15kN 4、據(jù)此作出內(nèi)力圖(如下頁圖) D E FG 1

44、0kN C FNDE FxDE FyDE FxC FyC 隔離體圖 n n 也可以取nn截面，求EF、EC桿的內(nèi)力（更簡單）。 A B C D E F G 10kN 8.18k N 10kN 8.18kN 30 16.36 16.36 M 圖(kNm) A B C D E F G 10kN 8.18kN 10kN 8.18kN 5 4.68 FQ 圖(kN) + 8.18 8.18 10 4.68 - - - + + - A B C D E F G 10kN 15 FN 圖(kN) 10 7.14 -21.21 -21.42 -3.03 - 3-6 三鉸拱受力分析 三鉸拱式結構廣泛應用于實際工

45、程建設中： 橋梁、渡槽、屋架等。 三鉸拱的構造特征為：桿軸通常為曲線，三 個剛片(包括基礎)用不在同一直線上的三個鉸兩兩 相連組成三鉸拱結構。 三鉸拱的受力特征為:在豎向荷載作用下，拱 腳處產(chǎn)生水平推力;因此，拱軸任一截面軸力FN比 較大，彎矩較小。有時用拉桿來承受水平推力， 稱為拉桿拱。 通常認為：具有水平推力的結構為“拱結構”。 按計算特點拱結構分為“靜定拱”和“超靜定 拱”兩種形式。 “三鉸拱”是典型的靜定拱。 主要參數(shù)：高跨比f/l與拱的受力狀態(tài)密切相 關。 軸線形式：拋物線、圓弧線、懸鏈線。 后面將證明，“承受沿水平方向均勻分布的豎 向荷載作用的三鉸拱的合理軸線是拋物線”。 拱分為“

46、平拱”和“斜拱”。 在此，主要研究“平拱” 。 (下頁圖為三鉸拱的兩種形式) (拉桿) l (跨度) f (矢高) (拱腳) A B C(拱頂) 通常 在11/10之間變化， 的值對內(nèi)力有很 大影響。 f lf l l (跨度) f (矢高) (拱腳) C(拱頂) FVA B FP AFH FH FVB 一、三鉸拱內(nèi)力計算的數(shù)解法 下面以圖示三鉸拱為例加以說明。 f=4m C A J B K FP1=15kNFP2=5kN yJyk y FHA FVA FHBx FVB 4m4m4m4m l/2l/2 解：拱軸方程為() f yx lx l 2 4 = 1. 支座反力 整體平衡 4m4m4m4

47、m l/2l/2 CA J B K FP1=15kNFP2=5kN 代梁 0 VA F 0 VB F 0 B M 0 12 11 (124)(15 125 4) 1616 200 16 12.5( ) VAVAPP FFFF kN 0 020 12.5 7.5 ( ) yVBVB FFFkN 0 02 0 1 2 .57 .5() yV BV B F FFk N 考慮拱AC部分平衡： 下面求支座水平推力。 0 () C HB M F f 0 C M 1 0 1 0 24 1 ()() 24 VAHAP C HAVAP ll FFfF Mll FFF ff 上式中， 為代梁C截面彎矩。 0 C

48、M f=4m A FHA FVA K FP1=15kN C yk 4m4m l/2 42 1 0 l F l FM PVAC 分析FH 的表達式可知： (1) 推力FH與拱軸的曲線形式無關，而與拱高 f 成反比，即：拱愈低水平推力FH愈大。 (2) 荷載向下時，F(xiàn)H為正值，推力是向內(nèi)的。 (3) 當 f0時， FH，此時三鉸共線，稱為 幾何瞬變體系。 0 () C HB M F f 后面的計算將證明：在豎向荷載作用下，因水 平推力的存在，將使得： (1) 三鉸拱的基礎比簡支梁的基礎要堅固； (2) 三鉸拱截面上的彎矩比簡支梁的彎矩小(使拱 更能充分發(fā)揮材料的作用，適用于較大的跨度和較 重的荷載

49、) ； (3) 拱的截面內(nèi)軸力較大，且一般為壓力(利用受 壓性能好的材料) 。 小結： 支座反力FVA、FVB、FHA、FHB與拱軸形狀無 關，只與三個鉸A、B、C及荷載的相對位置和荷 載的大小有關。 00 1 0 12.5 8 15 440. 24 40 10()10() 4 CVAP C HAHB ll MFFkN m M FkNFkN f 將本例題數(shù)據(jù)代入得： 2. 彎矩計算公式 求任意截面D的彎矩。 由AD段隔離體可得： AFHA FVA FP1 D yD xD FND FQD MD d1 A FVA D MD d1 FP1 FQD 代梁 0 D M 11 11 0 11 0 () (

50、) DVADHADP VADPHAD VADPHAD DHAD MFxFyFd FxFdFy FxFdFy MFy 由上式可見，因為有推力存在，三鉸拱任一截 面之彎矩小于代梁中相應截面的彎矩。 11 11 0 11 0 () () DVADHADP VADPHAD VADPHAD DHAD MFxFyFd FxFdFy FxFdFy MFy 0 DD MM即： 求MK 2 4 4 4(164)3 16 k ym 求MJ 下面求K、J截面的彎矩MK和MJ。 012.5 4 10 320. () KK MMkN m 下拉 07.5 4 10 330300 JJ MM 3 J ym A10kN 12

51、.5kN 15kN yK=3m MK K 4mB10kN 7.5kN yJ=3m MJJ 4m 5kN 3. 求FQ、FN的計算公式 拱軸任意截面D切 線與水平線夾角為。 00 1 0 0 cossin sincos QDVAP QDQDH NDQDH FFF FFF FFF 相應代梁中， 設 為正方向。 0 QD F A FHA FVA FP1 D FH A D FP1 代梁 0 QD F 0 QD F 0 VA F FND FQD b a a2+b2 下面用上述公式求FQK、FNK。 xK4m 2 4 41 162 4 162 ()y A 12.5kN K左 FQK左 12.5kN 2)

52、是代梁截面D的剪力，設為正方向。 故 可能大于零、等于零或小于零。 0 QD F 0 QD F 2.5kN 12.5kN 0 0 右 左 QK QK F F 2 4 (2 ) fa tgylx lb 小結： 1) 左半拱 ，右半拱 。 00 0 0 cossin12.5 0.894 10 0.447 11.184.476.71 sincos12.5 0.447 10 0.894 5.598.9414.53() HQKQK HNKQK FFF kN FFF kN 左左 左左 壓 0 0 cossin2.5 0.894 10 0.447 2.244.476.71 sincos( 2.5) 0.44

53、7 10 0.894 1.12 8.947.82() HQKQK HNKQK FFF kN FFF kN 右右 右右 壓 (sin0.447,cos0.894) 1 2 5 A 12.5kN K右 FQK右-2.5kN 15kN kNF kNF QK QK 2.5 12.5 0 0 右 左 求FQJ右、FNJ右 。 xJ12m 2 4 41 (162 12) 162 y -1 2 5 0 0 cossin7.5 0.894 10 ( 0.447) 6.71 4.472.24 sincos( 7.5) ( 0.447) 10 0.894 3.35 8.9412.29( HQJQJ HNJQJ F

54、FF kN FFF kN 右右 右右 壓) sin0.447 cos0.894 kNF QK 7.5 0 右 J右 B 7.5kN kNF QK 7.5 0 右 二、三鉸拱的壓力線（自學） 如果三鉸拱某截面D以左(或以右)所有外力的合 力FRD已經(jīng)確定，則該截面的彎矩、剪力、軸力可 按下式計算： FND FQD FRD MD FRD FRD D D r FP1 C FP2 A B D FRAFRB D r 90。 由此看出，確定截面內(nèi)力的問題歸結為確定截 面一邊所有外力的合力之大小、方向及作用線的問 題。 sin cos DRD D QDRDD NDRDD MF r FF FF 截面D形心到F

55、RD作用線之距離。 FRD作用線與截面D軸線切線的夾角。 D D r 作壓力線的方法和步驟為： 1）求三鉸拱的支座反力FHA、FVA、 FHB、FVB，進而求出反力FRA、FRB的大 小和方向。 FHA FVAFRA 2）作封閉的力多邊形，以確定拱軸各截面一邊 外力合力的大小及方向。作力多邊形時應按力的大 小按比例繪制。 定義：三鉸拱每個截面一邊所有外力的合力作 用點的連線，就稱為三鉸拱的壓力線。 A B FP1 C D FP2 E FP3 F 12 23 12 23 FP1 FP2 FP3 FRB FRA o FRA FRB 在上圖所示力多邊形中，射線12代表FRA與FP1 合力的大小和方向

56、；射線23代表FRA與FP1、FP2合 力的大小和方向。 3）畫壓力線 過A作FRA的延長線交FP1于D，過D作射線12的 平行線交FP2于E，過E作射線23的平行線交FP3于F ，則FB必為FRB的作用線。 小結： 1) 壓力線一定通過鉸C。 2) 壓力線與拱軸形狀無關，只與三個鉸A、B、C 及荷載的相對位置和荷載的大小有關。 3) 合力大小由力多邊形確定，合力作用線由壓力 線確定。 4) 若荷載是豎向集中力，則壓力線為折線；若為 均布荷載，壓力線為曲線。 三、 三鉸拱的合理軸線 在給定荷載作用下，三鉸拱任一截面彎矩為零 的軸線就稱為合理拱軸。 若用壓力線作為三鉸拱軸線，則任一截面彎矩 都為零，故壓力線為合理拱軸。 三鉸拱任一截面彎矩為 令： 得到： 0 H M y F 合