高中平面向量知識點詳細歸納總結

向量的概念

一、高考要求，

理解rr向線段及向量的市關概念，駕馭求向量:和及差的三角形法則和平行四邊形法則，

銘馭向信加法的交換律和結合律.

二、學問要點，

1.行向線段：具有方向的線段叫做療向線段，在行向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.以

A為始點,B為終點的行向找段記作A乩留意:始點肯定要月在前囪.已知八6,線段AB的K

度叫做有向線段人/；的長（或模）,八8的長度記作AB.有向紋段包含三個要素：始點、方向

和長度.

2,向量:具有大小和方向的量叫做向量，只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中說到

向量，如不特殊說明，指的都是自由向量.一個向量可用后向線段來找示，行向線段的長設

茨示向量的大小，有向線段的方向表示向用的方向.用有向線段48表示向品時，我們就說

向昆力乩”外,在印刷時常用黑體小寫字母a、b、*，??等表示向ft;手寫時可寫作帶甑頭

的小寫字母〃、。、c、…等.及向量有關的概念有二

（1）相等向量:同向口等匕的有向線段左小同響量或相等的向量.向量。和/＞同向H.等K,

即。和〃相筆記作。二人

Q）零向量:長度等于零的向國叫做零向山記作。.手向梟的方向不確定.

⑶位置向量:任給肯定Ao和向量一，過點0f1由向線段3=a,則點A相對于點0的位置

一向量￡所唯一確定,這時向量a又常叫做點A相對于點0的位置向S.

⑷相反向量及向量u等長且方向相反的向量叫做向量a的相反向量，記作明顯，

?+（-0）=6.

⑸單位向量：長度等于1的向量，叫做單■位向最,記作*?.及向量。同方向的單位向量通常

記作《，簡單■看出:.

⑹共線向量（平行向量）：假如表示一些向顯的G向戌段所在的直設相互平行或重合,即

這些向量:的方向相同或相反，則稱這些向量為共紋向量（或平行向量）.向母a平行干向

呆M記作?！?.等向景及任一個向后共找（平行）.

三、典型例題：

例:在四邊形ABCD中.假如AQNOCIU/WI三舊Cl.那么四邊影ABCD是嫌種四邊形？

四、歸納小結：

】.用位置向量可確定一點相對于另一點的位置，這是用向雖探討幾何的依據(jù).

2.共線向量（平行向量）可能行卜列狀況：（1）仃一個為零向量：（2）兩個都為零向量；（3）方

向相同.模相等（即相等向量＞：M）方向相同,模不等；（5）方向相反.模相等；（6）方向相反.

模不等.

五、基礎學問訓練；

（一）選擇題：

1.下列命題中：（I）向盤只含有大小和方向兩個要獲（2）只有人小和方向而無特定的位置

的向辰叫白他向鼠.（3）同向且等長的有向線段表示同向后或相等的向軌⑷點A

相對?于點B的位置向量是披山正確的個數(shù)是（）

A.］個B,2個C,3個由4個

2.設0是正AABC的中心，則向量人0.03,0。是（）

A.有相同起點的向量R.平行向量C.模相等的向量D.相等向量

3"=b的充要條件是（）

A.|a|=|/>lB.|3|=|6|且口IC.a//hI）.I”1=1}I且。及。同向

4./U'=?/r是叫邊形AKHX是平行四邊膨的（）

A.充分條件比必燮條件C.充要條件D.既非充分乂非必要條件

5.依據(jù)卜列條件，能推斷四邊形ABCD是菱形的是（）

A.M)=HCB.Al)fJHC且人打〃⑺

C.AH=/）C]^\AH\=\Al）\bAB=IX'^AD=RC

6.下列關于零向量的說法中.錯誤的是（）

A.不向吊沒有方向B.不向破的K度為。

C.零向量及任一?向量平行D,早向量的方向的意

，設及已知向量a等長11方向相反的向量為3則它們的和向量等F（）

A.0B.0C.2?D.2l

（二）填空題：

8.下列說法中：（1）4。及曲的長度相等⑵長度不等且方向相反的兩個向;S不肯定共線

（3）兩個有共同起點且相等的向量，線點必相同（4）長度相等的兩個向量必共線.錯誤的說

法有.

9.下列命題中：（1）單位向后都相等（2）單位向鼠部共線（3）共線的單位向策必相等

（4）及一非號向量共線的單位向量有且只行一個.中正確的借期的個數(shù)有個.

10.下列命題中：（I）若㈤=0,則"=0.⑵若㈤=闊，則或（3>若”及「是平行

向盤,則la"IM.⑷若”=0,則-.=0.其中正確的命題是（只增序號）.

（三）解答題：

11.如圖，四邊形ABCD±ABDE都是平行四邊形.

（1）若AE=a，求OB;

（2）若C￡=A,求A";

（3）寫出和八8相等的全部向成；

⑷寫出和,3共線的全部向昆.

向量的加法及減法運算

一、高考要求：

駕馭求向星和及差的三角形法則和平行四邊形法則.駕馭向量加法的交換律及結合律.

二、學問要點：

1.已知向量。、〃，在平面上任取一點A.作好=a,8C”,作向量AC,則向量AC叫做向量”

及6的和（或和向量），記作即““=AB+加=/.這種求兩個向質(zhì)和的作圖法則,叫

做向量求和的三角形法則.

2.已知向昆八以在平面上任取?點A,作人8=“，ADM,找如A、B、D不共”則以AB、AD

為鄰邊作平行四邊形AIO,則對用線上的向呈衣入地YBJD.這種求兩個向量和的作

圖法則，叫做向量求和的平行四邊形法則.

3.已知向量a、/>,在平面上任取一點0,作癡=%（用=4則/二/向量8人叫做向量。及白

的均并記作a-方，即從t-C-b=OA-OB.由此推知：

⑴假如把兩個向戰(zhàn)的始點放在?起,則這兩個向量的差是減向量的終點到被誠向量的

工的向量；

⑵一個向量必等于它的終點相對于點0的位置向酸。人減去它的始點相對于點0的位

置向刑08；

（3）?個向月:減去用?個向鼠等于加上這個向最的相反向景.

4.向顯:加法滿意如下運算律：（】）〃+。=/,+4；（2）l"+〃）+r=a+（6+?-）.

三、典型例題：

例1:已知隨意兩個向量￡、九不等式|a+6|於lal+BI是否正確?為什么？

例2:作圖驗證：/+歷=-。-￡

四、歸納小結：

1.向鼠的加法有三角形法則（48/8「=4「）或平行四邊形法則（/^十人/）=片。）,向最的減法

法則《八8=08-OA）.

2,向量的加款法完全不同于數(shù)量的加減法.向量加法的三加形法則的特點也各個加向量的

苜尾相接,和向*是首指向尾.向fit減法的.向形法則的特點,：L減向量和被減向量同起點,

差向盤是由減向量指向被充向量.

3.任一向盤等于它的終點向量標去它的起點向量（相對F一個基點）.

五、基礎學問訓練：

（一）選擇題：

1.化簡小8-人C+8D+X的結果為（）

A.ACB.ADC.0D.0

2.任ZkABC中，BC-億。I?b,則八6等于（）

A.4J4-6B.-（a4/>）C.a-bt）.b-a

3f列四式中不能化而為AD的是（）

A.{/4tf+C?）+fiCB.（Ab+MH）^-（HC+CM）

C.MB+AD-BMD.OC-CA+CD

4如圖，平行四邊形ABQ）中，下列等式錯誤的是（）

A.AD=AB+BDB.AD=AC^CDC.4D-Atf+^C+CDD.AD=LK'^CA

5.F列命題中，錯誤的是（）

A.對Rfijft兩個向最￡、一都有|??川SlikUIB.在ZUliC中，A/J+6C+CA=0

C.已知向呆人以對平面上隨意一點0,AR=Oft-OA

0,若三個非零向量￡、b、r滿意條件。+力+（：=。,則表示它們的有向線段肯定能構成三蒯

形

6.下列等式中，正確的個數(shù)是（）

（1>。+0=。；②小十“=”十萬；③一（一。）=";（1,a+<-a>=0;?a+（-/?）=a-Z?.

A.2B.3C.lD.5

C二）填空題：

"△ABC中，八A+C、=,BC-AC=.

7.化/：AB-AC4-BD-CD=,M4+&f=.

（三）解答題；

8.若某人從點A向東位移fiOm到達點B,乂從點B向東僻北30方向位移50m到達點€,再從點

C向北偏西60方向位移30m到達點D,試作出點A到點D的位移圖示.

數(shù)乘向量

一、高考要求:

駕取數(shù)乘向量的運算及其運算律.

二、學問要點：

1.數(shù)乘向員的一般定義:興數(shù)2對向員a的族枳是一個向后.記作

當A>0時，Aa及a同方向，IAa\-IAl|a|;

當/vO時,AaRa反方向.|Aa\=IAl|a|；

當4=0或a=0時,0a=20=0.

2.數(shù)乘向量滿意以下運算律：(1)la=a,<-l)a=-/i;⑵/(">=(辦W：

⑶(4+=入a+N(I：(1)/?a+6)=2a+Ab.

三、典型例題：

例1：化簡:—(</+2/>)——(5fl-2b)+?一〃例2：求向ns'x:2(.t——a)=—S-3.v+c)-c

46342

四、歸納小結：

向量的加法、減法及倍枳的綜合運算,通括叫做向量的線性運算.

五、基礎學問訓練：

C-)選擇題；

1.下列關于數(shù)乘向量的運算祁錯誤的一個足()

A.(/+〃W=2a+〃aC.4(a+B)=4a+4bD.JL(a^b)=Aa-i-b

2D,E,F分別為△ABC的邊BC,CA_,AB上的中點，11SC■a6."給出b列命題,其中正確命題

的個數(shù)是0①:②;③:④AD+8E+M.0.

A.1B.2C.3I).4

3.已知AM是ZkABC的BC邊上的中線.若AB=a,AC^b,則AM等手(>

A.B.C.D.

4.設四邊形ABCD中，有，且設01Tbe,則這個四邊形是(

A.平行四邊形B.矩形C,等腰梯形D.菱形

C二)填空題;

5.化詢：21%-9，6-3(2"+6-獷產(chǎn)，

6,若向早A滿意等式;1+2?a+二)=。，則.<=,

7.故乘向吊癡的幾何意義是，

(三)解答題；

8.已知向量(也稱矢量)/瓦求作向量.

a

9.已知一、8不平行，求實數(shù)x、y使向量等式

3xa+(IO-y)/>=(4y+7)d+2m怛成立.

10.隨意四邊形ABCD中，E是AD的中點.F班BC的中點，求證:.

平行向量和軸上向量的坐標運算

一、高考要求：

駕取向最平行的條件.理解平行向后戰(zhàn)本定理和軸上向后的坐標及其運算.

二、學問要點：

1.平行向量西本定理：假如向量bwO,則“〃/，的充分必要條件是，存在唯一的實數(shù)，使

”=26該定理是驗證兩向量是否平行的標準.

2.已知軸，，取單位向量乙使e及，同方向，對軸，上隨意向電明肯定存在唯一實數(shù)泉使。=/.

這里的x叫做￡在軸，上的坐標(或數(shù)量)，x的肯定值等于“的長,當。及;同方向時,x是正

數(shù).當。及e反方向時,x是負數(shù).

{1}設a=.y,b-=xze,則①”》當II僅當演=與：②a，￡=(內(nèi)+%M.

這就是說，軸I?.兩個向最相等的充要條件是它們的坐標相等;軸上兩個向導和的坐標等

于兩個向量的坐標的和.

(2)向量A8的坐標通常用AB表示，常把軸上向量運算轉化為它f］的坐標運算.得網(wǎng)名的

沙爾公式:AB+BCMC.

(3)軸上向量的坐標運算:起點和終點在軸上的向量的坐標等r?它的終點坐標減去?起點坐

標.即住軸x.匕巖點A的坐標為小點B的坐標為％則AB-內(nèi)3.可得利數(shù)軸上兩點的用離

公式:|人身?|馬-力.

三、典型例跟：

例1:已知:卅是△ABC的中位緣求證：MN」8CMN〃nc.

2

例2：己知:，試問向量G及1是否平行?并求lahlW.

例3:己知：A、B、C、I)是軸，上隨意四點，求

證：A8+Hr+(7)+/M=0

四、歸納小結；

1?平固對量基本定理給出「平行向量的男等價的代換式,可以通過向量的運算端決幾何申

的平行何題,即推斷兩個向后平行的掂本方法是,一個向呆是否能寫成另一向累的數(shù)乘形

式.

2.數(shù)軸上任一點p相對「原點o的位置向量o『的坐標.就是點P的坐標，它建立r點的坐標

及向呈坐標之間的聯(lián)系.

五、基礎學問訓練：

C-)選擇題：

1.假如。=，汕("jw/?./?*6),那么。及6的關系肯定是()

A.相等B.平行C.平行11同向D.平行且反向

2.若人“="C/)=-5,；,HI八D|=|CM,則四邊形ABCD是(

A.平行四邊形B..梯形C.等幅梯形D.菱惚

3.“qq+〃：G=O+是“4=0旦％=0*的()

A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件

(二)填空題：

4.a=3e.b=-6e,那么。及6的關系是.

5.在他上，若A&-￡8d?23,?JAC=.

6.已知:數(shù)軸上三點A、B、C的坐標分別是-5、-2、6,則以=,|C8|=.

(三)解答題；

，已知;點E、八G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，求證:EF=HG.

向量的分解

一高條尊或，

,理解平面對俄的分解定理.

二、學問要點，

1.平面對量的分解定理:設4,a是平面上的兩個不共畿的向量，則平面上隨意一個向量，陡

唯一地表示成q,az的線性，IL合,即+為〃；（小士GR）.

2.內(nèi)線的向量參數(shù)方電

（I為參數(shù)）：①A夕=〃后：②。戶=~+川方；③。0=特

殊地.當I=：時,.此為中點向或表達式.

三、典型例題：

例I:如圖,在AABC中，M是AB的中點,E是中線CM的中點,AE的

延長線交BCTE.MH/7AF,交BC于點H,設八4=“.AC=b,試用基底

a.b表示BH、MH、EC.

例2:如圖,A、B是白線，上觸息兩點,0是外一點，求證:點P在

直線I.的充要條件是：存在實數(shù)t,使?=（1）3+〃用.

四、歸納小結：

平面對量分解定理名?為我們：平面上取定兩個不平行的向量

作為基向及，則平面上的任一向星都可以表示為荔向量的線性組

介.「是，向量之向的運算轉化為對兩介向4：的線性運算.

五、基礎學問訓練：

（一）選擇題?

1.如圖,用基底向俄6、4表示向量a,h、c、4.不正確的一個是

（）.J

A.4=-f,^2e2B.b=2et^3e,C.c=3e^e,D.ti=el+3/2

2.在平行四邊形ABCD中,0是對用線AC和口）的交點，A/?=2e,>C=4r,，則勿—等于（

A.AOB.HOC.COI).DO

3.己知平行四功形ABCD的兩條對角線AC和BD相交于點M.設八"=〃,"）="則用基底向量*

b分別表示MA、M/?、MC、M7）中，錯誤的一個是（）

A.B.C.D.

4.若點P滿意向后方程4戶=38,當［在R內(nèi)的意取值時，點P的軌跡是（）

A.直線0AB.直線OBC.直線ABD.一條地物線

（二）填空題：

S.已知0、A、R三點不共線，則用向量04、分別表示線段AB的三等分點P、q相對于點0

的位置向量為.

6.在aABC中,DE〃BC,并分別及邊人氏K文于點D、E,假如AD=；AB,AA=a.AC=〃，則用*

b表示向量OE為.

7.正方方ABCD中，E為DC的中點，AA=a"）=力，則施三.

8.平行四邊形的邊BCWCD的中點分別為E、"把向員".表示成人8、A。的線件組合為.

C三）解答題：

9.ABCD是梯形,AB〃CDH.AB=2CD,M,N分劃足DCftAB的中點，AR=u.AD=b.求BC和ZN.

向量的直角坐標

~"、高考要求1

駕駛向量的收角坐標和點的坐標之間的關系，嫻熟駕馭向量的n角坐標運算,會求滿意

肯定條件的點的坐標.穹馭平行向電坐標間的關系.

二、學問要點：

1.在直向坐標系XOY內(nèi)，分別取及乂軸、及y軸方向相同的兩個單位向量e；、o,在X0丫平面

上任作一向呈。，由平面對量分解定理可知，存在唯一的有序實數(shù)對(0士),使得

則但,“叫做向量。住直向坐標系中的坐標,記作“=(西,.).

a=xIel4-x,^,XOY

2.向最的直角坐標;隨意向量AR的坐標等T?終點B的坐標減去起點A的坐標,即若AU,.y,)、

則八七一心■>>;).向段。的直角坐標(%%).也常依

B(x:,v2),E=tWiQ4=(x；C-a.y)=(4

據(jù)向量的長度和方一代求：I<:|co吆勺

3.向量的坐標運算公式:設a?g.g)$?0")，則；

■■■■

也)=(4+4?4-%):〃4。=(4.%)?(4.生)二(〃]一%?"：?幻;

zo=2(嗎?％)=(&,〃]1?

三、典型例題：

例1：已知A(-2,D、B(l,3),求線段AR的中點M和三等分點P、Q的型標及向量PQ的地標.

例2;若向星a=a/)，=(I.T)、3=(T.2),把向星c表示為。和，，的線性級合.

四、歸納小結；

1.向員隹直用坐標系中的坐標分別是向量在'軸和y軸上投影的數(shù)顯，向量的直用坐標運兌

公式是通過時轉向國的運算得到的.

2.要求平面上一點的坐標，只須求出該點的位置向量的坐標.

五、基礎學問訓練：

(一)選擇題；

1.已知向量。=億3),向量?=(-□),下列式子中錯誤的是()

A.a?/>=(l,4)B.?-/>=(3,2>C.=(10,15)D.-2*；=<4,6)

2.已知“二日四工人二色也)，則”=方的充要條件是()

A.q-h,B.a,-b2C.a,=htfl.a.=A,D.a,-h,?!ca.-h,

3.己知點A(-L,1),B(F,5),若EC=384,則點C的坐標是()

A.(70,13)B.(9.-12)C.(-5,7)D.(5,-7)

4.已知點A(l,2),8(7,3),OAf=2OA,。*=寅/，則A'&的坐標是()

A.(-5,5)B.(5,-5)C.<-l,13)D.(1,-13)

5.已知A(】，5),B(-3,3),則的重心的坐標為()

A.B.C.D.

6.已知向量a=(l.-2),向量/>=(-2.3),則3吁2/>等于()

A.(-1,-12)B.(3,-5)C.(7,-12)D.(7,0)

7.已知。二(?4,4),點A(1,T),B(2「2),那么()

A.a=AfiB.alAfiC.|Z|=M。D.it//Afi

8.已知點A(l,2).B(k.-lO),C(3,8).且此氏C三點共線.則k=()

A.-2B.-3C.-4

9.tlX0rw=(3.2),rt=(x,4),m//n,則K=()

A.6B.-6C.--D.-

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(二)填空題:

10.設平行四邊形ABCD的對角戰(zhàn)交于點0,Afj=G.7),48=(-2*,則加的坐標是.

11.己知〃=(-1.2)為=。.-1).?=3-2),且3=074妙則以4的值分別為.

12.若向昆>=(2,M及人〃小81是方向相反的向指則m-.

(三)解答題：

13.已知a=(1.2).7>=(-2.-3),實數(shù)x,y滿意等式、a+M=(3.~4),求X,y.

14.已知向員OAT3.4),將向負：0人的長度保持不變繞隙點。沿逆時針方向旋轉q到Qf的位

置,求點H的坐標.

(1)向量1=(-3.4),/1),點A的坐標為(1,0).求+力;⑵若,求B點的坐標.

向量的長度和中點公式

一,高考要求：

,嫻熟駕馭.錄的長度(梗)的計算公式(即兩點間的距離公式)、中點公式.

二、學向要點：

1.向量的長度(模)公式:若」=回嗎)，則京1=而77：

若A(A|,.V|)>則IA&Z?(,%?,/?

2.中點公式;若點M(x,y)是線段AB的中點，M,

三、典型例題：

例I:已知平行四邊形ABCD的頂點A<-l.-2),?(3,1),C(0,2),求頂點I)的坐標.

例2:已知A(3,8),B(-ll,3),C(-8,-2),求證:AABC為等腰三角形.

四、歸納小結，

向量的長度公式、距離公式是幾何度量:的最基本公N,中點公式是中心對稱的坐標表示.

五、基礎學問訓練：

C-)選擇題；

1.已知向量。=(3,5)的長度是1則m的侑為()

A.4B.-4C.±4D.16

2.若A(】，3),B(2.5),C(4.2),D(6,6),HliJ()

A.AR=CDB.IAfiHCDIC.AKflCDD.ARLCD

3.已知平行四邊形ABCD的頂點A(3.0),B(2,-2),C(5.2),則頂點D的坐標是()

A.(0,4)B.(2,2)C.(-1,5)D.(1,5)

4已知點P的橫坐標是7,點P到點N(-l,5)的距離是10,則點P的坐標是()

A.(7,11)B.(7,-1)C.(7,1D或(7,T)D.(7,71)或(7,1)

(二)垠空題：

5.已知A(-3.4),B(4.-3),則人6=,I人由=,線段AB的中點坐標是.

6.已知點P(x,2).Q(?2,3),MU,且I而I=I尸為，則x的值是.

C三)解答厥：

7,已配平行四邊形ABCD的頂點A(H.-2),B(3,-1),C(3,I),求頂點I)的坐標.

8.已知點A(5,D,B(l,3),及,,求人皆的坐標和長度，

平移公式

一、高考要求；

駕!僅平移公式,會求滿意肯定條H的點的坐標.

二、學問要點：

1.平移是一種基本的幾何(保距)變換，它本身就是一個向量.教材中有點的平移和坐標軸的

平移

2.在圖形F上任取一點PG,y),設平移向量。=(%外)到圖形尸'上的點〃",力，則點的平移

公式為：f=x+q.)，=>+。,.

三、典型例題：

例1:種函數(shù))，=/的圖aF平移向我。=(2.-3)到尸的位置.求圖象尸，的函數(shù)解析式.

例2:已知拋物線F:y?x、6x+”經(jīng)一平移變換為廣：y■己求平移變換公式.

四、歸納小結；

點的￥移法則：函數(shù)y=「(x)的圖痣平移向量曲)后，得到新圖形的方程是:y%=Ux?,>.

這就是說,在方程y=f(x)中,把K,y分別換成x-4,y-卬即可得到圖象尸的方程.

五、基礎學問訓練?

(一)選擇題：

1.點A(-2,1)平移向量a=(3,2)后，得到對應點A的坐標是()

A.(1,3)B.(1,-3)C.(-1,3)D.(-1,-3)

2,將函數(shù)),=不］的圖象F,平移向量。=(-3,1)到圖象尸，則尸對應的解析式是()

A.y=2(#+3-+IB.y=2(4+3)：-lCy=2(*-3):+lD,)=2(月?3戶7

3,將函數(shù)y=2x的圖象，，平移向量。乂0,3)到八則，，的方程是:()

A.y=yxB.y=2(x+3)€.y=6xD.y=2x+3

4.將函數(shù)_v=sinn的圖豕右移1個單位，平移后對應的函數(shù)為()

A.B.C.^'=a)s?-,rD.y=-oos/TA

5.將函《(y=sin2x的圖象平移向展“得到函數(shù)的圖象,則〃為()

A.(--,0)B.(-,0)C.(--,0)D.(-,0)

6633

6.將方程xTx-4y-8=0表示的圖形經(jīng)過平移向蚩Z變換到x：=4y的圖形,則>()

A.(2,3)B,(-2.3)C.(2,-3)I).(-2,-3)

7.函數(shù)j?=2a+2)-的圖象平移向量］后得到函數(shù))?=2F的圖象，則1為()

A.(2,I)B.(-2.1)C.(2,-1)I).(-2,-1)

C二)填空題；

8.在平移交換下,點A(1,0)變?yōu)锳(4,3),則平移向量2=.

9尸：拋物線y=/-l4h57經(jīng)一平移變換到八y=x:其平移變換公式為.

10.把圖形F平移向最7=(2,3)后得到圖象尸,已知尸的解析式為y=/-6.v+l4,則F對應的函

數(shù)解析式為.

(三)解答題：

11.已知函數(shù)的圖象為F,把F平移向量。=(3,2)到圖單/，求圖單產(chǎn)的表達式.

向量的射影及內(nèi)積

一、高考要求；