2019-2020學(xué)年江蘇省南通市啟東中學(xué)高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE江蘇省南通市啟東中學(xué)2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組一次為若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學(xué)生人數(shù)是()A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)頻率分布直方可知成績(jī)低于60分的有第一、二組數(shù)據(jù)，在頻率分布直方圖中，對(duì)應(yīng)矩形的高分別為0.005，0.01，每組數(shù)據(jù)的組距為20，則成績(jī)低于60分的頻率P=(0.005+0.010)×20=0.3.又因?yàn)榈陀?0分的人數(shù)是15人，所以該班的學(xué)生人數(shù)是15÷0.3=50.本題選擇B選項(xiàng).2.若以連續(xù)擲兩顆骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m，n作為點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)，則點(diǎn)P落在圓內(nèi)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】擲骰子共有36個(gè)結(jié)果,而落在圓x2+y2=9內(nèi)的情況有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)這4種,∴P=.故選D3.已知的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則該三角形的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.鈍角三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理對(duì)化簡(jiǎn)得到或，再結(jié)合已知分析判定三角形的形狀得解.【詳解】由題得,因?yàn)?所以或,所以或.因?yàn)樯崛?所以，.所以三角形是直角三角形.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理判斷三角形的形狀，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.4.在△ABC中，AB=2，AC=3，則BC=______A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、余弦定理等知識(shí).考查運(yùn)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法.5.過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出圓心坐標(biāo)為，半徑為1.再設(shè)出直線(xiàn)方程為解不等式即得解.【詳解】由題得圓的方程為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為1.設(shè)直線(xiàn)方程為即.由題得.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.6.恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個(gè)人消費(fèi)支出總額的比重.恩格爾系數(shù)越小，即家庭的消費(fèi)支出中用于購(gòu)買(mǎi)食物的支出所占比例越小，更多的消費(fèi)用于精神追求，標(biāo)志著家庭越富裕.恩格爾系數(shù)達(dá)59%以上為貧困，50～59%為溫飽，40～50%為小康，30～40%為富裕，低于30%為最富裕.下圖給出了1980—2017年我國(guó)城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù)的變化統(tǒng)計(jì)圖，對(duì)所列年份進(jìn)行分析，則下列結(jié)論正確的是（）A農(nóng)村和城鎮(zhèn)居民家庭消費(fèi)支出呈下降趨勢(shì)B.農(nóng)村居民家庭比城鎮(zhèn)居民家庭用于購(gòu)買(mǎi)食品的支出更多C.1995年我國(guó)農(nóng)村居民初步達(dá)到小康標(biāo)準(zhǔn)D.2015年城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民食品支出占個(gè)人消費(fèi)支出總額之比大于30.6%【答案】D【解析】【分析】利用統(tǒng)計(jì)圖對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【詳解】A.從圖中看出農(nóng)村和城鎮(zhèn)居民家庭消費(fèi)支出中用于購(gòu)買(mǎi)食物的支出所占比例呈下降趨勢(shì)，但看不出農(nóng)村和城鎮(zhèn)居民家庭消費(fèi)支出的趨勢(shì)，故錯(cuò)誤.B.農(nóng)村居民家庭比城鎮(zhèn)居民家庭用于購(gòu)買(mǎi)食品的支出更多,是錯(cuò)誤的.只能說(shuō)農(nóng)村居民家庭比城鎮(zhèn)居民家庭用于購(gòu)買(mǎi)食品的支出比例更大，并不代表支出的數(shù)量更大.C.1995年我國(guó)農(nóng)村居民初步達(dá)到小康標(biāo)準(zhǔn)，是錯(cuò)誤的.因?yàn)?995年農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)是58.6，而恩格爾系數(shù)達(dá)到40～50%為小康，所以農(nóng)村居民沒(méi)有達(dá)到小康水平.D.2015年城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民食品支出占個(gè)人消費(fèi)支出總額之比大于30.6%是正確的.因?yàn)?015年城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民的恩格爾系數(shù)都大于30.6%.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.7.如圖，一座圓弧形拱橋，當(dāng)水面在如圖所示的位置時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬12米，當(dāng)水面下降1米后，水面寬度為（）A.14米 B.15米 C.米 D.米【答案】D【解析】【詳解】以圓拱拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)拱頂頂點(diǎn)的豎直直線(xiàn)為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓心為C，水面所在弦的端點(diǎn)為A，B，則由已知可得：A（6，﹣2），設(shè)圓的半徑為r，則C（0，﹣r），即圓的方程為x2+（y+r）2＝r2，將A的坐標(biāo)代入圓的方程可得r＝10，所以圓的方程是：x2+（y+10）2＝100則當(dāng)水面下降1米后可設(shè)A′的坐標(biāo)為（x0，﹣3）（x0＞0）代入圓的方程可得x0，所以當(dāng)水面下降1米后，水面寬為2米．故選：D．8.已知銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，，則c的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題得,再由余弦定理得，且，且，解不等式即得解.【詳解】由題得.由題得且,且，所以，且，且，所以.因?yàn)椋?故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理判斷三角形的形狀，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.某同學(xué)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，隨機(jī)調(diào)查了某小區(qū)5個(gè)家庭的年可支配收入x（單位：萬(wàn)元）與年家庭消費(fèi)y（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)，制作了對(duì)照表：x/萬(wàn)元2.72.8313.53.9y/萬(wàn)元1.41.51.61.82.2由表中數(shù)據(jù)得回歸直線(xiàn)方程為，得到下列結(jié)論，其中正確的是（）A.若某戶(hù)年可支配收入為4萬(wàn)元時(shí)，則年家庭消費(fèi)約為2.3萬(wàn)元B.若某戶(hù)年可支配收入為4萬(wàn)元時(shí)，則年家庭消費(fèi)約為2.1萬(wàn)元C.若年可支配收入每增加1萬(wàn)元，則年家庭消費(fèi)相應(yīng)平均增加0.5萬(wàn)元D.若年可支配收入每增加1萬(wàn)元，則年家庭消費(fèi)相應(yīng)平均增加0.1萬(wàn)元【答案】BC【解析】【分析】先求出樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出，即可判斷得解.【詳解】由題得，，所以.所以.當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)A錯(cuò)誤;因?yàn)?，所以若年可支配收入每增?萬(wàn)元，則年家庭消費(fèi)相應(yīng)平均增加0.5萬(wàn)元，所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)性回歸方程的求法和應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.10.已知，，，，且直線(xiàn)AB與CD平行，則m的值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】BC【解析】【分析】對(duì)分兩種情況討論，結(jié)合直線(xiàn)的斜率公式和平行直線(xiàn)的斜率關(guān)系得到關(guān)于的方程，解方程即得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，，直線(xiàn)軸，直線(xiàn)軸，所以直線(xiàn)AB與CD平行.當(dāng)時(shí)，.故選：BC【點(diǎn)睛】本題主要考查平行直線(xiàn)的斜率關(guān)系，考查斜率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.11.在中，角的對(duì)邊分別為，若，則角的值為()A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)余弦定理，代入即可求得角B.【詳解】根據(jù)余弦定理可知，代入化簡(jiǎn)可得，即，因?yàn)椋曰?，故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12.已知圓與圓相內(nèi)切，則r等于（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】先求出兩圓的圓心和半徑，再由題得解方程即得解.【詳解】由題得圓的圓心為半徑為5；圓的圓心為，半徑為；由題得.故選：AC【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上.13.已知一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)是2，方差是，那么另一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為_(kāi)_________，方差為_(kāi)_________.【答案】(1).4(2).3；【解析】【分析】設(shè)原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為,根據(jù)新數(shù)據(jù)為，利用公式求出新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差.【詳解】設(shè)原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為,由于新數(shù)據(jù)為，所以新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，新數(shù)據(jù)的方差為.故答案為：4；3.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.14.袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球概率為，得到黑球或黃球概率是，得到黃球或綠球概率是，則任取一球得到黃球的概率為_(kāi)_________.【答案】；【解析】【分析】設(shè)紅球、黑球、黃球、綠球的個(gè)數(shù)分別為,再根據(jù)已知求出它們的值，再利用古典概型的概率公式得解.【詳解】設(shè)紅球、黑球、黃球、綠球的個(gè)數(shù)分別為由題得，所以，由題得，所以，由題得，所以.由古典概型的概率公式得任取一球得到黃球的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.15.在中，，，則的周長(zhǎng)l的最小值是________.【答案】24；【解析】【分析】利用余弦定理表示第三邊，通過(guò)基本不等式求解的周長(zhǎng)的最小值．【詳解】在中，，由余弦定理可得：，的周長(zhǎng)．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)．故答案為：24【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形和基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握分析推理水平.16.設(shè)集合，，若存在實(shí)數(shù)，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩圓有交點(diǎn)建立不等式，再根據(jù)不等式有解確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意得兩圓有交點(diǎn)，所以，即有解，因此.【點(diǎn)睛】一般利用圓心距與兩半徑和與差的關(guān)系,判斷圓與圓的位置關(guān)系.四、解答題：本題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡制定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：（1）從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率；（2）求頻率分布直方圖中的a，b的值；【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）先頻數(shù)分布表求出課外閱讀時(shí)間不少于12小時(shí)的人數(shù)，再由對(duì)立事件的頻率公式求出一名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻率；（Ⅱ）結(jié)合頻數(shù)分布表、直方圖確定課外閱讀時(shí)間落在[4，6）、[8，10）的人數(shù)為17，求出對(duì)應(yīng)的頻率，分別由頻率/組距求出a、b的值試題解析：（1）根據(jù)頻數(shù)分布表，100名學(xué)生中課外閱讀時(shí)間不少于12小時(shí)的學(xué)生共有6+2+2=10名，所以樣本中的學(xué)生課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻率是．從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率為（2）課外閱讀時(shí)間落在組的有17人，頻率為，所以，課外閱讀時(shí)間落在組的有25人，頻率為，所以考點(diǎn)：頻率分布直方圖18.在中，，，已知，是方程的兩個(gè)根，且．（1）求角的大小；（2）求的長(zhǎng)．【答案】,【解析】試題分析：解：（1），所以（2）由題意得∴=∴考點(diǎn)：本題考查余弦定理，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是用一元二次方程根與系數(shù)之間關(guān)系結(jié)合余弦定理來(lái)解決問(wèn)題19.已知矩形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)，AB邊所在直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)在AD邊所在直線(xiàn)上.（1）求AD邊所在直線(xiàn)的方程；（2）求矩形ABCD外接圓的方程.【答案】（1）3x＋y＋2＝0；（2）(x－2)2＋y2＝8.【解析】【分析】(1)直線(xiàn)AB斜率確定，由垂直關(guān)系可求得直線(xiàn)AD斜率，又T在AD上，利用點(diǎn)斜式求直線(xiàn)AD方程；（2）由AD和AB的直線(xiàn)方程求得A點(diǎn)坐標(biāo)，以M為圓心，以AM為半徑的圓的方程即為所求.【詳解】(1)∵AB所在直線(xiàn)的方程為x－3y－6＝0，且AD與AB垂直，∴直線(xiàn)AD的斜率為－3．又∵點(diǎn)T(－1,1)在直線(xiàn)AD上，∴AD邊所在直線(xiàn)的方程為y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0．(2)由,得,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，－2)，∵矩形ABCD兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為M(2,0)，∴M為矩形ABCD外接圓的圓心，又|AM|＝.∴矩形ABCD外接圓的方程為(x－2)2＋y2＝8．【點(diǎn)睛】本題考查兩直線(xiàn)的交點(diǎn)，直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程和圓的方程,考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20.如圖所示的四邊形ABCD中，已知，，，，設(shè)，C點(diǎn)到AD的距離為h.（1）用θ表示h的解析式；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得，再根據(jù)得解；（2）由正弦定理得，,得，再利用三角函數(shù)求最大值得解.詳解】（1）由已知，得.在中，由，得.又，且，所以.（2）在中，由正弦定理得，，于是.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理解三角形，考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.21.在流行病學(xué)調(diào)查中，潛伏期指自病原體侵入機(jī)體至最早臨床癥狀出現(xiàn)之間的一段時(shí)間.某地區(qū)一研究團(tuán)隊(duì)從該地區(qū)500名A病毒患者中，按照年齡是否超過(guò)60歲進(jìn)行分層抽樣，抽取50人的相關(guān)數(shù)據(jù)，得到如下表格：潛伏期（單位：天）人數(shù)60歲及以上258752160歲以下0224921（1）估計(jì)該地區(qū)500名患者中60歲以下的人數(shù)；（2）以各組的區(qū)間中點(diǎn)值為代表，計(jì)算50名患者的平均潛伏期（精確到0.1）；（3）從樣本潛伏期超過(guò)10天的患者中隨機(jī)抽取兩人，求這兩人中恰好一人潛伏期超過(guò)12天的概率.【答案】（1）（2）（天）（3）【解析】【分析】（1）求出調(diào)查50名A病毒患者中，年齡在60歲以下的有20人，即得解；（2）利用平均數(shù)公式計(jì)算即得解；（3）利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】（1）調(diào)查的50名A病毒患者中，年齡在60歲以下的有20人，因此該地區(qū)A病毒患者中，60歲以下的人數(shù)估計(jì)有人.（2）（天）（3）樣本潛伏期超過(guò)10天的患者共六