2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：重難點(diǎn)突破08 全等三角形8種模型一線三等角、手拉手模型、倍長(zhǎng)中線、截長(zhǎng)補(bǔ)短、婆羅摩笈多、半角模型、平行線中點(diǎn)

重難點(diǎn)突破08全等三角形8種模型

（一線三等角、手拉手2、倍長(zhǎng)中線、截長(zhǎng)補(bǔ)短、婆羅摩笈多、半角模型、

平行線中點(diǎn)模型與雨傘模型）

目錄

重難點(diǎn)題型突破

題型01一線三等角模型（含一線三垂直模型）

題型02手拉手模型

題型03倍長(zhǎng)中線模型

題型04平行線中點(diǎn)模型與雨傘模型

題型05截長(zhǎng)補(bǔ)短模型

題型06婆羅摩笈多模型

題型07半角模型

重難點(diǎn)題型突破

題型01一線三等角模型（含一線三垂直模型）

【一線三垂直模型介紹】只要出現(xiàn)等腰直角三角形，可以過(guò)直角點(diǎn)作一條直線，然后過(guò)45°頂點(diǎn)作直線的

垂線，構(gòu)造三垂直，所得兩個(gè)直角三角形全等.根據(jù)全等三角形倒邊，得到線段之間的數(shù)量關(guān)系.

已知（一線三垂直）圖示結(jié)論（性質(zhì)）

如圖AB1BC,A

△ABD^ABCE,DE=AD+EC

AB=BC,CE1DE,AD

IDE

C

-1

EBD'

如圖ABJLBC,1

△ABD^ABCE,DE=AD-EC

AB=BC,CE±DE,AD1

IDE

B

C

己知/AOC=/ADB=

A△ADB渺DEC

ZCED=90",AB=DC\

c

DBE

延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)EA

AAB8ADBE

已知/DBE=/ABC=

ZEFC=90°，AC=DE工

Dhtc

【一線三等角模型介紹】三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角.

一線三等角類(lèi)型:

（同側(cè)）己知NA=NCPD=NB=Na,CP=PD

（異側(cè)）已知NEAC=NABD=NDPC=Na,CP=PD

1.（2023?陜西西安?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）小西在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)后，對(duì)其作了進(jìn)一步的探

究：在一個(gè)支架的橫桿點(diǎn)O處用一根刮繩懸掛一個(gè)小球A,小球A可以自由拂動(dòng)，如圖，OA表示小球靜止

時(shí)的位置.當(dāng)小明用發(fā)聲物體靠近小球時(shí)，小球從。4擺到08位置，此時(shí)過(guò)點(diǎn)8作80104于點(diǎn)。，當(dāng)小球

擺到。。位置時(shí)，08與0C恰好垂直（圖中的A、B、0、C在同一平面上），過(guò)點(diǎn)。作CEJ.0力于點(diǎn)E,測(cè)得

BD=8cm,0A—17cm.求AE的長(zhǎng).

A

【分析】首先根據(jù)題意證明出AC0E皂△OBO（AAS）,然后利用全等三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】???0810C,

:.乙BOD+乙COE=90°,

XVCE1OA,BD10A,

：.Z.CEO=Z.0DB=90°,

，乙BOD+乙B=90°,

'.LC0E=乙B,

在aCOE和△080中,

乙CEO=Z.BDO

乙COE=乙B

OC=BO

，△COE三△08。(AAS),

.\0E=BD=8cm,

：.AE=OA-OE=17-8=9cm.

【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，解題思路是找準(zhǔn)條件判定全等，解題的關(guān)鍵是證明△COEWA

OBO(AAS).

2.(2023?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖I,點(diǎn)A在直線0E上，且480a=

LBAC=Z.AEC=90°,像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型我們把它稱(chēng)為“一線三等角

”模型.

應(yīng)用：

(D如圖2,Rt△48C中，Z.ACB=90°,CB=CA,直線ED經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,過(guò)力作4。1ED于點(diǎn)。，過(guò)8作BE1ED

于點(diǎn)E.求證：△BEC三△CO/L

(2)如圖3,在△48。中，。是8c上一點(diǎn)，Z.CAD=90°,AC=AD,

乙DBA=^DAB,AB=2痘,求點(diǎn)C到AB邊的距離.

⑶女I圖4,在用48CD中，E為邊8c上的一-點(diǎn)，廠為邊48上的?點(diǎn).若

乙DEF=^B,AB=10,BE=6,求理的值.

DE

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵百

嗨*

【分析】(1)由直角三角形的性質(zhì)得出乙4cO=可證明△BEC三△CD4；

(2)過(guò)點(diǎn)。作OF148于點(diǎn)凡過(guò)點(diǎn)C作CEJL48于，交84的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,證明△C4E40F,由全

等三角形的性質(zhì)可得出CE=4F=H，則可得出答案；

(3)過(guò)點(diǎn)。作DM=0C交8c的延長(zhǎng)淺于點(diǎn)M,證明尸E?△ME。，由相似三角形的性質(zhì)可得出答案.

【詳解】(1)證明：???UCB=90°,Z.BCE+/.ACB+乙ACD=180°,

：.Z.BCE+/.ACD=180°,

\'AD1ED,BE1ED,

：.Z-BEC=Z.CDA=90。，乙EBC+乙BCE=90°,

：.^ACD=乙EBC,

在△BEC和△CZM中，

(￡.CDA=乙BEC=90"

LACD=乙EBC，

(CB=CA

??△BEC=△CDA：

(2)解；過(guò)點(diǎn)。作DF14B于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)C作CE1/18于，交B/1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

圖3

:4DBA=Z.DAB,

：,AD=BD,

：.AF=BF=^AB=V3,

'：Z-CAD=90°,

.\ZD/1F+ZC/1F=900,

'.'Z.DAF+Z.ADF=90°,

C.Z.CAE=Z.ADF,

在和△W中，

Z.CEA=Z.AFD=90°

LCAE=Z.ADF,

AC=AD

△CAE=△ADF,

：,CE=AF=?

即點(diǎn)。到/IB的距離為百：

(3)過(guò)點(diǎn)。作DM=DC交BC的延長(zhǎng)淺于點(diǎn)M,

圖4

:.乙DCM=4M,

???四邊形/BCD是平行四邊形，

/.DM-CD-AB-10,AB||CD

:.乙B=Z.DCM=乙M,

VzFEC=乙DEF+乙DEC=Z.B+乙BFE,乙B=乙DEF,

：.z.DEC=乙BFE,

:(BFEfMED,

.EFBE63

??=—————?

DEDM105

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考直了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定

與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?北京??？家荒?對(duì)于平面直角坐標(biāo)系％Oy中的圖形用和點(diǎn)P,給出如下定義：將圖形M繞點(diǎn)PMI時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。得到圖形N,圖形N稱(chēng)為圖形M關(guān)于點(diǎn)P的“垂直圖形”.例如，圖1中點(diǎn)。為點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)P的“垂直圖

形”.

悔

5■

4-

3-

2-

1-

j---------1_?------->

-5-4-3-2-10-12345x

-1-

-2-

-3-

-5

圖1備用圖

(I)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)。的“垂直圖形”為點(diǎn)S.

①若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3),則點(diǎn)8的坐標(biāo)為

②若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1),則點(diǎn)4的坐標(biāo)為：

⑵5-3,3),F(-2,3),G(a,0),線段EF關(guān)于點(diǎn)G的“垂直圖形”記為EW,點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E',點(diǎn)尸的時(shí)應(yīng)點(diǎn)

為r.

①求點(diǎn)E'的坐標(biāo)(用含a的式子表示)；

②若。。的半徑為2,E'F'上任意一點(diǎn)都在。。內(nèi)部或圓上，直接寫(xiě)出滿足條件的EE'的長(zhǎng)度的最大值.

【答案】⑴①(3,0),②(-1,3)

(2)①(3+a,3+Q),@V22

【分析】(I)①②根據(jù)“垂直圖形”的定義可得答案：

(2)①過(guò)點(diǎn)E作EP1x?軸丁?點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)E'作1x軸丁點(diǎn)”，利月JAAS證明APEG三△"GE'得E'"一PG-a+3,

GH=EP=3,從而得出答案；②由點(diǎn)E'的坐標(biāo)可知，滿足條件的點(diǎn)E'在第一象限的。。上，求出點(diǎn)E'的坐

標(biāo)，從而解決問(wèn)題.

【詳解】(1)解：①???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3),

二點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),

故答案為：(3,0)：

②蘭3(3,1)時(shí)，如圖,4(一1,3),

故答案為：(一1,3)；

(2)解：①過(guò)點(diǎn)E作EPlx軸于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)『作E'H1》軸于點(diǎn)H,

VZ.EGE1=90°,EG=E'G,

:?乙EGP+LE'GH=90°,乙EGP4-ZE=90°,

■-.Z.E=Z.E'GH,

v乙EPG=Z.GHE',

:.△PEGw/kHGE'(AAS),

=PG=u+3,GH=EP=3,

:.OH=3+a,

：?E'(3+a,3+a)；

②如圖，觀察圖象知，滿足條件的點(diǎn)E'在第一象限的。。上,

VE'(3十a(chǎn),3+a),OE'=2,

(a+3)2+(Q+3)2=22?Q+3=負(fù)值舍去),

???a=x/2—3,

...E'(42,42),

EE'=J（或+3）2+（夜-3）2=V22.

??.EE'的長(zhǎng)度的最大值為舊.

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查r全等三角形的判定與性質(zhì)，“垂直圖形”的定義，坐標(biāo)與圖形,

求出點(diǎn)E'的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?浙江嘉興?校考一模）閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過(guò)等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，過(guò)另外兩

個(gè)頂點(diǎn)分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型"如圖①：在△A8C中，乙4。=90。，AC=BC,分別過(guò)A、

8向經(jīng)過(guò)點(diǎn)。直線作垂線，垂足分別為。、E,我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：△ADC^^CEB.

（1）探究問(wèn)題：如果ACWBC,其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論：ODCsACEB.請(qǐng)你說(shuō)明理由.

（2）學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線），=3與直線C。交于點(diǎn)M（2,1）,且兩直線夾角為口,

且lana=|,請(qǐng)你求出直線C。的解析式.

（3）招展應(yīng)用：如圖④，在矩形ABC。中，A8=4,BC=5,點(diǎn)E為8C邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE,將線段AE

繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，當(dāng)點(diǎn)。在矩形ABC。外部時(shí)，連接PC,PD.若△QPC為直角

三角形時(shí)，請(qǐng)你探究并直接寫(xiě)出8七的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）y=-^x+y

（3）4或萼

【分析】（1）由同角的余角相等可得/8CE=/D4C,且NADC=N8EC=90。，可得結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)。作ON_LOW交直線CO干點(diǎn)M分別過(guò)M、N作軸N凡Lx軸，由（I）的結(jié)論可得：

△NFO^AOEM,可得黑=黑=黑，可求點(diǎn)N坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求解析式；

OcMhMO

（3）分兩種情況討論，山全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】⑴解:理由如下,

VNACB=90。，

:.NACD+N3CE=90°,

又..?/4。（7=900，

:.NACO+NQAC=90°,

:.ZBCE=NOAC,JBLZADC=NBEC=90°,

:.△ADCs^CEB；

（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作OMLOM交直線C。于點(diǎn)N,分別過(guò)M、N作ME_Lx軸，NFJ_x軸,

由（1）可得：ANFOs^oEM,

?NFOFNO

??——=——=-，

OEMEMO

???點(diǎn)M（2,1）,

：.OE=2.ME=\

.NFOF3

?9~17一T

:.NF=3,OF=1,

2

?,?點(diǎn)N（一右3）,

設(shè)直線CD表達(dá)式：y=kx+b,

.f1=2k+b

A3=--k+b

2

k=--

?7

??b=竺

7

???直線。的解析式為：），=-%+熱

（3）解：當(dāng)NCOP=90。時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)尸作P〃_L3C,交BCi延長(zhǎng)線于點(diǎn)

,:ZADC+ZCDP=180°,

???點(diǎn)4點(diǎn)Z),點(diǎn)尸三點(diǎn)共線，

,:NBAP=NB=N〃=90。，

???四邊形是矩形，

；.AB=PH=4,

?.,將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，

：.AE=EP,NAEP=90。，

/.NAEByPEH—且N6A￡>/AEZ?=90C,

:?NBAE=NPEH,且N8=N〃=90。，AE=EP,

:.△ABE94EHP(AAS),

:,BE=PH=4,

當(dāng)NCP/)=90。時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作/H_L8C,交8C延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，延長(zhǎng)〃。交4)的延長(zhǎng)線于M則四邊

形CDN”是矩形，

:,CD=NH=A,DN=CH,

設(shè)8E=x,WOEC=5-x,

?.?將線段AE繞點(diǎn)￡順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，

：.AE=EP,NAEP=90。，

/AEB+/PEH=90°,且/6A￡>/AE6=9(T,

:?NBAE=NPEH,且NB=NEH/>=90°,AE=EP,

：.4ABE@4EHP(AAS),

:,PH=BE=x,AB=EH=4,

：.PN=4-x,CH=4-(5-x)=x-\=DN,

,:NDPC=90。，

:./DPN+NCPH=9。。,且NCPH+NPCH=90。,

:.NPCH=NDPN,且NN=ZCHP=9()0,

：.△CPHsgDN,

.DNNP

??,

PHCH

?XT4r

…X

._3±>/7

*丁

丁點(diǎn)尸在矩形ABC。外部,

3+V7

???但7

綜上所述：當(dāng)3E的長(zhǎng)為4或竽時(shí)，△DPC為直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題是考查了待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形

的判定和性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵.

5.(2022下?安徽淮北?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)與應(yīng)用.【學(xué)習(xí)】如圖\,ABAD=90°,AB=ADf

BC1AC^^C,DE1E.由N1+42=42+4。=90°,得/1=NO：5L/.ACB=Z.AED=90°,

可以通過(guò)推理得到△ABCWDAE.我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為“一線三等角”模型;

B

⑴【應(yīng)用】如圖2,點(diǎn)B,P,。都在直線/上，并且乙4BP=Z.APC=乙PDC=a.若BP=x,AB=2,BD=5,

用含x的式子表示C。的長(zhǎng);

(2)【拓展】在AABC中，點(diǎn)。，E分別是邊3C,4c上的點(diǎn)，連接4。，DE,/.B=Z.ADE=/.C,48=5,

BC=6.若ACDE為直角三角形，求C。的長(zhǎng):

(3)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4),點(diǎn)8為平面內(nèi)任一點(diǎn).△A。/?是以04為斜邊

的等腰直角三角形，試直接寫(xiě)出點(diǎn)8的坐標(biāo).

【答案】⑴cc=-*+1

(2)3

⑶(3,1)或(一1,3)

【詳解】(1)解：\'z.ABP=/.APC=乙PDC=a,

：./.A+乙APB=乙APB+乙CPD,

:&=乙CPD,

又,：乙ABP=ZPDC,

"ABPSRPDC,

.ABBP

??~~'t

PDCD

:.CD=-+|x.

(2)解：如圖4,當(dāng)ZCED=9O。時(shí),

*：LADE=zC,Z.CAD=zD/lF,

/.△/ICD^AADE,

：.Z.ADC=Z.AED=90°,

?:乙B=LC,Z.ADC=90°

???點(diǎn)。為8。的中點(diǎn)，

/.CD=ifiC=ix6=3.

22

如圖5,當(dāng)N￡OC=90。時(shí)，

'：乙B=乙C,

：.z.BAD=zEDC=90°,

過(guò)點(diǎn)A作A"IBC,交BC于點(diǎn)、F,

：

.BF=-2BC=3,AcBosFB=D-5=—=

BD=^>6,不合題意，舍去，

?5

：.CD=3.

（3）解：分兩種情況:

①如圖6所示，過(guò)A作AC_Ly軸于過(guò)8作軸于￡。八與EB相交于C,則NC=90。，.?.四邊形

OECD是矩形

:?AD=2,OD=CE=4,

VNO8A=90。，

1?NOBE+N4BC=90。，

?:NABC+/B4C=90°,

:.NBAC=NOBE,

在MBC與"OE中，

(zC=乙BEO=90°

/.SAC=LOBE

(AB=BO

:?△ABC94BOE(AAS),

：.AC=BE,BC=OE,

設(shè)OE=x,則8c=O￡=CO=x,

??AC=BE=x—2,

/.CE=BE+RC=X—2+x=OD=4,

.*.x=3,x—2=1,

??.點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3,1）：

②如圖7,同理可得，點(diǎn)8的坐標(biāo)（一1,3）,

圖7

綜上所述，點(diǎn)3的坐標(biāo)為（3,1）或（-1,3）.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，筆腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形

的性質(zhì)等知識(shí)：正確的作出輔助線，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

6.（2021上?山東青島?九年級(jí)統(tǒng)考期中）【模型引入】

我們?cè)谌葘W(xué)習(xí)中所總結(jié)的“一線三等角、K型全等“這一基本圖形，可以使得我們?cè)谟^察新問(wèn)即的時(shí)候很迅

速地聯(lián)想，從而借助已有經(jīng)驗(yàn)，迅速解決問(wèn)題.

圖1圖2圖3

B

圖4

【模型探究】

如圖，正方形4BC。中，E是對(duì)角線8。上一點(diǎn)，連接AE,過(guò)點(diǎn)E作EF_LAE,交直線C8于點(diǎn)F.

(1)如圖1,若點(diǎn)F在線段8c上，寫(xiě)出￡/\與EF的數(shù)量關(guān)系并加以證明：

(2)如圖2,若點(diǎn)尸在線段C8的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段8C,和3”的數(shù)量關(guān)系.

【模型應(yīng)用】

(3)如圖3,正方形八8c。中，A8=4,E為CD上.一動(dòng)點(diǎn),連接AE交8。于產(chǎn)，過(guò)F作F”_L4E于尸，過(guò)

H作HGLBD于G.則下列結(jié)論：?AF=FHx②N”AE=45。；③BD=2FG；④△(?￡：〃的周長(zhǎng)為8.正確

的結(jié)論有一個(gè).

(4)如圖4,點(diǎn)E是正方形八BC。對(duì)角線8。上一點(diǎn)，連接AE,過(guò)點(diǎn)E作交線段于點(diǎn)立

交線段AC于點(diǎn)W,連接川交線段8。于點(diǎn)〃.給出下列四個(gè)結(jié)論，QAE=EFX②y[iDE=CF；③SMEM

=SAMCF,④BE=DE+&BF；正確的結(jié)論有_個(gè).

【模型變式】

(5)如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形088是正方形，旦。(0,2),點(diǎn)E是線段03延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

M是線段08上一動(dòng)點(diǎn)(不包括點(diǎn)O、B),作MN_LOM,垂足為M,交/C8月的平分線與點(diǎn)M求證：MO

=MN

(6)如圖6,在上一問(wèn)的條件下，連接ON交8c于點(diǎn)F,連接bM,則和NNM8之間有怎樣的數(shù)

量關(guān)系？請(qǐng)給出證明.

【拓展延伸】

(7)已知NMON=90。，點(diǎn)A是射線ON上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)8是射線OM上的個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足OA>O4.點(diǎn)

C在城段0A的延長(zhǎng)線上,且AC=OB.如圖7,在線段80上截取BE,使BE=O八，連接CE.若N08A+/0CE

=〃，當(dāng)點(diǎn)4在射線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，〃的大小是否會(huì)發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果變化，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

(8)如圖8,正方形八8。。中，入。=6,點(diǎn)E是對(duì)角線八C上一點(diǎn)，連接。￡過(guò)點(diǎn)￡作EF_LEO,交/出

于點(diǎn)凡連接。凡交AC于點(diǎn)G,將AE”G沿E/解折，得到△EFM,連接DM,交E尸于點(diǎn)N,若點(diǎn)產(chǎn)是

A8邊的中點(diǎn)，則的面積是.

【答案】(1)AE=EF,證明見(jiàn)解析：(2)8E=y(FC-BF)；(3)4；(4)3；(5)見(jiàn)解析：⑹乙NMF=乙NMB,

證明見(jiàn)解析；(7)0的大小不變，6=45。，理由見(jiàn)解析；(8)葭

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)E作yZ_L4D,交4。于丫，交8c于Z,證明AZBE是等腰直侑三角形，進(jìn)而證明△人■2&EFZ,

即可證明力E=EF；

(2)過(guò)E分別向48,8C作垂線，垂足分別為兀U,證明四邊形78UE是正方形，證明△TEA三△UEF,過(guò)4作

AV18。于匕過(guò)/作FW18。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)W,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,在此△480中，求得80,進(jìn)而求得AV=

”。=多，證明△人”三AEFW,進(jìn)而可得由BE+BW=BE+EV=BP=”=^a,

可得BE=*BC-BF)

(3)①由(1)直接判斷①：根據(jù)是等腰直角三角形，即可判斷②；過(guò)力作4R1BD于R,證明三

△FCH可得AR=FG,進(jìn)而判斷；③過(guò)點(diǎn)A作AQ1HE于點(diǎn)、Q,延長(zhǎng)CB至Q,使8P=DE,證明△APHAEH,

進(jìn)而可得ACE”的周長(zhǎng)為28C,即可判斷④：

(4)①由(1)直接判斷①：過(guò)E作PQ〃DC,交力。分別為點(diǎn)P,Q,證明aEQB是等腰直角三角形，

證明Rt^EFQ=Rt^AEP,進(jìn)而可得。E=或。。=4CF,即可判斷②：過(guò)F作KF〃PQ交BD于點(diǎn)K.KN工

PQ于N,可得KB=&BF,由②可知PD=QF,進(jìn)而證明^DPE=△KNE,BE=BK+EK=DE+&BF可

判斷④，由于M點(diǎn)的位置不確定，無(wú)法判斷S-EM和的關(guān)系，即可判斷③：

(5)在。。上取0"=0M,連接HM,證明AHUM受aBMN即可；

(6)延長(zhǎng)80至點(diǎn)4,使得力。=。/，連接4D,過(guò)點(diǎn)M作MP1DN于點(diǎn)凡證明△40C三△FCD,可得4CDF=

Z.0DA,進(jìn)而證明^ADM三△FDM,由乙NMF+乙FMP=乙NMP=45°,根據(jù)角度的等量換算可得2NMF=

Z.MD0,Z.NMB=Z.MD0,進(jìn)而可得ZNMF=ZNMB；

(7)過(guò)點(diǎn)。作G7/0B,且。尸=0A,連接AF交CE于點(diǎn)G,連接8凡證明AB04三△ACF,可得84=AF,z.l=

Z2,進(jìn)而可得45=45。，進(jìn)而證明四邊形8ECF是平行四邊形，根據(jù)平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)可

得乙74-Z1=45°,即/?=45°

(8)過(guò)E作:PQJLOC,交DC于P,交月8于Q,連接BE,證明PE—PC,設(shè)PC—匹則PE—x,P。一6一刀，

EQ=6-x,證明△DE尸是等腰直角三角形，證明△DECSABEC,在Rt△CEP中，勾股定理求得DE=呼，

進(jìn)而可得W,過(guò)點(diǎn)『作FH14C于點(diǎn)H,證明△DGC~AFGA,進(jìn)而求得4G=2夜，進(jìn)而求得GE,在Rt△KGF

=

中，勾股定理求得“G,進(jìn)而求得S&￡FG，根據(jù)翻折的性質(zhì)求得,才艮據(jù)S&EOM=$四邊形DFME~^t^DFM

S^DEF+S^EFM-SADFM即可求得SAEDM=熱

【詳解】(1)若點(diǎn)尸在線段5c上，/1E=E艮理由如下，

過(guò)點(diǎn)E作yzi力o,交4。于y,交BC于z,

?.?四邊形48CQ是正方形，

:.AD=AB=BC,Z.DAB=匕ABC=乙。=Z.ADC=90°

又「YZ1AD

二四邊形48zy是矩形，

??"丫=BZ

vAD=AB,/.BAD=90°

:.Z.ADB=Z.ABD=乙DBC=45°

??.△ZBE是等腰直角三角形

:，BZ=EZ

???BZ=AY

：.ZE=AY

-AE1EF

Z-AEY+乙FEZ=90°

???Z-AYE=90°

:.Z.EAY+LAEY=90°

乙FEZ-^EAY

vAD/IBC,YZLAD

AYZ1BC

???Z.AYE=Z.EZF=90°

在與△￡1/二中，

(/.FEZ=Z-EAY

jZE=AY

\/-EZF=Z.AYE

^AEY三△EFZ

二AE=EF

BF),理由如下,

過(guò)E分別向48,8C作垂線，垂足分別為T(mén),U,

?.?四邊形ABC。是正方形，

：.AB=AD,ABAD=90°

???四邊形T8UE是矩形，

Z.ADB=Z.ABD=乙DBC=45°

-ETLAB,EU1.BC

TB=TE,EU=BU,

???四邊形7TUE是正方形

TE=EUJE//FU

二HEF=Z.EFU

AE1EF

:.dEF+Z.AET=90°

???ET1AB

4EAT+AAET-90°

Z-TEF=Z-EAT

Z.EFU=4EAT

在△r區(qū)4與aUEF中

(Z.ATE=乙FUE=90°

jLEAT=Z.EFU

(TE=UE

：?△TEH三△UEF

:.AE=EF

過(guò)力作4P18。于匕過(guò)F作FW18。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)W,如圖,

W

?.?四邊形力BCO是正方形，

'.AB=AD,/.BAD=90°

:.Z.ADB=Z.ABD=45°

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,

???AV1BD

AAV=BV=VD

在At△48。中，BD=\/AD2+AB2=V2AD=yfla,

二AV=—BD=-a

22

vAE1EF,AVLEV

???LAEV4-Z.EFW=90。，乙力EV4-Z.EAV=90°

:.Z-EFW=Z.EAV

???FW1WD,AV1BD

???Z.FWE=LAVE=90°

在△AEV和AEFW中

Z-EFW=Z.EAV

LFWE=LAVE

AE=EF

ALAEV三LEFW

EV=FW

vZ.FBW=Z.DBC=45°,FW1WB

^-FBW=90°-^BFW=45°

Z.WFB=Z.WBF

二FW=WB

:.BF=y/FW2+BW2=V2BW

即B3=亞?

2

???BW=EV

BE+BW=BE+EV=BV=AV=-a

2

V2y/2

"T-BF+BE=(i

BC=a

V2V2

A—FF+FF=—FC

22

即8E=/(BC-BF)

(3)如圖

D

由（1）可得尸一F〃，故①正確,

vAF1FH,AF=FH

是等腰直角三角形，

Z.HAE=45°

過(guò)力作4R1BD于R,

-AD=ABr￡BAD=90°

1

AAR=BR=DR=-BD

-ARLBDtHGLBD

???Z.ARF=乙FGH=90°

???Z-AFR+/.FAR=90°,Z.AFR+Z.GFH=90°

???/.FAR=Z.HFG

又???,4F=FH

???△ARFFGH

：.AR=FG

1

:.FG=2BD

故③正確，

如圖，過(guò)點(diǎn)4作4Q1HE于點(diǎn)Q,延長(zhǎng)C8至Q,使BP=DE,

???Z.ADE=Z.ABP=90°,48=AD,DE=BP

ABP=△ADE

???乙DAE=Z.BAP

???Z.EAH=45°,LDAB=90°

Z.DAE+Z.HAB=45°

：./.BAP+Z.HAB=45°

即4/MP=乙EAH

-AP=AE,AH=AH

???△APHAEH

:.HE=HP

vPH=PB+BH=DE+BH=EH

CEH的周長(zhǎng)為CE+EH+HC=CE+DE+BH+HC=CD+BC=2BC

???正方形的邊長(zhǎng)為4

CE”的周長(zhǎng)為2BC=8.

故④正確，

綜上所述，故正確的結(jié)論有①②③④，共計(jì)4個(gè)

故答案為：4

(4)如圖4,

由《1〉可得/IE-EF,故①正確；

如圖，過(guò)E作PQ〃。。，交4。,8c分別為點(diǎn)P,Q

???四邊形力BCD是正方形

???Z.ADC=乙DCB=90°

vPQ//DC

:.Z.DPQ=Z.PQC=90°

???四邊形PDCQ是矩形

同理，四邊形48QP是矩形，

:.DP=CQ,AP=BQ

?:乙FDE=乙EBQ=45°

二ADPE,ZkEQ/?是等腰直角三角形

:.PE=DP,EQ=QB

?.?四邊形ABQP是矩形

???BQ=AP

EQ=AP

在RMEFQ與R￡A/1EP中，

(AE=EF

(AP=EQ

???Rt△EFQ=RtAEP

PE=QF

1

:.DP=QF=-CF

^^.FDE=45°,Z.DPE=90°

lV2

DE=>/2DP=—CF

乙

:.CF=\f2DE

故②正確

如圖，過(guò)F作KF〃PQ交BD于點(diǎn)K.KN1PQ于N

則四邊形KNQ尸是矩形，

NK=QF

???Z.KBF=45°,/.KFB=90°

KE=V2BF

由②可知P。=QF

NK=DP,Z.DPE=乙KNE=90°,4KEN=乙DEP,

DPE三AKNE,

DE=EK,

???BE=BK+EK=DE+>/2BF,

故④正確：

由于M點(diǎn)的位置不確定，無(wú)法判斷SA4E”和的關(guān)系，故③不正確,

綜上所述正確的結(jié)論由①②④，共計(jì)3個(gè)；

故答案為：3,

(5)如圖5,在。。上取O，=OM,連接HM,

???OD=OB,OH=OM

AHD=MB/OHM=OMH

???4DHM=180°-45°=135°

vBN平分乙CBE

:.乙NBE=45°

乙MBN=135°

???Z-DHM=乙MBN

???DM1MN,LAOB=90°

:.乙DMO+乙NMB=90°

vZ.DMO+zHDM=90°

:.乙HDM=乙NMB

△HDM與△BMN中

乙HDM=乙BMN

DH=BM

乙DHM=Z.MBN

.??AHDM=ABMN

二DM=MN

(6)如圖6,在上一間的條件下，連接ON交3。于點(diǎn)凡連接FM,乙NMF=CNMB,理由如下,

延長(zhǎng)B。至點(diǎn)4使得AO=CF,連接4。，過(guò)點(diǎn)M作MP1ON于點(diǎn)F,

vDC=DO/DOA=乙DCF=90°,CF=AO

**?△AOD=△FCD

Z.CDF=/.ODA,AD=DF

???DM=MN,DM1MN

:.Z.MDN=45°

???Z.CDO=90°

二（CDF+Z.MDO=90°-乙FDM=45°

ALODA4-ODM=450=Z.ADM

:.Z.ADM=Z.FDM

在△4OM與AFOM中，

AD=AF

Z-ADM=Z.FDM

DM=DM

二△ADM毛△FDM

???MP1DF

???乙FMF+Z.PFM=90°

vZ.DAO+乙ADO=90°

乙PMF=/.ODA

vZ.MDO+LODA=45°

:.Z.FMF+Z.MDO=45°

vDM=MN,MP1DN

PM-PN

：.Z-FMN=45°

乙NMF+乙FMP="IMP=45°

:.乙NMF=乙MDO

???乙NMB=Z.MDO

:.乙NMF=乙NMB

(7)夕的大小不變，￡=45。,理由如下,

過(guò)點(diǎn)C作。尸〃。8,且。F二。4,連接八廣交CE于點(diǎn)G,連接8尸，如圖,

vCF//OB,

???Z.EOA+Z.ACF=180°

vZ.BOA=90°

:.Z.ACF=90°

???Z.BOA=Z.ACF

又。8=AC,OA=CF

???△BOA￡△ACF

二BA=AF,Z.l=Z2

z.4=z5

Vzl+z3=90°

二乙2+43=90°

:.Z.BAF=180°-(z2+z3)=90°

:.z5=45°

vZ14-Z7=Z2+Z7=Z6

vBE//CF,BE-OA-CF

二四邊形BEC尸是平行四邊形

:.BF//CE

Z5=Z6=45°

:.47+=45°

即/?=45°

(8)如圖，過(guò)￡作PQ1DC,交DCTP,交4B于Q,連接BE,

PQ1AB

???四邊形4BCD是正方形，

Z.ACD=45°.

△PEC是等腰直角三角形，二PE=PC

設(shè)戶。=%則PE=x,PD=6-x,EQ=6-x

???PD=EQ

vZ.DPE=乙EQF=90°,乙PED=乙EFQ

DPEEQF(AAS)

DE=EFvDE1EF

△DEF是等腰直角三角形

DC=BC/DCE=乙BCE=45°,CE=CEDECBEC(SAS)

DE=BE

:.EF=BE

???EQ1FB

1

:.FQ=BQ=-FF

4B=/1D=6,F是48的中點(diǎn)

BF=3

3

:.FQ=BQ=PE=-

3V29

ACE=——,PD=-

22

在g△OEP中，DE=VDP24-PE2=后+；=呼

3710

：?EF=DE=---

2

過(guò)點(diǎn)F作FHJ.AC于點(diǎn)，，如圖，

AD=CD=6

AAC=6x/2

VDC//AB

???△DGCFGA

CGco6c

———=-=4

AGAF3

:.CG=2AG

:.AG—2^2

GE=AC-AG-CE=6>/2-2V2

-Z.FAC=45°,HFLAC

Z.FAC=Z.AFH=45°

=3

3a

:.AH=HF=-

V2

HC=—

乙

在Rt△〃GF中.FG=yjHG24-HF2==V5

113&5x/215

：?S^EFG=--GE'FH=-xx=—

???將AEFG沿七產(chǎn)翻折，得到△EFM,

:.S^EFM=7?FM=FG=y/5,Z.DFE=乙EFM=45°

二Z.DFM=90°

vDF=y/DA2+AF2=A/36+9=3而

1廠廠15

???SADFM=5x3V5xV5=—

S&EDM=SpiiajgDFME-S&DFM=^ADEF+^AEFAf-S^DFM

13V103/10151515

2X-x-+T"T=7

c_15

、AEDM=Y

故答案為:y

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形綜合題，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，等

腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等是解題的關(guān)鋌.

7.（2022上?吉林長(zhǎng)春?七年級(jí)長(zhǎng)春市第四十五中學(xué)?？计谥校┩ㄟ^(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模

型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題:

［模型呈現(xiàn)］如圖1,4840=90。，AB=AD,過(guò)點(diǎn)8作BC14C于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)。作DE14C于點(diǎn)￡求證:

BC=AE.

［模型應(yīng)用］如圖2,4EJ.48且4E=48,8cle。且8C=C0,請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所

圍成的圖形的面積為.

［深入探究］如圖3,/.BAD=Z.CAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接BC,DE,且8cl4F于點(diǎn)足DE與

直線4尸交于點(diǎn)G.若BC=21,AF=12,則△4DG的面積為.

【答案】［模型呈現(xiàn)］見(jiàn)解析：1模型應(yīng)用］50；［深入探究］63

【分析】［模型呈現(xiàn)］證明△ABC三△D4E,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BC-AE：

［模型應(yīng)用］根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=8G=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,根扼梯

形的面枳公式計(jì)算，得到答案：

［深入探究］過(guò)點(diǎn)D作DP14G于P,過(guò)點(diǎn)E作EQ1AG交4G的延長(zhǎng)線于Q,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DP=

AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF,證明ACPG三△EQG,得到PG=GQ.,進(jìn)而求出4G,根據(jù)三

角形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】［模型呈現(xiàn)］證明：?.NB/W=90。，

：./.BAC+Z.DAE=90°,

\'BC1AC,DE1AC,

J.LACB=Z.DEA=90°,

：.^BAC+/.ABC=90°,

/.Z.ABC=乙DAE,

在AABC和AZME中，

(/.ABC=乙DAE

<Z.ACB=乙DAE,

(BA=AD

：.^ABC三△DHE(AAS),

：,BC=AE；

［模型應(yīng)用］解：由［模型呈現(xiàn)］可知，AAEP三2BAG,△CBG三2DCH,

：.AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=8G=3,

則5.3線困|父的即你=-(4+6)x(3+6+4+3)--x3x6--x3x6--x3x4--x3x4=50,

D

GQ

故答案為：5()：

［深入探究］過(guò)點(diǎn)。作DP14G于P,過(guò)點(diǎn)E作EQ1AG交AG的延長(zhǎng)線干Q,

由［模型呈現(xiàn)］可知，4AFB=△DPA,^AFC=△EQA,

：.DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BFtAQ=CF,

在aOPG和中，

(Z.DPG=Z.EQG

乙DGP=乙EGQ,

(DP=EQ

??.△DPG三△EQG(AAS),

：.PG=GQ,

?:BC=21,

：.AQ+AP=21,

.\AP+APPG+PG=21,

：,AG=AP+PG=1Q.5,

?'?SAAOQ=—x10.5x12-63,

故答案為：63.

【點(diǎn)睛】木題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，熟記三角形確定的判定定理是解題

的關(guān)鍵.

8.(2020上?河南安陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期耒)(1)如圖①.已知：在△ABC中，LBAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)

過(guò)點(diǎn)A,8。1直線m,CE1直線m,垂足分別為點(diǎn)。、E.則線段OE、8D與CE之間的數(shù)量關(guān)系是；

AEmDAEmDAEm

(2)如圖②，將(I)中的條件改為：在△A8C中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線〃?上，并且有/■/?>!=

z.AEC=^BAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)：(1)中的結(jié)論是還否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；

若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)拓展與應(yīng)用：如圖③，D,E是D,A,E三點(diǎn)所在直線/〃上的兩動(dòng)點(diǎn)(D,A,E三點(diǎn)互不重合)，點(diǎn)

”為乙8AC平分線上的一點(diǎn)，且△48”和A/IC/均為等邊三角形，連接3D、CE.若4BD4=4EC=乙/MC,

試判斷△0￡T的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)DE=BD+CE：(2)成立，證明見(jiàn)解析：(3)等邊三角形，理由見(jiàn)解析

【分析】(I)根據(jù)垂直的定義得到工8。4-“EA-90,根據(jù)等角的余角相等得到乙&4E-4/lB。，根據(jù)“AAS”

證明△408根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到4E=80,AD=CE,結(jié)合圖形得到0E=80+CE：

(2)根據(jù)48ZM=LAEC=Z.BAC,得到乙4B0=/.CAE,由AAS定理證明^ADB=△CE4,根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)得到3D=AE,DA=CE,得出結(jié)論；

(3)根據(jù)△ADBWACE4,得到80=4E,/.DBA=Z.CAE,證明△OBF￡4F(SAS),得到。尸=￡1凡

乙BFD=Z.AFE,求出乙DFE=60。，根據(jù)等邊三角形的判定定理得到答案.

【詳解】解：(1)DE=BD+CE.理由：如圖1,

vBD1直線m,CE1直線m,

Z.BDA=/.CEA=90。，

vZ.BAC=90°,

:./.BAD+LCAE=90°,

???/.BAD+乙ABD=90°,

???Z.CAE=Z.ABD,

在△4D8和△CE4中，

LABD=Z.CAE

乙ADB=/.CEA=90°,

BA=AC

???△ADB三ACEA(AAS),

:.AE=BD,AD=CE,

:.DE=AE+AD=BD+CE：

(2)(1)中結(jié)論成立，

理由如下：如圖2,=48AC=a,

???/.DBA+/.BAD=/.BAD+/.CAE=180°-a,

???/.DBA=Z.CAE,

在△ADB和△CEA中,

乙DBA=Z.CAE

Z.BDA=乙AEC?

BA=AC

???△ADBZACEA(AAS),

:.AE=BD,AD=CE,

二DE=AE+AD=BD+CE：

(3)結(jié)論：△DEF足等邊三角形.

理由：如圖3,由(2)可知，△4。8三^。￡4,

:.BD=AE,/.DBA=Z.CAE,

???△ABF^Wh4CF均為等邊三角形，

Z.ABF=Z.CAF=60°,BF=AF,

:./.DBA+Z.ABF=LCAE+LCAF,即乙DBF=LEAF,

在ADBF和△EAF中，

(FB=FA

UDBF=LEAF,

(BD=AE

.?.△D^F^AF/1F(SAS),

DF=EF,乙BFD=乙AFE,

Z.DFE=Z.DFA+Z.AFE=Z.DFA4-LBFD=60°,

???△DEF為等邊三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定

理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

9.(2023上?湖南長(zhǎng)沙?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B(Q,b)是第二象限內(nèi)一點(diǎn).

(2)如圖I,在(1)的條件下，動(dòng)點(diǎn)C以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從。點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的負(fù)半軸方向運(yùn)動(dòng)，

同時(shí)動(dòng)點(diǎn)4以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從。點(diǎn)出發(fā)，沿y軸的正半軸方向運(yùn)動(dòng)