【教無(wú)憂】高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019選擇性必修一）第40講 專題2-5 橢圓離心率取值范圍十八大題型

專題2-5橢圓離心率取值范圍十八大題型匯總題型1根據(jù)a,b,c的不等關(guān)系求離心率取值范圍 1題型2橢圓的有界性 4題型3臨界關(guān)系求離心率的取值范圍 8題型4和差最值的應(yīng)用 12題型5轉(zhuǎn)化為位置關(guān)系 17題型6方程聯(lián)立型 24題型7焦半徑范圍的應(yīng)用 30題型8焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn) 35題型9橢圓對(duì)稱性的使用 36題型10由給定條件求離心率取值范圍 41題型11點(diǎn)差法的使用 49題型13與向量結(jié)合 55題型14與基本不等式結(jié)合 60題型15與三角函數(shù)結(jié)合 64題型16轉(zhuǎn)化為函數(shù) 68題型17橢圓與雙曲線結(jié)合 75題型18內(nèi)切圓相關(guān) 80知識(shí)點(diǎn).求解橢圓離心率的方法如下：（1）定義法：通過(guò)已知條件列出方程組或不等式組，求得a、c的值或不等式，根據(jù)離心率的定義求解離心率e的值或取值范圍；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于a、c的齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式求解；（3）特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值構(gòu)建方程或不等式，求得離心率的值或取值范圍.題型1根據(jù)a,b,c的不等關(guān)系求離心率取值范圍【例題1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）橢圓x25a+y24A．（0，15） B．（15，C．0,55 【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，由5a>4a2+1【詳解】解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，∴5a>4a2+1又e=5a?4∴它的離心率的取值范圍為0,5故選：C.【變式1-1】1.（2023春·海南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知橢圓x2A．0,55 B．0,12 C．【答案】C【分析】先根據(jù)焦距求出m的范圍，然后離心率的公式可得答案.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為2a,2b,2ca,b,c>0因?yàn)閙>4，所以a2=m，b2=4，則此時(shí)e2=c故選：C.【變式1-1】2.（多選）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線C:mxA．0<m<12 B．CC．m的值越小，C的焦距越大 D．C的短軸長(zhǎng)的取值范圍是0,2【答案】AC【分析】由曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，得出a2和b2，根據(jù)a2>b2>0即可判斷A；根據(jù)橢圓離心率e=【詳解】對(duì)于A：根據(jù)題意知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2因?yàn)镃的焦點(diǎn)在x軸上，所以1m>1對(duì)于B：由A可得a2=1所以橢圓C的離心率e=c對(duì)于C：橢圓C的焦距2c=2a因?yàn)楹瘮?shù)y=1m，y=?1所以m的值越小，C的焦距越大，故C正確；對(duì)于D：橢圓C的短軸長(zhǎng)2b=21因?yàn)楫?dāng)0<m<12時(shí)，所以11?m所以2b∈(2,22故選：AC．【變式1-1】3.（2023秋·高二單元測(cè)試）已知橢圓的焦距不小于短軸長(zhǎng)，則橢圓的離心率的取值范圍為．【答案】2【分析】根據(jù)題設(shè)可得c≥b，結(jié)合橢圓參數(shù)關(guān)系及離心率性質(zhì)求離心率范圍.【詳解】依題意，2c≥2b，即c≥b，所以c2從而c2≥a2?c2所以橢圓離心率的取值范圍是22故答案為：2題型2橢圓的有界性【方法總結(jié)】焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a【例題2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知F是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．32,1 C．22,1 【答案】C【分析】設(shè)Fc,0，Ax0,y0，B?x0【詳解】設(shè)Fc,0，Ax0,y則FA=x0由已知可得，F(xiàn)A?FB=0整理可得c2因?yàn)閤02a所以c2又由題意可得x02=又b2=a所以12≤c2a故選：C.【變式2-1】1.（2021秋·吉林四平·高三四平市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點(diǎn)為F1，離心率為e，P是A．54,1 B．0,13 C．【答案】B【分析】設(shè)Px0,y0?a≤x0≤a，可表示出d,【詳解】設(shè)Px0,y0∴PF1d=又?a≤x0≤a，∴a≤a23c，則∴e的取值范圍為0,1故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解圓錐曲線離心率或離心率取值范圍問(wèn)題的基本思路有兩種：（1）根據(jù)已知條件，求解得到a,c的值或取值范圍，由e=c（2）根據(jù)已知的等量關(guān)系或不等關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于a,c的齊次方程或齊次不等式，配湊出離心率e，從而得到結(jié)果.【變式2-1】2.（2023秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知F1，F(xiàn)2為橢圓x2a2【答案】2【分析】根據(jù)題意，由∠F1P【詳解】當(dāng)P點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)∠F1PF2由題意可知，只需∠OPF2>45°，所以所以c2>b2=又因?yàn)閑∈0,1，所以故答案為:2【變式2-1】3.（2023秋·浙江麗水·高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）已知F1,F2是橢圓E:x2a【答案】1【分析】設(shè)Ax1,y1,Bx把Ax1,y1【詳解】設(shè)Ax1,則F1因?yàn)镕1A=3F2由x12a2+因?yàn)镋上存在不同的兩點(diǎn)A,B，且F1A=3F2又0<e<1，所以12故答案為：12【變式2-1】4.（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)校考二模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線l與橢圓M:x2a2+y2b2【答案】2【分析】由橢圓的切線方程及圓心到直線的距離列出方程，根據(jù)方程有解得出不等式，求出離心率范圍即可.【詳解】如圖，

△OAB的面積最大值為a22?存在直線l使∠AOB=90°設(shè)Px0,y0∴O到l的距離為d=1平方整理得a2x0又x0兩式相減得a2y0又0<y02所以a2∴2故答案為：2題型3臨界關(guān)系求離心率的取值范圍【例題3】（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考期中）已知橢圓x2a2+y2bA．[22,C．[32,1)【答案】C【分析】設(shè)|PF1|=r1【詳解】設(shè)|PF1|=r1在△F1PF2所以r1所以(r所以4a因?yàn)?a=r1+所以r1所以4a2?4所以c2a2≥3所以32故選：C【變式3-1】1.（2022秋·安徽合肥·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1,F【答案】1【分析】設(shè)|PF1|=r1，|P【詳解】設(shè)橢圓C的方程為x2設(shè)|PF1|=r1在△F1PF2得r12+故r1r2=43a故4c2≥43解得e≥12，由0<e<1，所以C的離心率取值范圍是故答案為：1【變式3-1】2.（2022秋·福建·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)與圓C2【答案】11【分析】設(shè)過(guò)點(diǎn)P的兩條直線與圓C2分別切于點(diǎn)M,N，由兩條切線所成的角為π3，可知OP=455b【詳解】設(shè)過(guò)P的兩條直線與圓C2分別切于點(diǎn)M,N由兩條切線所成的角為π3，知：OP又P在橢圓C1所以O(shè)P≤a，即得4所以ba所以橢圓C1的離心率e=又1>e>0，所以e∈故答案為：114【變式3-1】3.（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高二?？计谥校┮阎獧E圓C：x2a2+y2b【答案】0,【分析】當(dāng)P為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，可得存在點(diǎn)M，N使得∠MPN=60°；當(dāng)P不為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，將點(diǎn)M，N位置特殊化，從而得到直線PA，PB分別與圓O切于A，B點(diǎn)，因?yàn)椤螹PN=60°，所以∠APB≥60°，并通過(guò)OPmax=a，OA⊥AP，得到sin∠APO=OAOP【詳解】連接OP，當(dāng)P不為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線PA，PB分別與圓O切于A，B點(diǎn)，設(shè)∠OPA=α，因?yàn)榇嬖邳c(diǎn)M，N使得∠MPN=60°，所以∠APB≥60°，所以α≥30°，所以sinα=可得OP≤2b，而OPmax=a，即a≤2b所以橢圓的離心率e=c當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓的上下頂點(diǎn)，點(diǎn)M、N位于圓O與x軸的左右交點(diǎn)時(shí)∠MPN=90°，所以此時(shí)在圓O上存在點(diǎn)M，N使得∠MPN=60°．所以橢圓C的離心率的取值范圍是0,3故答案為：0,題型4和差最值的應(yīng)用【例題4】（2023秋·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？计谀┰O(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0左、右焦點(diǎn)分別FA．22,56 B．22,【答案】D【分析】由點(diǎn)Q在橢圓外部得不等關(guān)系，變形后得離心率e的一個(gè)范圍，PF1+PQ利用橢圓定義變形后，結(jié)合題意得不等關(guān)系，從而得【詳解】∵點(diǎn)Qc,a2在橢圓的外部，則c∴ca>2由橢圓的定義得PF∵PQ∴P又∵PF∴5a2<32×2c又0<e<1，綜上可得56即橢圓離心率的取值范圍是56故選：D．【變式4-1】1.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1的左右焦點(diǎn)分別為FA．14,22 B．13,【答案】A【分析】利用點(diǎn)Qc,a2【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)Qc,a2在橢圓的內(nèi)部，所以c2a2+a2因?yàn)镻F1+PQ<5F1F2，而PF1+PF2=2a，所以2a?PF故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓離心率的取值范圍的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.【變式4-1】2.（2023秋·河北保定·高二河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為FA．0,34 B．22,34【答案】D【分析】由點(diǎn)Q在橢圓外部得一不等關(guān)系，變形后得離心率e的一個(gè)范圍，PF1+【詳解】∵點(diǎn)Qc,a2在橢圓的外部,則c∴ca>2由橢圓的定義得PF?P∵PF∴2a+a解得ca>3所以橢圓離心率的取值范圍是34故選：D．【變式4-1】3.（2022春·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)1F2=2c，過(guò)FA．22,1 B．22,56【答案】D【分析】利用F2Q>F2A得到a【詳解】∵PF1+PQ=2a?PF2又∵F2Q>F2A，∴a故選：D.【變式4-1】4.（2021·湖南·校聯(lián)考二模）設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)F1、F2【答案】4【分析】點(diǎn)Q(c,3c2)在橢圓的內(nèi)部，可得c|PF1|+|PQ|=2a?|PF2|+|PQ|≤2a+Q【詳解】∵點(diǎn)Q(c,3c∴c2a2+9c24?4a2?c?17a2c2?4c4<4?4e2?1e2?4>0又0<e<1∴0<e<1|PF1|+|PQ|=2a?|PF2∴要|PF1|+|PQ|<4|F1∴e=c綜上，橢圓離心率的取值范圍是(413，故答案為：(4【變式4-1】5.（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F【答案】(524，【分析】點(diǎn)Q(c,a2)在橢圓的內(nèi)部，所以b2a>a2，|PF【詳解】∵點(diǎn)Q(c,a2)在橢圓的內(nèi)部，∴b所以c|P又因?yàn)?|QF2|?|PQ|?|P要|PF1所以5a2<12c，ca>5故答案為：(524，【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的方程、性質(zhì)，橢圓的離心率，考查了橢圓中的范圍問(wèn)題的求法，轉(zhuǎn)化思想是解題關(guān)鍵．題型5轉(zhuǎn)化為位置關(guān)系【例題5】（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)Px0,y0是橢圓C:x2a2A．0,22 B．0,22 C．【答案】D【分析】由題意可得以F1F2【詳解】解：由已知，以F1F2所以22故選：D.【變式5-1】1.（2023春·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若橢圓E:x2+y21?m2=1A．0,12 B．12,1 C．【答案】D【分析】先由橢圓方程表示a，b，c，再OP=m結(jié)合橢圓圖形得出c≥b【詳解】設(shè)橢圓E的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、半焦距分別為a，b，c，由題意知a=1，b=1?m2由橢圓E上存在點(diǎn)P滿足OP=m，等價(jià)于以O(shè)為原點(diǎn)，以c得c≥b，所以c2≥b所以e=ca≥所以E的離心率的取值范圍為22故選：D.【變式5-1】2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C:x2aA．0,1 B．0,22 C．22【答案】C【分析】設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F'，連接AF'．由橢圓的性質(zhì)分析出以FF'【詳解】設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F'，連接A由橢圓的性質(zhì)得，AF'∥BF，∠FAF設(shè)橢圓C的半焦距為cc>0，所以只需c≥b，所以c2≥a2故選：C【變式5-1】3.（2023秋·廣東河源·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點(diǎn)為F，若F關(guān)于直線【答案】0,【分析】由題意，求出橢圓左焦點(diǎn)關(guān)于y=?x對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系找出不等關(guān)系，列出關(guān)于a,b,c的不等式從而求解離心率范圍.【詳解】設(shè)C的半焦距為c，則F?c,0關(guān)于直線y=?x的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,c因?yàn)镻落在C上或C內(nèi)，所以b≥c，所以a2?c兩邊同時(shí)除以a2，解得e∈故答案為：0,2【變式5-1】4.（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2bA．0,12 C．0,22 【答案】B【分析】由數(shù)形結(jié)合可知，點(diǎn)P不是直角頂點(diǎn)，則由b>c，確定離心率的取值范圍.【詳解】當(dāng)PF1和PF2垂直于F1由條件可知，點(diǎn)P不是直角頂點(diǎn)，則以F1則b>c，得b2>c所以橢圓離心率e的取值范圍是0,2故選：B【變式5-1】5.（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高二校考期末）已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)N是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，若A．0,22 B．0,1 C．0,1【答案】A【分析】利用橢圓與圓的性質(zhì)，作圖，結(jié)合離心率的計(jì)算公式，可得答案.【詳解】由題意，作圖如下：其中圓為以O(shè)為圓心，以c為半徑的圓，顯然b>c，b2>c2，a2?c故選：A.【變式5-1】6.（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：x2m2+y216=1(0<m<4)，定點(diǎn)A2,0，B6,0，有一動(dòng)點(diǎn)A．0,22 B．0,12 C．【答案】D【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)，求出其軌跡，求出0<m<23【詳解】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)，由題得(x?6)2化簡(jiǎn)得x2所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以23因?yàn)镻點(diǎn)軌跡與橢圓C恰有4個(gè)不同的交點(diǎn)，所以0<m<23所以橢圓C的離心率e=c因?yàn)闄E圓的離心率e∈(0,1)，所以橢圓C的離心率的取值范圍為12故選：D【變式5-1】7.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）如圖，橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為

【答案】5【分析】直線AB上存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，則以O(shè)點(diǎn)為圓心，OF1為半徑的圓總和線段AB【詳解】由題意可知Aa,0，B則直線AB方程為x?a0?a=y?0若直線AB上存在點(diǎn)P，使得PF則以O(shè)點(diǎn)為圓心，OF1為半徑的圓總和線段即O點(diǎn)到直線AB的距離d≤O所以aba2+又a2所以a2a2?c又由e=ca且0<e<1可得解得e∈5【變式5-1】8.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦點(diǎn)分別是A．12,1 B．22,1 C．【答案】A【分析】作圖，根據(jù)圖中的幾何關(guān)系求解.【詳解】由題意作圖如下：設(shè)F1?c,0，Px,y,Qm,n∴m=x3?23c，n=1化簡(jiǎn)得：x2?2cx+y2=0即圓x?c2+y圓F2與x軸除原點(diǎn)外的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是2c,0，并且該交點(diǎn)必須在橢圓外，∴2c>a，即e＞1故選：A.【變式5-1】9.（2020秋·浙江臺(tái)州·高二臺(tái)州一中?？计谥校┮阎獧E圓C:x2a【答案】(22【解析】設(shè)AB方程為y=kx，聯(lián)立方程組求出A，B坐標(biāo)，進(jìn)而得出M，N的坐標(biāo)，由OM⊥ON列方程得到關(guān)于k的方程，令此方程有解得出a，b，c的關(guān)系，從而得出離心率的范圍．【詳解】設(shè)直線AB的方程為y=kx，聯(lián)立方程組y=kxx2a∴A(aba2k2+b又C(c,0)，M，N是AF，BF的中點(diǎn)，∴M(ab2a2k2+∵以MN為直徑的圓恰經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，∴OM⊥ON，∴(ab即c2∴c∴(a2c∵存在符合條件的直線AB，使得OM⊥ON，∴關(guān)于k的方程a2∴c2>b2∴c2a2又e<1，∴22故答案為：(22，【點(diǎn)睛】離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，求離心率范圍應(yīng)先將e用有關(guān)的一些量表示出來(lái)，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于e的不等式，從而求出e的范圍.題型6方程聯(lián)立型【例題6】（2023秋·全國(guó)·高二期中）點(diǎn)A為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>1)的右頂點(diǎn)，P為橢圓A．12,1 B．22,1 C．【答案】B【分析】設(shè)Px,y0<x<a，由PO?PA=0【詳解】解：設(shè)Px,y又O0,0,Aa,0則x2+y即c2x?ab2x?a則0<ab2即ca>2故選：B【變式6-1】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距為2，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F且不與兩坐標(biāo)軸平行的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若x【答案】0,【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出線段AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可列式求解作答.【詳解】依題意，點(diǎn)F(1,0)，設(shè)直線AB:x=ty+1,t≠0，A(x由x=ty+1b2x則y1+y因?yàn)镻A=PB，則有PM⊥AB，直線令y=0得點(diǎn)P(a2?b2又PF>23，即1?1b依題意，b2t2+a2>3所以橢圓C離心率e的取值范圍為0<e≤3故答案為：0,【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2=a【變式6-1】2.（2022秋·廣東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）橢圓x2a2+y【答案】0【分析】首先設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示x1【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線l的直線方程為x=my+1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Ax1,y1整理為：b2y1+y若恒有OA2+OB所以∠AOB是鈍角，即x1my1+1m2+1?所以a2+b2a解得：a2>3+所以a>1+52故答案為：0【變式6-1】3.（2023春·河北石家莊·高三石家莊二中校考階段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C:xA．0,22 C．0,63 【答案】A【分析】設(shè)AB所在直線方程為x=ty?c，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式及兩平行線間的距離公式求出平行四邊形的面積，換元后求出面積最大值，再由矩形面積最大列式求得e的范圍．【詳解】橢圓C：x2設(shè)AB所在直線方程為x=ty?c，其中c=a則由x=ty?cx2設(shè)Ax1,所以AB=因?yàn)镃D所在直線方程為x=ty+c，所以直線AB與CD的距離為：d=S=AB?d=1+設(shè)b2t2則b要使得S最大值，則只需1m+c2根據(jù)條件當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，其面積最大.即當(dāng)t=0時(shí)S有最大值，也即是m=b時(shí)m+c由函數(shù)y=x+axa>0在0,所以函數(shù)y=m+c2m在0,c因?yàn)楹瘮?shù)y=m+c2m在b,+∞上，當(dāng)所以a>b≥c，即a2>b同時(shí)除以a2可得1>1?e2故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)【變式6-1】4.（2023春·浙江溫州·高二瑞安中學(xué)校考期中）已知A是橢圓E：x2a2+y2b2=1a>b>0的上頂點(diǎn)，點(diǎn)B，A．0,33 B．0,63 C．【答案】B【分析】根據(jù)題意聯(lián)立方程求點(diǎn)B,C的橫坐標(biāo)，由AB=AC結(jié)合弦長(zhǎng)公式整理可得關(guān)于k的方程【詳解】由題意可得：A0,b∵直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)為k，則直線AB:y=kx+b，聯(lián)立方程y=kx+bx2a2+y2即點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為?2kb同理可得：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2kba由題意可得：AB=AC，即整理得：k?1由題意結(jié)合橢圓的對(duì)稱性可得：關(guān)于k的方程k?1當(dāng)k=1是方程k2+1?a若b2a2=13，則當(dāng)k=1不是方程k2+1?a∵a>b>0，則ft=t∴Δ=1?a綜上所述：13≤b2a故選：B.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：在處理關(guān)于k的方程k?1k2+1?a2題型7焦半徑范圍的應(yīng)用【方法總結(jié)】設(shè)P【例題7】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓x2a2+y2bA．0,14 B．14,0 C．【答案】D【分析】由已知結(jié)合橢圓定義，用a表示出|PF1|【詳解】因點(diǎn)P在橢圓x2a2+y于是得PF1=而|PF即32a?1所以，橢圓的離心率取值范圍是12故選：D.【變式7-1】1.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)F1、F2分別是橢圓C:xA．0,12 B．0,13 C．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得以F2為圓心，以|PF2【詳解】由題意橢圓C上存在點(diǎn)P，使線段PF1的垂直平分線過(guò)點(diǎn)則|PF且需滿足以F2為圓心，以|P

即2c≥a?c，即e=ca≥故橢圓離心率的取值范圍是13故選：C【變式7-1】2.（2023秋·河南洛陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為A．2?1,1 B．2?1,1 C．0,2【答案】B【分析】由正弦定理及橢圓定義得ca=sin∠PF2F1sin【詳解】由asin∠PF1F又PF1∈∴a2?c又e∈0,1，∴e∈故選：B．【變式7-1】3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2bA．55,12 B．510,【答案】A【分析】設(shè)MF1=m，MF2=n，橢圓C的半焦距為c，根據(jù)橢圓的定義以及F1F2【詳解】設(shè)MF1=m，MF2所以a2因?yàn)閍?c≤m≤a+c，所以c≤m?a≤c，所以a2?4c則15≤e故選：A.【變式7-1】4.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若橢圓上存在點(diǎn)P，使得P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之比為2:1，則稱該橢圓為“倍徑橢圓”.則“倍徑橢圓”的離心率e的取值范圍是（

）A．33,1 B．0,33 C．【答案】C【分析】根據(jù)條件設(shè)出P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離，再利用橢圓的定義及橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最值即可求出結(jié)果.【詳解】由題可設(shè)點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之分別2m,m，所以2m+m=2a，得到m=2又m≥a?c，所以23a≥a?c，得到c≥1故選：C.【變式7-1】5.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為A．0,2?1 B．0,22 C．【答案】D【分析】由題意可知e=PF1PF【詳解】因?yàn)閑=PF1由橢圓的定義得：PF1+因?yàn)閍?c≤PF2兩邊同除以a得1?e≤2e+1≤1+e因?yàn)?<e<1，所以2?1≤e<1所以該離心率e的取值范圍是[故選：D.【變式7-1】6.（2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？既＃┰O(shè)F1、F2橢圓x2a2+yA．（0，1） B．0C．2?1,1【答案】C【分析】在△MF1F2中，由正弦定理結(jié)合條件有：【詳解】由∠MF1F2=α，∠MF2F1離心率e=sinβsinα，則

由于a?c<MF2(a+c)(a?c)=a由2a2<(a+c)2有2所以橢圓離心率取值范圍為2?1,1故選：C【變式7-1】7.（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2A．12,1 B．0,12 C．【答案】A【分析】由角平分線的性質(zhì)定理有MF1M【詳解】因?yàn)镺是F1F2的中點(diǎn)，N是O因?yàn)镸N平分∠F1MF2因?yàn)镸F1+MF2=2a，所以MF1=3a2，MF2=故選：A．題型8焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)【方法總結(jié)】運(yùn)用e=1+k【例題8】（2023春·寧夏吳忠·高二吳忠中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的下頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，直線AF交橢圓【答案】2【分析】寫(xiě)出直線AF的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得B點(diǎn)橫坐標(biāo)，由向量關(guān)系得坐標(biāo)間的關(guān)系，化簡(jiǎn)出離心率得取值范圍.【詳解】由題設(shè)F(c,0)，則A(0,?b)，直線AF的方程為y=b聯(lián)立方程組y=bcx?b所以B點(diǎn)橫坐標(biāo)為2a又因?yàn)锳F=λFB，所以即λ=a2+c2a2故答案為：22【點(diǎn)睛】條件AF=λFB可以用坐標(biāo)表示，即可將條件【變式8-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓x2a2+yA．13,12 B．33,【答案】B【分析】求出直線AF方程，與橢圓方程聯(lián)立消去x得關(guān)于y的二次方程，利用y=b是它的一個(gè)解，求得B點(diǎn)坐標(biāo)坐標(biāo)，然后由向量的線性關(guān)系用λ用a,c表示，利用【詳解】A0,b，F(xiàn)-c,0，則AF：y=b消去x得，(cy=b是它的一個(gè)解，另一解為yB=c2-a2c2+a故選：B．題型9橢圓對(duì)稱性的使用【方法總結(jié)】焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)對(duì)稱性對(duì)稱軸x軸和y軸，對(duì)稱中心(0,0)離心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)【例題9】（2023秋·山西太原·高三山西大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)橢圓C:x2a2+y2A．53,1 B．22,104【答案】B【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)F'，由橢圓的對(duì)稱性結(jié)合FA?FB=0，得到四邊形AFBF'為矩形，設(shè)AF'=n，AF=m，在直角△ABF中，利用橢圓的定義和勾股定理化簡(jiǎn)得到【詳解】如圖所示：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)F'，由橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形AFB又FA?FB=0，則FA⊥FB，所以平行四邊形AFB設(shè)AF'=n，AF在直角△ABF中，m+n=2a，m2所以2mn=m+n2?所以mn令mn=t，得又由FB≤FA≤3因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)y=t+1t在1,3上單調(diào)遞增，所以所以c2b2∈1,53所以e=c所以橢圓離心率的取值范圍是22故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用橢圓的對(duì)稱性證得四邊形AFBF'為矩形，再利用橢圓的定義與勾股定理，結(jié)合條件得到關(guān)于【變式9-1】1.（2022·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知橢圓C：x2a2+yA．(0,23] B．[23,1)【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出b，再根據(jù)定義和對(duì)稱性得到a的取值范圍即可求解．【詳解】解：由題得A0，b，則b設(shè)右焦點(diǎn)為F'，由對(duì)稱性可知，|MF|+|NF|=|MF|+|M則a≤3，e=ca=a故選：A．【變式9-1】2.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓x2a2+y2bA．0，53 B．0，73【答案】B【分析】如圖設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為E，根據(jù)題意和橢圓的定義可知BF=23【詳解】由題意知，如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為E，則BE+因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形EBFA為平行四邊形，由AF=2BF，得，在△EBF中，cos∠EBF=BE2由FA?FB≤49a2所以e∈0,故選：B【變式9-1】3.（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高二江蘇省邗江中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)【答案】22【分析】由題意可得四邊形MF1NF2為矩形，由勾股定理可得MF12+【詳解】因?yàn)閨MN|=F1F所以NF因?yàn)镸F12所以2M即MF由Δ=4a2所以a2<2c因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，所以解得MF因?yàn)镹F1M所以MF2≥所以a?a化簡(jiǎn)得4a2?2綜上22所以橢圓C的離心率的取值范圍為22故答案為：22【變式9-1】4.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為F2,0，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O且斜率k≥3的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)為【答案】2【分析】設(shè)A2m,2n，由條件求出M,N的坐標(biāo)，由條件OM⊥ON確定m,n的關(guān)系，由k≥3求出m的范圍，結(jié)合點(diǎn)A在橢圓上可求a的范圍，由此可求橢圓C的離心率【詳解】設(shè)A2m,2n（不妨設(shè)m>0，n>0），則Mm+1,n，由直線AB過(guò)原點(diǎn)和橢圓的對(duì)稱性可得B(?2m,?2n)，所以O(shè)M⊥ON?k≥所以由點(diǎn)在橢圓上得4m2a化簡(jiǎn)得m2=a28?所以1+3所以e=c故答案為：22題型10由給定條件求離心率取值范圍【例題10】2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦點(diǎn)為F1A．14,12 B．12,【答案】D【分析】由題意可得F1?c,0,F2c,0，設(shè)Px,y，可表示出P【詳解】由題意可知，F(xiàn)1?c,0,因?yàn)閤2a2又PF1=所以PF因?yàn)?b≤y≤b，則0≤y當(dāng)y2=b2時(shí)，PF即3c≤a≤所以e=c即橢圓C的離心率為55故選：D.【變式10-1】1.（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)M是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)，A．22,1 B．0,22 C．【答案】B【分析】設(shè)Px0,y0，由M0,b，求出PM2【詳解】設(shè)Px0,y0，M所以PM2=x由題意知當(dāng)y0=?b時(shí)，PM2取得最大值，所以?b3c2故選：B．【變式10-1】2.（2021秋·陜西漢中·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，直線l:x?y=0與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，滿足|MF|+|NF|=4，且點(diǎn)B到直線l的距離不小于22，則橢圓C的離心率eA．0,32 B．32,1 C．【答案】A【分析】先結(jié)合橢圓的定義及對(duì)稱性，求得a，然后由題目的條件可得b的取值范圍，由此即可確定離心率e的取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為E，連接EM,EN，結(jié)合橢圓的性質(zhì)以及直線l:x?y=0，可得四邊形EMFN為平行四邊形，所以MF+NF=NE+因?yàn)辄c(diǎn)B到直線l的距離不小于22，B(0,b)，直線l:x?y=0所以d=b2≥因?yàn)閑=e所以e∈故選：A【變式10-1】3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A且斜率為k的直線交橢圓C于另一點(diǎn)B，且點(diǎn)A．14,34 B．23,1【答案】C【分析】用基本量a,b,c表示出AF,BF，從而表示出直線AB的斜率，同除以a2【詳解】如圖所示：AF=a+c,所以k=tan又因?yàn)?3<k<12，所以13故選：C.【變式10-1】4.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知C:y2a2+x2b2A．0,12 B．12,1 C．【答案】C【分析】使用極化恒等式由PF1?PF2=14【詳解】設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為OP所以PO2又4PO所以a2+4c2<4故選：C【點(diǎn)睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，這個(gè)關(guān)系式可以用幾何關(guān)系得到，也可以用代數(shù)關(guān)系得到.在本題中主要是通過(guò)PO2建立關(guān)系，一方面由極化恒等式得PO2＝【變式10-1】5.（2023秋·全國(guó)·高二期中）已知橢圓C：x2a2+y(1)若∠F(2)若∠F【答案】(1)x(2)0,2【分析】（1）由題意知△F（2）由∠F1P【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為所以b=c，a=2所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2

（2）因?yàn)闄E圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為所以0°<∠OPF所以sin∠OP所以橢圓C的離心率的取值范圍為0,2

【變式10-1】6.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓x2a2+y2b2=1【答案】3【分析】當(dāng)P點(diǎn)位于橢圓的右頂點(diǎn)的位置的時(shí)候，PF2最小值，且最小值為PF2＝a－c，根據(jù)PT=PF22【詳解】依題意，如圖所示：當(dāng)P點(diǎn)位于橢圓的右頂點(diǎn)的位置的時(shí)候，PF2最小值，且最小值為∵PT=∴a?c2∴a?c2∴a?c≥2b?c∴a+c≥2b，∴a+c2化為5c2＋解得e≥3可得35∵b＞c，∴b2∴a2∴a2∴e2解得0<e<2由①②解得35故橢圓離心率的取值范圍為35故答案為：35【變式10-1】7.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過(guò)原點(diǎn)作一條傾斜角為θθ∈π6,5【答案】2【分析】分別討論直線AB的斜率是否存在，利用坐標(biāo)運(yùn)算即可求解橢圓的離心率e的取值范圍.【詳解】當(dāng)傾斜角θ=π2時(shí)，直線AB的斜率不存在，如圖則A

若AF⊥BF，則AF?BF=所以a2=所以橢圓的離心率e=c當(dāng)傾斜角為θ∈π6,π2∪π設(shè)Ax0,y0

若AF⊥BF，則AF?聯(lián)立①②，結(jié)合a2=b由k=y0x0，k∈?所以b4c4?b所以2a2?c綜上，橢圓的離心率e的取值范圍為22故答案為：22題型11點(diǎn)差法的使用【方法總結(jié)】點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的兩個(gè)不同的點(diǎn)M(x0，y0)是線段AB的中點(diǎn)，x12a2+y12b2=1,=1\?GB3\?MERGEFORMAT①x22a2+y22b2=1,=2\?GB3\?MERGEFORMAT②由①－②，得eq\f(1,a2)(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋eq\f(1,b2)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，變形得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，(x1?x2≠0，x1+x2≠0)即kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).KAB?K【例題11】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l:y=kx+t與橢圓C:x2a2+y2b2【答案】12【分析】設(shè)Ax1,y1,Bx2,【詳解】設(shè)Ax1,則k=y所以k0=y將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得x1兩式相減，得x12?x2由?34<kk0由e=ca，得13<1?e所以橢圓的離心率的取值范圍為(1故答案為：(1【變式11-1】1.（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知F?c,0是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點(diǎn)，直線y=x+c與該橢圓相交于M,N兩點(diǎn)，OA．63,1 B．22,1 C．【答案】A【分析】設(shè)MN的中點(diǎn)為B，MN中垂線與x軸交于點(diǎn)A，將y=x+c代入橢圓方程可的韋達(dá)定理的形式，利用韋達(dá)定理可表示出B點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得直線AB方程，求得A點(diǎn)坐標(biāo)，由A在線段PF上可構(gòu)造a,c的齊次不等式求得結(jié)果.【詳解】設(shè)MN的中點(diǎn)為B，MN中垂線與x軸交于點(diǎn)A，設(shè)Mx1,由y=x+cx2a∴x1+∴B?∵AB⊥MN，∴kAB=?1，∴直線AB令y=0，解得：x=?c3a∵A在線段PF上，∴?c≤?c3a2+又橢圓離心率e∈0,1，∴63故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解圓錐曲線離心率或離心率取值范圍問(wèn)題的基本思路有兩種：（1）根據(jù)已知條件，求解得到a,c的值或取值范圍，由e=c（2）根據(jù)已知的等量關(guān)系或不等關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于a,c的齊次方程或齊次不等式，配湊出離心率e，從而得到結(jié)果.【變式11-1】2.（2021·江蘇南京·統(tǒng)考一模）已知橢圓y2a2+x2b2=1【答案】2【分析】根據(jù)橢圓的中點(diǎn)弦公式，可求得k1k2與a、b【詳解】設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為Ax1,則x0將A、B坐標(biāo)代入橢圓可得y1y化簡(jiǎn)可得y1?因?yàn)閗1?化簡(jiǎn)得a2≥2所以a2≥2即e≥22，因?yàn)闄E圓的離心率所以橢圓離心率的取值范圍為2【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，中點(diǎn)弦問(wèn)題的應(yīng)用，橢圓離心率范圍的求法，屬于中檔題．【變式11-1】3.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓x2a2【答案】(【分析】設(shè)Ax1,y1,Bx【詳解】解：設(shè)Ax則x1+a將下面兩式子代入第一個(gè)式子得2a5?2a∵x1≠∵?a≤x∴?2a<x則2a35∴e2=1?b2∴5即離心率e的取值范圍55【點(diǎn)睛】本題我們采取設(shè)點(diǎn)法，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，常用設(shè)點(diǎn)法，得到方程組后的變形是本題的難點(diǎn)，首先是整體代換消元，將y1,y2整體代換，用x1,x2表示代入等式得到2a5【變式11-1】4.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)Mx1,y1，Nx2,y2xA．14,1 B．22,1 C．【答案】C【分析】由PM=PN可得x1+x2?a2x1【詳解】因?yàn)镻M=PN，則所以x1?ax1又因?yàn)辄c(diǎn)Mx1,y1所以x12a2+所以x1因?yàn)閤1≠x所以a2?b2x因?yàn)閑∈0,1，所以x又因?yàn)镸，N為橢圓上的兩點(diǎn)，所以x1所以a2<a2e故選：C.題型13與向量結(jié)合【例題13】（2023·陜西寶雞·?？寄M預(yù)測(cè)）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：x2A．3?12,1 B．0,3?12【答案】D【分析】由題意分析可得FB?【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意可得：A0,b可得：FB=由圖可得：∠APB即為FB,若∠APB為鈍角，即FB,由圖可知FB,AC≠整理得e2+e?1<0，且0<e<1，解得所以橢圓的離心率的取值范圍是0,5故選：D.【變式13-1】1.（2023秋·貴州六盤水·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2【答案】6【分析】由2PO=PF1+PF2兩邊平方得4|PO|2=|PF1|2+|P【詳解】設(shè)|F1F2|=2c因?yàn)?PO=P又因?yàn)镻F1=PO+所以PF1?所以4|PO又因?yàn)镻O2?O所以4a26因?yàn)镻F12所以2a26+c又因?yàn)閎≤|PO|≤a，所以b2≤|PO|所以512≤c因?yàn)?3>15故答案為：63【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2【變式13-1】2.（多選）（2022·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A．12 B．22 C．33【答案】AC【解析】設(shè)P(x0,y0)，F(xiàn)1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，則PF【詳解】設(shè)P(x0,y0則PF1=(?c?PA1=(?a?因?yàn)镻=2=2所以離心率e=c故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查的離心率的求法，解題的關(guān)鍵是由PF1?【變式13-1】3.（2022秋·江西上饒·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為【答案】1【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為E，根據(jù)橢圓的定義可知BE=43a，BF=【詳解】解：由題意得：橢圓的左焦點(diǎn)為E，則BE因?yàn)锳,B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形EBFA為平行四邊形由FA=2FB，得BE=43所以BE=43a∈a?c,a+c在△EBF中，cos?cos由FA?FA整理得：e2≤79，又綜上，e∈故答案為:1【變式13-1】4.（2022·江蘇·高二期末）若F1(?2,0),F2(2,0)為橢圓C:【答案】2【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得PO2?4=λ，進(jìn)而根據(jù)λ的范圍得到5≤PO【詳解】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OFPF1?PF若存在四個(gè)不同的點(diǎn)P滿足5≤PO2≤8所以b2<5,a2e2=4故答案為：2題型14與基本不等式結(jié)合【例題14】（2023·海南·?？寄M預(yù)測(cè)）已知F是橢圓x2a2+yA．[32,1) B．(0,32]【答案】C【分析】利用題給條件和橢圓定義構(gòu)造不等式，進(jìn)而求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)，連接F由橢圓及直線的對(duì)稱性知：四邊形AFBF且∠AFB=120°，∠FAF在△AFFFF∴(AF+AF（當(dāng)且僅當(dāng)AF=可得14(AF+AF1)∴橢圓的離心率e∈[1故選：C【變式14-1】1.（2022秋·福建福州·高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若存在直線y=kx與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且∠AFB=60°，則橢圓離心率的取值范圍是（

）．A．32,1 B．0,32 C．【答案】A【分析】由橢圓的性質(zhì)可得四邊形AFBF'為平行四邊形，可得【詳解】解：連接A，B與左右焦點(diǎn)F，F(xiàn)'由∠AFB=60°，由橢圓及直線的對(duì)稱性可得四邊形AFBF'為平行四邊形，在三角形AFF'中，所以(AF+AF')2?FF'2=AF?A即34?4a所以橢圓的離心率e∈3故選：A．【變式14-1】2.（2022秋·河南鶴壁·高二鶴壁高中?？茧A段練習(xí)）設(shè)F1?F2分別是橢圓x2a2+y2bA．13?e<1 C．0<e<13 【答案】A【分析】結(jié)合橢圓的定義和均值不等式得到當(dāng)且僅當(dāng)PF2=23【詳解】根據(jù)題意可知PFPF2PF12+8PF22故選：A．【變式14-1】3.（2023春·四川宜賓·高二宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)F1是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作直線lA．14 B．34 C．12【答案】D【分析】令橢圓右焦點(diǎn)為F2，根據(jù)給定條件，判斷四邊形A【詳解】令橢圓右焦點(diǎn)為F2，半焦距為c，連接AF2,BF2，因?yàn)镸、N分別是

則OM//AF2,ON//BF2即四邊形AF1BF2為平行四邊形，且是矩形，于是∠因此(|AF1|+|A即有4a2≤4c2+2a2，c2所以橢圓離心率的最小值為22故選：D【變式14-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2，離心率為e，點(diǎn)P在橢圓上，連接【答案】8【分析】設(shè)QF1=m,PF1=n，所以存在點(diǎn)P使PQ=QF2【詳解】設(shè)QF1=m,PF1=n所以存在點(diǎn)P使PQ=QF在△PF1F即2a?n2=n同理可得m=b2a+c所以2m+n=b所以(2m+n?2a)min=(由(2+1)2b2故答案為：8【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求離心率范圍關(guān)鍵是建立a,b,c的不等式，此時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為PQ?QF2min題型15與三角函數(shù)結(jié)合【例題15】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)上一點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B【答案】2【分析】通過(guò)幾何性質(zhì)表達(dá)出該橢圓的離心率的函數(shù)，即可得出該橢圓的離心率的取值范圍.【詳解】由題意，在x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)∵AF⊥BF，∴四邊形AF∴AB=F∵∠ABF=α，∴AF=2csin由橢圓的定義得2a=2csin∴e=c∵α∈∴α+π∴sinα+∴e∈2故答案為：22【變式15-1】1.（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，∠PF【答案】0,【分析】設(shè)∠PF2F1=θ，可得∠PF1F2=3θ，∠F1PF2【詳解】設(shè)∠PF2F∠F由正弦定理可得，PF所以PF1=根據(jù)橢圓的定義可知，PF所以有2csin所以有c=2sin2θ因?yàn)?，?∠PF2F令t=cosθ，則t∈2則函數(shù)ft=2t?1又f22=2×所以，0<ft<3故答案為：0,3【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：設(shè)∠PF2F1=θ，根據(jù)已知條件，求出△PF1F2【變式15-1】2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2【答案】2【分析】不妨設(shè)P3,t，(t>0)，F(xiàn)1?c,0，F(xiàn)2c,0，直線PF1傾斜角為α，直線PF2【詳解】不妨設(shè)P3,t，(t>0)，F(xiàn)1?c,0設(shè)直線PF1傾斜角為α，直線PF則tan∠=t若tan∠F1PF又t+9?c2t≥2則2c29?c2=2又橢圓C與直線x=3無(wú)公共點(diǎn)，則a<3，所以e=c所以橢圓離心率的取值范圍是22故答案為：22【變式15-1】3.（2019秋·安徽滁州·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上有一點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，點(diǎn)A．[24，32] B．[24，63] C．[22，63]【答案】C【分析】設(shè)左焦點(diǎn)為F'，根據(jù)橢圓定義：AF+|AF'|=2a，根據(jù)B和A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知BF=|AF'|，推知AF+BF=2a，又根據(jù)O是Rt△ABF的斜邊中點(diǎn)可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分別表示出AF和BF代入AF+BF=2a中即可表示出【詳解】∵B和A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴B也在橢圓上，設(shè)左焦點(diǎn)為F'，根據(jù)橢圓定義：AF+|AF'|=2a又∵BF=AF'，∴O是Rt△ABF的斜邊中點(diǎn)，∴AB=2c又AF=2csinα…②，BF②③代入①2csin∴ca=1∵α∈π12，∴32≤sin【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的性質(zhì)，三角函數(shù)最值的求法，將離心率表示為關(guān)于α的函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.題型16轉(zhuǎn)化為函數(shù)【例題16】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)B是橢圓C:x2a【答案】1【分析】利用距離公式將|PB|表示，配方后，分?b3c【詳解】設(shè)P(x,y)，則|PB|=x因?yàn)閥∈[?b,b]，當(dāng)?b3c2>?b即a所以a2+化簡(jiǎn)得：a2故a2<2c2，兩邊同除以a2當(dāng)?b3c2≤?b，即a2≥2由2c2≤a2≤4綜上，離心率的范圍為1故答案為：1【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2【變式16-1】1.（2023春·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M【答案】2【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓、圓的性質(zhì)分析可得b2【詳解】設(shè)橢圓C的半焦距為c>0，則圓O:x2+y2若圓O與橢圓C有公共點(diǎn)，則c≥b，可得c2≥b因?yàn)镸F1+可得4a2?2又因?yàn)閙=MF1且MF1+MF可得MF整理得b2因?yàn)閒m=m+1m+2且f1可得fm=m+1可得e=1?綜上所述：橢圓C的離心率的取值范圍為22故答案為：22

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．【變式16-1】2.（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知F1、F2分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)，P是C【答案】2【分析】連接PF2、QF2，分析可知四邊形PF1QF2為矩形，設(shè)PF1=m，PF2=n【詳解】解：連接PF2、由P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，PQOF1所以四邊形PF設(shè)PF1=m，P在Rt△PF1F2所以e2則1e在Rt△PF1在Rt△PF1由cos∠PF1F2令t=mn1<t≤3，設(shè)ft=t+1t則85≤1e2故橢圓C的離心率的取值范圍為22故答案為：22【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：【變式16-1】3.（2023春·上海靜安·高二上海市新中高級(jí)中學(xué)?？计谥校┰O(shè)橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為【答案】2【分析】根據(jù)已知條件及直角所對(duì)的圓周角等于90°，利用勾股定理、橢圓的定義及橢圓的離心率公式，再利用換元法和構(gòu)造函數(shù)即可求出離心率的取值范圍．【詳解】由以線段F1F2為直徑的圓x所以半徑OF1>b，即c>b所以e=ca=2c2a由于12≤PF1e=ca由于函數(shù)φt=t+1故gt=1?故22=g1<1?所以橢圓離心率的取值范圍為22故答案為：2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件及直徑所對(duì)的圓周角等于90°，利用勾股定理、橢圓的定義及橢圓的離心率公式，再利用換元法和構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可.【變式16-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)Q滿足QF1?QF2=0，且點(diǎn)Q恒在以F1、F2A．14,135 B．135,1【答案】C【分析】設(shè)PF1=17t，則QF1=8t，PQ=15t，利用橢圓的定義結(jié)合勾股定理可得出272t2?32at+b2=0，求出a【詳解】如下圖所示：由題意可知，PQ⊥QF1，設(shè)PF1=17t由橢圓定義可得PF2=2a?在Rt△QF1即64t2+因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓C內(nèi)，則QF又因?yàn)?2t?2a>02a?17t>0，所以，a令fx=272x2?32ax+若方程fx=0在a16所以，1225<b因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓內(nèi)，且QF1⊥QF2所以，a>2c，∴e=c故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓離心率取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵在于通過(guò)勾股定理得出方程，在轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)來(lái)處理，同時(shí)要善于分析出點(diǎn)Q在橢圓內(nèi)這一條件，結(jié)合橢圓定義構(gòu)造不等式關(guān)系來(lái)求解橢圓離心率的取值范圍.【變式16-1】5.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)