2025年北師大版高一數學下冊月考試卷

…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年北師大版高一數學下冊月考試卷798考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共6題，共12分)1、平面向量與的夾角為則（）A.B.C.D.2、【題文】函數的定義域是（）A.[1，+∞)B.(1,+∞)C.(2，+∞)D.[2，+∞)3、（2015·湖北）設定義符號函數則（）A.B.C.D.4、已知直線l1：3x﹣y+5=0，l2：6x+ay+1=0，若l1∥l2，則a=（）A.2B.C.-2D.-5、已知a=30.4，b=0.43，c=log0.43，則（）A.b＜a＜cB.c＜a＜bC.c＜b＜aD.a＜c＜b6、設等比數列{an}的公比為q，前n項和為Sn，且a1＞0．若S2＞2a3，則q的取值范圍是（）A.B.C.D.評卷人得分二、填空題(共9題，共18分)7、化簡sin13°cos32°+sin32°cos13°=____．8、設則使函數y=xα的定義域為R且為偶函數的所有的α值為____．9、=____．10、把一根長為7米的鐵絲截下兩段（也可以直接截成兩段），這兩段的長度差不超過1米，分別以這兩段為圓的周長圍成兩個圓，則這兩個圓的面積之和的最大值為平方米．

11、假設若干個函數的圖象經過平移后能夠重合，則稱這些函數為“互為生成函數”．給出下列函數：①②③④．則其中屬于“互為生成函數”的是____________．12、【題文】復數z滿足z(2+i)=2i－1,則復數z的實部與虛部之和為1

(14)若正三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示(單位:cm),則它的側視圖的面積為13、【題文】已知為直線，為平面；有下列三個命題：

（1）則

（2）則

（3）則

（4）則

其中正確命題是14、面面平行的向量方法：證明這兩個平面____的是____15、在下列命題中，真命題是____（寫出所有真命題的序號）

①互為反函數的兩個函數的單調性相同；

②y=f（x）圖象與y=﹣f（﹣x）的圖象關于原點對稱；

③奇函數f（x）必有反函數f﹣1（x）．評卷人得分三、解答題(共9題，共18分)16、已知三點A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sinγ），若向量（k為常數且0＜k＜2，O為坐標原點，S△BOC表示△BOC的面積）

（1）求cos（β-γ）的最值及相應的k的值；

（2）求cos（β-γ）取得最大值時，S△BOC：S△AOC：S△AOB．

17、（本小題滿分12分）已知定義在R上的分段函數是奇函數，當時的解析式為求這個函數在R上的解析式并畫出函數的圖像，寫出函數的單調區(qū)間．18、已知

（1）化簡f（x）

（2）若x是第三象限角，且求f（x）的值．

19、已知AD是△ABC邊BC的中線，用坐標法證明：|AB|2+|AC|2=2（|AD|2+|DC|2）endarray

．

20、設函數f（x）=x|x-a|+b

（1）求證：f（x）為奇函數的充要條件是a2+b2=0．

（2）設常數b＜2-3；且對任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求實數a的取值范圍．

21、{an}為等差數列，公差d>0，Sn是數列{an}前n項和,已知，（1）求數列{an}的通項公式an；（2）令，求數列{bn}的前n項和Tn．22、解不等式：（1）（2）23、【題文】(13分)計算(1)

(2)24、【題文】（本小題滿分10分）

已知全集

（1）用列舉法表示集合

（2）求評卷人得分四、計算題(共4題，共8分)25、如圖，兩個等圓圓O1，O2外切，O1A、O1B分別與圓O2切于點A、B．設∠AO1B=α，若A（sinα，0），B（cosα，0）為拋物線y=x2+bx+c與x軸的兩個交點，則b=____，c=____．26、（+++）（+1）=____．27、（2002?寧波校級自主招生）如圖，E、F分別在AD、BC上，EFCD是正方形，且矩形ABCD∽矩形AEFB，則BC：AB的值是____．28、（1）計算：．

（2）已知a2+2a-=0，求的值．評卷人得分五、作圖題(共4題，共8分)29、如圖A、B兩個村子在河CD的同側，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現(xiàn)在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來水，鋪設管道費用為每千米2000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設管道的費用最省，并求出其費用．30、請畫出如圖幾何體的三視圖．

31、繪制以下算法對應的程序框圖：

第一步；輸入變量x；

第二步，根據函數f（x）=

對變量y賦值；使y=f（x）；

第三步，輸出變量y的值．32、已知簡單組合體如圖；試畫出它的三視圖（尺寸不做嚴格要求）

評卷人得分六、綜合題(共1題，共10分)33、已知二次函數y=x2-2mx-m2（m≠0）的圖象與x軸交于點A；B，它的頂點在以AB為直徑的圓上．

（1）證明：A；B是x軸上兩個不同的交點；

（2）求二次函數的解析式；

（3）設以AB為直徑的圓與y軸交于點C，D，求弦CD的長．參考答案一、選擇題(共6題，共12分)1、B【分析】試題分析：計算向量模的常用方法就是見模就平方，但最終還要再開方，這里最易犯的錯誤，就是平方后不再開方，結果選擇錯誤答案D.考點：平面向量的模和向量的數量積.【解析】【答案】B2、C【分析】【解析】本題考查函數的定義域.

根據解析式確定函數定義域；使函數解析式有意義的自變量的取值范圍.

要使函數有意義，需使所以函數的定義域是

故選C【解析】【答案】C3、D【分析】【解答】對于選項A，右邊而左邊顯然不正確；對于選擇B，右邊而左邊顯然不正確；對于選項C，右邊而左邊顯然不正確；對于選項D，右邊而左邊顯然正確；故應選D.

【分析】以新定義為背景，重點考查分段函數及其表示，其解題的關鍵是準確理解題意所給的新定義，并結合分段函數的表示準確表達所給的函數.不僅新穎別致，而且能綜合考察學生信息獲取能力以及知識運用能力.4、C【分析】【解答】解：∵l1∥l2；

∴3=

∴a=﹣2；

故選C．

【分析】由兩直線平行，且直線的斜率存在，所以，他們的斜率相等，解方程求a．5、C【分析】【解答】解：∵a=30.4＞30=1；

b=0.43=0.064；

c=log0.43＜log0.41=0；

∴c＜b＜a．

故選：C．

【分析】利用指數函數、對數函數的性質求解．6、B【分析】解：由題意可得a1＞0，且a1+a1q＞2a1q2，即2q2-q-1＜0；即（2q+1）（q-1）＜0．

解得-＜q＜1，又q≠0，∴q的取值范圍是

故選B．

由題意可得a1＞0，且a1+a1q＞2a1q2；解一元二次不等式求得q的取值范圍，注意q≠0這個隱藏條件．

本題主要考查數列的函數特性；等比數列的通項公式，一元二次不等式的解法，注意q≠0這個隱藏條件；

這是解題的易錯點，屬于中檔題．【解析】【答案】B二、填空題(共9題，共18分)7、略

【分析】

sin13°cos32°+sin32°cos13°=sin13°cos32°+cos13°sin32°

=sin（13°+32°）=sin45°=

故答案為：

【解析】【答案】利用和角的正弦公式；即可得出結論．

8、略

【分析】

當α=-2時，y=x-2的定義域為{x|x≠0}；定義域不為R，故α=-2不合題意；

當α=時，y=的定義域為{x|x≥0}，定義域不為R，故α=不合題意；

當α=時，y=f（x）=定義域為R，且f（-x）===f（x）；故f（x）為偶函數；

∴α=符合題意；

當α=2時，y=f（x）=x2為定義域為R的偶函數；故α=2符合題意．

綜上所述，使函數y=xα的定義域為R且為偶函數的所有的α值為2．

故答案為：2．

【解析】【答案】利用冪函數的概念與冪函數的性質即可求得α值．

9、略

【分析】

=2（1+2++n）+（）

=2×+

=．

故答案為：．

【解析】【答案】仔細觀察：根據其結構性質把它等價轉化為2（1+2++n）+（）；然后利用等差數列和等比數列的前n項和公式進行求解．

10、略

【分析】

設這兩段的長度分別為x米；y米。

則x、y滿足關系其平面區(qū)域為右上圖所示陰影部分，兩圓的面積之和為看成是個圓的方程，這個圓經過點A（4，3）或B（3，4）時，s最大，其最大值為平方米．

故答案為：．

【解析】【答案】先設這兩段的長度分別為x米；y米；依題意得列出約束條件和目標函數，最后依據線性規(guī)則的方法求出目標函數的最大值即可．

11、略

【分析】試題分析：向左移動個單位，在向上移動個單位可得的圖像，又故②、④沒有。考點：三角函數圖象的平移變換?！窘馕觥俊敬鸢浮竣佗?2、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】（2）14、法向量共線向量【分析】【解答】解：若兩個平面平行；則他們的法向量共線；

故面面平行的向量方法：證明這兩個平面的法向量是共線向量；

【分析】面面平行的向量方法是：若兩個平面平行，則他們的法向量共線15、①②【分析】【解答】解：①互為反函數的兩個函數的單調性相同；正確，②y=f（x）圖象與y=﹣f（﹣x）的圖象關于原點對稱，正確，③函數f（x）=0是奇函數，但函數f（x）=0沒有反函數，故答案為：①②

【分析】①根據反函數的單調性之間的關系進行判斷，②根據函數對稱性的特點進行判斷，③利用特殊值復數進行判斷即可．三、解答題(共9題，共18分)16、略

【分析】

（1）由得

兩邊平方，得k2+（2-k）2+2k（2-k）cos（β-γ）=1

整理得

當k∈（0，2）時，k2-2k∈[-1，0），

又cos（β-γ）∈[-1；1]；

∴

當k=1時，cos（β-γ）取得最大值

當時；cos（β-γ）取得最小值-1．

（2）由（1）得，cos（β-γ）取得最大值時；k=1

此時，且的夾角為120°．

又

∴的夾角為120°．

故S△BOC：S△AOC：S△AOB=1：1：1．

【解析】【答案】（1）將已知中的向量關系變形為等式的一邊有一個向量；將等式平方求出cos（β-γ）的函數式，分離常數，利用二次函數的最值求出范圍。

（2）將k值代入向量等式求出三個向量的夾角；又三個向量的模相等，得到三個三角形全等，得到三角形的面積比．

17、略

【分析】試題分析：的定義域為R，且為奇函數∴．當時，∴當時，則而∴從而所畫圖像如圖所示，由圖可知，在上單調遞增．試題解析：當時，因為是R上的奇函數，所以即當時，則則因為是奇函數，所以即圖像如圖函數的單調遞增區(qū)間．考點：求函數的解析式及單調區(qū)間【解析】【答案】函數圖像見解析；單調遞增區(qū)間．18、略

【分析】

（1）==sinx．

（2）因為所以cosx=-

因為x是第三象限角，所以sinx=-=-=-．所以f（x）=-．

【解析】【答案】（1）直接利用誘導公式化簡函數的表達式即可求出f（x）．

（2）利用誘導公式求出cosx；通過同角三角函數的基本關系式，求出sinx的值，即可求出f（x）的值．

19、略

【分析】

以D為坐標原點；BC所在直線為x軸建立如圖坐標系。

設C（c，0），B（-c，0），A（a，b）

∴|AB|2=（a+c）2+b2，|AC|2=（a-c）2+b2

可得：|AB|2+|AC|2=[（a+c）2+b2]+[（a-c）2+b2]=2（a2+b2+c2）

∵|AD|2=a2+b2，|AC|2=c2．

∴2（|AD|2+|AC|2）=2（a2+b2+c2）

因此，|AB|2+|AC|2=2（|AD|2+|AC|2）；原命題得證。

【解析】【答案】以D為坐標原點、BC所在直線為x軸，建立直角坐標系如圖，設C（c，0），B（-c，0），A（a，b），分別計算出|AB|2；

|AC|2、|AD|2和|DC|2關于a、b；c的式子；再進行比較即可證出原等式成立．

20、略

【分析】

（1）充分性：若a2+b2=0∴a=b=0

∴f（x）=x|x|對任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0

∴f（x）為奇函數；故充分性成立．（2分）

必要性：若f（x）為奇函數。

則對任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立；

即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0

令x=0，得b=0；令x=a，得a=0．∴a2+b2=0（6分）

（2）由b＜2-3＜0；當x=0時a取任意實數不等式恒成立。

當0＜x≤1時f（x）＜0恒成立，也即x+＜a＜x-恒成立。

令g（x）=x+在0＜x≤1上單調遞增，∴a＞gmax（x）=g（1）=1+b（10分）

令h（x）=x-則h（x）在（0，]上單調遞減，[+∞）單調遞增。

1°當b＜-1時h（x）=x-在0＜x≤1上單調遞減。

∴a＜hmin（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．（12分）

2°當-1≤b＜2-3時，h（x）=x-≥2

∴a＜hmin（x）=2∴1+b＜a＜2．（14分）

【解析】【答案】（1）欲證f（x）為奇函數的充要條件是a2+b2=0，須證兩個方面：①充分性：若a2+b2=0?f（x）為奇函數，②必要性：若f（x）為奇函數?a2+b2=0．

（2）分類討論：①當x=0時a取任意實數不等式恒成立；②當0＜x≤1時f（x）＜0恒成立，再轉化為x+＜a＜x-恒成立問題，下面利用函數g（x）=x+的最值即可求得實數a的取值范圍．

21、略

【分析】

(1)又，d>0，∴，∴．（2）=．【解析】【答案】22、略

【分析】

（1）原不等式，所以原不等式的解集為；（2）原不等式，所以原不等式的解集為【解析】【答案】23、略

【分析】【解析】

試題分析：(1)

6分。

⑵

13分。

考點：對數的運算法則及性質；指數冪的運算。

點評：本題直接考查對數和指數冪的運算，屬于基礎題型。在運算過程中，我們一定要認真、仔細，避免出現(xiàn)計算錯誤。【解析】【答案】（1）2；（2）1.24、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】（1）

（2）四、計算題(共4題，共8分)25、略

【分析】【分析】連接O1O2，O2A，O2B，根據切線的性質得到直角三角形，再由直角三角形中邊的關系得到角的度數，確定A，B兩點的坐標，用待定系數法可以求出b，c的值．【解析】【解答】解：如圖：

連接O1O2，O2A，O2B；

∵O1A，O1B是⊙O2的切線，∴O1A⊥O2A，O1B⊥O2B；

又因為兩圓是等圓，所以O1O2=2O2A，得∠AO1O2=30°

∴∠AO1B=60°；即：α=60°；

∴A（，0）B（；0）．

把A；B兩點的坐標代入拋物線得：

；

解方程組得：．

故答案為：-，．26、略

【分析】【分析】先分母有理化，然后把括號內合并后利用平方差公式計算．【解析】【解答】解：原式=（+++）?（+1）

=（-1+++-）?（+1）

=（-1）?（+1）

=2014-1

=2013．

故答案為2013．27、略

【分析】【分析】根據相似多邊形對應邊的比相等，設出原來矩形的長與寬，就可得到一個方程，解方程即可求得．【解析】【解答】解：根據條件可知：矩形AEFB∽矩形ABCD．

∴．

設AD=x；AB=y，則AE=x-y．

∴x：y=1：．

即原矩形長與寬的比為1：．

故答案為：1：．28、略

【分析】【分析】（1）根據負整數指數的含義；零指數冪的含義以及特殊三角函數值進行計算即可；

（2）先把括號內通分，然后約分得到原式=，再把a2+2a=整體代入進行計算即可．【解析】【解答】解：（1）原式=-1++1-×

=；

（2）原式=[-]?

=?

=；

∵a2+2a-=0；

∴a2+2a=；

∴原式==．五、作圖題(共4題，共8分)29、略

【分析】【分析】作點A關于河CD的對稱點A′，當水廠位置O在線段AA′上時，鋪設管道的費用最?。窘馕觥俊窘獯稹拷猓鹤鼽cA關于河CD的對稱點A′；連接A′B，交CD與點O，則點O即為水廠位置，此時鋪設的管道長度為OA+OB．

∵點A與點A′關于CD對稱；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

過點A′作A′E⊥BE于E；則∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：鋪設管道的最省費用為10000元．30、解：如圖所示：

【分析】【分析】由幾何體是圓柱上面放一個圓錐，從正面，左面，上面看幾何體分別得到的圖形分別是長方形上邊加一個三角形，長方形上邊加一個三角形，圓加一點．31、解：程序框圖如下：

【分析】【分析】該函數是分段函數，當x取不同范圍內的值時，函數解析式不