2024-2025學(xué)年滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末沖刺復(fù)習(xí)：點(diǎn)的坐標(biāo)與面積的五種考法（解析版）

專題02點(diǎn)的坐標(biāo)與面積的五種考法

目錄

解題知識(shí)必備.....................................................................1

壓軸題型講練....................................................................2

類型一、三角形面積問題..........................................................2

類型二、多邊形面積問題..........................................................6

類型三、含參數(shù)面積問題.........................................................11

類型四、動(dòng)點(diǎn)問題...............................................................16

類型五、直線分面積比問題.......................................................25

壓軸能力測(cè)評(píng)...................................................................35

??解題知識(shí)必備8

1.三角形面積公式

S=gx底x曷

2.梯形面積公式

S=（上底+下底）x曷

3.坐標(biāo)平移

1.點(diǎn)的平移：

①將點(diǎn)（x,y）向右（或向左）平移a個(gè)單位可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x+a,y）或（x-a,y）;

②將點(diǎn)（x,y）向上（或下）平移b個(gè)單位，可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x,y+b）或（x,y-b）;

2.圖形平移：

①把一個(gè)圖形各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加上（或減去）一個(gè)正數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平

移a個(gè)單位；

②如果把圖形各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加上（減去）一個(gè)正數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a

個(gè)單位;

4.坐標(biāo)軸上線段的長(zhǎng)度的表示

若A(a,0),B(b,0)，則線段AB=|a-b|;

若A(0,a),B(0,b)，則線段AB=|a-b|;

“壓軸題型講練??

類型一、三角形面積問題

在平面直角坐標(biāo)系中，解決三角形的面積問題，常常講面積問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問題，會(huì)用到點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距

離和點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離問題，通過直接求解和間接求解兩種方法。常見的類型主要有：三角形的一邊在坐

標(biāo)軸上、三角形的一邊平行于坐標(biāo)軸。三角形的三遍不與坐標(biāo)軸平行也不在坐標(biāo)軸上。

例.如圖所示：

⑴寫出三角形ABC頂點(diǎn)C與B的位置.

(2)求出三角形ABC的面積.

【答案】⑴C(2,8),5(6,8)

(2)4

【分析】(1)根據(jù)圖形，直接寫出點(diǎn)C和點(diǎn)8的坐標(biāo)即可;

(2)根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【詳解】(1)解：由圖可知：C(2,8),B(6,8)；

(2)解：三角形ABC的面積1x4x2=4.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，利用網(wǎng)格求三角形面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)坐標(biāo)的表示方法.

【變式訓(xùn)練1］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知三角形ABC,點(diǎn)A的坐標(biāo)是（5,0）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（3,2）,

點(diǎn)C在無軸的負(fù)半軸，且AC=6

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）在y軸上是否存在點(diǎn)尸，使得三角形尸03的面積等于三角形ABC的面積？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若

不存在，請(qǐng)說明理由

【答案】⑴（TO）

⑵P（0,4）或尸（0,-4）

【分析】本題主要考查平面直角坐標(biāo)中圖形的與坐標(biāo)，掌握平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)與線段的關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，線段AC的長(zhǎng)即可求解；

（2）根據(jù)題意可求出SMe，SP0B,結(jié)合幾何圖形面積的計(jì)算方法即可求解.

【詳解】（1）回點(diǎn)A的坐標(biāo)是（5,0）

@OA=5,

^\OC=AC-OA,AC=6,

0OC=6-5=1.

團(tuán)點(diǎn)。的坐標(biāo)是（—1,0）.

（2）存在，如圖所示

團(tuán)5(3,2),AC=6,

回SMe=5AC,%=-x6x2=6.

POB=ABC

設(shè)尸(0,m)，則OP=M，

回S,POB=~OP-xB=-x同x3=6,

回同=4,解得：m=±4,

回P(0,4)或尸(0,-4).

【變式訓(xùn)練2】.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位，建立平面直角坐標(biāo)系，三角

形是三角形ABC向右平移4個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位后得到的，且三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

A(1,1)閏(4,2)6(3,4).

⑴請(qǐng)畫出三角形ABC；

(2)寫出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)；

⑶求出三角形A4G的面積.

【答案】(1)見詳解

(2)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：(T0),(0,1),(-1,3)

(3)3.5

【分析】本題考查作圖-平移變換、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

(1)利用平移的性質(zhì)即可解答；

(2)利用平移的性質(zhì)即可解答；

(3)利用三角形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：將三角形ABiG向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移1個(gè)單位，即為求作的三角形力3C,

如圖所示：

(2)解：回44片G是由是VABC向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移1個(gè)單位后得到的后得到的，且

a(1,1),耳(4,2),G(3,4),

回點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：(-3,0),(0,1),(-1,3).

(3)解：三角形ABC的面積=3x3-工*1x3xlx2x2x3=3.5.

222

【變式訓(xùn)練3].如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

A(-3,0),5(-6,-2),C(-2,-5).將三角形ABC向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移8個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

三角形44G.

⑵在平面直角坐標(biāo)系xOv中畫出三角形AAG；

⑶求三角形的面積.

【答案】⑴4(5,5)，4(2,3),a(6,0)

(2)見解析

(3)8.5

【分析】此題主要考查了平移變換以及三角形面積求法，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.

(1)直接寫出點(diǎn)4、用、￡的坐標(biāo)即可；

(2)直接利用平移的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；

(3)直接利用矩形面積減去周圍三角形面積進(jìn)而得出答案.

【詳解】(1)由圖形與坐標(biāo)可得：4(5,5),4(2,3),G(6,0).

(2)三角形A4G如圖所示.

(3)S.=4x5--x2x3--x3x4--xlx5=8.5.

AARCr1222

類型二、多邊形面積問題

多邊形的面積計(jì)算，一般采用分割法或圍欄法。

例.如圖，四邊形AOC。所在的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度.

D

⑴建立以。為原點(diǎn)，AO邊所在直線為x軸的平面直角坐標(biāo)系，并寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求出四邊形AOCD的面積；

⑶請(qǐng)畫出將四邊形AOCD向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的四邊形AO'C'D.

【答案】(1)畫圖見解析，C(2,2)

(2)9

⑶畫圖見解析

【分析】此題考查了平面直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo)、圖形的平移作圖、網(wǎng)格中圖形的面積等知識(shí)，準(zhǔn)確建立

平面直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵.

（1）按照要求建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)建立的坐標(biāo)系寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；

（2）根據(jù)四邊形AOCD的面積=$△+$△??求出面積即可；

（3）按照平移規(guī)律找出A、0、C、。平移后的對(duì)應(yīng)的A、O'.C'、訊再依次連接即可.

【詳解】（1）解：建立平面直角坐標(biāo)系如下圖：

由圖可得：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,2）；

（2）解：由圖可得：

四邊形A0CD的面積=SAOD+^.COD=gx4x3+；x3x2=9；

【變式訓(xùn)練已知VABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是4（-2,3）,B（-3,-2）,C（0,3）.

(1)在所給的直角坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出VABC；

(2)如果VABC內(nèi)任意一點(diǎn)MO,y),經(jīng)過平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M'(x+l,y-2),將VABC作同樣的平移得到

一A'3'C',求四邊形的面積.

【答案】⑴見解析

(2)7

【分析】此題考查了平移變換，割補(bǔ)法求面積，

(1)根據(jù)點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)作圖即可；

(2)由點(diǎn)/的坐標(biāo)變化得到點(diǎn)的變化規(guī)律，確定點(diǎn)A,B',C'的坐標(biāo)，再畫出一A‘3'C',然后利用割補(bǔ)法

求解即可.

【詳解】(1)如圖所示，VABC即為所求；

(2)如圖所示，M(x,y)經(jīng)過平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為〃'(x+Ly-2),VABC作同樣的平移

IBVABC向右平移一個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到AB,C,

回四邊形ABB，A的面積=2x7」xlx2x2」xlx5x2=7

22

【變式訓(xùn)練2】.如圖，將VABC向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一A9C,

(1)請(qǐng)畫出平移后的圖形,ABC；

(2)寫出./EC'各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶連接AB'和AC'，求出四邊形A3NC'的面積.

【答案】⑴見解析

(2)A'(4,0),C,(2,-2)

【分析】本題考查作圖-平移變換，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換的性質(zhì)，學(xué)會(huì)用割補(bǔ)

法求四邊形面積.

(1)利用平移變換的性質(zhì)分別作出A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A,B',C即可;

(2)根據(jù)A,B',C的位置寫出坐標(biāo)即可;

(3)把四邊形的面積看成長(zhǎng)方形面積減去周圍的四個(gè)三角形面積即可.

【詳解】(1)如圖，回ABC即為所求;

X

(2)由(1)得4(4,0),"(1,3),C,(2,-2)；

11119^

(3)四邊形AEAC的面積為5><5-3><1*2丁3/4―x2x2--x3x3=—.

【變式訓(xùn)練3].如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOv中，A8,c三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,5),(2,2),(3,1),然后依次連

接得到三角形ABC.

（1）將三角形ABC先向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到三角形AB?！乖谄矫嬷苯亲?/p>

標(biāo)系中畫出三角形AUG.

⑵在（1）中畫出的圖中，連接G。，點(diǎn)P在X軸的負(fù)半軸上，且三角形A與尸的面積與四邊形4烏。。的面

積相等，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】⑴圖見解析

⑵點(diǎn)P的坐標(biāo)為［

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化一平移，坐標(biāo)與圖形：

（I）先根據(jù)"上加下減，左減右加”的平移規(guī)律得到A、B、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)A、用、￡的坐標(biāo)，描出4、四、G，

再順次連接A、旦、G即可；

（2）利用割補(bǔ)法求出S四邊形AB1Go=4,貝”△4即＞=4,設(shè)點(diǎn)尸（a,0）,則gx（-2-a）x3=4,解之即可.

【詳解】（1）解：團(tuán)將三角形A5C先向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到三角形A2|G，

且A（4,5）,3（2,2）,C（3,1）,

.?.平移后的坐標(biāo)為A（。，3）,丹（-2,0）,G（―1,—1）.

平移后的三角形A4G，如圖所示：

（2）解：S四邊形A4C0=2x4-；x2x3-2x；xlxl=8-3-l=4,

?二%4四尸=4.

點(diǎn)P在X軸的負(fù)半軸上，設(shè)點(diǎn)尸(。,0),

0—x(—2-Q)x3=4,

14

解得〃=-1，

二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為「與，0

類型三、含參數(shù)面積問題

此類問題中，點(diǎn)的坐標(biāo)可能含有參數(shù)，或者坐標(biāo)未知，通過用參數(shù)(或設(shè)未知數(shù))來表示點(diǎn)的坐標(biāo)，從而

表示出線段長(zhǎng)，進(jìn)而表示出圖形面積，再結(jié)合題目給出的條件建立關(guān)系式來解決問題。

例.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A,B是X軸上兩點(diǎn)，4-1,0),3(3,0),現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A,B分別向上平移

2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到48兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C,D,連接AC,四,8.

⑴直接寫出點(diǎn)C,。的坐標(biāo).

⑵若平移后得到的四邊形ABDC為平行四邊形，求出四邊形ABDC的面積.

⑶在x軸上是否存在點(diǎn)F,使△DPC的面積是的面積的2倍？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴以0,2),0(4,2)

(2)8

(3)存在,(1,0)或(5,0)

【分析】本題考查了平移、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移的性質(zhì).

(1)直接根據(jù)變化情況，寫出兩點(diǎn)坐標(biāo)即可；

(2)根據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可；

(3)根據(jù)△OFC的面積是的面積的2倍求出所的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【詳解】(1)回4-1,0),8(3,0),現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)4B分別向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,

得到A,2兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C,D,

團(tuán)CQ2),0(4,2)；

故答案為：以0,2),0(4,2)；

(2)S=AB-OC

=|3-(-1)卜2

=8；

團(tuán)CD=4,

團(tuán)△?；?。的面積是△DFB的面積的2倍

0-CD7OC2^-BFOC

22

ECD=2BF

^BF=-CD=2.

2

EB(3,0),

國點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,。)或(5,。).

【變式訓(xùn)練11在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為(3,0),(-3,0),現(xiàn)將線段先向上平移3個(gè)單

位，再向右平移1個(gè)單位，得到線段。C,連接4),BC.

圖1圖2

（1）如圖1,求點(diǎn)C,。的坐標(biāo)及四邊形ABCD的面積；

（2）如圖1,在y軸上是否存在點(diǎn)尸，連接Q4,使=S四邊形MCD?若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在;

⑶如圖2,在直線C。上是否存在點(diǎn)。，連接。8,使S℃B=；S四邊向巾，若存在，直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（l）C（-2,3）,D（4,3）,18

（2）存在,（0,6）或（0,-6）

⑶存在，（2,3）或（-6,3）.

【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算、點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)平移變換的性質(zhì)

求出點(diǎn)C,￡＞的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)平移的性質(zhì)求出點(diǎn)C。的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的面積公式求出四邊形ABCD的面積；

（2）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；

（3）根據(jù)直線CO上點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)出點(diǎn)。的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：團(tuán)點(diǎn)A,2的坐標(biāo)分別為（3,0）,（-3,0）,線段先向上平移3個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單

位，得到線段。C,

回點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2,3）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4,3）,AB=6,

團(tuán)四邊形ABC。的面積=6*3=18.

（2）解:存在，

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,b）,

由題意得：；x6xg|=18,解得：b=±6,

回點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,6）或（0,-6）.

（3）解:設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（。,3）,則CQ=|a+2],

由題意得：；x|"+2|x3=gxl8,解得：。=2或-6,

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,3）或（-6,3）.

【變式訓(xùn)練2].如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中A(a,O),B(O,b),其中a,6滿足(“-咪+病行=0,現(xiàn)將線

段A3先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段。C.

(1)直接寫出點(diǎn)AB,C,。的坐標(biāo)：A,B,C,D；

3

⑵若點(diǎn)尸在無軸上，且使得三角形DCP的面積是三角形A3C面和的萬倍，求點(diǎn)P坐標(biāo)；

⑶如圖2,點(diǎn)是三角形A3C內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AM,BM,Q0,若三角形ABM與三角形ACM

面積之比為1:2,求〃2,“之間滿足的關(guān)系式.

【答案】⑴(1。)，(0,—3),(5,0),(6,3)；

⑵爪11,0),￡(-1,0)；

(3)w=l—1.

【分析】本題是幾何變換綜合題，考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，三角形的面積公式，熟練掌握三角

形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到加，”之間滿足的關(guān)系.

【詳解】(1)解：ffl(a-l)2+V^+3=0,

回a—1=0,b+3=0,

團(tuán)a=1,b=—3,

0A(1,O),3(0,-3),

回將線段AB先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段DC,

0C(5,O),D(6,3)；

故答案為：(1,0),(0,-3),(5,0),(6,3)；

(2)解：由(1)可知，4(1,0)，5(0,-3),C(5,0),

0AC=5-1=4,

0S=-ACOB=-x4x3=6,

zc22

3

回SDCP=5SABC，

Q

回sDCP=5*6=9,且點(diǎn)尸在X軸上,￡>(6,3),

^CP.yD=；CPx3=9,

21cp=6,

0C(5,O),

0/1(11,0),5(TO)；

(3)解：已知M(”?,〃)，如圖所示，連接OM,04=1,OB=3,AC=4,

回SACM=：4(3]端=；x4x(-〃)=一2〃,

1+1OBXii33

SABM=SOAM+SOBM~SAOB=M\~\M\~=+~，

乙乙乙乙乙乙

回三角形曲與三角形ACM面積之比為1:2,

(133、

團(tuán)一2〃=2—n+—m—,

(222)

n

化角牟得：3m+九=3或者”=3—3加或者〃2=1-§.

【變式訓(xùn)練3].如圖所示，VABC三個(gè)頂點(diǎn)均在平面直角坐標(biāo)系的格點(diǎn)上.

⑴若把VABC向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到在圖中畫出工A3'C,并直接

寫出AB'C三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求出VABC的面積；

⑶點(diǎn)尸為x軸上一點(diǎn)，且ABP的面積是VABC面積的一半，求P點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】⑴圖形見解析，A（0,5）/（3,2）,C（7,2）

（2）6

（3）尸（3,0）或尸（—1,0）

【分析】本題考查的是作圖-平移變換，熟知圖形平移不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A,B',C'即可；

（2）利用三角形面積公式求解；

（3）設(shè)點(diǎn)尸（利,0）,根據(jù)面積公式建立方程，解方程即可.

【詳解】（1）解：.AB'C'如下圖所示，

由圖知,ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為：A'（0,5）,3'（3,2）,C'（7,2）；

（2）解：S^ABC=^x4x3=6；

（3）解：設(shè)點(diǎn)尸（狐0）,

根據(jù)題意得：；x|m-l|x3=gx6,

解得：m=3,或m=—1,

團(tuán)P（3,O）或尸（-1,。）.

類型四、動(dòng)點(diǎn)問題

動(dòng)點(diǎn)類問題，題目沒有明確坐標(biāo)的情況下，先設(shè)好坐標(biāo)，結(jié)合實(shí)數(shù)的性質(zhì)、，平行線的性質(zhì)、平移規(guī)律，分

類思想、三角形的面積問題、平面直角坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)特征、線段長(zhǎng)的求法，點(diǎn)的坐標(biāo)的確定、三角形四邊

形面積的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行求解。

例.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,3的坐標(biāo)分別為人(。,0),8(6,0),且。，6滿足卜+3|+病與=0.現(xiàn)

同時(shí)將點(diǎn)A,B分別向上平移2個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A,8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C,。，連接AC,

⑵如圖2,點(diǎn)P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)2是線段CO的中點(diǎn)，連接尸2,PO,當(dāng)點(diǎn)尸在線段AC上移

動(dòng)時(shí)(不與A,C重合)，請(qǐng)找出NPQD,NOPQ,NPO5的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

⑶在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)M,使ZWW的面積與ACD的面積相等？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若

不存在，試說明理由.

【答案】(1)(-3,0)，(2,0)

(2)ZPQD+ZOPQ+NPOB=360°

⑶存在；點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)或(-8,0)或(0,-g］或［0,g］

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的非負(fù)性，平行線的性質(zhì)，平移規(guī)律，分類思想，熟練掌握實(shí)數(shù)的非負(fù)性，平行

線的性質(zhì)，平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

(1)由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(2)過點(diǎn)尸作PE〃AB,利用平行線的性質(zhì)即可得三角的關(guān)系；

(3)分點(diǎn)”在x軸上與M在y軸上兩種情況考慮即可.

【詳角軍】(1)解：由于|。+3|+>/^=0,l.|a+3|>0,^/^2>0,

所以。+3=0,b—2=0,

即a=—3,b=2,

回A(-3,0),6(2,0)；

故答案為：(-3,0),(2,0);

(2)解：ZPQD+ZOPQ+ZPOB=360°；

證明如下：

如圖，過點(diǎn)。作P尸〃AB,

\?FPO2POB180?；

.'點(diǎn)A,5分別向上平移2個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，分別得到其對(duì)應(yīng)點(diǎn)C,D,

:.AB//CD,

/.PF//CD,

\?PQD?FPQ180?；

\?FPO?POB?PQD?FPQ360?；

而？尸尸O2FPQ?OPQ,

①當(dāng)點(diǎn)M在1軸上時(shí)，

由平移知，AB//CD,AB=CD,AB=5,00=2,

\SacL：倉第2二5；

設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(x,0),則M4=|x+3],

SAMD=^MA-OD=^x+3fx2=5,

解得：x=2或x=-8,

圖1

②當(dāng)點(diǎn)M在y軸上時(shí)，設(shè)"(0,y),

則DM=|2-y|,OA=3,

.■.SADM=^DM-OA=^\2-y\x3=5,

解得：y=~4^y=1Y6f

即A/(0,-g1或M(0,；

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)或(-8,0)或或(0,mJ.

【變式訓(xùn)練1工在平面直角坐標(biāo)系中，A(x,0),3(0,y),若x,y滿足|X+2|+5N=0,

(1)寫出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)；

(2)過y軸上點(diǎn)C(0,3)作直線/交直線A3于點(diǎn)尸，若SBw=gs.c，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶過y軸上點(diǎn)C(0,3)作直線力〃AB,點(diǎn)尸(根,〃)為直線/上一動(dòng)點(diǎn)，己知點(diǎn)0(2,0),若S△皿求出

m的取值范圍.

【答案】⑴A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)8的標(biāo)為(0,4)

⑵點(diǎn)P坐標(biāo)為P(T2)，(L6)

,、123—34

(3)一"-<m<m<――

【分析】本題主要考查了三角形的面積問題、平面直角坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握以上知識(shí)和分類討論

是解題關(guān)鍵.

(1)利用二次根式和絕對(duì)值的非負(fù)性即可求出x、y,進(jìn)而求得A、2坐標(biāo)；

(2)先求出VABC面積，再得出3cp面積，3cp的底是BC,高是點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)的長(zhǎng)度，進(jìn)而利用面

積公式求出?=7或1,進(jìn)而求解

(3)根據(jù)f經(jīng)過的一二三象限分類討論即可，根據(jù)范圍列出不等式求解.

【詳解】(1)解：卡+2白0,而鼻。

「J%+=0,Jy-4—0,

/.x=—2,y=4

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B的標(biāo)為(0,4)

(2)解：如圖，過點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作PPLx軸于點(diǎn)E

由ABC=g8CxOA=gxlx2=l,

=

'''S&BCP'2~~2BCxPE，

則PE=l,Xp=T或=1

S&ACP=S.PFOC+^AAPF-S^ACO=]>

:.-(PF+CO)xPE+-AFxPF--AOxCO=~,

2222

.-.1(PF+3)xl+|xlxPF-|x2x3=pPF=2.

???P(T2),

如圖，過點(diǎn)P作尸軸于點(diǎn)F',尸廳，y軸于點(diǎn)￡,

同理可得PE'=1,PF=6,

???尸(1,6),

綜上所述，點(diǎn)P得到坐標(biāo)為尸(T,2),(1,6).

12334

(3)解：---Wm<—或—<mW—.

7223

如圖(2),由直線，〃回,且過點(diǎn)C,

可得直線/的方程：y=2x+3,

又P（加,〃）在直線r上，

:.n=2m+3

fm>0

①當(dāng)尸（八”）在第一象限，c得利>0,

[2機(jī)+3>。

S

.ADP=^AZ>-|）/p|=2n=4m+6,SACP=SAOP-SAOC-SCPO=^,

又S/\ADP—S叢ACP，

.「，m,12

4m+6<—,m<-----,

27

，加無解.

fm<0

②當(dāng)P（私油在第二象限，c。c，

[2m+3>0

3

得——<m<0,

2

SADP=-^AD-\yp\=2n=4m+6,SACP=SAOP-SAOC-SCPO=-^-

又S^AOP—S/^ACP，

,m4

/.4Am+6<--,m<——,

23

3,4

/.——<m<——.

23

fm<03

③當(dāng)尸（加,〃）在第三象限，C°c得機(jī)<-三，

[2m+3<02

同理可得SAADP=-4m-6,SAACP=--：

m12

又SXAOP尸，—4加—64一萬，根2一■—；

12,3

----<m<——.

72

12334

綜上所述：一~7W機(jī)v-］或一a<機(jī)W.

【變式訓(xùn)練2］.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，VABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為力（a,0）,B（2,b）,C（4,0）,

其中。，J滿足Jl-a-P+|6-3|=0,AB與V軸交于點(diǎn)￡）.

⑴求。，6的值及點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑵如圖2,E是V軸上位于上方的一動(dòng)點(diǎn)，

①連接AE,EB,OB,當(dāng)和OEB的面積相等時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②如圖3,過點(diǎn)E作EF〃AB,EM平分NFEO,AM平分/BAO,求ZEM4的度數(shù).

【答案】（1）。=一2,6=3,點(diǎn)。的坐標(biāo)為。［。，

（2）①點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（0,3）；②N￡M4=45。

【分析】本題是三角形綜合題，考查的是平行線的性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的

關(guān)鍵.

（1）連接08,過點(diǎn)8分別作x軸，、軸的垂線，垂足分別為G,H,由非負(fù)性可求a,b,c的值，再由

SABO=SADO+SBD。列出等式，即可求解；

（2）①過點(diǎn)B作由SAEB=SOEB可得$AED=SBO?，從而得出gxOExAOngxDOxBH,求

得DE=：,可得0￡=00+小=>?=3,得出點(diǎn)E的坐標(biāo)為磯0,3）；

②過點(diǎn)M作MV〃AC,交丫軸于點(diǎn)N,貝i|N2VM4=NQ4Af,ZENM=ZDOC=90°,由EF〃AB可得

ZFEO=ZBDO,再由NBr>O+NOZM=NB4O+NAOr）+NOZM=180。得出

ZBDO=Z.BAO+ZAOD=ABAO+90°,從而可得NFEO=NBAO+90。，再由EM平分NFEO可得

ZMEO=-ZFEO=-ZBAO+45°,再由AM平分ZBAO可得NNM4=NOAM=!/朋。，從而得出

222

ZEMA=AEMN+ZNMA=45°.

【詳解】（1）解：連接08,過點(diǎn)B分別作X軸，y軸的垂線，垂足分別為G,H,

0A(-2,O),5(2,3)

回sABO=sADO+sBDO

^\-xAOxBG=-xAOxDO+-xDOxBH

222

gp-x2x3=-x2xDO+-xZ)Ox2

222

3

回OO=—,

2

回點(diǎn)O的坐標(biāo)為o[o，|),

(2)解：①過點(diǎn)B作

回SAEB=SOEB

回SAED=SBOD

^\—xDExAO=—xDOxBH

22

113

團(tuán)一xDEx2=—x—x2

222

3

0DE=-

2

33

0OE=OD+Z)E=-+-=3

22

回點(diǎn)E的坐標(biāo)為磯0,3),

②過點(diǎn)〃作MN〃AC,交丁軸于點(diǎn)N,

則N7VM4=NQ4M,ZENM=ZDOC=90°

回砂〃AB,

@NFEO=NBDO

0NBDO+ZODA=NBAO+ZAOD+ZODA=180°

0ZBDO=ZBAO+NAOD=NBAO+90°

^\ZFEO=ZBAO+90°

回EM平分/FEO

回ZMEO=-ZFEO=-NBAO+45°

22

0ZEMN=180°-ZENM-ZMEO=90°-(-ZBAO+45°)=45°--ZBAO

22

a4M平分/BAO

0ANMA=ZOAM=-ZBAO

2

ENEMA=AEMN+ZNMA=45°

【變式訓(xùn)練3】.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，CB〃OA,且。4=12,OC=8C=4.

⑴直接寫出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)；

（2）若動(dòng)點(diǎn)尸從原點(diǎn)。出發(fā)沿x軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線尸C把四邊形。4BC分成面積

相等的兩部分時(shí)，求點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

⑶在（2）的條件下，在'軸上是否存在一點(diǎn)。，連接PQ,使-CPQ的面積與四邊形Q45C的面積相等？若

存在，求點(diǎn)2的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴A（120）,8（4,4）,C（0,4）；

（2）4

⑶2（0,20）,g2（0,-12）

【分析】此題是三角形綜合題，主要考查了線段長(zhǎng)的求法，點(diǎn)的坐標(biāo)的確定，三角形四邊形面積的計(jì)算,

解本題的關(guān)鍵是OPC面積的計(jì)算.

(1)根據(jù)線段的長(zhǎng)和線段的特點(diǎn)確定出點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)先求出無邊形OABC=32,從而得到;OPx4=16,求出。尸，即可得到答案;

(3)根據(jù)四邊形Q4BC的面積求出aCPQ的面積是32,最后求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：回點(diǎn)A、C在無軸上，(24=12.

0A(12,O),

13c在y軸上，OC=4,

0C(O,4),

^\CB//OA,CB=4,

回8(4,4)；

c、航1向q_(4+12)x4_

(2)斛：口8四邊形0ABe=-=32,

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間1秒，

國OP=2t,

回一x2tx4=32x—,

22

融=4；

(3)解：設(shè)。(O,y),

0S^CPQ-S四邊形Q^C,

0l|y-4|x4=1x(4+12)x4=32

回%=20,為=一12,

回0(0,20),a(0,-12).

類型五、直線分面積比問題

(1)如圖1,連接AC,求三角形ABC的面積.

（2汝口圖2,連接AC,若過點(diǎn)B作即〃AC交y軸于點(diǎn)。，且AE,DE分別平分ZCAB,ZODB,求NAED?

（3）如圖3,過C作CO垂直于點(diǎn)。，連接AD,點(diǎn)P從。點(diǎn)出發(fā)，沿"DCfCB"移動(dòng)，若點(diǎn)尸的速度為每

秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒，當(dāng)尸運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，直線OP將四邊形4BCD面積分為3:11兩部分？

求出尸的坐標(biāo)？

【答案】（1）4

（2）45°

⑶*a或「（3」）

【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形面積，清晰的分類討論是解本題

的關(guān)鍵.

（1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先求解。涉的值，可得A氏c的坐標(biāo)，進(jìn)一步可得三角形的面積；

（2）過E作￡F〃AC,如圖2,證明3￡>〃AC〃￡F,可得N3=；NG4B=N1,Z4=1zODB=Z2,證明

ZCAB+ZODB=Z5+Z6=180°-90°=90°,從而可得結(jié)論；

（3）當(dāng)P在。C時(shí)，如圖①，則P（r,2）,由題意得S四邊形9=?q=》白（3+4）X2,當(dāng)尸在BC上

時(shí)，尸（3,5-），如圖②，s三加形卸=咚0=：*9（3+4卜2,再解方程可得答案；

【詳解】（1）解：0（a+l）2+A/^3=O,

團(tuán)a+l=0,b—3=0,

團(tuán)〃=-1,b=3,

0CB1AB,

0A（-1,O）,5（3,0）,C（3,2）,

回三角形ABC的面積=1x2x4=4；

（2）解：過E作￡F〃AC,如圖2,

>

x

圖2

團(tuán)友）〃AC,

^\BD//AC//EF,

如圖所示，

SAE,DE分別平分NGW,ZODB,

0Z3=-ZG4B=Z1,Z4=-ZODB=Z2,

22

回CBJ_x軸，

EZCBA=90°,

13c8〃y軸，BD//AC,

0ZC4B=Z5,ZODB=Z6,

即Z.CAB+Z.ODB=Z5+Z6=180°-90°=90°,

0ZAED=Z1+Z2=1（/CAB+ZODB）=45°

(3)解：當(dāng)尸在0c時(shí)，如圖①，則尸(f,2),

叫

圖①

由題意得

2”+1）31/、

S四邊形AOPD=-2-=]JXJX（3+4）X2,

解得f=g,

即唯

當(dāng)P在BC上時(shí)，P（3,5-t）,如圖②,

圖②

由題意得

3（5-。31、.

（z）

S三角形05P=5=14X2X3+4X2>

解得t=4,

國3尸=5—4=1,

即尸（3,1）,

綜上，尸］,2］或尸(3,1).

【變式訓(xùn)練11如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為。,-2),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)C在V軸正

半軸上，平移線段到線段DC,使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C,連接O。，

SAODC=4.

⑵如圖2,連接3D,與>軸交于點(diǎn)E,連接BC,ZDCE=45°,求與4BE的數(shù)量關(guān)系；

⑶在2的條件下，若△BCD的面積為7,在>軸上是否存在一點(diǎn)P,使2BD與△BCD的面積之比為12:77

若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴(0,4),(-2,2)

(2)ZOEB+ZABE=135°

⑶存在，(0,6)或(0,-1］

【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，角的和差，割補(bǔ)法求圖形面積等知識(shí)，注意分類討論與數(shù)

形結(jié)合.

(1)設(shè)點(diǎn)C(0,°),則可確定平移，從而可確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，由S^?c=4求得。的值，則可得C、D的坐標(biāo)；

(2)由平移得AS〃CE>,得NOCB+NABC=180。，結(jié)合已知與圖形得？OCB?OBC1ABE135?；再由

20cB90?TOBE?EBC?OEB1EBC,可得NOEB+ZABE=135°,此即NOEB與，ABE的數(shù)量關(guān)系；

(3)由已知面積關(guān)系可求得△PSD面積；分點(diǎn)P在x軸上方與下方兩種情況，利用面積關(guān)系求得OP的長(zhǎng)，

即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：設(shè)點(diǎn)C(0,a)，

由于平移線段AB到線段。C,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Z),點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C,

所以點(diǎn)B向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度再向上平移。個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)C,點(diǎn)A按此平移得到點(diǎn)。，點(diǎn)。的坐標(biāo)

為(-2,-2+0)，

由于k0%=4,則Q倉女2=4,

解得：a=4,

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,2)；

故答案為：(0,4),(-2,2)；

(2)解：由平移性質(zhì)知：AB//CD,

ZDCB+ZABC=1SO°f

ZDCE=45°,2DCB?DCE1OCB,

\1OCB2EBC2ABE135?；

?OCB90??OBE?EBC2OEB?EBC,

\2OEB?EBC?EBC2ABE135?,

即ZOEB-^-ZABE=135°；

(3)解：由(1)知，。(―2,2)；

V19

c—7uPBD_匕

°BCD-/9飛一~Z~，

JBCD/

'S4PBD='2;

①當(dāng)點(diǎn)尸在X軸上方時(shí)，如圖1,

由于：OP?2g倉小OP-g倉方2=12,

解得：OP=6,

..尸(0,6)；

圖1

②當(dāng)點(diǎn)尸在x軸下方時(shí)，如圖2,

圖2

由于』OP?24倉山OP+工倉B2=12,

222

解得：0P=：

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,6）或［0,-彳

【變式訓(xùn)練2】.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4（2,0）,磯0,4）.將點(diǎn)A向下平移制相>0）個(gè)單位，B點(diǎn)先

向右平移4個(gè)單位，再向下平移"（">0）個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A,B'.

⑴若AF與坐標(biāo)軸平行，則相與〃的數(shù)量關(guān)系是二

⑵分別過A,8,作了軸的垂線，垂足分別為M,N,且加-〃=1.

①求四邊形AMNa的面積；

②連接AE,OA,OB',線段AE交x軸于點(diǎn)C,若0c將三角形AOB'的面積分成2:3的兩部分，求點(diǎn)C

的坐標(biāo).

［答案］（1）帆=T

⑵①四邊形的面積=15；②點(diǎn)C的坐標(biāo)為0）或

【分析】本題考查了坐標(biāo)的平移，兩點(diǎn)間的距離，三角形面積等知識(shí)，

（1）先表示出4（2,-m），3'（4,4-“），根據(jù)與坐標(biāo)軸平行可知A,E的橫坐標(biāo)相等或者縱坐標(biāo)相等,

據(jù)此作答即可；

（2）①結(jié)合加-〃=1,表示出A'（2,f-1）,8（4,4-力），畫出圖形，可知四邊形是梯形，則面積可求；

②S三角形?！?；。。（4-〃），S三角形0cM+1）,分若甘也里=彳和若廿熬里=5兩種情況討論'

22。三角形OCA，3。三角形OCA，%

解答即可.

【詳解】（1）根據(jù)題意可得：4（2,-機(jī)），B'^A-n）,

EIAE與坐標(biāo)軸平行，且2片4,

回4—〃二—m,

即：m—n=^,

故答案為：m-n=-4；

（2）@^\m—n=l,

0m=n+l,

由平移得A（2,f-1）,9（4,4一〃），

回四邊形的面積=；（2+4）［（4-”）-（一"一川=15.

②S三角形oc&=20c,(4-，S三角形OCA二*5+1)，

分兩種情況:

c9—0C-(4—M)0

若沁業(yè)=：,則^----------2解得:

=n=2.

》三角形OCAJ^OC(n+l)了

回？(4,2),A(2,-3),

1111

0-OCx5=-(2+4)x5--x4x2--x2x3,

解得："=￡，

3OC-(4—n)§

者-S三角形OCE

則^----------=彳，解得:n=\,

S三角形oar2-OC-(n+l)2

團(tuán)？(4,3),A(2,-2).

1111

I?]—OCx5=—(2+4)x5--x4x3-—x2x2,

解得：0c,，

ECT°?

16

綜上所述：點(diǎn)c的坐標(biāo)為或

5

【變式訓(xùn)練3],在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,4),3(6,4)，連接A3,將AB向下平移5個(gè)單位得線段CD,

其中點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C.

(1)備用圖(1)備用圖(2)

⑴填空，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)。的坐標(biāo)為,線段平移到CO掃過的面積為.

⑵若點(diǎn)尸是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接尸Z).

①如圖(1),當(dāng)點(diǎn)P在y軸正半軸時(shí)，線段PD與線段AC相交于點(diǎn)E,用等式表示三角形PEC的面積與

三角形ECD的面積之間的關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)尸￡)將四邊形ACDB的面積分成2：3兩部分時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)(2,T),(6,-1),20

⑵①S&EC=②尸坐標(biāo)為(0,5)或(0,第

2o

【分析】此題是幾何變換綜合題，主要考查了平移的性質(zhì)，三角形的面積公式，用分類討論的思想是解本

題的關(guān)鍵.

(1)由平移的性質(zhì)得出點(diǎn)C坐標(biāo)，AC=5,再求出AB,即可得出結(jié)論；

(2)①先求出P尸=2,再用三角形的面積公式得出SPEC=CE,SECD=2CE,即可得出結(jié)論；

②分DP交線段AC和交A3兩種情況，利用面積之差求出PCE和4PBE,最后用三角形面積公式即可得

出結(jié)論.

【詳解】(1)解：點(diǎn)4(2,4),3(6,4),將A3向下平移5個(gè)單位得線段CD,

.?.C(2,4-5),。(6,4—5)即：C(2,-l),￡>(6,-1)

由平移得，AC=5,四邊形ABQC是長(zhǎng)方形，

A(2,4),8(6,4),

,-.AB=6-2=4,

■?-5?DC=AB-AC=4X5=20,即：線段AB平移到CD掃過的面積為20,

故答案為：(2,7),(6,-1),20；

(2)①如圖1,

過尸點(diǎn)作尸于P,

由平移知，ACy軸，

42,4),

:.PF=2,

由平移知，CD=AB=4,

：.S,pEc=gcE-PF=gcEx2=CE,S￡CD=|cECD=|cEx4=2CE,

?VOQ

,,u,ECD=-PEC'

②(0)如圖2,當(dāng)P。交線段AC于E,且PD將四邊形ACD3分成面積為2:3兩部分時(shí),

連接尸C,延長(zhǎng)。C交丫軸于點(diǎn)則M(0,-l),

連接