高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修三）第05講723同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

7.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式TOC\o"13"\h\u題型1已知某個(gè)三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值 ②對(duì)“任意”一個(gè)角（在使函數(shù)有意義的前提下）關(guān)系式都成立，即與角的表達(dá)形式無關(guān)，如sin23α＋cos23α=1成立，但是sin2α＋cos2β=1就不一定成立.（2）sin2α是（sinα）2的簡寫；（3）在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對(duì)值的概念，應(yīng)注意“”的選取。知識(shí)點(diǎn)二.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形1．平方關(guān)系式的變形：sin2α=1cos2α,cos2α=1sin2α，2．商數(shù)關(guān)系式的變形sinα=cosα?tanα,cosα=sinα題型1已知某個(gè)三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值【方法總結(jié)】三角函數(shù)求值問題處理方法1、同角三角函數(shù)的關(guān)系揭示了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系，其常用的用途是"知一求二"，即在sinα，cosα，tanα三個(gè)值之間，知道其中一個(gè)可以求其余兩個(gè)．解題時(shí)要注意角α的象限，從而判斷三角函數(shù)值的正負(fù).2、已知三角函數(shù)值之間的關(guān)系式求其它三角函數(shù)值的問題，我們可利用平方關(guān)系或商數(shù)關(guān)系求解，其關(guān)鍵在于運(yùn)用方程的思想及（sinαcosα）2=1±2sinαcosα的等價(jià)轉(zhuǎn)化，分析解決問題的突破口·◆類型1sinα，cosα，tanα的知一求二【例題11】（2022秋·浙江杭州·高一統(tǒng)考期末）已知cosα=?13，A．23 B．?23 C．2【答案】D【分析】根據(jù)角的范圍，確定sinα【詳解】因?yàn)棣痢师?3π又cosα=?1故選：D.【變式11】1．（2022秋·廣東廣州·高一?？计谀┮阎猚osα=?4A．?34 B．43 C．?【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】由于cosα=?45,0<故選：A【變式11】2.已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，則cosα＝.【答案】－eq\f(\r(5),5)【解析】由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(sinα,cosα)＝2，①,sin2α＋cos2α＝1，②))由①得sinα＝2cosα代入②得4cos2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝eq\f(1,5)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，所以cosα<0，所以cosα＝－eq\f(\r(5),5).【變式11】3.(多選)（2023秋·湖北武漢·高一武漢市新洲區(qū)第一中學(xué)?？计谀┮阎猻inα=?5A．tanα<0 C．tan2α>1 【答案】ABC【分析】由已知可求出cosα【詳解】∵sinα=?53，∴tanαtan2sinα因?yàn)閟inα=?53<0故選：ABC.【變式11】4．(多選)（2022春·廣西桂林·高一?？计谥校┫铝薪Y(jié)論中不可能成立的是（

）A．sinα=12且cosαC．tanα=1且cosα=?1 【答案】ACD【分析】利用同角三角函數(shù)公式即可判斷每個(gè)選項(xiàng)【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閟inα=12且對(duì)于B，當(dāng)α=π時(shí)，sinα=0對(duì)于C，因?yàn)閏osα=?1，且sin2所以tanα對(duì)于D，當(dāng)α≠π2故選：ACD【變式11】5．（2023秋·上海徐匯·高一南洋中學(xué)?？计谀┮阎莂的終邊與單位圓的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為12，則sin【答案】?32【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可求解.【詳解】由三角函數(shù)的定義知，cosα所以α是第一象限角或第四象限角.由sin2α+如果α是第一象限角，那么sinα>0.于是如果α是第四象限角，那么sinα<0.于是故答案為：?32或◆類型2由條件等式求三角函數(shù)值【例題12】已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．【解析】∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝±eq\f(\r(10),10).又由sinα＝－3cosα，可知sinα與cosα異號(hào)，∴角α的終邊在第二或第四象限．當(dāng)角α的終邊在第二象限時(shí)，cosα＝－eq\f(\r(10),10)，sinα＝eq\f(3\r(10),10)；當(dāng)角α的終邊在第四象限時(shí)，cosα＝eq\f(\r(10),10)，sinα＝－eq\f(3\r(10),10).【變式12】1．（2023秋·廣東廣州·高二鐵一中學(xué)校考期末）若a∈0,π，2sinaA．?35 B．?45 C．【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系先求出cosα=?4【詳解】因?yàn)?sina+cosa又因?yàn)閟in2α+解得：cosα=?45或cosα因?yàn)閍∈0,π，所以cosα=?4故選：C.【變式12】2.（2022·江西南昌·統(tǒng)考三模）若角α的終邊不在坐標(biāo)軸上，且sinα+2cosαA．43 B．34 C．23【答案】A【分析】結(jié)合易知條件和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可求出cosα，從而求出sinα，根據(jù)tan?α【詳解】sin2α+∵α的終邊不在坐標(biāo)軸上，∴cos?α∴sinα=2?2×3故選：A．【變式12】3.（2022春·貴州·高二貴州師大附中?？奸_學(xué)考試）已知2cosA．12 B．22 C．32【答案】C【分析】由同角三角函數(shù)平方關(guān)系，將已知條件化為(2sinθ+1)(sinθ?2)=0求sinθ【詳解】由題設(shè)，2sin2θ?3sinθ又θ∈(?π2故選：C【變式12】4．（2023·廣東東莞·校考模擬預(yù)測）已知2sin2θ?3sinθA．33 B．32 C．22【答案】B【分析】由已知可得出sinθ∈?1,1，cosθ>0，解方程2【詳解】因?yàn)棣取?π2,因?yàn)?sin2θ因此，cosθ故選：B.【例題13】（2023秋·山東淄博·高一山東省淄博第六中學(xué)?？计谀┮阎翞榈诙笙藿?，sinα=5A．177 B．717 C．?17【答案】C【分析】根據(jù)α為第二象限角，sinα=513，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出【詳解】因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，且sinα=5則tanα=sin故選：C.【變式13】1．已知cosα＝－eq\f(3,5)，且tanα>0，則eq\f(sinαcos2α,1－sinα)＝.【答案】－eq\f(4,25)【解析】由cosα<0，tanα>0知α是第三象限角，且sinα＝－eq\f(4,5)，故原式＝eq\f(sinαcos2α,1－sinα)＝eq\f(sinα1－sin2α,1－sinα)＝sinα(1＋sinα)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))＝－eq\f(4,25).【變式13】2．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是()A．tanα＝－eq\f(sinα,cosα)B．cosα＝－eq\r(1－sin2α)C．sinα＝－eq\r(1－cos2α)D．tanα＝eq\f(cosα,sinα)【答案】B【解析】由商數(shù)關(guān)系可知A，D均不正確．當(dāng)α為第二象限角時(shí)，cosα<0，sinα>0，故B正確．【變式13】3.（2022秋·安徽安慶·高一安徽省桐城中學(xué)?？计谀┮阎螦=sinα，cosα，1，B=sinA．－1 B．0 C．1 D．±1【答案】A【分析】由集合相等關(guān)系，即集合元素的互異性，得sinα和cos【詳解】因?yàn)锳=B，又sin2α≠0則sin2α=1?cos2所以sin2023故選：A.【變式13】4.（2022春·浙江·校聯(lián)考階段練習(xí)）若2sinθ?cosθA．?425 B．425 C．?【答案】C【分析】由題設(shè)有3sinθ=4cosθ【詳解】由題設(shè)3sinθ=4cosθ所以sin2則cosθ故選：C【變式13】5．（2023秋·四川成都·高一成都實(shí)外?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，以O(shè)x軸的非負(fù)半軸為始邊作兩個(gè)銳角β、α，它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點(diǎn)，已知A,B的橫坐標(biāo)分別為(1)cosα，cos(2)求cosα【答案】(1)cosα=255【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義即可求解.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可求解.【詳解】（1）因?yàn)锳,B的橫坐標(biāo)分別為210所以cosα=2（2）因?yàn)棣翞殇J角，cosα所以sinα因?yàn)棣翞殇J角，所以cosα所以cos=cosα【變式13】6．（2022秋·江蘇無錫·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面坐標(biāo)系xOy中，第二象限角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為45(1)求tanα(2)求sin2【答案】(1)?43【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求出sinα=4（2）在第一問的基礎(chǔ)上，代入求解即可.【詳解】（1）由題知，sinα=4所以cosα=±3所以cosα=?（2）sin2題型2三角函數(shù)式的化簡【方法總結(jié)】同角三角函數(shù)關(guān)系化簡常用方法(1)化切為弦，減少函數(shù)名稱；(2)對(duì)含根號(hào)的，應(yīng)先把被開方式化為完全平方，再去掉根號(hào)；(3)對(duì)含有高次的三角函數(shù)式，可借助于因式分解，或構(gòu)造平方關(guān)系，以降冪化簡．【例題21】化簡eq\f(cosθ,1＋cosθ)－eq\f(cosθ,1－cosθ)得()A．－eq\f(2,tan2θ)B.eq\f(2,tan2θ)C．－eq\f(2,tanθ)D.eq\f(2,tanθ)【答案】A【解析】eq\f(cosθ,1＋cosθ)－eq\f(cosθ,1－cosθ)＝eq\f(cosθ1－cosθ－cosθ1＋cosθ,1－cos2θ)＝eq\f(－2cos2θ,sin2θ)＝－eq\f(2,tan2θ).【變式21】1.化簡求值：（1）tanα+cosαsinα?cos2α(4)1+tan2αcos2α【解析】（1）tanα+cos（2）sinx（3）2cos（4）1+tan（5）1+sin=(【變式21】2.（2022春·貴州黔東南·高二統(tǒng)考期末）對(duì)于角θ，當(dāng)分式tanθA．tanθ+cosθC．tanθsinθ【答案】D【分析】直接切化弦可得.【詳解】tanθ∵tan∵tan∵tan∴tanθ故選：D【例題22】化簡（1）；（2）；（3）1?sin2【解析】（1）1?sin2440（2）1?2sin40°cos（3）1?sin22=cos22【變式22】1.化簡求值（1）eq\f(cos36°－\r(1－cos236°),\r(1－2sin36°cos36°))；（2）eq\f(\r(1－2sin10°cos10°),sin10°－\r(1－sin210°))；（3）eq\f(\r(1－2sin130°cos130°),sin130°＋\r(1－sin2130°))；（4）.（1）原式＝eq\f(cos36°－\r(sin236°),\r(sin236°＋cos236°－2sin36°cos36°))＝eq\f(cos36°－sin36°,\r(cos36°－sin36°2))＝eq\f(cos36°－sin36°,|cos36°－sin36°|)＝eq\f(cos36°－sin36°,cos36°－sin36°)＝1.（2）原式＝eq\f(\r(1－2sin10°cos10°),sin10°－\r(1－sin210°))＝eq\f(\r(cos10°－sin10°2),sin10°－\r(cos210°))＝eq\f(|cos10°－sin10°|,sin10°－cos10°)＝eq\f(cos10°－sin10°,sin10°－cos10°)＝－1.（3）原式＝eq\f(\r(sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°),sin130°＋\r(cos2130°))＝eq\f(|sin130°－cos130°|,sin130°＋|cos130°|)＝eq\f(sin130°－cos130°,sin130°－cos130°)＝1.（4）原式＝1?2sin20°cos20°【變式22】2.（2023·高一單元測試）若a∈1?2sinα【答案】2cos【分析】根據(jù)sin2α+cos2【詳解】1+2sin=sin2=sinα+cosα當(dāng)α∈0,π4時(shí)，sin所以原式=sin當(dāng)α∈π4,π2所以原式sin當(dāng)α∈π2,3π4時(shí)，所以原式=sin當(dāng)α∈3π4,π時(shí)，sin所以原式=?綜上可知，原式=故答案為：2cosα【例題23】（2022春·江西九江·高一校聯(lián)考期末）化簡：1+sinα1?sinαA．?2cosα B．2cosα 【答案】C【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡所求表達(dá)式，由此得出正確選項(xiàng)．【詳解】1+sinα當(dāng)α是第二、第三象限角時(shí)，原式=?2sin故選：C．【變式23】1.（1）若π<α<3（2）化簡1?cosα1+cosα【解析】(1)因?yàn)棣?lt;α<32π原式==?2（2）1?cos由題可得sinα<0，1?cosα∴原式=1?cos【變式23】2.化簡求值：(1)tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)，其中α是第二象限角；(2)eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(tanα－sinα,tanα＋sinα)).【解析】(1)因?yàn)棣潦堑诙笙藿牵詓inα>0，cosα<0.故tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)＝tanαeq\r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tanαeq\r(\f(cos2α,sin2α))＝eq\f(sinα,cosα)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cosα,sinα)))＝eq\f(sinα,cosα)·eq\f(－cosα,sinα)＝－1.(2)原式＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(\f(sinα,cosα)－sinα,\f(sinα,cosα)＋sinα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα2,1－cos2α))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(1－cosα,|sinα|)＝±1.【變式23】3.(多選)（2022秋·河北唐山·高一唐山一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=A．?2tanα B．2tanα C．2cos【答案】AB【分析】由題意可得sinα∈[?1,1)，根據(jù)同解的平方關(guān)系可得f(sinα)=1+sinα|cosα|，【詳解】解：因?yàn)閒(所以?1≤x即函數(shù)f(x)所以f(sinf(?sin所以fsinα?f?sinα=故選：AB.【例題24】化簡：（1）sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α；（2）sin2α＋sin2β﹣sin2αsin2β＋cos2αcos2β(3)tan2α?sin2α【解析】（1）原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.（2）sin2α+sin2β﹣sin2αsin2β+cos2αcos2β＝sin2α+1﹣cos2β﹣sin2αsin2β+cos2αcos2β＝sin2α（1﹣sin2β）+1﹣cos2β（1﹣cos2α）＝sin2αcos2β+1﹣cos2βsin2α＝1（3）tan=sin（4）［方法一］：【最優(yōu)解】“1”的代換化齊次式原式=(cos2［方法二］：公式降冪原式==1?1+2［方法三］：降冪原式==2【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)cos2方法二：根據(jù)cos2方法三：根據(jù)平方差．立方差公式化簡降冪，變形難度稍大．題型3關(guān)于tanα的齊次式問題【方法總結(jié)】(1)已知tanα＝m，可以求eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)或eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,dsin2α＋esinαcosα＋fcos2α)的值，將分子分母同除以cosα或cos2α，化成關(guān)于tanα的式子，從而達(dá)到求值的目的．(2)對(duì)于asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α進(jìn)行代替后分子分母同時(shí)除以cos2α，得到關(guān)于tanα的式子，從而可以求值．(3)齊次式的化切求值問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．【例題31】已知tanα＝3，求下列各式的值：(1)eq\f(4sinα－cosα,3sinα＋5cosα)；(2)eq\f(sin2α－2sinα·cosα－cos2α,4cos2α－3sin2α)；(3)eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(1,2)cos2α.【解析】(1)原式＝eq\f(4tanα－1,3tanα＋5)＝eq\f(4×3－1,3×3＋5)＝eq\f(11,14).(2)原式＝eq\f(tan2α－2tanα－1,4－3tan2α)＝eq\f(32－2×3－1,4－3×32)＝－eq\f(2,23).(3)原式＝eq\f(\f(3,4)sin2α＋\f(1,2)cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(3,4)tan2α＋\f(1,2),tan2α＋1)＝eq\f(\f(3,4)×32＋\f(1,2),32＋1)＝eq\f(29,40).【變式31】1．已知tanα＝eq\f(2,3)，求下列各式的值：(1)eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＋eq\f(cosα＋sinα,cosα－sinα)；(2)eq\f(1,sinαcosα).【解析】(1)eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＋eq\f(cosα＋sinα,cosα－sinα)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)＋eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1－\f(2,3),1＋\f(2,3))＋eq\f(1＋\f(2,3),1－\f(2,3))＝eq\f(26,5).(2)eq\f(1,sinαcosα)＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinαcosα)＝eq\f(tan2α＋1,tanα)＝eq\f(13,6).【變式31】2.已知eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，計(jì)算下列各式的值：(1)eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)；(2)sin2α－2sinαcosα＋1.【答案】（1）eq\f(8,9)；(2)eq\f(13,10).【解析】由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，化簡得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.（1）法一(換元)原式＝eq\f(3×3cosα－cosα,2×3cosα＋3cosα)＝eq\f(8cosα,9cosα)＝eq\f(8,9).法二(弦化切)原式＝eq\f(3tanα－1,2tanα＋3)＝eq\f(3×3－1,2×3＋3)＝eq\f(8,9).(2)原式＝eq\f(sin2α－2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋1＝eq\f(tan2α－2tanα,tan2α＋1)＋1＝eq\f(32－2×3,32＋1)＋1＝eq\f(13,10).【變式31】3.（2023秋·江蘇淮安·高一江蘇省淮安中學(xué)?？计谀┤魋inα?3cosαA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】正、余弦齊次式的計(jì)算求值.【詳解】由sinα?3cosα∴12sin故選：B【變式31】4．（2023秋·山西太原·高一太原市進(jìn)山中學(xué)校校考期末）已知tanαA．sinα=3cosαC．3sinα?cosα2sinα+3cosα【答案】ACD【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系，結(jié)合正余弦齊次式即可求解.【詳解】由tanα=3，得sinα因?yàn)閠anα=3，所以因?yàn)閠anα=3，所以sin2故選：ACD.【變式31】5．（2023秋·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谀┮阎?+2sinθcosθ【答案】3【分析】將已知式中分子1=sin2θ【詳解】由題意sin2即tanθ+1tan故答案為：3.【變式31】6.（2021秋·新疆喀什·高一?？计谀┤魋inx+cosxA．4 B．3 C．3 D．0【答案】C【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的商數(shù)關(guān)系求解.【詳解】解：由sinx兩邊同除以cosx得tan解得tanx故選：C題型4關(guān)于sinθcosθ、sinθ+cosθ、sinθ?cosθ的相互轉(zhuǎn)化【方法總結(jié)】(1)sinθ＋cosθ，sinθcosθ，sinθ－cosθ三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一求二”．(2)求sinθ＋cosθ或sinθ－cosθ的值，要注意判斷它們的符號(hào)．【例題4】已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，θ∈(0，π)，求：(1)tanθ；(2)sinθ－cosθ.【解析】(1)由sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，得cosθ＝eq\f(1,5)－sinθ.又sin2θ＋cos2θ＝1，代入得sin2θ＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－sinθ))2＝1，整理得sin2θ－eq\f(1,5)sinθ－eq\f(12,25)＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ＋\f(3,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(4,5)))＝0，解得sinθ＝－eq\f(3,5)或sinθ＝eq\f(4,5).又θ∈(0，π)，所以sinθ>0，故sinθ＝eq\f(4,5).所以cosθ＝eq\f(1,5)－sinθ＝eq\f(1,5)－eq\f(4,5)＝－eq\f(3,5)，故tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(4,3).(2)方法一由(1)可知，sinθ－cosθ＝eq\f(4,5)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝eq\f(7,5).方法二因?yàn)棣取?0，π)，所以sinθ>0，又sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，兩邊平方，整理得sinθcosθ＝－eq\f(12,25)<0，所以cosθ<0.又(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25)，∴sinθ－cosθ＝eq\f(7,5).【變式41】1.若sinθ－cosθ＝eq\r(2)，則tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝.【答案】2【解析】由已知得(sinθ－cosθ)2＝2，∴sinθcosθ＝eq\f(1,2).∴tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(1,sinθcosθ)＝2.【變式41】2.（多選）（2023秋·山東棗莊·高一棗莊八中校考期末）已知θ∈?π,0，A．θ∈?π,?πC．tanθ=8【答案】BD【分析】由sinθ+cosθ=717，平方可得【詳解】對(duì)A：因?yàn)閟inθ+cosθ所以2sinθ又因?yàn)棣取?π,0，則sinθ所以θ∈對(duì)D：可得sinθ?cosθ所以sinθ對(duì)B：聯(lián)立sinθ+cosθ=7對(duì)C：可得tanθ故選：BD.【變式41】3.（多選）2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎猻inαcosαA．sinα+cosαC．cosα?sinα【答案】ACD【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)閟inα且π4<α<π故A正確；cosα且π4<α<πB錯(cuò)誤，C正確；聯(lián)立sinα+cosα所以tanα故選:ACD.【變式41】4.（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┤籀取?,π，tanA．233 B．±233 【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可得sinθcosθ【詳解】因?yàn)閠anθ所以sinθcosθ=14>0則(sinθ+cosθ故選：D.【變式41】5．（多選）（2023秋·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┮阎猻inθcosθA．θ2是第二象限角 B．C．sinθ?cosθ=【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)題目條件得到sinθ<0，cosθ<0，得到θ為第三象限角，判斷出θ2可能為第二或第四象限角，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，求出sinθ+cos【詳解】對(duì)于A，∵sinθ=?sinθ∴sinθ<0，∴θ為第三象限角，∴π+2k∴π2當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，θ2為第二象限角，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，θθ2對(duì)于B，sinθ∵sinθ<0，∴sinθ∴sinθ對(duì)于C，由sinθ∵sinθ<0，∴sinθ∴sinθ對(duì)于D，當(dāng)sinθ?cosθ=10故tanθ當(dāng)sinθ?cosθ=?故tan故tanθ故選：BD.【變式41】6.已知2sin2α+2sinαcosα【答案】?【分析】由已知化簡得出2sinαcosα=k，根據(jù)同角三角函數(shù)的運(yùn)算得出sin【詳解】2sin=2sin=2sin=2sinαsinα∵0<α<π4時(shí)，則sinα故答案為：?1?【變式41】7.（2023秋·甘肅慶陽·高一統(tǒng)考期末）已知fsinα+cos【答案】?12【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系，求出函數(shù)解析式，再代入求值.【詳解】已知fsin因?yàn)閟inα所以令t=sinα+cos則fcos故答案為：?【例題42】已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos23B.?23C.【解析】A由sin4θ+cos4θ=59,得(sin2θ+cos2θ)22sin2θcos2θ=59,∴sin2θcos2θ=29，θ是第三象限角，sinθ【例題43】若α是三角形的內(nèi)角，且sinα＋cosα＝eq\f(2,3)，則此三角形是()A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．等邊三角形【答案】A【解析】將sinα＋cosα＝eq\f(2,3)兩邊平方，得1＋2sinαcosα＝eq\f(4,9)，即2sinα·cosα＝－eq\f(5,9).又α是三角形的內(nèi)角，所以sinα>0，cosα<0，所以α為鈍角．題型5與參數(shù)有關(guān)的三角函數(shù)問題【例題5】（2023秋·吉林松原·高一校考期末）已知關(guān)于x的方程2x2?(?3+1)x+2【答案】?【分析】根據(jù)給定條件，利用韋達(dá)定理結(jié)合同角公式求解作答.【詳解】關(guān)于x的方程2x2?(?3+1)則sinθ+cosθ故答案為：?【變式51】1.在△ABC中，eq\r(2)sinA＝eq\r(3cosA)，則角A等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)【答案】C【解析】由題意知cosA>0，即A為銳角．將eq\r(2)sinA＝eq\r(3cosA)兩邊平方得2sin2A＝3cosA，∴2cos2A＋3cosA－2＝0，解得cosA＝eq\f(1,2)或cosA＝－2(舍去)．∴A＝eq\f(π,3).【變式51】2.（2022春·遼寧朝陽·高一建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知sinθ=1?a1+a，【答案】1【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式sin2θ+【詳解】∵sin∴(1?a1+a當(dāng)a=1時(shí)，sinθ=0,cos當(dāng)a=19時(shí)，sinθ=所以a=故答案為：1【變式51】3.（2021·高一課時(shí)練習(xí)）已知sinα=2m?5m+1【答案】

4

?【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及角所在象限即可列出方程及不等式求解.【詳解】∵sinα=2∴2m∴m=4或m∵α為第二象限角，∴2m?5m+1>0∴sinα=3∴tanα故答案為：4；?3【變式51】4.（2023秋·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┮阎猻inθ、cosθ是關(guān)于x的方程(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若θ是第四象限的角，求sinθ【答案】(1)?14(2)?【分析】（1）由韋達(dá)定理可得sinθ+cosθ=22asinθ?cos（2）由θ是第四象限的角，可以得出a=?14且sin【詳解】（1）由題意，Δ=8a2?4a≥0因?yàn)閟inθ所以1+2a=8a2，解得所以a=?14（2）因?yàn)棣仁堑谒南笙薜慕?，所以sinθ<0，所以a=?14所以sinθ即sinθ【變式51】5.（2022秋·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考階段練習(xí)）已知sinθ，cosθ是關(guān)于x的方程5x(1)求sin2(2)求sin3【答案】(1)?1(2)?91【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理及同角關(guān)系式化簡即得；（2）由題可得sinθ【詳解】（1）因?yàn)閟inθ，cosθ是關(guān)于x的方程所以sinθ所以sin2θ=sin（2）由sinθ+cosθ所以sinθcosθ=?1225，∵∴cosθ>0，∴sinθ可得sinθ?cosθ【變式51】6.已知、是關(guān)于的方程的兩個(gè)根．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）2﹣2（2）?1?【解析】（1）由題意利用韋達(dá)定理知：sinθ+cosθ＝a，sinθ?cosθ＝a．∵（sinθ+cosθ）2＝1+2sinθcosθ，∴a2＝1+2a．解得：a＝1﹣2或a＝1+2．∵sinθ≤1，cosθ≤1，∴sinθcosθ≤1，即a≤1，∴a＝1+2舍去，a＝1﹣2．∴sin3θ+cos3θ＝（sinθ+cosθ）（sin2θ﹣sinθcosθ+cos2θ）＝（sinθ+cosθ）（1﹣sinθcosθ）＝a（1﹣a）＝2﹣2．（2）tanθ+1tanθ＝sinθco