2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.2-6.3.3學(xué)案含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE1-6．3.2平面對(duì)量的正交分解及坐標(biāo)表示6．3.3平面對(duì)量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示[目標(biāo)]1.能用坐標(biāo)表示向量，知道平面對(duì)量基本定理中向量與有序?qū)崝?shù)對(duì)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；2.會(huì)兩個(gè)向量的和差的坐標(biāo)運(yùn)算．[重點(diǎn)]平面對(duì)量的正交分解及坐標(biāo)表示．[難點(diǎn)]平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算．要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一向量的正交分解及坐標(biāo)表示[填一填]1．向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)相互垂直的向量，叫做把向量作正交分解．2．向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為i，j，取{i，j}作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的隨意一個(gè)向量a，由平面對(duì)量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，此式叫做向量a的坐標(biāo)表示，其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)．3．向量與坐標(biāo)的關(guān)系設(shè)eq\o(OA,\s\up15(→))＝xi＋yj，則向量eq\o(OA,\s\up15(→))的坐標(biāo)(x，y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過(guò)來(lái)，終點(diǎn)A的坐標(biāo)(x，y)就是向量eq\o(OA,\s\up15(→))的坐標(biāo)．因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面對(duì)量都可以用一有序?qū)崝?shù)對(duì)唯一表示，即以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量與實(shí)數(shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的．[答一答]1．特殊地，i，j，0的坐標(biāo)分別是什么？提示：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二平面對(duì)量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示[填一填]已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則：(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差)．(2)若點(diǎn)A坐標(biāo)為(x1，y1)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(x2，y2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up15(→))＝(x1，y1)，eq\o(OB,\s\up15(→))＝(x2，y2)，eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)．[答一答]2．與坐標(biāo)軸平行的向量的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？提示：與x軸平行的向量的縱坐標(biāo)為0，即a＝(x,0)；與y軸平行的向量的橫坐標(biāo)為0，即b＝(0，y).典例講練破題型類(lèi)型一平面對(duì)量的坐標(biāo)表示[例1]在平面直角坐標(biāo)系中，向量a，b，c的方向如圖所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，向量a，b，c的坐標(biāo)分別為_(kāi)____，________，________.[解析]設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)．a(chǎn)1＝|a|cos45°＝2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，a2＝|a|sin45°＝2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，b1＝|b|cos120°＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,2)，b2＝|b|sin120°＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，c1＝|c|cos(－30°)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，c2＝|c|sin(－30°)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－2.∴a＝(eq\r(2)，eq\r(2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，c＝(2eq\r(3)，－2)．[答案](eq\r(2)，eq\r(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))(2eq\r(3)，－2)始點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)由終點(diǎn)的坐標(biāo)確定.一般可以借助三角函數(shù)的定義來(lái)確定點(diǎn)的坐標(biāo)，此時(shí)需明確點(diǎn)所在的象限，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，點(diǎn)與原點(diǎn)的連線與x軸正方向的夾角.[變式訓(xùn)練1]在平面直角坐標(biāo)系中，|a|＝4，且a如圖所示，則a的坐標(biāo)為(D)A．(2eq\r(3)，2)B．(2，－2eq\r(3))C．(－2,2eq\r(3))D．(2eq\r(3)，－2)解析：x＝|a|·cos(－30°)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，y＝|a|·sin(－30°)＝4×(－eq\f(1,2))＝－2.類(lèi)型二平面對(duì)量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算[例2]已知邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度的正方形ABCD，若A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，邊AB、AD分別落在x軸、y軸的正方向上，則向量eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))的坐標(biāo)為_(kāi)_______．[解析]依據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，則各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，所以eq\o(AB,\s\up15(→))＝(1,0)，eq\o(BC,\s\up15(→))＝(0,1)，eq\o(AC,\s\up15(→))＝(1,1)，所以eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))＝(1,0)－(0,1)＋(1,1)＝(2,0)．[答案](2,0)1向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，要留意三角形法則及平行四邊形法則的應(yīng)用.2若是給出向量的坐標(biāo)，解題過(guò)程中要留意方程思想的運(yùn)用及正確運(yùn)用運(yùn)算法則.[變式訓(xùn)練2]已知?ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(－2,1)，(－1,3)，(3,4)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．解：設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，在?ABCD中，eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))，又eq\o(AD,\s\up15(→))＝(x＋2，y－1)，eq\o(BC,\s\up15(→))＝(4,1)，∴(x＋2，y－1)＝(4,1)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝4，,y－1＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．已知eq\o(MN,\s\up15(→))＝(2,3)，則點(diǎn)N位于(D)A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．不確定解析：因?yàn)辄c(diǎn)M的位置不確定，則點(diǎn)N的位置也不確定．2．已知向量a，b滿(mǎn)意a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，則a，b的坐標(biāo)分別為(C)A．(4,0)，(－2,6)B．(－2,6)，(4,0)C．(2,0)，(－1,3)D．(－1,3)，(2,0)解析：2a＝(a＋b)＋(a－b)＝(4,0)，于是a＝(2,0)，所以b3．向量eq\o(OA,\s\up15(→))＝(2x，x－1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)A在第四象限時(shí)，x的取值范圍是(D)A．x>0 B．x<1C．x<0或x>1 D．0<x<1解析：由A點(diǎn)在第四象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x>0,x－1<0))，解得0<x<1.4．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)與eq\o(AB,\s\up15(→))相等，已知A(1,3)，B(2,4)，則x＝1.解析：∵eq\o(AB,\s\up15(→))＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＝1，,x2＋3x－3＝1，))解得x＝1.5．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up15(→))|＝4eq\r(3)，∠x(chóng)OA＝60°.(1)求向量eq\o(OA,\s\up15(→))的坐標(biāo)．(2)若B(eq\r(3)，－1)，求eq\o(BA,\s\up15(→))的坐標(biāo)．解：(1)設(shè)點(diǎn)A(x，y)，則x＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，eq\o(OA,\s\up15(→))＝(2eq\r(3)，6)．(2)eq\o(BA,\s\up15(→))＝(2eq