2024-2025學(xué)年四川省成都市高三上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年四川省成都市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試卷選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)位置.1.已知集合,,則A. B. C. D.【正確答案】B，故，故選B.2.2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)中國代表隊(duì)獲得金牌榜第一,獎(jiǎng)牌榜第二的優(yōu)異成績.首金是中國組合黃雨婷和盛李豪在10米氣步槍混合團(tuán)體賽中獲得,兩人在決賽中14次射擊環(huán)數(shù)如右圖,則A.盛李豪的平均射擊環(huán)數(shù)超過10.6B.黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的第80百分位數(shù)為10.65C.盛李豪射擊環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小于黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差D.黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的極差小于盛李豪射擊環(huán)數(shù)的極差【正確答案】C盛李豪的射擊環(huán)數(shù)只有兩次是10.8環(huán)，5次10.6環(huán)，其余都是10.6環(huán)以下，所以盛李豪平均射擊環(huán)數(shù)低于10.6，故A錯(cuò)誤；由于，故第80百分位數(shù)是從小到大排列的第12個(gè)數(shù)10.7，故B錯(cuò)誤；由于黃雨婷的射擊環(huán)數(shù)更分散，故標(biāo)準(zhǔn)差更大，故C正確；黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的極差為10.8-9.7=1.1，盛李豪的射擊環(huán)數(shù)極差為10.8-10.3=0.5，故D錯(cuò)誤.故選C.3.已知,,,則,,的大小關(guān)系為A.B.C.D.【正確答案】A由于在單調(diào)遞減，故，又因?yàn)?，所以，故選A.4.已知實(shí)數(shù),,滿足，且，則下列說法正確的是A.B.C.D.【正確答案】C由題，，取，則，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，即，故C正確.故選C.5.“函數(shù)的值域?yàn)镽”的一個(gè)充分不必要條件是A.B.C． D．【正確答案】D因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)镽，所以在方程中，，即，解得或，從而是“函數(shù)的值域?yàn)镽”的充分不必要條件.故選D.6.核燃料是重要的能量來源之一，在使用核燃料時(shí)，為了冷卻熔化的核燃料，可以不斷向反應(yīng)堆注入水，但會(huì)產(chǎn)生大量放射性核元素污染的冷卻水，稱為核廢水.核廢水中含有一種放射性同位素氚，它有可能用輻射損傷細(xì)胞和組織，影響生物的繁殖和生態(tài)平衡。已知氚的半衰期約為12年，則氚含量變成初始量的大約需要經(jīng)過()年.（）A.155B.159C.162D.166【正確答案】B設(shè)氚含量變成初始量的大約需要經(jīng)過t年，則，，即，故選B.7.若函數(shù)的圖象如圖1所示，則如圖2對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是A.B.C.D.【正確答案】A由的定義域?yàn)橹?，不符合圖2，故排除B，D；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，不滿足圖2，故C錯(cuò)誤；將函數(shù)的圖關(guān)于軸對(duì)稱，得到的圖，向右平移1個(gè)單位得到的圖，最后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到函?shù)的圖可能為圖2，故選A.8.已知函數(shù),則方程的所有根之和為A．0 B．3 C．6 D．9【正確答案】C方程的根為函數(shù)和的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)，由函數(shù)得，如下圖所示，兩函數(shù)圖象共有4個(gè)交點(diǎn)，且由于兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故方程的所有根之和為6，故選C.二、選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分,。9．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則A． B．C．fx是奇函數(shù) D．fx在【正確答案】AC由知，當(dāng)時(shí)，，即，故A正確；若，則滿足條件，但，且fx是在上單調(diào)遞減，故B,D錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即，故C正確，故選AC.10．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)分別為，則下列命題為真命題的是A． B．C．若，則 D．若，則【正確答案】ABD設(shè)且，則，，所以，所以，故A正確；，，故B正確；當(dāng)時(shí)，滿足，但不能得出，故C錯(cuò)誤；，故，故D正確，故選ABD.11.設(shè)函數(shù),則下面說法正確的是A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上僅有一個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增C.若函數(shù)存在極值點(diǎn),則D.若,則的最小值為【正確答案】ABD當(dāng)時(shí)，，由得，，函數(shù)在定義域上僅有一個(gè)零點(diǎn)，故A正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù),當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)存在零點(diǎn)，即函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞遞增，故此時(shí)函數(shù)存在極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞遞增，故，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，函數(shù)存在極值點(diǎn),綜上，當(dāng)函數(shù)存在極值點(diǎn)時(shí)，或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，恒成立,當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)零點(diǎn)重合時(shí),即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿足,則,當(dāng)時(shí)取“=”，故D正確，故選ABD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.若函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____．【正確答案】或函數(shù)的對(duì)稱軸為，故當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)，即或，故答案為或.13.若是定義在R上的奇函數(shù)，，，則________．【正確答案】2因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，故，又因?yàn)?，所?故，所以，，即的周期為4，由于為定義在R上的奇函數(shù)，故，，，故，，故答案為2.14.若過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有兩條，則的取值范圍是．【正確答案】設(shè)切點(diǎn)為，，故切線方程為，將代入切線方程得，令，則，故的單調(diào)減區(qū)間，增區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)，且在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】(1);(2)（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以， 1分即， 3分所以，故，則， 5分當(dāng)時(shí)，顯然不成立;經(jīng)驗(yàn)證：符合題意；所以； 6分（2）由，， 8分當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減. 9分故. 10分因?yàn)樵趨^(qū)間上沒有零點(diǎn)，所以或 12分所以 13分16.（15分）已知三棱錐D-ABC，D在平面ABC上的射影為△ABC的重心O，，.(1)證明：BC⊥AD；(2)E為AD上靠近A的三等分點(diǎn)，若三棱錐D-ABC的體積為，求二面角的余弦值．【正確答案】（1）見解答；（2）（1）如圖所示，連結(jié)并延長交于，因?yàn)镺為△ABC的重心，所以是的中點(diǎn)， 1分又因?yàn)椋杂傻妊切稳€合一可得， 2分因?yàn)镈在平面ABC上的射影為O，所以平面ABC， 3分又平面ABC，所以， 4分又平面，所以平面， 5分又平面，所以， 6分（2）由（1）知，面ABC， 過作軸平行于，則軸垂直于面ABC，如圖以為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 7分在中，，由（1）知，，故，， 8分所以三棱錐A-BCD的體積為，則因?yàn)闉椤鰽BC的重心，故， 9分則，因?yàn)镋為AD上靠近A的三等分點(diǎn)，所以，故 10分設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，取，則，故， 12分易得是平面的一個(gè)法向量， 13分設(shè)二面角的平面角為，則為鈍角，所以，所以二面角的余弦值為. 15分17.（15分）某小區(qū)有3000名居民，想通過驗(yàn)血的方法篩選乙肝病毒攜帶者，假設(shè)攜帶病毒的人占.為減輕工作量，隨機(jī)地按人一組分組，然后將各組個(gè)人的血樣混合在一起化驗(yàn).若混合血樣呈陰性，說明這個(gè)人全部陰性；若混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次。（1）若試估算該小區(qū)化驗(yàn)的總次數(shù)；（2）若，且每人單獨(dú)化驗(yàn)一次花費(fèi)10元，人混合化驗(yàn)一次花費(fèi)元，求當(dāng)為何值時(shí)，每個(gè)居民化驗(yàn)的平均費(fèi)用最少.注：假設(shè)每位居民的化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽性相互獨(dú)立.當(dāng)時(shí)，.【正確答案】(1)270;(2)10（1）設(shè)每組需要檢驗(yàn)的次數(shù)為X，若混合血樣為陰性，則X=1，若混合血樣呈陽性，則X=21， 1分所以，， 3分所以 5分一共有組，故估計(jì)該小區(qū)化驗(yàn)的總次數(shù)是. 7分（2）設(shè)每組n人總費(fèi)用為Y元，若混合血樣呈陰性，則Y=n+9；若混合血樣呈陽性，則Y=11n+9, 8分故， 10分 12分每位居民的化驗(yàn)費(fèi)用為=元 14分當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故n=10時(shí)，每個(gè)居民化驗(yàn)的平均費(fèi)用最少. 15分18.（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，且.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P形成的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，試判斷是否存在直線，使得A，B，M，N四點(diǎn)共圓.若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.【正確答案】（1）；（2）不存在（1）設(shè)，則，，， 1分因?yàn)?，所以?2分所以，，所以，， 3分又因?yàn)椋淼茫?4分所以曲線C的方程為； 5分（2）易知當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，直線l與曲線C沒有兩個(gè)交點(diǎn)，所以直線l的斜率存在， 6分設(shè)l：，將直線l與曲線C聯(lián)立，得，消去y，整理得， 7分因?yàn)榍?，所以且?8分設(shè)，，則，，所以MN的中點(diǎn)，且， 9分將，代入上式，整理得， 10分當(dāng)時(shí)，線段MN的中垂線方程為：， 11分令y＝0，解得，即與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為， 12分當(dāng)k＝0時(shí)，線段MN的中垂線為y軸，與x軸交于原點(diǎn)，符合Q點(diǎn)坐標(biāo)， 13分因?yàn)锳B的中垂線為x軸，所以若A，B，M，N共圓，則圓心為，所以， 14分所以， 15分整理得，即， 16分因?yàn)榍?，所以上述方程無解，即不存在直線符合題意. 17分19.（17分）在高等數(shù)學(xué)中，我們將在處可以用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)近似表示，具體形式為：（其中表示的n次導(dǎo)數(shù)），以上公式我們稱為函數(shù)在處的泰勒展開式.當(dāng)時(shí)泰勒展開式也稱為麥克勞林公式.比如在處的麥克勞林公式為：，由此當(dāng)時(shí)，可以非常容易得到不等式請(qǐng)利用上述公式和所學(xué)知識(shí)完成下列問題：(1)寫出在處的泰勒展開式.(2)若，恒成立，求a的范圍;（參考數(shù)據(jù)）(3)估計(jì)的近似值（精確到）【正確答案】（1）；（2）；（3）(1)在處的泰勒展開式為：， 2分（2）因?yàn)橛稍谔幍奶├照归_式，先證，令，