備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第2講-常用邏輯用語

第2講常用邏輯用語第一章集合、常用邏輯用語與不等式考向預(yù)測核心素養(yǎng)主要考查充分、必要條件的判斷、含有一個量詞的命題的否定及真假判斷，題型以選擇題為主，低檔或中檔難度.數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理01基礎(chǔ)知識回顧一、知識梳理1.充分條件、必要條件與充要條件命題真假“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題“若p，則q”和“若q，則p”都是真命題推出關(guān)系p____qp____qp____q條件關(guān)系p是q的______條件，q是p的______條件p不是q的______條件，q不是p的______條件p是q的__________條件，簡稱為______條件??充分充分充分必要必要必要充要2.全稱量詞和存在量詞

全稱量詞存在量詞量詞所有的、任意一個存在一個、至少有一個符號??命題含有__________的命題叫做全稱量詞命題含有__________的命題叫做存在量詞命題命題形式“對M中任意一個x，p(x)成立”，可用符號簡記為“_______________”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符號簡記為“_____________”全稱量詞存在量詞?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)3.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定命題命題的否定結(jié)論全稱量詞命題?x∈M，p(x)____________________全稱量詞命題的否定是______________存在量詞命題?x∈M，p(x)____________________

存在量詞命題的否定是______________?x∈M，?p(x)存在量詞命題?x∈M，?p(x)

全稱量詞命題

常用結(jié)論1.p是q的充分不必要條件，等價于?q是?p的充分不必要條件.2.從集合的角度理解充分條件與必要條件若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則關(guān)于充分條件，必要條件又可以敘述為：(1)若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；(2)若A＝B，則p是q的充要條件；(3)若A

B，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件.3.含有一個量詞的命題的否定規(guī)律：“改量詞，否結(jié)論”.二、教材衍化1.(人A必修第一冊P21例3(3)改編)“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：因為xy＞0x＜0，y＜0，且x＜0，y＜0?xy＞0，所以“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的必要不充分條件.√2.(人A必修第一冊P31習(xí)題1.5T3(1)改編)命題：“?x∈Z，|x|?N”的否定是____________________.答案：?x∈Z，|x|∈N一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)當(dāng)q是p的必要條件時，p是q的充分條件.(

)(2)q不是p的必要條件時，“p

q”成立.(

)(3)“梯形的對角線相等”是全稱量詞命題.(

)(4)“并非?x∈M，p(x)”是全稱量詞命題.(

)√×√√二、易錯糾偏1.(含一個量詞的命題否定不當(dāng)致誤)命題p：?x∈(0，＋∞)，sinx＞x的否定為(

)A.?x∈(0，＋∞)，sinx＞xB.?x∈(0，＋∞)，sinx≤xC.?x∈(－∞，0]，sinx＞xD.?x∈(－∞，0]，sinx≥x解析：因為原命題是全稱量詞命題，所以其否定是存在量詞命題，即?p：?x∈(0，＋∞)，sinx≤x.√√2.(多選)(充要條件理解不當(dāng)致誤)設(shè)x∈R，則x＞2的一個必要不充分條件是(

)A.x＜1 B.x＞1C.x＞－1 D.x＞33.設(shè)x∈R，則“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的________條件.答案：必要不充分√02核心考點(diǎn)共研考點(diǎn)一全稱量詞命題與存在量詞命題(綜合研析)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：理解全稱量詞與存在量詞的意義，能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.【解析】

(1)由于存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，所以改變量詞，否定結(jié)論即可.√【答案】

(2)1(1)全稱量詞命題中的量詞可以省略.(2)判斷含量詞的命題的真假有兩種思路：根據(jù)量詞的意義從命題本身判斷或利用命題的否定的真假進(jìn)行判斷.|跟蹤訓(xùn)練|1.(2022·河南駐馬店高三階段性檢測)已知命題p：?x∈(0，＋∞)，3x>x3，則?p是(

)A.?x∈(－∞，0)，3x≤x3

B.?x∈(－∞，0)，3x>x3C.?x∈(－∞，0)，3x≤x3

D.?x∈(0，＋∞)，3x≤x3解析：根據(jù)特稱命題的否定可知，?p：?x∈(0，＋∞)，3x≤x3.√答案：(－∞，－1]考點(diǎn)二充分條件、必要條件的判斷(自主練透)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.1.(2021·高考天津卷)已知a∈R，則“a>6”是“a2>36”的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件√解析：由題意，若a>6，則a2>36，故充分性成立；若a2>36，則a>6或a<－6，推不出a>6，故必要性不成立；所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要條件.故選A.2.設(shè)λ∈R，則“λ＝－3”是“直線2λx＋(λ－1)y＝1與直線6x＋(1－λ)y＝4平行”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件解析：當(dāng)λ＝－3時，兩條直線的方程分別為6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0，此時兩條直線平行；若直線2λx＋(λ－1)y＝1與直線6x＋(1－λ)y＝4平行，則2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，經(jīng)檢驗，兩者均符合.綜上，“λ＝－3”是“直線2λx＋(λ－1)y＝1與直線6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要條件，故選A.√3.(2021·高考浙江卷)已知非零向量a，b，c，則“a·c＝b·c”是“a＝b”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析：由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分條件.故選B.√4．(2021·高考北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為[0，1]，則“函數(shù)f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增”是“函數(shù)f(x)在[0，1]上的最大值為f(1)”的(

)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：若函數(shù)f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，則f(x)在[0，1]上的最大值為f(1)，而f(x)在[0，1]上的最大值為f(1)，并不能得到f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，所以“函數(shù)f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增”是“f(x)在[0，1]上的最大值為f(1)”的充分而不必要條件．√充分條件、必要條件的2種判斷方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷.(2)集合法：根據(jù)p，q成立的對應(yīng)集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.[提醒]

判斷充要條件需注意3點(diǎn)(1)要分清條件與結(jié)論分別是什么.(2)要從充分性、必要性兩個方面進(jìn)行判斷.(3)直接判斷比較困難時，可舉出反例說明.考點(diǎn)三充分條件、必要條件的應(yīng)用(思維發(fā)散)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：通過條件之間的關(guān)系探求參數(shù)范圍是充分、必要條件的重要應(yīng)用，解決關(guān)鍵是將條件之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系.(鏈接常用結(jié)論2)已知條件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，條件q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若p是q的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.【解】

由題易知，P＝{x|－2≤x≤10}，由p是q的必要條件，知S?P.則

所以0≤m≤3.即m的取值范圍是[0，3].1.本例中，若x?P是x?S的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.解：若x?P是x?S的必要條件，則x?S?x?P，所以x∈P?x∈S，所以P?S，則所以m≥9，故實數(shù)m的取值范圍是[9，＋∞).2.若本例條件不變，問是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件.解：若x∈P是x∈S的充要條件，則P＝S，所以

方程組無解，即不存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件.根據(jù)充分條件、必要條件求解參數(shù)范圍需注意以下2點(diǎn)：(1)將條件間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，列出關(guān)于參數(shù)的不等式；(2)注意端點(diǎn)處函數(shù)值的檢驗.

√解析：當(dāng)a＝0時，f(x)＝－2x＋3，在區(qū)間[1，3]上為減函數(shù)，所以不合題意，舍去；綜上，函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋3在區(qū)間[1，3]上為增函數(shù)的充要條件是a≥1.2.若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分條件，則a的最小值為________.解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.因為“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分條件，所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值為3.答案：303課后達(dá)標(biāo)檢測√

√√√A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件√3.(2022·北京十一學(xué)校高一期中)已知命題p：“?a≥0，都有x2＋2ax＋a2≥0”，則命題p的否定是(

)A.?a≥0，使得x2＋2ax＋a2≤0B.?a≥0，使得x2＋2ax＋a2<0C.?a≥0，使得x2＋2ax＋a2<0D.?a<0，使得x2＋2ax＋a2≤0解析：原命題是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，注意到要否定結(jié)論，所以C選項符合.√A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件解析：因為p：|2x－3|<1?1<x<2，q：

≤1?1≤x<2，而(1，2)是[1，2)的真子集，所以p是q的充分不必要條件.√5.(2021·高考全國卷甲)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn.設(shè)甲：q>0，乙：是遞增數(shù)列，則(

)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解析：當(dāng)a1<0，q>1時，an＝a1qn－1<0，此時數(shù)列{Sn}遞減，所以甲不是乙的充分條件.當(dāng)數(shù)列{Sn}遞增時，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，則qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，則qn<0(n∈N*)，不存在.所以甲是乙的必要條件.√6.(多選)(2022·常州10月調(diào)研)若x2－3x－4<0是－3<x<a的充分不必要條件，則實數(shù)a的值可以是(

)A.3B.4C.5D.6解析：由x2－3x－4<0，得(x－4)(x＋1)<0，解得－1<x<4，令A(yù)＝{x|－1<x<4}，B＝{x|－3<x<a}，由題意得A

B，所以a≥4，故選BCD.√√7.(多選)(2022·漢川市第二中學(xué)期中測試)下列說法正確的有(

)A.不等式3x2＋7x＋2<0的解集是B.“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分條件C.命題p：?x∈R，x2>0，則?p：?x∈R，x2<0D.“a<5”是“a<3”的必要條件√√√

8.若命題p的否定是“?x∈(0，＋∞)，

>x＋1”，則命題p可寫為____________________.答案：?x∈(0，＋∞)，

≤x＋19.(202