北師大版八年級數(shù)學(xué)核心知識點與常見題型通關(guān)講解練第2章實數(shù)全章復(fù)習(xí)與測試(原卷版+解析)

第2章實數(shù)全章復(fù)習(xí)與測試【知識梳理】一、平方根和立方根類型項目平方根立方根被開方數(shù)非負數(shù)任意實數(shù)符號表示性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負數(shù)沒有平方根；一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零；重要結(jié)論二、實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)．

1.實數(shù)的分類要點詮釋：（1）所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．（2）無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如，等；②有特殊意義的數(shù)，如π；③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…（3）凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分數(shù)形式.2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).3.實數(shù)的三個非負性及性質(zhì)：

在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負數(shù)有如下三種形式：（1）任何一個實數(shù)的絕對值是非負數(shù)，即||≥0；

（2）任何一個實數(shù)的平方是非負數(shù)，即≥0；

（3）任何非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即().

非負數(shù)具有以下性質(zhì)：

（1）非負數(shù)有最小值零；

（2）有限個非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；

（3）幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0.4.實數(shù)的運算：數(shù)的相反數(shù)是－；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.5.實數(shù)的大小的比較：

有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1.實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；法則2．正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小；法則3.兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.三、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要點詮釋：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；

（2）；

（3）.要點詮釋：（1）一個非負數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡.（4）與的異同不同點：中可以取任何實數(shù)，而中的必須取非負數(shù)；=，=（）.相同點：被開方數(shù)都是非負數(shù)，當取非負數(shù)時，=.3.最簡二次根式1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.要點詮釋：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.四、二次根式的運算1.乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術(shù)平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術(shù)平方根化簡公式：要點詮釋：（1）當二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)a、b一定是非負數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如.2.加減法將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.要點詮釋：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.【考點剖析】一．平方根（共2小題）1．（2023?常德三模）的平方根是（）A．4 B．±4 C．±2 D．22．（2023春?濱城區(qū)期中）已知：2m+1和m﹣4是正數(shù)a的兩個平方根，則a﹣m的值是．二．算術(shù)平方根（共2小題）3．（2023春?漢陽區(qū)期末）若3a﹣22和2a﹣3是實數(shù)m的平方根，則的值為（）A． B． C． D．4．（2023?韓城市一模）9的算術(shù)平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．三．非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根（共3小題）5．（2023春?常州期末）已知，則a+b的值是（）A．1 B．3 C．5 D．66．（2023春?雷州市校級期中）若，則（x+y）2的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．17．（2022秋?成都期末）若x，y為實數(shù)，且（x﹣1）2與互為相反數(shù)，則x2+y2的平方根為（）A． B． C．±5 D．四．立方根（共2小題）8．（2023春?大興區(qū)期末）如果≈1.333，≈2.872，那么約等于（）A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.13339．（2023?榆陽區(qū)二模）﹣的立方根為（）A．﹣ B． C．﹣ D．五．計算器—數(shù)的開方（共1小題）10．（2021秋?杏花嶺區(qū)校級期中）求一個正數(shù)的算術(shù)平方根，有些數(shù)可以直接求得，如，有些數(shù)則不能直接求得，如，但可以通過計算器求得，還有一種方法可以通過一組數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，運用規(guī)律求得，請同學(xué)們觀察表：n0.00160.16161600160000…0.040.4440400…（1）表中所給的信息中，能發(fā)現(xiàn)規(guī)律：被開方數(shù)的小數(shù)點每向左或向右移動2位則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點就向移動位；（2）運用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，探究下列問題：①若≈1.910，≈6.042，則≈；②已知x2≈0.000365，則x≈．六．無理數(shù)（共2小題）11．（2023春?梁平區(qū)期中）在下列各數(shù)：3.14，﹣π，，、、中無理數(shù)的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．512．（2022秋?衡山縣期末）在實數(shù)，，，，3.14中，無理數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個七．實數(shù)（共2小題）13．（2023春?東昌府區(qū)期中）在實數(shù)，，，0，中，有理數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個14．（2023春?凱里市校級期中）把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的大括號：﹣2.4，π，2.022，，﹣0.15，0，﹣10，﹣1.1010010001…．整數(shù)集合：{}；負分數(shù)集合：{}；正實數(shù)集合：{}；無理數(shù)集合：{}．八．實數(shù)的性質(zhì)（共2小題）15．（2021秋?萊西市期末）已知正數(shù)a的兩個平方根分別是2x﹣3和1﹣x，與互為相反數(shù)．求a+2b的算術(shù)平方根．16．（2021秋?射陽縣校級期末）已知實數(shù)a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，x的絕對值為，求代數(shù)式（a+b+cd）x+﹣的值．九．實數(shù)與數(shù)軸（共1小題）17．（2022春?寧明縣期末）如圖所示，數(shù)軸的正半軸上有A、B、C三點，表示1和的對應(yīng)點分別為A、B，點B到點A的距離與點C到點O的距離相等，設(shè)點C所表示的數(shù)為x．（1）請你寫出數(shù)x的值；（2）求（x﹣）2的立方根．一十．實數(shù)大小比較（共2小題）18．（2022秋??？谄谀┍容^2，3，的大小，正確的是（）A．＜3＜2 B．2＜＜3 C．＜2＜3 D．2＜3＜19．（2023春?龍子湖區(qū)期中）比較大小：（填“＞”“＜”“＝”）．一十一．估算無理數(shù)的大小（共2小題）20．（2023春?合江縣期中）絕對值小于的所有正整數(shù)的和是．21．（2022秋?長安區(qū)校級期末）的小數(shù)部分為a，則a（a+4）＝．一十二．實數(shù)的運算（共3小題）22．（2023春?東莞市期中）計算：．23．（2022秋?泰興市期末）（1）計算：；（2）求3（x﹣1）3＝81中的x的值．24．（2022秋?亭湖區(qū)期末）計算：．一十三．二次根式的定義（共1小題）25．（2023春?廬陽區(qū)校級期末）下列式子中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．一十四．二次根式有意義的條件（共1小題）26．（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A． B． C．x≥ D．x≤一十五．二次根式的性質(zhì)與化簡（共3小題）27．（2023春?合肥期末）化簡的結(jié)果是（）A．3﹣π B．3+π C．﹣3﹣π D．﹣3+π28．（2022秋?開福區(qū)校級期末）在學(xué)習(xí)二次根式時，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)了兩個非常有趣的式子，分別把它們定義為“L運算”和“X運算”．其中，．為了使二次根式有意義，我們規(guī)定a為實數(shù)，且滿足a2≥2021．（1）求證：L（a）?X（a）＝2021；（2）若實數(shù)x滿足L（x）＝43，求x的值；（3）已知實數(shù)x，y滿足L（x）?L（y）＝2021，t為任意實數(shù)，求代數(shù)式的最小值．29．（2022秋?永定區(qū)期末）閱讀下列例題．在學(xué)習(xí)二次根式性質(zhì)時我們知道例題求的值．解：設(shè)x＝，兩邊平方得：，即，x2＝10∴x＝．∵＞0，∴＝．請利用上述方法，求的值．一十六．最簡二次根式（共1小題）30．（2023春?路北區(qū)期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．一十七．二次根式的乘除法（共3小題）31．（2023春?興縣期中）若成立，則（）A．x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥0 D．0≤x＜632．（2023春?密云區(qū)期末）計算：2．33．（2022秋?零陵區(qū)期末）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：3+2＝1+2+2＝（1+）2，善于思考的小明進行了以下探索：設(shè)a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分a+b的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分別表示a、b的值；（2）試著把7+4化成一個完全平方式．一十八．二次根式的加減法（共2小題）34．（2023春?吉林月考）計算：．35．（2023春?撫松縣期中）計算：．一十九．二次根式的混合運算（共2小題）36．（2023春?宿城區(qū)期末）計算：．37．（2023春?海林市校級期中）（1）觀察下列各式的特點：，，，，…根據(jù)以上規(guī)律可知：（填“＞”“＜”或“＝”）．（2）觀察下列式子的化簡過程：，，＝，…根據(jù)觀察，請寫出式子（n≥2，且n是正整數(shù)）的化簡過程．（3）根據(jù)上面（1）（2）得出的規(guī)律計算下面的算式：+||+???+||．二十．二次根式的化簡求值（共2小題）38．（2023春?泰安期中）（1）當時，求代數(shù)式的值．（2）當，，求代數(shù)式a2﹣3ab+b2的值．39．（2023春?梁山縣期中）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明用來表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：∵，即．∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．請解答：（1）的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是．（2）如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求的值．【過關(guān)檢測】一、單選題1．下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．估計+4的值（

）A．在5和6之間 B．在6和7之間 C．在7和8之間 D．在8和9之間3．如圖，用邊長為3的兩個小正方形拼成一個大正方形，則大正方形的邊長最接近的整數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．64．下列說法：①所有無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點表示；②帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；③任何實數(shù)都有立方根；④的平方根是±4，其中正確的個數(shù)有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5．△ABC的三邊長a，b，c滿足+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，則△ABC的面積是（

）A．65 B．60 C．30 D．266．若，則的平方根為（

）A．±2 B．4 C．2 D．±47．已知，則ab＝（）A．1 B． C．4 D．8．閱讀下面的解題過程：∵①，②．∴③．以上推導(dǎo)過程中開始錯誤的一步是()A．① B．② C．③ D．沒有錯誤9．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．10．設(shè)n是任意正整數(shù)，代入式子n3－n中計算時，四名同學(xué)算出如下四個結(jié)果，其中正確的結(jié)果可能是（

）A．388947 B．388944 C．388953 D．388949二、填空題11．如圖所示，以數(shù)軸的單位長度線段為邊作一個正方形，以表示數(shù)2的點為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點A，則點A表示的數(shù)是_____．12．若|a|＝，則的相反數(shù)是____．13．觀察：①＝﹣1，②＝﹣，③＝2﹣．……按此規(guī)律，第8個等式的是___．14．計算的結(jié)果是________．15．的整數(shù)部分是________，小數(shù)部分是________．16．若是正整數(shù)，則整數(shù)的最小值為__________________．17．一個正數(shù)的平方根分別是和，則__．18．計算________．三、解答題19．把下面?zhèn)€各數(shù)填入相應(yīng)的大括號內(nèi)﹣13.5，5，0，﹣10，3.14，+27，﹣，﹣15%，．負數(shù)集合：{…}，非負數(shù)集合：{…}，整數(shù)集合：{…}，負分數(shù)集合：{…}．20．計算題：（1）（2）.21．已知：與互為相反數(shù)，的算術(shù)平方根是3．（1）求、的值；（2）若，求的立方根．22．已知一個正數(shù)的兩個不同的平方根是和的立方根為（1）求的值（2）求的平方根23．觀察：∵，∴，∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．(1)的整數(shù)部分是______，的小數(shù)部分是______；(2)小明將一個長為10cm，寬為8cm的長方形紙片按與邊平行的方向進行裁剪，裁剪出兩個大小不一的正方形，使它們的邊長之比為，面積之和為，小明能否裁剪出這兩個正方形？若能，請說明理由并求出這兩個正方形的面積；若不能，也說明理由．24．如圖，有一塊正方形鐵皮，從四個頂點處分別剪掉一個面積為的正方形后，所剩部分正好圍成一個無蓋的長方體容器，量得該容器的體積是，求原正方形鐵皮的邊長．25．如圖在數(shù)軸上點表示數(shù)，點表示數(shù)，、滿足．(1)點表示的數(shù)為________；點表示的數(shù)為________；(2)若在原點處放一擋板，一小球甲從點處以1個單位/秒的速度向左運動；同時另一小球乙從點處以2個單位/秒的速度也向左運動，在碰到擋板后（忽略球的大小，可看作一點）以原來的速度向相反的方向運動，設(shè)運動的時間為（秒）．①當時，甲小球到原點的距離=________；乙小球到原點的距離=________；當時，甲小球到原點的距離=_________；乙小球到原點的距離=_________；②試探究：甲，乙兩小球到原點的距離可能相等嗎？若不能，請說明理由．若能，請直接寫出甲，乙兩小球到原點的距離相等時經(jīng)歷的時間．

第2章實數(shù)全章復(fù)習(xí)與測試【知識梳理】一、平方根和立方根類型項目平方根立方根被開方數(shù)非負數(shù)任意實數(shù)符號表示性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負數(shù)沒有平方根；一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零；重要結(jié)論二、實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)．

1.實數(shù)的分類要點詮釋：（1）所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．（2）無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如，等；②有特殊意義的數(shù)，如π；③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…（3）凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分數(shù)形式.2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).3.實數(shù)的三個非負性及性質(zhì)：

在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負數(shù)有如下三種形式：（1）任何一個實數(shù)的絕對值是非負數(shù)，即||≥0；

（2）任何一個實數(shù)的平方是非負數(shù)，即≥0；

（3）任何非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即().

非負數(shù)具有以下性質(zhì)：

（1）非負數(shù)有最小值零；

（2）有限個非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；

（3）幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0.4.實數(shù)的運算：數(shù)的相反數(shù)是－；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.5.實數(shù)的大小的比較：

有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1.實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；法則2．正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小；法則3.兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.三、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要點詮釋：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；

（2）；

（3）.要點詮釋：（1）一個非負數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡.（4）與的異同不同點：中可以取任何實數(shù)，而中的必須取非負數(shù)；=，=（）.相同點：被開方數(shù)都是非負數(shù)，當取非負數(shù)時，=.3.最簡二次根式1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.要點詮釋：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.四、二次根式的運算1.乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術(shù)平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術(shù)平方根化簡公式：要點詮釋：（1）當二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)a、b一定是非負數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如.2.加減法將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.要點詮釋：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.【考點剖析】一．平方根（共2小題）1．（2023?常德三模）的平方根是（）A．4 B．±4 C．±2 D．2【分析】根據(jù)平方根的定義，求數(shù)a的平方根，也就是求一個數(shù)x，使得x2＝a，則x就是a的平方根，由此即可解決問題．【解答】解：＝4，4的平方根是±2．故選：C．【點評】本題考查了平方根的定義．注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．2．（2023春?濱城區(qū)期中）已知：2m+1和m﹣4是正數(shù)a的兩個平方根，則a﹣m的值是8．【分析】一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，由此即可計算．【解答】解：∵2m+1和m﹣4是正數(shù)a的兩個平方根，∴2m+1+m﹣4＝0，∴m＝1，∴2m+1＝2×1+1＝3，∴a＝9，∴a﹣m＝9﹣1＝8．故答案為：8．【點評】本題考查平方根的概念，關(guān)鍵是掌握平方根的定義．二．算術(shù)平方根（共2小題）3．（2023春?漢陽區(qū)期末）若3a﹣22和2a﹣3是實數(shù)m的平方根，則的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)可知，3a﹣22和2a﹣3互為相反數(shù)，即可求解．【解答】解：根據(jù)平方根的性質(zhì)可知，3a﹣22+2a﹣3＝0，解得a＝5，∴3a﹣22＝﹣7，∴m＝（﹣7）2＝49，∴，故選：A．【點評】本題考查了平方根的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平方根的性質(zhì)．4．（2023?韓城市一模）9的算術(shù)平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可．【解答】解：9的算術(shù)平方根是3，故選：A．【點評】本題考查算術(shù)平方根的求解，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．三．非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根（共3小題）5．（2023春?常州期末）已知，則a+b的值是（）A．1 B．3 C．5 D．6【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出a，b的值，進而得出答案．【解答】解：∵，∴a﹣3＝0，2﹣b＝0，解得：a＝3，b＝2，∴a+b＝5．故選：C．【點評】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，正確得出a，b的值是解題關(guān)鍵．6．（2023春?雷州市校級期中）若，則（x+y）2的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)“兩個非負數(shù)相加和為0，這兩個非負數(shù)的值都為0”解出x、y的值，再把x、y的值代入求解．【解答】解：根據(jù)題意得：，解得：，則（x+y）2＝（﹣1）2＝1．故選：D．【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：有限個非負數(shù)的和為零，那么每一個加數(shù)也必為零．7．（2022秋?成都期末）若x，y為實數(shù)，且（x﹣1）2與互為相反數(shù)，則x2+y2的平方根為（）A． B． C．±5 D．【分析】直接利用非負數(shù)的性質(zhì)得出x，y的值，進而利用平方根的定義得出答案．【解答】解：∵（x﹣1）2與互為相反數(shù)，∴（x﹣1）2+＝0，∴x﹣1＝0，3y﹣6＝0，解得：x＝1，y＝2，則x2+y2＝12+22＝5，故x2+y2的平方根為：±．故選：D．【點評】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)以及平方根的定義，正確得出x，y的值是解題關(guān)鍵．四．立方根（共2小題）8．（2023春?大興區(qū)期末）如果≈1.333，≈2.872，那么約等于（）A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333【分析】根據(jù)立方根，即可解答．【解答】解：∵≈1.333，∴＝≈1.333×10＝13.33．故選：C．【點評】本題考查了立方根，解決本題的關(guān)鍵是熟記立方根的定義．9．（2023?榆陽區(qū)二模）﹣的立方根為（）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】直接根據(jù)立方根的定義解答即可．【解答】解：∵（﹣）3＝﹣，∴﹣的立方根為﹣．故選：A．【點評】本題考查的是立方根，熟知立方根的定義是解題的關(guān)鍵．五．計算器—數(shù)的開方（共1小題）10．（2021秋?杏花嶺區(qū)校級期中）求一個正數(shù)的算術(shù)平方根，有些數(shù)可以直接求得，如，有些數(shù)則不能直接求得，如，但可以通過計算器求得，還有一種方法可以通過一組數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，運用規(guī)律求得，請同學(xué)們觀察表：n0.00160.16161600160000…0.040.4440400…（1）表中所給的信息中，能發(fā)現(xiàn)規(guī)律：被開方數(shù)的小數(shù)點每向左或向右移動2位則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點就向向左或向右移動1位；（2）運用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，探究下列問題：①若≈1.910，≈6.042，則≈604.2；②已知x2≈0.000365，則x≈±0.0190．【分析】（1）從被開方數(shù)和算術(shù)平方根的小數(shù)點的移動位數(shù)考慮解答；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律解答即可．【解答】解：（1）由表格可以看出被開方數(shù)的小數(shù)點向左或向右移動2位，算術(shù)平方根的小數(shù)點就向左或向右移動1位，故答案為：向左或向右，1；（2）①由（1）可知，被開方數(shù)的小數(shù)點向右移動4位，算術(shù)平方根的小數(shù)點就向右移動2位，∵≈6.042，∴＝604.2；②由（1）可知，被開方數(shù)的小數(shù)點向左移動4位，算術(shù)平方根的小數(shù)點就向左移動2位，∵≈1.910，x2≈0.000365，又∵一個正數(shù)的平方根有兩個，∴x＝±＝±0.0190．故答案為：①604.2；②±0.0190．【點評】本題考查了算術(shù)平方根，平方根以及規(guī)律型—數(shù)字的變化類，找出被開方數(shù)的小數(shù)點的移動規(guī)律是解題的關(guān)鍵．六．無理數(shù)（共2小題）11．（2023春?梁平區(qū)期中）在下列各數(shù)：3.14，﹣π，，、、中無理數(shù)的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，找出無理數(shù)．【解答】解：無理數(shù)有﹣π，，共3個．故選：B．【點評】本題考查了無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，常見形式有：①開方開不盡的數(shù)，如等；②無限不循環(huán)小數(shù)，如0.101001000…等；③字母，如π等．12．（2022秋?衡山縣期末）在實數(shù)，，，，3.14中，無理數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，可得答案．【解答】解：，是無理數(shù)，故選：B．【點評】本題考查了無理數(shù)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，注意帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)．七．實數(shù)（共2小題）13．（2023春?東昌府區(qū)期中）在實數(shù)，，，0，中，有理數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)有理數(shù)的意義，即可解答．【解答】解：在實數(shù)，，，0，中，有理數(shù)有，，0，共有3個，故選：C．【點評】本題考查了實數(shù)，熟練掌握有理數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．14．（2023春?凱里市校級期中）把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的大括號：﹣2.4，π，2.022，，﹣0.15，0，﹣10，﹣1.1010010001…．整數(shù)集合：{0，﹣10}；負分數(shù)集合：{﹣2.4，﹣，﹣0.15}；正實數(shù)集合：{π，2.022}；無理數(shù)集合：{π，﹣1.1010010001…}．【分析】實數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)；整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此進行分類即可．【解答】解：整數(shù)集合：0，﹣10；負分數(shù)集合：﹣2.4，﹣，﹣0.15；正實數(shù)集合：π，2.022；無理數(shù)集合：π，﹣1.1010010001…；故答案為：0，﹣10；﹣2.4，﹣，﹣0.15；π，2.022；π，﹣1.1010010001…．【點評】本題考查實數(shù)的分類，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．八．實數(shù)的性質(zhì)（共2小題）15．（2021秋?萊西市期末）已知正數(shù)a的兩個平方根分別是2x﹣3和1﹣x，與互為相反數(shù)．求a+2b的算術(shù)平方根．【分析】由正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，得2x﹣3+1﹣x＝0，由與互為相反數(shù)，得1﹣2b+（3b﹣5）＝0，即可求解．【解答】解∵：正數(shù)a的兩個平方根分別是2x﹣3和1﹣x，∴2x﹣3+（1﹣x）＝0，∴x＝2，∴a＝（1﹣x）2＝（1﹣2）2＝1，∵與互為相反數(shù)，∴1﹣2b+（3b﹣5）＝0，∴b＝4，∴a+2b＝1+2×4＝9，∴a+2b的算術(shù)平方根是3．【點評】本題考查平方根，算術(shù)平方根，相反數(shù)的概念，關(guān)鍵是掌握這些概念的性質(zhì)．16．（2021秋?射陽縣校級期末）已知實數(shù)a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，x的絕對值為，求代數(shù)式（a+b+cd）x+﹣的值．【分析】根據(jù)題意可得a+b＝0，cd＝1，x＝±7，然后代入代數(shù)式求值即可．【解答】解：＝7，∵a、b互為相反數(shù)，∴a+b＝0，∵c、d互為倒數(shù)，∴cd＝1，∵x的絕對值為．∴x＝±7，當x＝7時，原式＝（0+1）×7+﹣＝7﹣1＝6，當x＝﹣7時，原式＝（0+1）×（﹣7）+﹣＝﹣7﹣1＝﹣8，∴所求代數(shù)式的值為6或﹣8．【點評】此題主要考查了實數(shù)運算和求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是掌握相反數(shù)和為0，倒數(shù)積為1．九．實數(shù)與數(shù)軸（共1小題）17．（2022春?寧明縣期末）如圖所示，數(shù)軸的正半軸上有A、B、C三點，表示1和的對應(yīng)點分別為A、B，點B到點A的距離與點C到點O的距離相等，設(shè)點C所表示的數(shù)為x．（1）請你寫出數(shù)x的值；（2）求（x﹣）2的立方根．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離求出AB之間的距離即為x的值；（2）把x的值代入所求代數(shù)式進行計算即可．【解答】解：（1）∵點A、B分別表示1，，∴AB＝﹣1，即x＝﹣1；（2）∵x＝﹣1，∴原式＝＝，∴1的立方根為1．【點評】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸，熟知實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．一十．實數(shù)大小比較（共2小題）18．（2022秋?海口期末）比較2，3，的大小，正確的是（）A．＜3＜2 B．2＜＜3 C．＜2＜3 D．2＜3＜【分析】分別算出2，3的平方，即可比較大?。窘獯稹拷猓?，∵7＜8＜9，∴，故選：C．【點評】本題考查了實數(shù)大小比較，解決本題的關(guān)鍵是先算出3個數(shù)的平方，即可比較大小．19．（2023春?龍子湖區(qū)期中）比較大?。海荆ㄌ睢埃尽薄埃肌薄埃健保痉治觥渴紫却_定﹣1與1的大小，進行比較即可求解．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴1＜﹣1＜2，∴＞．故答案是：＞．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的估算能力，此題把它們的減數(shù)變成和被減數(shù)相同的形式，然后只需比較被減數(shù)的大?。帜赶嗤瑫r，分子大的大．一十一．估算無理數(shù)的大?。ü?小題）20．（2023春?合江縣期中）絕對值小于的所有正整數(shù)的和是10．【分析】根據(jù)無理數(shù)的估算方法得到，即的整數(shù)部分是4，由此得到正整數(shù)值，得到答案．【解答】解：∵16＜21＜25，∴，∴絕對值小于的所有正整數(shù)有1，2，3，4，∴和為10，故答案為：10．【點評】此題考查了無理數(shù)的估算，正確掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋?長安區(qū)校級期末）的小數(shù)部分為a，則a（a+4）＝3．【分析】先根據(jù)的范圍求出a的值，代入后進行計算即可．【解答】解；∵2＜＜3，∴a＝﹣2，∴a（a+4）＝（﹣2）（﹣2+2）＝（﹣2）（+2）＝7﹣4＝3，故答案為：3．【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，二次根式的混合運算，平方差公式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出a的值．一十二．實數(shù)的運算（共3小題）22．（2023春?東莞市期中）計算：．【分析】根據(jù)實數(shù)的混合運算法則計算即可．【解答】解：＝＝．【點評】本題考查了二次根式的加減運算，以及算術(shù)平方根、實數(shù)的乘方運算等知識，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則進行解題．23．（2022秋?泰興市期末）（1）計算：；（2）求3（x﹣1）3＝81中的x的值．【分析】（1）先計算二次根式與絕對值，再計算加減；（2）通過變形后運用開立方進行求解．【解答】解：（1）＝3+π﹣3﹣3＝π﹣3；（2）兩邊都除以3，得（x﹣1）3＝27，開立方，得x﹣1＝3，解得x＝4．【點評】此題考查了實數(shù)混合運算的能力，關(guān)鍵是能準確確定運算方法和順序，并能進行正確地計算．24．（2022秋?亭湖區(qū)期末）計算：．【分析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答．【解答】解：＝﹣3+4﹣2＝﹣1．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．一十三．二次根式的定義（共1小題）25．（2023春?廬陽區(qū)校級期末）下列式子中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】形如（a≥0）的式子即為二次根式，據(jù)此進行判斷即可．【解答】解：不符合二次根式定義，則A不符合題意；＝2，符合二次根式的定義，則B符合題意；不符合二次根式定義，則C不符合題意；當a＜0時，不符合二次根式定義，則D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查二次根式的定義，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．一十四．二次根式有意義的條件（共1小題）26．（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A． B． C．x≥ D．x≤【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得5x﹣2≥0，再解不等式即可．【解答】解：由題意得：5x﹣2≥0，解得：x≥，故選：C．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．一十五．二次根式的性質(zhì)與化簡（共3小題）27．（2023春?合肥期末）化簡的結(jié)果是（）A．3﹣π B．3+π C．﹣3﹣π D．﹣3+π【分析】先利用完全平方公式將原式變形，然后根據(jù)＝|a|＝進行化簡即可．【解答】解：原式＝＝|3﹣π|＝﹣（3﹣π）＝﹣3+π，故選：D．【點評】本題考查二次根式的化簡，先將原式化為是解題的關(guān)鍵．28．（2022秋?開福區(qū)校級期末）在學(xué)習(xí)二次根式時，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)了兩個非常有趣的式子，分別把它們定義為“L運算”和“X運算”．其中，．為了使二次根式有意義，我們規(guī)定a為實數(shù)，且滿足a2≥2021．（1）求證：L（a）?X（a）＝2021；（2）若實數(shù)x滿足L（x）＝43，求x的值；（3）已知實數(shù)x，y滿足L（x）?L（y）＝2021，t為任意實數(shù)，求代數(shù)式的最小值．【分析】（1）只需要證明即可；（2）根據(jù)題意可得方程，解方程即可得到答案；（3）由（1）得L（x）?X（x）＝2021，L（y）?X（y）＝2021，再由L（x）?L（y）＝2021，得到L（y）＝X（x），L（x）＝X（y），由此推出x﹣y＝0，x2＝y(tǒng)2＝2021，進而得到＝，由，得到，據(jù)此求解即可．【解答】解：（1）證明：∵，，∴＝＝a2﹣（a2﹣2021）＝a2﹣a2+2021＝2021；（2）∵，∴，∴（x﹣43）2＝x2﹣2021，∴x2﹣86x+1849＝x2﹣2021，解得x＝45；（3）由（1）知L（x）?X（x）＝2021，L（y）?X（y）＝2021，∵L（x）?L（y）＝2021，∴L（y）＝X（x），L（x）＝X（y），∴，，∴，，∴x﹣y＝0，∴，∵，∴，∴y2﹣2021＝0，x2﹣2021＝0，∴x2＝y(tǒng)2＝2021，∴＝＝＝＝＝＝，∵，∴，∴，∴的最小值為．【點評】本題考查了新定義下的實數(shù)運算，二次根式的混合計算，解無理方程，非負數(shù)的性質(zhì)，掌握相應(yīng)的運算方法是關(guān)鍵．29．（2022秋?永定區(qū)期末）閱讀下列例題．在學(xué)習(xí)二次根式性質(zhì)時我們知道例題求的值．解：設(shè)x＝，兩邊平方得：，即，x2＝10∴x＝．∵＞0，∴＝．請利用上述方法，求的值．【分析】根據(jù)題意給出的解法即可求出答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)x＝+，兩邊平方得：x2＝（）2+（）2+，x2＝4++4﹣+2×，即x2＝4++4﹣+6，x2＝14，∴x＝±，∵+＞0，∴x＝．【點評】本題考查二次根式的運算，掌握二次根式的運算法則是關(guān)鍵．一十六．最簡二次根式（共1小題）30．（2023春?路北區(qū)期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用最簡二次根式的定義分析得出答案．【解答】解：A、＝，故不是最簡二次根式，不合題意；B、，是最簡二次根式，符合題意；C、＝2，故不是最簡二次根式，不合題意；D、＝5，故不是最簡二次根式，不合題意；故選：B．【點評】此題主要考查了最簡二次根式，正確把握定義是解題關(guān)鍵．一十七．二次根式的乘除法（共3小題）31．（2023春?興縣期中）若成立，則（）A．x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥0 D．0≤x＜6【分析】根據(jù)分式和二次根式有意義的條件進行解答即可．【解答】解：要使成立，則，解得：0≤x＜6，故D正確．故選：D．【點評】本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的被開方數(shù)大于等于0，分式的分母不等于0．32．（2023春?密云區(qū)期末）計算：2．【分析】根據(jù)二次根式的乘除法法則計算即可．【解答】解：原式＝2××＝××＝6．【點評】本題考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法則是解題的關(guān)鍵．33．（2022秋?零陵區(qū)期末）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：3+2＝1+2+2＝（1+）2，善于思考的小明進行了以下探索：設(shè)a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分a+b的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分別表示a、b的值；（2）試著把7+4化成一個完全平方式．【分析】（1）直接利用完全平方公式將原式變形，進而得出答案；（2）利用完全平方公式將原式變形得出答案．【解答】解：（1）∵a+b＝（m+n）2，∴a+b＝m2+2mn+3n2，∴a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）7+4＝4+4+3＝（2+）2．【點評】此題主要考查了二次根式的乘除以及完全平方公式，正確運用完全平方公式是解題關(guān)鍵．一十八．二次根式的加減法（共2小題）34．（2023春?吉林月考）計算：．【分析】先把各根式化為最簡二次根式，再合并同類二次根式即可．【解答】解：+﹣＝＝．【點評】本題考查的是二次根式的加減法，熟知二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變是解題的關(guān)鍵．35．（2023春?撫松縣期中）計算：．【分析】先把各根式化為最簡二次根式，再合并同類二次根式即可．【解答】解：原式＝5﹣3+4＝6．【點評】本題考查的是二次根式的加減法，熟知二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變是解題的關(guān)鍵．一十九．二次根式的混合運算（共2小題）36．（2023春?宿城區(qū)期末）計算：．【分析】先進行乘法的運算，化簡運算，再進行加減運算即可．【解答】解：＝2+﹣4×＝4+﹣2＝4﹣．【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．37．（2023春?海林市校級期中）（1）觀察下列各式的特點：，，，，…根據(jù)以上規(guī)律可知：＞（填“＞”“＜”或“＝”）．（2）觀察下列式子的化簡過程：，，＝，…根據(jù)觀察，請寫出式子（n≥2，且n是正整數(shù)）的化簡過程．（3）根據(jù)上面（1）（2）得出的規(guī)律計算下面的算式：+||+???+||．【分析】（1）利用題目中的幾個不等式的大小的規(guī)律求解；（2）利用分母有理化進行化簡；（3）先分母有理化，再去絕對值，然后合并即可．【解答】解：（1）∵﹣＞﹣；故答案為：＞；（2）＝＝﹣（n≥2，且n是正整數(shù)）；（3）原式＝|﹣1﹣（﹣）|+|﹣﹣（﹣）|+|﹣﹣（﹣）|+???+|﹣﹣（﹣）|＝（﹣1）﹣（﹣）+（﹣）﹣（﹣）+（﹣）﹣（﹣）+???+（﹣）﹣（﹣）＝﹣1﹣+10＝+9﹣．【點評】本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則和分母有理化是解決問題的關(guān)鍵．二十．二次根式的化簡求值（共2小題）38．（2023春?泰安期中）（1）當時，求代數(shù)式的值．（2）當，，求代數(shù)式a2﹣3ab+b2的值．【分析】（1）先判斷出a﹣3的符號，再把二次根式進行化簡即可；（2）把原式化為（a﹣b）2﹣ab的形式，再把a，b的值代入進行計算即可．【解答】解：（1）∵a＝3﹣2，∴a﹣3＝3﹣2﹣3＝﹣2＜0，∴＝a+2＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a，＝6﹣（3﹣2）＝6﹣3+2＝3+2；（2）∵，，∴a﹣b＝3+2﹣3+2＝4，ab＝（3+2）（3﹣2）＝1∴a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab＝（4）2﹣1＝32﹣1＝31．【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值，熟知二次根式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵．39．（2023春?梁山縣期中）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明用來表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：∵，即．∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．請解答：（1）的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是．（2）如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求的值．【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)的大小即可；（2）估算無理數(shù)，的大小，確定a、b的值，再代入計算即可．【解答】解：（1）∵，即，∴的整數(shù)部分為4，小數(shù)部分為，故答案為：4，；（2）∵，，∴的小數(shù)部分，的整數(shù)部分b＝3，∴，答：的值為1．【點評】本題考查估算無理數(shù)的大小，掌握算術(shù)平方根的定義是正確估算的前提，理解不等式的性質(zhì)是得出答案的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．【詳解】解：A、是有理數(shù)，不是無理數(shù)，不符合題意；B、是有理數(shù)，不是無理數(shù)，不符合題意；C、是無理數(shù)，符合題意；D、是有理數(shù)，不是無理數(shù)，不符合題意；故選C．【點睛】本題考查了無理數(shù)的識別，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見的無理數(shù)有三類：①含類，如，等；②開方開不盡的數(shù)，如，等；③雖有規(guī)律但卻是無限不循環(huán)的小數(shù)，如（兩個1之間依次增加1個0），（兩個2之間依次增加1個1）等．2．估計+4的值（

）A．在5和6之間 B．在6和7之間 C．在7和8之間 D．在8和9之間【答案】B【分析】利用逼近法先估算出位于哪兩個整數(shù)之間，再利用不等式的性質(zhì)確定+4位于哪兩個整數(shù)之間即可．【詳解】解：∵＜＜，∴2＜＜3，∴6＜+4＜7．故選：B．【點睛】本題主要考查了估算無理數(shù)的大小，掌握逼近法是解題的關(guān)鍵．3．如圖，用邊長為3的兩個小正方形拼成一個大正方形，則大正方形的邊長最接近的整數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先利用正方形的面積公式求出大正方形的邊長，再利用無理數(shù)的估算、實數(shù)的大小比較法則即可得．【詳解】解：大正方形的邊長為，，，即，又，，，，，與最接近的整數(shù)是4，即大正方形的邊長最接近的整數(shù)是4，故選：B．【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算、實數(shù)的大小比較法則，熟練掌握實數(shù)的大小比較法則是解題關(guān)鍵．4．下列說法：①所有無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點表示；②帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；③任何實數(shù)都有立方根；④的平方根是±4，其中正確的個數(shù)有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】①根據(jù)無理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系即可判定；②根據(jù)無理數(shù)的定義即可判定；③根據(jù)立方根的定義即可判定；④根據(jù)平方根的定義即可判定．【詳解】解：①所有無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點表示是正確的；②帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如＝2，原來的說法是錯誤的；③任何實數(shù)都有立方根是正確的；④＝4，4的平方根是±2，原來的說法是錯誤的．故選：C．【點睛】本題主要考查了實數(shù)中無理數(shù)的概念，平方根，立方根的概念．有一定的綜合性．5．△ABC的三邊長a，b，c滿足+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，則△ABC的面積是（

）A．65 B．60 C．30 D．26【答案】C【分析】首先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得a-5=0，b-12=0，c-13=0，進而可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理證明△ABC是直角三角形，最后由直角三角形面積公式求解即可．【詳解】解：∵+(b-12)2+|c-13|=0，∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，∴a=5，b=12，c=13，∵52+122=132，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC==30．故選：C．【點睛】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，以及勾股定理逆定理，熟練掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形，利用非負數(shù)性質(zhì)求出a、b、c的值是解題的關(guān)鍵．6．若，則的平方根為（

）A．±2 B．4 C．2 D．±4【答案】D【分析】根據(jù)絕對值，平方，二次根式的非負性求出x，y，z，算出代數(shù)式的值計算即可；【詳解】∵，∴，解得，∴，∴；故選：D．【點睛】本題主要考查了平方根的求解，結(jié)合絕對值、二次根式的非負性計算是解題的關(guān)鍵．7．已知，則ab＝（）A．1 B． C．4 D．【答案】B【分析】根據(jù)偶次方和絕對值的非負性求出a，b的值，代入代數(shù)式求值即可得出答案．【詳解】解：原式變形為：，∴，∴，∴＝．故選：B．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，掌握幾個非負數(shù)的和為0，則這幾個非負數(shù)分別等于0是解題的關(guān)鍵．8．閱讀下面的解題過程：∵①，②．∴③．以上推導(dǎo)過程中開始錯誤的一步是()A．① B．② C．③ D．沒有錯誤【答案】A【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．【詳解】解：∵①，②，∴③，以上推導(dǎo)錯誤的一步是：①，應(yīng)該為：∵，而，∴③，故選：A．【點睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)，正確化簡是解題關(guān)鍵．9．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的加減乘除相關(guān)運算法則逐項驗證即可得到答案．【詳解】解:A、與不是同類二次根式，無法在加減運算中合并同類二次根式，所以錯誤；B、根據(jù)二次根式乘法運算法則可知，該選項運算正確；C、根據(jù)二次根式加法運算法則，運算錯誤；D、根據(jù)二次根式除法運算法則可知，該選項錯誤；故選：B．【點睛】本題考查二次根式的加減乘除相關(guān)運算法則，熟練掌握二次根式相關(guān)運算公式是解決問題的關(guān)鍵．10．設(shè)n是任意正整數(shù)，代入式子n3－n中計算時，四名同學(xué)算出如下四個結(jié)果，其中正確的結(jié)果可能是（

）A．388947 B．388944 C．388953 D．388949【答案】B【分析】由n3-n=n（n-1）（n+1）≈n3，由答案四項的大小相差不大，且立方根約為自然數(shù)73，所以可得n的值為73，即可求出代數(shù)式的值．【詳解】∵n3-n=n（n-1）（n+1）≈n3又∴n=73∴n3-n=72×73×74=388944故選B．【點睛】本題考查了代數(shù)式求值在實際問題中運用．二、填空題11．如圖所示，以數(shù)軸的單位長度線段為邊作一個正方形，以表示數(shù)2的點為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點A，則點A表示的數(shù)是_____．【答案】【分析】先利用勾股定理求出圓弧的半徑長，再根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)即可得．【詳解】解：由題意，圓弧的半徑長為，因為點在表示數(shù)2的點的左側(cè)，所以點表示的數(shù)是，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理、實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．12．若|a|＝，則的相反數(shù)是____．【答案】2【分析】先化簡絕對值可得，從而可得，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義、相反數(shù)的定義即可得．【詳解】解：，，，，則的相反數(shù)是2，故答案為：2．【點睛】本題考查了化簡絕對值、算術(shù)平方根、相反數(shù)，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解題關(guān)鍵．13．觀察：①＝﹣1，②＝﹣，③＝2﹣．……按此規(guī)律，第8個等式的是___．【答案】【分析】根據(jù)已知等式得出第n個式子為，代入計算即可．【詳解】解：觀察等式①＝﹣1，②＝﹣，③＝2﹣．……可知，第n個式子為：，第8個等式的是，即．【點睛】本題考查了二次根式運算的規(guī)律，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知等式得出數(shù)字規(guī)律，按照規(guī)律求出等式．14．計算的結(jié)果是________．【答案】【詳解】原式=3﹣3×2=﹣3，故答案為﹣3.15．的整數(shù)部分是________，小數(shù)部分是________．【答案】4【分析】利用二次根式的估算，先找出離被開方數(shù)最近的兩個完全平方數(shù)，得出二次根式所在的范圍即可．【詳解】解：∵，∴，∴的整數(shù)部分為4，小數(shù)部分：，故答案為：4；【點睛】本題主要考查的是二次根式的估算，掌握二次根式的估算方法是解題的關(guān)鍵．16．若是正整數(shù)，則整數(shù)的最小值為__________________．【答案】3.【分析】是正整數(shù)，則3n一定是一個完全平方數(shù)，即可求出n的最小值．【詳解】解：∵是正整數(shù)，∴3n一定是一個完全平方數(shù)，∴整數(shù)n的最小值為3．故答案是：3．【點睛】本題考查了二次根式的定義，理解是正整數(shù)的條件是解題的關(guān)鍵．17．一個正數(shù)的平方根分別是和，則__．【答案】2．【分析】根據(jù)正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)可得關(guān)于x的方程，解方程即可得．【詳解】根據(jù)題意可得：x+1+x﹣5=0，解得：x=2，故答案為2．【點睛】本題主要考查了平方根的定義和性質(zhì)，熟練掌握平方根的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．計算________．【答案】/【分析】先根據(jù)絕對值的性質(zhì)、算術(shù)平方根和立方根的定義進行化簡，然后再進行計算即可．【詳解】解：．故答案為：【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握絕對值的性質(zhì)、算術(shù)平方根和立方根的定義．算術(shù)平方根：一般地，如果一個正數(shù)的平方等于，即，那么這個正數(shù)就叫做的算術(shù)平方根；立方根：如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)就叫做的立方根．三、解答題19．把下面?zhèn)€各數(shù)填入相應(yīng)的大括號內(nèi)﹣13.5，5，0，﹣10，3.14，+27，﹣，﹣15%，．負數(shù)集合：{…}，非負數(shù)集合：{…}，整數(shù)集合：{…}，負分數(shù)集合：{…}．【答案