2020-超常數學競賽-8年級-復賽-答案

PAGEPAGE/2020年超常（數學）思維與創(chuàng)新能力測（初中二年分標準考試時間 滿分：12012道填空題、5一、填空題（5分，共60分計算：(1?1)(1?1)?(1?1)(1?1)

.

解(11111111

=(1

)(121

)(121

)(131

)?(1+1

)(191

)(191

)(1 =(1

)(12

)?(1+

)(19

)(1

)(12

)?(13

)(1

×?9

×? =ABAD∠BAD90°AC則四邊形ABCD的面積等于 解法一此題只知????=6cm一條線段長計算面積，仔細想一想，只有正三和另兩條相等線段，不妨設法將圖形試一試改造成正方形（如解圖①）.????⊥????E，將????????????，易知，AECFABCD的面積，ACAECF的對角線

=2=2= 解法二如解圖②，顯然∠??∠??180°，將????????????的位置，C、D、E三點共線，所以??四邊

=1×6×6=2不等式組??<????<??+1(??=1，2，3，??)1<??<2<??2<3<??3<4<??4<?有解.則自然數??的最大值為 解4.如果??53<5??5<從而得出35<??15<63，即243<216，矛盾.因此，??故自然數??4.已知??，??5??23??=59，則以??3，1????，2?????4為邊長的三角形 三角形答案：直解法1 因為5??2+3??為奇數，所以??，??必為一奇一偶，而??，??均為素數，故??，??中有一個為2.若??=2時，則??2=53，不合題意，舍去5若??=2，則??=13??+3=5，1???+??=12，2??+???4=因為52+122=132，所以，以5，12，13為邊長的三角形為直角三角形.解法2 由5??2+3??=59，可得3??=59?由于??，??所以，??2

59?5??2=3??≥若??=3，則??不是素數，舍去若??=2，則??=13如下圖，由四條半圓弧構成一圖形.若PR=12，QS=6，則所圍出的面 答案解法 令????=??.那么，以PQ為直徑的半圓的面積2

12??? )2QR2

??) )2RS2

6??? )2PS2

12+6??? 2??[(18???)2?(12???)2+??2?(6???)2]=??[324?36??+??2?144+24?????2+??2?36+12?????2] [324?144?8 8=解法 如解圖考慮????=0的極限情形.此時????=12，????=????=6，????=18.??18

??12

6?()(

[81?36?9]=2 計算：√1+20202+解因為

2?2021= 1+20202

=(1+2020)2?2×2020=20212?2×2021×

+=(2021

2020)√1+20202

20212

=(2021=

)

2??2????36為某素數的平方，則所有的整數??之和 解設2??2????36=??2，????2=(??+4)(2???（1）若??+4=1，則??=?3，此時2???9=?15≠（2）若2???9=1，則??=5，所以??+4=9=（3）若??+4=2???9=??，則??=13，此時??=所以，所有的整數??之和為5+13= 解12點的位置開始按順時針方向以度數來度量針的位置.?，??，??12點位置所成角度，則0≤?，??，??< 有一個可得到適當范圍內的值）.由此得剛好當??=?+??180°2平分時針和分針之間兩個夾角之一，即考慮中午后??小時的一點，0≤??<12時，時針一共移動了30??12×30??60×12×30??此得30????，12×30?????和60×12×30?????都是360°

與2180°的倍數，對于某些整數??230??+12×60×12×30??2

=化簡得平分條件為1427??=12??，因而對整數??，平分出現(xiàn)在時間??=12??為0≤??<12，我們有0≤??<1427121427 小時出現(xiàn)一次，近似地為30.2733秒AB，小梅、小松、小竹、小桂做了以下發(fā)言小梅：“AB12.”小松：“AB48.”小竹：“AB2倍.”小桂：“A6，B6.”已知4人中有3人說實話，1人說謊話，則說謊話的人是 解若????=12，則????=??(12??)=36(??6)2≤36<48，所以說??+??≠????={??≤??>6，??<AB都是整數且????=48；??>6，??<6B(??，??(1，48)，(2，24)，(3，16)或(4，12)，但均與??≤2????+??=????≠{??≤??>6，??<由??+??=12，??≤2??，得??≥4.又??<6，所以整數??=4進而可得(??，??)=(7，5)或(8，4)3總之，說謊話的是小松已知??是自然數，且20000??30000，??A最小值 答案：??????解設??=20000+1000??1+100??2+10??3+??4 20000+1000??1+100??2+10??3+= 2+??1+??2+??3+19998+999??1+99??2+=1≥1=1

2+??1+??2+??3+19998+999??1+99??2+2+??1+??2+??3+19998+999??1+99??2+11+??1+??2+19899+990??1+=10≥10=10

11+??1+??2+19899+990??1+11+??1+??2+19899+990??1+20+??1+18099+=100≥100=100=100

20+??1+18099+20+??1+18099+29+900(29+??1)+18099?900×29+=1000≥10003=

29+29+易見，當且僅當??4=??3=??2=9，??1=0，即??=20999

的最小值是7243 的頂點.如果每個菱形的面積等于正方形面積的一半，則兩菱形公共部分的面積

解M、NOA、OB的中點.2 × ??)

1

1 △??????=4??△??????

??4

?? ??四邊形????????=??△??????=1??2+ =1

??陰

=

1四邊形????????=3對于兩個實數????，定義運算“?????=??????+????.????(??，??，??是常數).對于任意的實數??，存在實數??使?????=??，又1?2=5，2?3=4，這時??+??+??+??= .答案：??

????解因為????=??????????????，????=????????????????=????又由12=5????+??=????=2??+??+2??=①②③由23=46??+2??+3??=④由式②可知??=0或??=當??=02??+??= 6??+2??= 聯(lián)立⑤⑥得??=?3，??=11?3??+11=.所以??=.當??=0時，代入①得??=1??+??= 6??+3??=

4??=3

，??3??=?3，??=11，??=0，??34??=3

，??=1，??

，??=31??+??+??+??=33二、解答題（1260分已知??=

3 5

的值++??++??+

1??√2+

√2?=(√2+1)(√2?

=√2?

………4(??+1)2=(√2)2= ??2+2???1=

………634

2

??+1=1[(3??+4)(??2+2???1)+41 (0+4= ………1211分，不答不得分.若五個人的答案如下表所示解若第??題的正確答案是對，記????=+1；否則，記????=?1.A??1+??2+??3???5+??6???7???8+??9?故??1+??2+??3???5+??6???7???8+??9???10= ??1+??2???3???4???6+??7+??8???9???10= ???1+??2???3???4+??5+??6+??7???8+??9= ???1???2+??3+??4+??5+??6???7???8???9+??10= ??1+??2???3+??4???5???6???7+??8+??9???10= ………3??1+3??2???3+??6???7???8+??9?2??10=但11=??1+3??2???3+??6???7???8+??9?≤|??1|+3|??2|+|??3|+|??6|+|??7|+|??8|+|??9|+= ………7???5+6=???4=???4+??5+3=??4+??5?2=??4???5+4=

………10故??4=??5=11，2，4，5，6，9 ………12（如圖12121212個結點處，使得每條直線上所填的四個數之和相等.求六角星的六個頂點??1，??2?，??6處填數之和的最小值.解對于滿足條件的任一填法，將點????處所填的數記為????，??=，12，若每條直線上的四數之和為??得到??=

6??=2(1+2+?+

………3在△??1??3??5(??1+??8+??9+??3)+(??3+??10+??11+??5+(??5+??12+??7+??1)=3?? 在△??2??4??6的三條邊上，有(??2+??9+??10+??4)+(??4+??11+??12+??6+(??6+??7+??8+??2)=3?? ??1+??3+??5=??2+??4+??6 若記??=(??1+??3+??5)+(??2+??4+??6)，則??為偶數

………622.若??=221，2，?，12225，7，將其分為和相等的兩組，每組三個數，只有唯一的分法：{1，3，7}今忽略外圈的具體數字，而將{1，3，7}與{2，4，5}分別改記{奇，奇，奇}與{偶，偶，奇}（如解圖條線上四個數之和??為偶數，則??9~??8~??7~??12，??10~??11，而在內圈六個數6，}={………8和應是??(911)=6，但是在{1，3，7}6的兩個數，矛盾.因此??≠22，進而得，偶數??≥24.當??=24時，我們可實際給出符合題意的填法（如解圖（b））

………12??????2015，那么△??????的面積是多少？解BDYECEZFADXF??????BDYE3DYEZFX3EHGI的面積即可得陰影部分面積設△??????1， ??△??????=2×4=

………2

=

??△??????=

………3 8??四邊形????????858

×)

………4 ??三叉星????????????=1?3×10=又因 ，所

………6????=2

=11

??△??????=2

??△??????=3??△??????=3×2??△??????=3×2×8=

………9 ??△??????=??△??????，????=????=3，????=3，????=1.5=3= ??△??????=7??△??????=7×8= ??四邊形????????=82×56= ??=10356=??△??????=2015÷280=

………1254?、J、Q、K順序排列.某人把按上述排