專題06 分式方程（講義）（2考點(diǎn)+11題型+8類型）

第06講分式方程目錄TOC\o"1-2"\h\u考點(diǎn)一解分式方程 2題型01判斷分式方程 2題型02分式方程的一般解法 3題型03分式方程的特殊解法 3題型04錯(cuò)看或錯(cuò)解分式方程問題 6題型05解分式方程的運(yùn)用（新定義運(yùn)算） 7題型06根據(jù)分式方程解的情況求值 8題型07根據(jù)分式方程有解或無(wú)解求參數(shù) 8題型08已知分式方程有增根求參數(shù) 9題型09已知分式方程有整數(shù)解求參數(shù) 9考點(diǎn)二分式方程的應(yīng)用 11題型01列分式方程 11題型02利用分式方程解決實(shí)際問題 12考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)解分式方程能解可化為一元一次方程的分式方程中考中本考點(diǎn)考查內(nèi)容以分式方程解法、分式方程含參問題、分式方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和一次函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合考察，年年考查，分值為10分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查分式方程解法、分式方程含參問題（較難）、分式方程的應(yīng)用題，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握．分式方程的應(yīng)用能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程解的合理性

考點(diǎn)一解分式方程1、分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．2、增根的概念：在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根.易混易錯(cuò)1.分式方程與整式方程的根本區(qū)別：分母中含有未知數(shù)，也是判斷分式方程的依據(jù).2.去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng).3.分式方程的結(jié)果還要代回方程的最簡(jiǎn)公分母中，只有最簡(jiǎn)公分母不是零的解才是原方程的解．4.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母為0的根，它不是原分式方程的根．5.解分式方程可能產(chǎn)生使分式方程無(wú)意義的根，檢驗(yàn)是解分式方程的必要步驟.6.分式方程有增根與無(wú)解并非是同一個(gè)概念．分式方程無(wú)解，需分類討論：可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無(wú)解.題型01判斷分式方程【例1】（2021·河南信陽(yáng)·河南省淮濱縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）下列方程：①1x+1=x；②x+12?3=0；③2x?1+31?xA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-1】（2022南明區(qū)二模）下列關(guān)于x的方程，是分式方程的是（

）A．x2?3=x5 B．12x?題型02分式方程的一般解法【例2】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）將方程1x?1+3=3x1?x去分母，兩邊同乘A．1+3=3x1?x B．1+3C．x?1+3=?3x D．1+3【變式2-1】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）方程1x+2+x+6【變式2-2】（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）解方程：4x2+x【變式2-3】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）代數(shù)式3x+2與代數(shù)式2x?1的值相等，則x＝【變式2-4】（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）方程2x+1方法技巧解分式方程方法：先通過方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母將分式方程化為整式方程，再解整式方程，最后需要檢驗(yàn)整式方程的解是不是分式方程的解.題型03分式方程的特殊解法類型一分組通分法方法簡(jiǎn)介：如果整個(gè)方程一起通分，計(jì)算量大又易出錯(cuò)，觀察方程中分母的特點(diǎn)可聯(lián)想分組通分求解.【例3】解方程：3x?2類型二分離分式法方法簡(jiǎn)介：每個(gè)分式的分母與分子相差1，利用這個(gè)特點(diǎn)可采用分類分式法求解【例4】解方程：x+5類型三列項(xiàng)相消法方法簡(jiǎn)介：根據(jù)分式方程的結(jié)果特點(diǎn)，依據(jù)公式“1nn+1【例5】我們把分子是1的分?jǐn)?shù)叫做分?jǐn)?shù)單位，有些單位分?jǐn)?shù)可以拆成兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)的差，如16=12?13，1【變式5-1】因?yàn)?1×2所以11×2(1)在和式11×2+1(2)解方程：1x+1【變式5-2】探索研究：請(qǐng)觀察：①1x②1x③1x④1x……(1)請(qǐng)寫出第n個(gè)等式；(2)解方程：1x(3)當(dāng)m為正整數(shù)時(shí)，12+1【變式5-3】探索發(fā)現(xiàn)：11×2根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：（1）14×5＝_，1n×(n+1)＝_（2）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：1（3）利用規(guī)律解方程：1類型四消元法方法簡(jiǎn)介：當(dāng)方程中的分式互為倒數(shù)，或不同分式中的分母互為相反式，或方程中分子、分母的二次項(xiàng)與一次項(xiàng)分別相同時(shí)，可考慮用換元法.【例6】用換元法解分式方程xx2?1+2【變式6-1】閱讀與思考閱讀下面的材料，解答后面的問題．解方程：x?1x解：設(shè)y=x?1x，則原方程可化為y?4y=0解得y=±2，經(jīng)檢驗(yàn)：y=±2都是方程y?4y=0的解，∴當(dāng)y=2時(shí)，x?1當(dāng)y=?2時(shí)，x?1x=?2，解得x=∴原分式方程的解為x=?1問題：(1)若在方程中x?12x?x(2)模仿上述換元法解方程：x?1x+2【變式6-2】用換元法解：x+12x?1題型04錯(cuò)看或錯(cuò)解分式方程問題【例7】（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）小明解分式方程1x+1解：去分母，得

3=2x?(3x+3)．①去括號(hào)，得

3=2x?3x+3．②移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得

?x=6．③化系數(shù)為1，得

x=?6．④以上步驟中，開始出錯(cuò)的一步是（

）A．① B．② C．③ D．④【變式7-1】（2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖的解題過程中，第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是____．先化簡(jiǎn)，再求值：3?xx?4+1，其中解：原式==3?x+x?4=?1【變式7-2】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）小丁和小迪分別解方程xx?2?小?。航猓喝シ帜?，得x?(x?3)=x?2去括號(hào)，得x?x+3=x?2合并同類項(xiàng)，得3=x?2解得x=5∴原方程的解是x=5小迪：解：去分母，得x+(x?3)=1去括號(hào)得x+x?3=1合并同類項(xiàng)得2x?3=1解得x=2經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是方程的增根，原方程無(wú)解你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．【變式7-3】（2023忻州市一模）小華想復(fù)習(xí)分式方程，由于印刷問題，有一個(gè)數(shù)“？”看不清楚：?x?2（1）她把這個(gè)數(shù)“？”猜成5，請(qǐng)你幫小華解這個(gè)分式方程；（2）小華的媽媽說(shuō)：“我看到標(biāo)準(zhǔn)答案是：方程的增根是x=2，原分式方程無(wú)解”，請(qǐng)你求出原分式方程中“？”代表的數(shù)是多少？題型05解分式方程的運(yùn)用（新定義運(yùn)算）【例8】（2022·河南平頂山·統(tǒng)考二模）定義運(yùn)算m※n=1+1m+n，如：1※A．x=1 B．x=?1 C．x=?12 【變式8-1】（2023廣西大學(xué)附屬中學(xué)二模）對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義一種新運(yùn)算“”為：a?b=1a?b2，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算，例如：1?3=1A．x=4 B．x=5 C．x=6 D．x=7【變式8-2】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)a，b，a?b=1a+1b．若(x+1)?x=2x+1x【變式8-3】（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）對(duì)于非零實(shí)數(shù)a，b，規(guī)定a⊕b＝1a?1b，若（2x﹣1）⊕2＝1，則題型06根據(jù)分式方程解的情況求值【例9】（2020·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的分式方程3xx?2＝m2?x+5的解為正數(shù)，則A．m＜﹣10 B．m≤﹣10 C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6【變式9-1】（2020·四川瀘州·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程mx?1+2=?31?x的解為非負(fù)數(shù)，則正整數(shù)A．3 B．4 C．5 D．6【變式9-2】（2023鹽城市二模）關(guān)于x的分式方程1x?2+a?22?x=1【變式9-3】（2023·內(nèi)蒙古包頭·?？家荒＃┮阎P(guān)于x的分式方程2x?mx?1?31?x=1【變式9-4】（2023齊齊哈爾市二模）要使關(guān)于x的方程x+1x+2?xx?1=方法技巧由分式方程的解的情況求字母系數(shù)的取值范圍，一般解法是：

①根據(jù)未知數(shù)的范圍求出字母的范圍；

②把使分母為0的未知數(shù)的值代入到去分母后的整式方程中，求出對(duì)應(yīng)的字母系數(shù)的值；

③綜合①②，求出字母系數(shù)的范圍.題型07根據(jù)分式方程有解或無(wú)解求參數(shù)【例10】（2022·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的方程2x=m2x+1無(wú)解，則A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【變式10-1】（2022·四川眉山·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的分式方程kx?2－32?x＝1無(wú)解，則k＝（A．－3 B．1 C．2 D．3【變式10-2】（2023·山東菏澤·?？家荒＃┮阎P(guān)于x的分式方程a2x+3?a?xx?5=1無(wú)解，則a方法技巧已知分式方程的解確定字母參數(shù)，首先將分式方程化為整式方程，用含字母參數(shù)的代數(shù)式表x，再根據(jù)解的情況確定字母參數(shù)的取值.同時(shí)要注意原分式方程的最簡(jiǎn)公分母不能為零.題型08已知分式方程有增根求參數(shù)【例11】（2021·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的分式方程m+4x?3=3xx?3+2有增根，則mA．2 B．3 C．4 D．5【變式11-1】（2021·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的分式方程6x?2?1=ax2?x有增根，則A．?3 B．3 C．2 D．?【變式11-2】（2022·遼寧丹東·?？级＃┤絷P(guān)于x的方程6?xx?3?2mx?3=0方法技巧依據(jù)分式方程的增根確定字母參數(shù)的值的一般步驟：1)先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程;

2)由題意求出增根;

3)將增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母參數(shù)的值.題型09已知分式方程有整數(shù)解求參數(shù)【例12】（2022·廣東佛山·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的分式方程x?2x?1＝mx1?x有正整數(shù)解，則整數(shù)m為_____．【變式12-1】（2020·重慶·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式結(jié)3x?12≤x+3x≤a的解集為x≤a；且關(guān)于y的分式方程y?ay?2+3y?4y?2A．7 B．－14 C．28 D．－56【變式12-2】（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？家荒＃┤绻P(guān)于x的不等式組x?m2≥0x+3<3x?1的解集為x>3，且關(guān)于y的分式方程3?y2?yA．?4 B．?3 C．?1 D．?7【變式12-3】（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？既＃┤绻P(guān)于y的分式方程9?ayy?3+2=213?y有整數(shù)解，且關(guān)于x的不等式組5x≥3x+2【變式12-4】（2023·重慶九龍坡·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？既＃╆P(guān)于x的不等式組?x+a<23x?14≤x?1的解集為x≥3，且關(guān)于y的分式方程yy?1

考點(diǎn)二分式方程的應(yīng)用用分式方程解決實(shí)際問題的步驟：審：理解并找出實(shí)際問題中的等量關(guān)系;設(shè)：用代數(shù)式表示實(shí)際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解方程;驗(yàn)：考慮求出的解是否具有實(shí)際意義;+1）檢驗(yàn)所求的解是否是所列分式方程的解.2）檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義.答：實(shí)際問題的答案.與分式方程有關(guān)應(yīng)用題的常見類型：題型01列分式方程【例1】（2022·云南·中考真題）某地開展建設(shè)綠色家園活動(dòng)，活動(dòng)期間，計(jì)劃每天種植相同數(shù)量的樹木，該活動(dòng)開始后、實(shí)際每天比原計(jì)劃每天多植樹50棵，實(shí)際植樹400棵所需時(shí)間與原計(jì)劃植樹300棵所需時(shí)間相同．設(shè)實(shí)際每天植樹x棵．則下列方程正確的是（

）A．400x?50=300x B．300x?50=【變式1-1】（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）《千里江山圖》是宋代王希孟的作品，如圖，它的局部畫面裝裱前是一個(gè)長(zhǎng)為2.4米，寬為1.4米的矩形，裝裱后，整幅圖畫寬與長(zhǎng)的比是8：13，且四周邊襯的寬度相等，則邊村的寬度應(yīng)是多少米?設(shè)邊襯的寬度為x米，根據(jù)題意可列方程（

）A．1.4?x2.4?x=813 B．1.4+x2.4+x=【變式1-2】（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）我市某區(qū)為30萬(wàn)人接種新冠疫苗，由于市民積極配合這項(xiàng)工作，實(shí)際每天接種人數(shù)是原計(jì)劃的1.2倍，結(jié)果提前20天完成了這項(xiàng)工作．設(shè)原計(jì)劃每天接種x萬(wàn)人，根據(jù)題意，所列方程正確的是（

）A．30x?301.2x=20 B．30x【變式1-3】（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）為扎實(shí)推進(jìn)“五育”并舉工作，加強(qiáng)勞動(dòng)教育，某校投入2萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)了一批勞動(dòng)工具．開展課后服務(wù)后，學(xué)生的勞動(dòng)實(shí)踐需求明顯增強(qiáng)，需再次采購(gòu)一批相同的勞動(dòng)工具，已知采購(gòu)數(shù)量與第一次相同，但采購(gòu)單價(jià)比第一次降低10元，總費(fèi)用降低了15%．設(shè)第二次采購(gòu)單價(jià)為x元，則下列方程中正確的是（

）A．20000x=20000×(1?15%)x?10 B．【變式1-4】（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）一輛汽車開往距出發(fā)地420km的目的地，若這輛汽車比原計(jì)劃每小時(shí)多行10km，則提前1小時(shí)到達(dá)目的地．設(shè)這輛汽車原計(jì)劃的速度是xkm/h，根據(jù)題意所列方程是（

）A．420x=420x?10+1 B．420x【變式1-5】（2023·重慶江北·?？家荒＃┮阎状a頭與乙碼頭相距36千米，一輪船往返于甲，乙兩碼頭之間，輪船由甲碼頭順流而下到乙碼頭所用時(shí)間比逆流而上所用時(shí)間少2小時(shí)，已知水流速度為3千米/時(shí)，求船在靜水中的速度，設(shè)船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，根據(jù)題意列方程為（

）A．36x+3?36x?3=2 B．36x?3【變式1-6】（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）“愛勞動(dòng)，勞動(dòng)美．”甲、乙兩同學(xué)同時(shí)從家里出發(fā)，分別到距家6km和10km的實(shí)踐基地參加勞動(dòng)．若甲、乙的速度比是3:4，結(jié)果甲比乙提前20min到達(dá)基地，求甲、乙的速度．設(shè)甲的速度為3xkm/h，則依題意可列方程為（

）A．63x+13=104x B．題型02利用分式方程解決實(shí)際問題類型一行程問題【例2】（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）學(xué)校師生去距學(xué)校45千米的吳玉章故居開展研學(xué)活動(dòng)，騎行愛好者張老師騎自行車先行2小時(shí)后，其余師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果同時(shí)到達(dá)；已知汽車速度是自行車速度的3倍，求張老師騎車的速度．【變式2-1】（2023青島市一模）小李從A地出發(fā)去相距4.5千米的B地上班，他每天出發(fā)的時(shí)間都相同．第一天步行去上班結(jié)果遲到了5分鐘．第二天騎自行車去上班結(jié)果早到10分鐘．已知騎自行車的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和騎自行車的速度分別為多少千米每小時(shí)；(2)有一天小李騎自行車出發(fā)，出發(fā)1.5千米后自行車發(fā)生故障．小李立即跑步去上班（耽誤時(shí)間忽略不計(jì)）為了至少提前5分鐘到達(dá)．則跑步的速度至少為多少千米每小時(shí)？類型二工程問題【例3】（2023重慶市模擬預(yù)測(cè)）為方便群眾出行，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)負(fù)責(zé)修建某段通往高鐵站的快線，已知甲隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度是乙隊(duì)的1.5倍，如果兩隊(duì)各自修建快線600m，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用4天．(1)求甲，乙兩個(gè)工程隊(duì)每天各修路多少米？(2)現(xiàn)計(jì)劃再修建長(zhǎng)度為3000m的快線，由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來(lái)完成．若甲隊(duì)每天所需費(fèi)用為1萬(wàn)元，乙隊(duì)每天所需費(fèi)用為0.6萬(wàn)元，求在總費(fèi)用不超過38萬(wàn)元的情況下，至少安排乙工程隊(duì)施工多少天？【變式3-1】（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)?？家荒＃┲貞c市潼南區(qū)是中國(guó)西部綠色菜都，為全市人民提供了新鮮多樣的蔬菜．今年，區(qū)政府著力打造一個(gè)新的蔬菜基地，計(jì)劃修建灌溉水渠1920米，由甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)合作完成．已知乙施工隊(duì)每天修建的長(zhǎng)度是甲施工隊(duì)每天修建的長(zhǎng)度的43(1)求甲、乙兩施工隊(duì)每天各修建多少米？(2)若甲施工隊(duì)每天的修建費(fèi)用為13萬(wàn)元，乙施工隊(duì)每天的修建費(fèi)用為15萬(wàn)元，實(shí)際修建時(shí)先由甲施工隊(duì)單獨(dú)修建若干天，再由甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)合作修建，恰好12天完成修建任務(wù)，求共需修建費(fèi)用多少萬(wàn)元？類型三和差倍分問題【例4】（2022·廣東深圳·深圳中學(xué)?？家荒＃?022年北京冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩深受大家的喜歡．某商家兩次購(gòu)進(jìn)冰墩墩進(jìn)行銷售，第一次用22000元，很快銷售一空，第二次又用48000元購(gòu)進(jìn)同款冰墩墩，所購(gòu)進(jìn)數(shù)量是第一次的2倍，但單價(jià)貴了10元．(1)求該商家第一次購(gòu)進(jìn)冰墩墩多少個(gè)？(2)若所有冰墩墩都按相同的標(biāo)價(jià)銷售，要求全部銷售完后的利潤(rùn)率不低于20%（不考慮其他因素），那么每個(gè)冰墩墩的標(biāo)價(jià)至少為多少元？【變式4-1】（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）近日，教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版），將勞動(dòng)從原來(lái)的綜合實(shí)踐活動(dòng)課程中獨(dú)立出來(lái)．某中學(xué)為了讓學(xué)生體驗(yàn)農(nóng)耕勞動(dòng)，開辟了一處耕種園，需要采購(gòu)一批菜苗開展種植活動(dòng)．據(jù)了解，市場(chǎng)上每捆A種菜苗的價(jià)格是菜苗基地的54倍，用300元在市場(chǎng)上購(gòu)買的A(1)求菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格．(2)菜苗基地每捆B種菜苗的價(jià)格是30元．學(xué)校決定在菜苗基地購(gòu)買A，B兩種菜苗共100捆，且A種菜苗的捆數(shù)不超過B種菜苗的捆數(shù)．菜苗基地為支持該?；顒?dòng)，對(duì)A，B兩種菜苗均提供九折優(yōu)惠．求本次購(gòu)買最少花費(fèi)多少錢．【變式4-2】（2021·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．某超市節(jié)前購(gòu)進(jìn)了甲、乙兩種暢銷口味的粽子．已知購(gòu)進(jìn)甲種粽子的金額是1200元，購(gòu)進(jìn)乙種粽子的金額是800元，購(gòu)進(jìn)甲種粽子的數(shù)量比乙種粽子的數(shù)量少50個(gè)，甲種粽子的單價(jià)是乙種粽子單價(jià)的2倍．（1）求甲、乙兩種粽子的單價(jià)分別是多少元？（2）為滿足消費(fèi)者需求，該超市準(zhǔn)備再次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種粽子共200個(gè)，若總金額不超過1150元，問最多購(gòu)進(jìn)多少個(gè)甲種粽子？【變式4-3】（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）掃地機(jī)器人具備敏捷的轉(zhuǎn)彎、制動(dòng)能力和強(qiáng)大的自主感知、規(guī)劃能力，深受人們喜愛．某商場(chǎng)根據(jù)市場(chǎng)需求，采購(gòu)了A，B兩種型號(hào)掃地機(jī)器人．已知B型每個(gè)進(jìn)價(jià)比A型的2倍少400元．采購(gòu)相同數(shù)量的A，B兩種型號(hào)掃地機(jī)器人，分別用了96000元和168000元．請(qǐng)問A，B兩種型號(hào)掃地機(jī)器人每個(gè)進(jìn)價(jià)分別為多少元？類型四銷售利潤(rùn)問題【例5】（2023梁山縣三模）某商場(chǎng)計(jì)劃銷售A，B兩種型號(hào)的商品，經(jīng)調(diào)查，用1500元采購(gòu)A型商品的件數(shù)是用600元采購(gòu)B型商品的件數(shù)的2倍，一件A型商品的進(jìn)價(jià)比一件B型商品的進(jìn)價(jià)多30元．（1）求一件A，B型商品的進(jìn)價(jià)分別為多少元？（2）若該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A，B型商品共100件進(jìn)行試銷，其中A型商品的件數(shù)不大于B型的件數(shù)，已知A型商品的售價(jià)為200元/件，B型商品的售價(jià)為180元/件，且全部能售出，求該商品能獲得的利潤(rùn)最小是多少？【變式5-1】（2023銀川市二模）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，甲種商品共用了2000元，乙種商品共用了2400元．已知乙種商品每件進(jìn)價(jià)比甲種商品每件進(jìn)價(jià)多8元，且購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品件數(shù)相同．（1）求甲、乙兩種商品的每件進(jìn)價(jià)；（2）該商場(chǎng)將購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品進(jìn)行銷售，甲種商品的銷售單價(jià)為60元，乙種商品的銷售單價(jià)為88元，銷售過程中發(fā)現(xiàn)甲種商品銷量不好，商場(chǎng)決定：甲種商品銷售一定數(shù)量后，將剩余的甲種商品按原銷售單價(jià)的七折銷售；乙種商品銷售單價(jià)保持不變．要使兩種商品全部售完后共獲利不少于2460元，問甲種商品按原銷售單價(jià)至少銷售多少件？

第06講分式方程答案解析考點(diǎn)一解分式方程題型01判斷分式方程【例1】（2021·河南信陽(yáng)·河南省淮濱縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）下列方程：①1x+1=x；②x+12?3=0；③2x?1+31?xA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】等號(hào)兩邊至少有一個(gè)分母含有未知數(shù)的有理方程叫做分式方程；【詳解】解：觀察各方程的分母，只有①③分母中含有未知數(shù)，而④中分母雖含有字母，但字母不是未知數(shù)，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均屬于整式方程．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的定義，掌握定義是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2022南明區(qū)二模）下列關(guān)于x的方程，是分式方程的是（

）A．x2?3=x5 B．12x?【答案】D【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有字母的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；B．方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；C．方程分母中不含表示未知數(shù)的字母，π是常數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；D．方程分母中含未知數(shù)x，故是分式方程，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母）．題型02分式方程的一般解法【例2】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）將方程1x?1+3=3x1?x去分母，兩邊同乘A．1+3=3x1?x B．1+3x?1=?3x C．x?1+3=?3x【答案】B【分析】根據(jù)解分式方程的去分母的方法即可得．【詳解】解：1x?1兩邊同乘x?1去分母，得1+3x?1故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握去分母的方法是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）方程1x+2+x+6【答案】x=4【分析】依據(jù)題意將分式方程化為整式方程，再按照因式分解即可求出x的值．【詳解】解：∵1方程兩邊同時(shí)乘以x+2x?2得，x?2+x+6=∴2x+4=x∴x∴x?4∴x=4或x=?2．經(jīng)檢驗(yàn)x=?2時(shí)，x2∴原方程的解為：x=4．故答案為：x=4．【點(diǎn)睛】本題考查的是解分式方程，解題的關(guān)鍵在于注意分式方程必須檢驗(yàn)根的情況．【變式2-2】（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）解方程：4x【答案】x=7【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】解：方程兩邊同乘xx+1x?1，得解得x=7，檢驗(yàn)：當(dāng)x=7時(shí)，xx+1所以，原分式方程的解為x=7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵，注意解分式方程一定要驗(yàn)根．【變式2-3】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）代數(shù)式3x+2與代數(shù)式2x?1的值相等，則x＝【答案】7【分析】根據(jù)題意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可．【詳解】解：∵代數(shù)式3x+2與代數(shù)式2∴3x+2去分母3x?1去括號(hào)號(hào)3x?3=2x+4，解得x=7，檢驗(yàn)：當(dāng)x=7時(shí)，x+2x?1∴分式方程的解為x=7．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．【變式2-4】（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）方程2x+1【答案】x=4【分析】根據(jù)方程兩邊同時(shí)乘以2xx?2【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以2xx?22×24x?8+2=5x?10解得x=4經(jīng)檢驗(yàn)，x=4是原方程的解故答案為：x=4【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解分式方程一定要注意檢驗(yàn)．方法技巧解分式方程方法：先通過方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母將分式方程化為整式方程，再解整式方程，最后需要檢驗(yàn)整式方程的解是不是分式方程的解.題型03分式方程的特殊解法類型一分組通分法方法簡(jiǎn)介：如果整個(gè)方程一起通分，計(jì)算量大又易出錯(cuò)，觀察方程中分母的特點(diǎn)可聯(lián)想分組通分求解.【例3】解方程：3【詳解】解:原方程可變形為，5?當(dāng)5-x≠0時(shí)，x?2x?1=（當(dāng)5-x=0時(shí)，解得x2=5經(jīng)檢驗(yàn)，x1=52，x2=類型二分離分式法方法簡(jiǎn)介：每個(gè)分式的分母與分子相差1，利用這個(gè)特點(diǎn)可采用分類分式法求解【例4】解方程：x+5【答案】x=?5【分析】先將原方程變形1+1【詳解】解:原方程可變形為，1+1化簡(jiǎn)得，1x+4即2x+5(x+4)(x+1)∴2x+5=0，解得，x=?5檢驗(yàn)，把x=?52代入(x+4)(x+1)∴原方程的解為x=?5【點(diǎn)睛】此題主要考查了解分式方程，正確地將原方程變形是解決問題的關(guān)鍵.類型三列項(xiàng)相消法方法簡(jiǎn)介：根據(jù)分式方程的結(jié)果特點(diǎn)，依據(jù)公式“1nn+1【例5】我們把分子是1的分?jǐn)?shù)叫做分?jǐn)?shù)單位，有些單位分?jǐn)?shù)可以拆成兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)的差，如16=12?13，1【答案】x=4【分析】本題考查解分式方程，根據(jù)規(guī)律化簡(jiǎn)方程，然后解分式方程即可．【詳解】解：2原方程化簡(jiǎn)為：2x即2x方程兩邊同乘x(x+10)，得：5x=20，解得x=4．經(jīng)檢驗(yàn)x=4是原方程的解，∴原方程的解為x=4．【變式5-1】因?yàn)?1×2所以11×2(1)在和式11×2+1(2)解方程：1x+1【答案】(1)19×10，(2)x=2000【分析】（1）根據(jù)已知式子的規(guī)律，即可求解；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律化簡(jiǎn)方程為1x+1【詳解】（1）解：依題意，在和式11×2+12×3+13×4故答案為19×10（2）原方程可化簡(jiǎn)為：1方程兩邊同時(shí)乘x+1x+2002，得：x+2002?解得：x=2000，經(jīng)檢驗(yàn)，x=2000是原方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律題，解分式方程，找到規(guī)律，化簡(jiǎn)方程是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】探索研究：請(qǐng)觀察：①1x②1x③1x④1x……(1)請(qǐng)寫出第n個(gè)等式；(2)解方程：1x(3)當(dāng)m為正整數(shù)時(shí)，12+【答案】(1)1(2)x=8(3)m+8【分析】（1）根據(jù)所給4個(gè)等式總結(jié)規(guī)律寫出第n個(gè)等式即可；（2）由（1）所得規(guī)律解該分式方程即可，注意驗(yàn)算；（3）由（1）所得規(guī)律變形計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵①1x②1x③1x④1x…，∴第n個(gè)等式為：1x（2）解：1x1x1x1x解得：x=8，經(jīng)檢驗(yàn)x=8是原方程的解；（3）解：1==1?=1?=m+8故答案為：m+8m+9【點(diǎn)睛】本題考查分式運(yùn)算中的規(guī)律性問題，解分式方程．理解題意，找出所給等式中的規(guī)律，并能用此規(guī)律計(jì)算是解題關(guān)鍵．【變式5-3】探索發(fā)現(xiàn)：11×2根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：（1）14×5＝_，1n×(n+1)＝_（2）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：1（3）利用規(guī)律解方程：1【答案】（1）14?1【分析】（1）根據(jù)簡(jiǎn)單的分式可得，相鄰兩個(gè)數(shù)的積的倒數(shù)等于它們的倒數(shù)之差，即可得到14×5和（2）根據(jù)（1）規(guī)律將乘法寫成減法的形式，可以觀察出前一項(xiàng)的減數(shù)等于后一項(xiàng)的被減數(shù)，因此可得它們的和.（3）首先利用（2）的和的結(jié)果將左邊化簡(jiǎn)，再利用分式方程的解法求解即可.【詳解】解：（1）14×5=1故答案為1（2）原式＝1?1（3）已知等式整理得：1x所以，原方程即：1x方程的兩邊同乘x（x+5），得：x+5﹣x＝2x﹣1，解得：x＝3，檢驗(yàn)：把x＝3代入x（x+5）＝24≠0，∴原方程的解為：x＝3．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的歸納總結(jié)能力，關(guān)鍵在于根據(jù)簡(jiǎn)單的數(shù)的運(yùn)算尋找規(guī)律，是考試的熱點(diǎn).類型四消元法方法簡(jiǎn)介：當(dāng)方程中的分式互為倒數(shù)，或不同分式中的分母互為相反式，或方程中分子、分母的二次項(xiàng)與一次項(xiàng)分別相同時(shí)，可考慮用換元法.【例6】用換元法解分式方程xx2?1+2【答案】5【分析】將xx【詳解】解：設(shè)xx則方程xx2?1整理得：5y故答案為：5y【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解分式方程，當(dāng)分式方程比較復(fù)雜時(shí)，通常采用換元法使分式方程簡(jiǎn)化．【變式6-1】閱讀與思考閱讀下面的材料，解答后面的問題．解方程：x?1x解：設(shè)y=x?1x，則原方程可化為y?4y=0解得y=±2，經(jīng)檢驗(yàn)：y=±2都是方程y?4y=0的解，∴當(dāng)y=2時(shí)，x?1當(dāng)y=?2時(shí)，x?1x=?2，解得x=∴原分式方程的解為x=?1問題：(1)若在方程中x?12x?x(2)模仿上述換元法解方程：x?1x+2【答案】(1)1(2)x=?【分析】（1）設(shè)y=x?1x，則（2）先把方程變形為x?1x+2【詳解】（1）解：設(shè)y=x?1x，原方程可化為故答案為：1（2）解：∵x?1x+2∴原方程為x?1x+2設(shè)y=x?1x+2，原方程可化為方程兩邊同時(shí)乘以y，得y2解得，y=±3，經(jīng)檢驗(yàn)，y=±3都是原方程的解，當(dāng)y=3時(shí)，有x?1x+2=3，解得：當(dāng)y=?3時(shí)，有x?1x+2=?3，解得：經(jīng)檢驗(yàn)：x=?7∴原分式方程的解為x=?72或【點(diǎn)睛】本題考查了用換元法解可化為一元二次方程的分式方程，解題的關(guān)鍵是正確使用換元法．【變式6-2】用換元法解：x+12x?1【答案】答案見解析．【分析】按照材料中分式方程換元的方法，可設(shè)y=x+12x?1，原方程化為y?1y=0【詳解】解：設(shè)y=x+12x?1，則原方程化為方程兩邊同時(shí)乘y，得y2解得y=±1．經(jīng)檢驗(yàn)：y=±1都是y?1當(dāng)y=1時(shí)，x+12x?1解得x=當(dāng)y=x+12x?1解得x=0．經(jīng)檢驗(yàn)：x=2和x=0所以原分式方程的解為x=2和x=0【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的解法，牢記分式方程的解題步驟是解答的關(guān)鍵．題型04錯(cuò)看或錯(cuò)解分式方程問題【例7】（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）小明解分式方程1x+1解：去分母，得

3=2x?(3x+3)．①去括號(hào)，得

3=2x?3x+3．②移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得

?x=6．③化系數(shù)為1，得

x=?6．④以上步驟中，開始出錯(cuò)的一步是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】寫出分式方程的正確解題過程即可作出判斷．【詳解】解：1x+1去分母，得

3=2x?(3x+3)，去括號(hào)，得

3=2x?3x?3，移項(xiàng)，得?2x+3x=?3?3，合并同類項(xiàng)，得

x=?6，∴以上步驟中，開始出錯(cuò)的一步是②．故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖的解題過程中，第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是____．先化簡(jiǎn)，再求值：3?xx?4+1，其中解：原式==3?x+x?4=?1【答案】5【分析】根據(jù)題意得到方程3?xx?4【詳解】解：依題意得：3?xx?4+1=?1，即去分母得：3-x+2(x-4)=0，去括號(hào)得：3-x+2x-8=0，解得：x=5，經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是方程的解，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn)．【變式7-2】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）小丁和小迪分別解方程xx?2小?。航猓喝シ帜?，得x?(x?3)=x?2去括號(hào)，得x?x+3=x?2合并同類項(xiàng)，得3=x?2解得x=5∴原方程的解是x=5小迪：解：去分母，得x+(x?3)=1去括號(hào)得x+x?3=1合并同類項(xiàng)得2x?3=1解得x=2經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是方程的增根，原方程無(wú)解你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．【答案】都錯(cuò)誤，見解析【分析】根據(jù)解分式方程的步驟判斷小丁和小迪的解法是否正確，再正確解方程即可．【詳解】小丁和小迪的解法都錯(cuò)誤；解：去分母，得x+(x?3)=x?2，去括號(hào)，得2x?3=x?2，解得，x=1，經(jīng)檢驗(yàn)：x=1是方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023忻州市一模）小華想復(fù)習(xí)分式方程，由于印刷問題，有一個(gè)數(shù)“？”看不清楚：?x?2（1）她把這個(gè)數(shù)“？”猜成5，請(qǐng)你幫小華解這個(gè)分式方程；（2）小華的媽媽說(shuō)：“我看到標(biāo)準(zhǔn)答案是：方程的增根是x=2，原分式方程無(wú)解”，請(qǐng)你求出原分式方程中“？”代表的數(shù)是多少？【答案】（1）x=0;（2）原分式方程中“？”代表的數(shù)是-1.【分析】（1）“？”當(dāng)成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母時(shí)產(chǎn)生的，故先去分母，再將x=2代入即可解答.【詳解】（1）方程兩邊同時(shí)乘以(x?2)得5+3(x?2)=?1解得

x=0經(jīng)檢驗(yàn)，x=0是原分式方程的解.（2）設(shè)？為m，方程兩邊同時(shí)乘以(x?2)得m+3(x?2)=?1由于x=2是原分式方程的增根，所以把x=2代入上面的等式得m+3(2?2)=?1m=?1所以，原分式方程中“？”代表的數(shù)是-1.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程解法和增根的定義及應(yīng)用.增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根.增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．題型05解分式方程的運(yùn)用（新定義運(yùn)算）【例8】（2022·河南平頂山·統(tǒng)考二模）定義運(yùn)算m※n=1+1m+n，如：1※A．x=1 B．x=?1 C．x=?12 【答案】D【分析】根據(jù)新定義得出方程1+1x+x+1=3【詳解】解：由題意，得1+1x+x+1=3∴12x+1解得：x=12經(jīng)檢驗(yàn)，x=12故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查新定義和解分式方程，理解定義和求解分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023廣西大學(xué)附屬中學(xué)二模）對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義一種新運(yùn)算“”為：a?b=1a?b2，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算，例如：1?3=1A．x=4 B．x=5 C．x=6 D．x=7【答案】B【分析】根據(jù)題目中定義的新運(yùn)算，將x?2=2【詳解】解：根據(jù)題意∵x?2=2即1x?去分母得：1=2?(x?4)，解得：x=5，將x=5代入公分母x?4≠0，∴x=5是原分式方程的解，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了定義新運(yùn)算以及解分式方程，理解題意，熟練掌握解分式方程的一般步驟是本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)a，b，a?b=1a+1b．若(x+1)?x=【答案】?12【分析】根據(jù)新定義可得(x+1)?x=2x+1x2【詳解】解：∵a?b=1∴(x+1)?x=1又∵(x+1)?x=2x+1∴2x+1x∴x2∴x2∴x2∵(x+1)?x=2x+1x即∴2x+1=0，解得x=?1經(jīng)檢驗(yàn)x=?12是方程故答案為：?1【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解分式方程，正確理解題意得到關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）對(duì)于非零實(shí)數(shù)a，b，規(guī)定a⊕b＝1a?1b，若（2x﹣1）⊕2＝1，則【答案】5【分析】根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：由題意得：12x?1等式兩邊同時(shí)乘以2(2x?1)得，2?2x+1=2(2x?1)，解得：x＝經(jīng)檢驗(yàn)，x＝56∴x＝56故答案為：56【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解題的關(guān)鍵．題型06根據(jù)分式方程解的情況求值【例9】（2020·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的分式方程3xx?2＝m2?x+5的解為正數(shù)，則A．m＜﹣10 B．m≤﹣10 C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6【答案】D【分析】分式方程去分母化為整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解為正數(shù)求出m的范圍即可．【詳解】解：去分母得3x=?m+5(x?2)，解得x=m+10由方程的解為正數(shù)，得到m+10>0，且x≠2，m+10≠4，則m的范圍為m>?10且m≠?6，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的計(jì)算，去分母化為整式方程，根據(jù)方程的解求出m的范圍，其中考慮到分式方程的分母不可為零是做對(duì)題目的關(guān)鍵．【變式9-1】（2020·四川瀘州·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程mx?1+2=?31?x的解為非負(fù)數(shù)，則正整數(shù)A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)解分式方程，可得分式方程的解，根據(jù)分式方程的解為負(fù)數(shù)，可得不等式，解不等式，即可解題．【詳解】解：去分母，得：m+2(x-1)=3，移項(xiàng)、合并，解得：x=5?m2∵分式方程的解為非負(fù)數(shù)，∴5?m2≥0且5?m解得：m≤5且m≠3，∵m為正整數(shù)∴m=1，2，4，5，共4個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合條件的不等式的解．【變式9-2】（2023鹽城市二模）關(guān)于x的分式方程1x?2+a?22?x=1【答案】a<5且a≠3【分析】直接解分式方程，進(jìn)而利用分式方程的解是正數(shù)得出a的取值范圍，進(jìn)而結(jié)合分式方程有意義的條件分析得出答案．【詳解】去分母得：1?a+2=x?2，解得：x=5?a，5?a>0，解得：a<5，當(dāng)x=5?a=2時(shí)，a=3不合題意，故a<5且a≠3．故答案為a<5且a≠3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意義是解題關(guān)鍵．【變式9-3】（2023·內(nèi)蒙古包頭·校考一模）已知關(guān)于x的分式方程2x?mx?1?31?x=1【答案】m>4且m≠5【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解表示出x，根據(jù)解為正數(shù)，求出m的范圍即可．【詳解】解：去分母得：2x?m+3=x?1，解得：x=m?4，∵該方程的解是正數(shù)∴m?4>0，解得m>4，又∵當(dāng)m=5時(shí)，該分式方程的左邊兩項(xiàng)分母為0，∴m≠5，故答案為：m>4且m≠5．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判斷方法是解題的關(guān)鍵．【變式9-4】（2023齊齊哈爾市二模）要使關(guān)于x的方程x+1x+2?xx?1=【答案】a<?1且a≠-3.【詳解】分析：解分式方程，用含a的式子表示x，由x＞0，求出a的范圍，排除使分母為0的a的值.詳解：x＋1x＋2去分母得，(x＋1)(x－1)－x(x＋2)＝a，去括號(hào)得，x2－1－x2－2x＝a，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得，－2x＝a＋1，系數(shù)化為1得，x＝?a?12根據(jù)題意得，?a?12＞0，解得a當(dāng)x＝1時(shí)，－2×1＝a＋1，解得a＝－3；當(dāng)x＝－2時(shí)，－2×(－2)＝a＋1，解得a＝3.所以a的取值范圍是a＜－1且a≠－3.故答案為a＜－1且a≠－3.方法技巧由分式方程的解的情況求字母系數(shù)的取值范圍，一般解法是：

①根據(jù)未知數(shù)的范圍求出字母的范圍；

②把使分母為0的未知數(shù)的值代入到去分母后的整式方程中，求出對(duì)應(yīng)的字母系數(shù)的值；

③綜合①②，求出字母系數(shù)的范圍.題型07根據(jù)分式方程有解或無(wú)解求參數(shù)【例10】（2022·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的方程2x=m2x+1無(wú)解，則A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【答案】D【分析】先將分時(shí)方程化為整式方程，再根據(jù)方程無(wú)解的情況分類討論，當(dāng)m?4=0時(shí)，當(dāng)m?4≠0時(shí)，x=0或2x+1=0，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】方程兩邊同乘x(2x+1)，得2(2x+1)=mx，整理得(m?4)x=2，∵原方程無(wú)解，∴當(dāng)m?4=0時(shí)，m=4；當(dāng)m?4≠0時(shí)，x=0或2x+1=0，此時(shí)，x=2解得x=0或x=?1當(dāng)x=0時(shí)，x=2當(dāng)x=?12時(shí)，x=2綜上，m的值為0或4；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無(wú)解的情況，即分式方程有增根，分兩種情況，分別是最簡(jiǎn)公分母為0和化成的整式方程無(wú)解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】（2022·四川眉山·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的分式方程kx?2－32?x＝1無(wú)解，則k＝（A．－3 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】先化成整式方程，把x=2代入整式方程，確定k值即可．【詳解】∵kx?2－3∴k+3=x-2，∵關(guān)于x的分式方程kx?2－3∴x-2=0，∴k=-3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的無(wú)解，熟練掌握分式方程的無(wú)解的意義是解題的關(guān)鍵．【變式10-2】（2023·山東菏澤·?？家荒＃┮阎P(guān)于x的分式方程a2x+3?a?xx?5=1【答案】10或0或5【分析】分原方程分母為零和方程的解的分母為零兩種情況分別求解即可．【詳解】解：解方程a2x+3?a?x若方程無(wú)解，則10?a=0，∴a=10，當(dāng)2x+3=0或x?5=0時(shí)，方程無(wú)解，即x=?32或當(dāng)8a?1510?a=?3當(dāng)8a?1510?a=5時(shí)，綜上，a的值為10或0或5．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根和無(wú)解，理解分式方程有增根和無(wú)解的含義是解題的關(guān)鍵．方法技巧已知分式方程的解確定字母參數(shù)，首先將分式方程化為整式方程，用含字母參數(shù)的代數(shù)式表x，再根據(jù)解的情況確定字母參數(shù)的取值.同時(shí)要注意原分式方程的最簡(jiǎn)公分母不能為零.題型08已知分式方程有增根求參數(shù)【例11】（2021·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的分式方程m+4x?3=3xx?3+2A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)分式方程有增根可求出x=3，方程去分母后將x=3代入求解即可.【詳解】解：∵分式方程m+4x?3∴x=3，去分母，得m+4=3x+2x?3將x=3代入，得m+4=9，解得m=5．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的無(wú)解問題，掌握分式方程中增根的定義及增根產(chǎn)生的原因是解題的關(guān)鍵．【變式11-1】（2021·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的分式方程6x?2?1=ax2?x有增根，則A．?3 B．3 C．2 D．?【答案】A【分析】去分母化分式方程為整式方程，將增根x=2代入整式方程即可求得．【詳解】解：6x?2去分母，得：6?(x?2)=?ax．∵分式方程有增根，∴增根為x=2，將x=2代入整式方程，得：6?(x?2)=?ax，得：6?(2?2)=?2a．解得a=?3故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的增根，熟練掌握增根的定義是解題的關(guān)鍵．【變式11-2】（2022·遼寧丹東·校考二模）若關(guān)于x的方程6?xx?3?2mx?3=0【答案】3【分析】根據(jù)分式方程的增根的定義解決此題．【詳解】解：6?xx?3方程兩邊同乘x?3，得6?x?2m=0．移項(xiàng)，得?x=2m?6．x的系數(shù)化為1，得x=?2m+6．∵關(guān)于x的方程6?xx?3∴?2m+6?3=0．∴m=3故答案為：32【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的增根，熟練掌握分式方程的增根的定義是解決本題的關(guān)鍵．方法技巧依據(jù)分式方程的增根確定字母參數(shù)的值的一般步驟：1)先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程;

2)由題意求出增根;

3)將增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母參數(shù)的值.題型09已知分式方程有整數(shù)解求參數(shù)【例12】（2022·廣東佛山·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的分式方程x?2x?1＝mx1?x有正整數(shù)解，則整數(shù)m為【答案】0【分析】先解分式方程，再根據(jù)有正整數(shù)解及分母不為0進(jìn)行求解即可．【詳解】方程兩邊同乘(x?1)，得x?2=?mx解得x=∵分式方程有正整數(shù)解∴x>0即2∴m>?1∵x?1≠0∴x≠1即2∴m≠1∴m=0故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程及分式方程正整數(shù)根的情況，注意分母不等于0是解題的關(guān)鍵．【變式12-1】（2020·重慶·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式結(jié)3x?12≤x+3x≤a的解集為x≤a；且關(guān)于y的分式方程y?ay?2+A．7 B．－14 C．28 D．－56【答案】A【分析】不等式組整理后，根據(jù)已知解集確定出a的范圍，分式方程去分母轉(zhuǎn)化為正整數(shù)方程，由分式方程有非負(fù)整數(shù)解，確定出a的值，求出之和即可．【詳解】解：解不等式3x?1∴不等式組整理的x≤7x≤a由解集為x≤a，得到a≤7，分式方程去分母得：y?a＋3y?4＝y(tǒng)?2，即3y?2＝a，解得：y＝a+2由y為正整數(shù)解且y≠2，得到a＝1，7，1×7＝7，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式12-2】（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？家荒＃┤绻P(guān)于x的不等式組x?m2≥0x+3<3x?1的解集為x>3，且關(guān)于y的分式方程3?y2?yA．?4 B．?3 C．?1 D．?7【答案】C【分析】先分別求出兩個(gè)不等式的解集，再根據(jù)不等式組的解集得到m≤3；再解分式方程，根據(jù)分式方程有非負(fù)整數(shù)解得到m≥?3且m≠1，進(jìn)而確定符合題意的m的值即可得到答案．【詳解】解：解不等式x?m2≥0得解不等式x+3<3x?1得x>3∵關(guān)于x的不等式組x?m2≥0x+3<3∴m≤3；3?y去分母得：y?3+m=3y?2去括號(hào)得：y?3+m=3y?6，移項(xiàng)得：y?3y=?6+3?m，合并同類項(xiàng)得：?2y=?3?m，系數(shù)化為1得：y=3+m∵關(guān)于y的分式方程3?y2?y∴3+m2≥0且∴m≥?3且m≠1，綜上所述，?3≤m≤3且m≠1，∴符合題意的m的值可以為?3，?3+?2故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)不等式組的解集情況求參數(shù)，根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，正確解分式方程和解不等式組確定m的取值范圍，進(jìn)而確定m的值是解題的關(guān)鍵．【變式12-3】（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？既＃┤绻P(guān)于y的分式方程9?ayy?3+2=213?y有整數(shù)解，且關(guān)于x的不等式組5x≥3x+2【答案】22【分析】根據(jù)分式方程的解法、一元一次不等式組的解法解決此題．【詳解】解：由9?ayy?3+2=21∵y?3≠0，即y≠3，∴24a?2解得a≠10，由5x≥3x+2x?x+3∵關(guān)于y的分式方程9?ayy?3∴a的取值有?22，?10，?6，?4，?2，?1，0，1，3，4，5，6，8，14，26；∵關(guān)于x的不等式組5x≥3x+2∴4≤a+248<5∴滿足題意a的值有14和8，∴符合條件的所有整數(shù)a的值之和是22故答案為：22.【點(diǎn)睛】本題主要考查解分式方程、解一元一次不等式組，熟練掌握分式方程的解法、一元一次不等式組的解法是解決本題的關(guān)鍵．【變式12-4】（2023·重慶九龍坡·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？既＃╆P(guān)于x的不等式組?x+a<23x?14≤x?1的解集為x≥3，且關(guān)于y的分式方程yy?1【答案】1【分析】根據(jù)不等式組的解集和分式方程的解確定a的取值范圍，即可求解．【詳解】解：解不等式組?x+a<23x?1得a?2<x3≤x∵關(guān)于x的不等式組?x+a<23x?14≤x?1∴a?2<3，∴a<5，解分式方程yy?1解得：y=3+a∵分式方程有非負(fù)整數(shù)解，∴y≥0且y≠1，∴3+a2≥0解得a≥?3且a≠?1，∴?3≤a≤5且a≠?1，∴滿足條件的整數(shù)a的值為?3，?2，0，1，2，3，4，當(dāng)a=?2，0，2，4時(shí)，y的值不是整數(shù)，不符合題意，舍去，∴滿足條件的整數(shù)a的值為?3，1，3，故和為：1【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)不等式組的解集和分式方程的解求參數(shù)，非負(fù)整數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握解不等式組和分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二分式方程的應(yīng)用用分式方程解決實(shí)際問題的步驟：審：理解并找出實(shí)際問題中的等量關(guān)系;設(shè)：用代數(shù)式表示實(shí)際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解方程;驗(yàn)：考慮求出的解是否具有實(shí)際意義;+1）檢驗(yàn)所求的解是否是所列分式方程的解.2）檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義.答：實(shí)際問題的答案.與分式方程有關(guān)應(yīng)用題的常見類型：題型01列分式方程【例1】（2022·云南·中考真題）某地開展建設(shè)綠色家園活動(dòng)，活動(dòng)期間，計(jì)劃每天種植相同數(shù)量的樹木，該活動(dòng)開始后、實(shí)際每天比原計(jì)劃每天多植樹50棵，實(shí)際植樹400棵所需時(shí)間與原計(jì)劃植樹300棵所需時(shí)間相同．設(shè)實(shí)際每天植樹x棵．則下列方程正確的是（

）A．400x?50=300x B．300x?50=【答案】B【分析】設(shè)實(shí)際平均每天植樹x棵，則原計(jì)劃每天植樹（x-50）棵，根據(jù)：實(shí)際植樹400棵所需時(shí)間=原計(jì)劃植樹300棵所需時(shí)間，這一等量關(guān)系列出分式方程即可．【詳解】解：設(shè)現(xiàn)在平均每天植樹x棵，則原計(jì)劃每天植樹（x-50）棵，根據(jù)題意，可列方程：300x?50故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了由實(shí)際問題列分式方程，關(guān)鍵在尋找相等關(guān)系，列出方程．【變式1-1】（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）《千里江山圖》是宋代王希孟的作品，如圖，它的局部畫面裝裱前是一個(gè)長(zhǎng)為2.4米，寬為1.4米的矩形，裝裱后，整幅圖畫寬與長(zhǎng)的比是8：13，且四周邊襯的寬度相等，則邊村的寬度應(yīng)是多少米?設(shè)邊襯的寬度為x米，根據(jù)題意可列方程（

）A．1.4?x2.4?x=813 B．1.4+x2.4+x=【答案】D【分析】設(shè)邊襯的寬度為x米，則整幅圖畫寬為(1.4+2x)米，整幅圖畫長(zhǎng)為(2.4+2x)米，根據(jù)整幅圖畫寬與長(zhǎng)的比是8：13，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)邊襯的寬度為x米，根據(jù)題意，得1.4+2x2.4+2x故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）我市某區(qū)為30萬(wàn)人接種新冠疫苗，由于市民積極配合這項(xiàng)工作，實(shí)際每天接種人數(shù)是原計(jì)劃的1.2倍，結(jié)果提前20天完成了這項(xiàng)工作．設(shè)原計(jì)劃每天接種x萬(wàn)人，根據(jù)題意，所列方程正確的是（

）A．30x?30C．301.2x?30【答案】A【分析】由實(shí)際接種人數(shù)與原計(jì)劃接種人數(shù)間的關(guān)系，可得出實(shí)際每天接種1.2x萬(wàn)人，再結(jié)合結(jié)果提前20天完成了這項(xiàng)工作，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【詳解】解：∵實(shí)際每天接種人數(shù)是原計(jì)劃的1.2倍，且原計(jì)劃每天接種x萬(wàn)人，∴實(shí)際每天接種1.2x萬(wàn)人，又∵結(jié)果提前20天完成了這項(xiàng)工作，∴30故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）為扎實(shí)推進(jìn)“五育”并舉工作，加強(qiáng)勞動(dòng)教育，某校投入2萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)了一批勞動(dòng)工具．開展課后服務(wù)后，學(xué)生的勞動(dòng)實(shí)踐需求明顯增強(qiáng)，需再次采購(gòu)一批相同的勞動(dòng)工具，已知采購(gòu)數(shù)量與第一次相同，但采購(gòu)單價(jià)比第一次降低10元，總費(fèi)用降低了15%．設(shè)第二次采購(gòu)單價(jià)為x元，則下列方程中正確的是（

）A．20000B．20000C．20000D．20000【答案】D【分析】設(shè)第二次采購(gòu)單價(jià)為x元，則第一次采購(gòu)單價(jià)為(x+10)元，根據(jù)單價(jià)=總價(jià)÷數(shù)量，結(jié)合總費(fèi)用降低了15%，采購(gòu)數(shù)量與第一次相同，即可得出關(guān)于x的分式方程．【詳解】解：設(shè)第二次采購(gòu)單價(jià)為x元，則第一次采購(gòu)單價(jià)為(x+10)元，依題意得：20000x+10故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）一輛汽車開往距出發(fā)地420km的目的地，若這輛汽車比原計(jì)劃每小時(shí)多行10km，則提前1小時(shí)到達(dá)目的地．設(shè)這輛汽車原計(jì)劃的速度是xkm/h，根據(jù)題意所列方程是（

）A．420x=420x?10+1 B．420x【答案】C【分析】設(shè)這輛汽車原計(jì)劃的速度是xkm/h，，則實(shí)際速度為x+10km/h，根據(jù)題意“提前1小時(shí)到達(dá)目的地”，列分式方程即可求解．【詳解】解：設(shè)這輛汽車原計(jì)劃的速度是xkm/h，則實(shí)際速度為x+10km/h，根據(jù)題意所列方程是420故選C【點(diǎn)睛】本題考查了列分式方程，理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式1-5】（2023·重慶江北·?？家荒＃┮阎状a頭與乙碼頭相距36千米，一輪船往返于甲，乙兩碼頭之間，輪船由甲碼頭順流而下到乙碼頭所用時(shí)間比逆流而上所用時(shí)間少2小時(shí)，已知水流速度為3千米/時(shí)，求船在靜水中的速度，設(shè)船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，根據(jù)題意列方程為（

）A．36x+3?36x?3=2 B．36x?3【答案】B【分析】根據(jù)等量關(guān)系：輪船由甲碼頭順流而下到乙碼頭所用時(shí)間比逆流而上所用時(shí)間少2小時(shí)，列方程即可．【詳解】解：依題意有：36x?3故答案選:B．【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．【變式1-6】（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）“愛勞動(dòng)，勞動(dòng)美．”甲、乙兩同學(xué)同時(shí)從家里出發(fā)，分別到距家6km和10km的實(shí)踐基地參加勞動(dòng)．若甲、乙的速度比是3:4，結(jié)果甲比乙提前20min到達(dá)基地，求甲、乙的速度．設(shè)甲的速度為3xkm/h，則依題意可列方程為（

）A．63x+13=104x B．【答案】A【分析】設(shè)甲的速度為3xkm/h，則乙的速度為4xkm/h，由甲所花的時(shí)間加上13【詳解】解：設(shè)甲的速度為3xkm/h，則乙的速度為4xkm/h，則63x故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．題型02利用分式方程解決實(shí)際問題類型一行程問題【例2】（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）學(xué)校師生去距學(xué)校45千米的吳玉章故居開展研學(xué)活動(dòng)，騎行愛好者張老師騎自行車先行2小時(shí)后，其余師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果同時(shí)到達(dá)；已知汽車速度是自行車速度的3倍，求張老師騎車的速度．【答案】張老師騎車的速度為15千米/小時(shí)【分析】實(shí)際應(yīng)用題的解題步驟“設(shè)、列、解、答”，根據(jù)問題設(shè)未知數(shù)，找到題中等量關(guān)系張老師先走2小時(shí)，結(jié)果同時(shí)達(dá)到列分式方程，求解即可．【詳解】解：設(shè)張老師騎車的速度為x千米/小時(shí)，則汽車速度是3x千米/小時(shí)，根據(jù)題意得：45x解之得x=15，經(jīng)檢驗(yàn)x=15是分式方程的解，答：張老師騎車的速度為15千米/小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程解實(shí)際應(yīng)用題，根據(jù)問題設(shè)未知數(shù)，讀懂題意，找到等量關(guān)系列出分式方程是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023青島市一模）小李從A地出發(fā)去相距4.5千米的B地上班，他每天出發(fā)的時(shí)間都相同．第一天步行去上班結(jié)果遲到了5分鐘．第二天騎自行車去上班結(jié)果早到10分鐘．已知騎自行車的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和騎自行車的速度分別為多少千米每小時(shí)；(2)有一天小李騎自行車出發(fā)，出發(fā)1.5千米后自行車發(fā)生故障．小李立即跑步去上班（耽誤時(shí)間忽略不計(jì)）為了至少提前5分鐘到達(dá)．則跑步的速度至少為多少千米每小時(shí)？【答案】(1)小李步行的速度為6千米/小時(shí)，則騎自行車的速度為9千米/小時(shí)(2)為了至少提前5分鐘到達(dá)．則跑步的速度至少為365【分析】（1）設(shè)小李步行的速度為x千米/小時(shí)，則騎自行車的速度為1.5x千米/小時(shí)，由題意：小李從A地出發(fā)去相距4.5千米的B地上班，他每天出發(fā)的時(shí)間都相同．第一天步行去上班結(jié)果遲到了5分鐘．第二天騎自行車去上班結(jié)果早到10分鐘，列出分式方程，解方程即可；（2）設(shè)小李跑步的速度為m千米/小時(shí)，由題意：出發(fā)1.5千米后自行車發(fā)生故障．小李立即跑步去上班（耽誤時(shí)間忽略不計(jì)）為了至少提前5分鐘到達(dá)，列出一元一次不等式，解不等式即可．【詳解】（1）解：設(shè)小李步行的速度為x千米/小時(shí)，則騎自行車的速度為1.5x千米/小時(shí)，由題意得：4.5x解得：x=6，經(jīng)檢驗(yàn)，x=6是原方程的解，則1.5x=9，答：小李步行的速度為6千米/小時(shí)，則騎自行車的速度為9千米/小時(shí)；（2）解：小李騎自行車出發(fā)1.5千米所用的時(shí)間為1.5÷9=1小李每天出發(fā)的時(shí)間都相同，距離上班的時(shí)間為：4.5÷9+10÷60=2設(shè)小李跑步的速度為m千米/小時(shí)，由題意得：1.5+2解得：m≥36答：為了至少提前5分鐘到達(dá)．則跑步的速度至少為365【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式．類型二工程問題【例3】（2023重慶市模擬預(yù)測(cè)）為方便群眾出行，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)負(fù)責(zé)修建某段通往高鐵站的快線，已知甲隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度是乙隊(duì)的1.5倍，如果兩隊(duì)各自修建快線600m，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用4天．(1)求甲，乙兩個(gè)工程隊(duì)每天各修路多少米？(2)現(xiàn)計(jì)劃再修建長(zhǎng)度為3000m的快線，由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來(lái)完成．若甲隊(duì)每天所需費(fèi)用為1萬(wàn)元，乙隊(duì)每天所需費(fèi)用為0.6萬(wàn)元，求在總費(fèi)用不超過38萬(wàn)元的情況下，至少安排乙工程隊(duì)施工多少天？【答案】(1)甲工程隊(duì)每天修路75米，乙工程隊(duì)每天修路50米．(2)至少安排乙工程隊(duì)施工30天．【分析】（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天修路x米，則甲工程隊(duì)每天修路1.5x米，根據(jù)工作時(shí)間=工作總量÷工作效率結(jié)合兩隊(duì)各自修建公路600m時(shí)甲隊(duì)比乙隊(duì)少用4天，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)安排乙工程隊(duì)施工m天，則安排甲工程隊(duì)施工120?2m3天，根據(jù)總費(fèi)用不超過38萬(wàn)元，即可得出關(guān)于m【詳解】（1）解：（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天修路x米，則甲工程隊(duì)每天修路1.5x米，依題意，得：600x解得：x=50，經(jīng)檢驗(yàn)，x=50是原方程的解，且符合題意，∴1.5x=75．答：甲工程隊(duì)每天修路75米，乙工程隊(duì)每天修路50米．（2）解：設(shè)安排乙工程隊(duì)施工m天，則安排甲工程隊(duì)施工3000?50m75依題意，得：120?2m3解得：m≥30．答：至少安排乙工程隊(duì)施工30天．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【變式3-1】（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)?？家荒＃┲貞c市潼南區(qū)是中國(guó)西部綠色菜都，為全市人民提供了新鮮多樣的蔬菜．今年，區(qū)政府著力打造一個(gè)新的蔬菜基地，計(jì)劃修建灌溉水渠1920米，由甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)合作完成．已知乙施工隊(duì)每天修建的長(zhǎng)度是甲施工隊(duì)每天修建的長(zhǎng)度的43(1)求甲、乙兩施工隊(duì)每天各修建多少米？(2)若甲施工隊(duì)每天的修建費(fèi)用為13萬(wàn)元，乙施工隊(duì)每天的修建費(fèi)用為15萬(wàn)元，實(shí)際修建時(shí)先由甲施工隊(duì)單獨(dú)修建若干天，再由甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)合作修建，恰好12天完成修建任務(wù)，求共需修建費(fèi)用多少萬(wàn)元？【答案】(1)甲施工隊(duì)每天修建120米，乙施工隊(duì)每天修建160米(2)共需修建費(fèi)用201萬(wàn)元【分析】（1）設(shè)甲施工隊(duì)每天修建x米，則乙施工隊(duì)每天修建43（2）設(shè)乙施工隊(duì)干了a天，根據(jù)先由甲施工隊(duì)單獨(dú)修建若干天，再由甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)合作修建，恰好12天完成修建任務(wù)，列出方程，求出a，分別求出甲，乙兩隊(duì)的修建費(fèi)，即可得解．【詳解】（1）解：設(shè)甲施工隊(duì)每天修建x米，則乙施工隊(duì)每天修建43x米，由題意，得：解得：x=120，經(jīng)檢驗(yàn)x=120是原方程的解，∴43∴甲施工隊(duì)每天修建120米，乙施工隊(duì)每天修建160米；（2）設(shè)乙施工隊(duì)干了a天，由題意，得：120×12+160a=1920，解得：a=3，∴乙施工隊(duì)修建了3天，∴共需修建費(fèi)用13×12+15×3=201萬(wàn)元；答：共需修建費(fèi)用201萬(wàn)元．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．類型三和差倍分問題【例4】（2022·廣東深圳·深圳中學(xué)?？家荒＃?022年北京冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩深受大家的喜歡．某商家兩次購(gòu)進(jìn)冰墩墩進(jìn)行銷售，第一次用22000元，很快銷售一空，第二次又用48000元購(gòu)進(jìn)同款冰墩墩，所購(gòu)進(jìn)數(shù)量是第一次的2倍，但單價(jià)貴了10元．(1)求該商家第一次購(gòu)進(jìn)冰墩墩多少個(gè)？(2)若所有冰墩墩都按相同的標(biāo)價(jià)銷售，要求全部銷售完后的利潤(rùn)率不低于20%（不考慮其他因素），那么每個(gè)冰墩墩的標(biāo)價(jià)至少為多少元？【答案】(1)200(2)140【分析】對(duì)于（1），設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)冰墩墩x個(gè)，可表示第二次購(gòu)進(jìn)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)單價(jià)的差=10列出分式方程，再檢驗(yàn)即可；對(duì)于（2），由（1）可知第二購(gòu)進(jìn)冰墩墩的數(shù)量，再設(shè)每個(gè)冰墩墩得標(biāo)價(jià)是a元，根據(jù)銷售利潤(rùn)率不低于20％列出一元一次不等式，求出解集即可．【詳解】（1）解：設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)冰墩墩x個(gè)，則第二次購(gòu)進(jìn)2x個(gè)，根據(jù)題意，得22000x解得x=200，經(jīng)檢驗(yàn)，x=200是原方程得解，且符合題意.所以該商家第一次購(gòu)進(jìn)冰墩墩200個(gè)；（2）解：由（1）可知第二次購(gòu)進(jìn)冰墩墩的數(shù)量是400個(gè)，設(shè)每個(gè)冰墩墩得標(biāo)價(jià)是a元，得(200+400)a≥(1+20％)(22000+48000)，解得a≥140．所以每個(gè)冰墩墩得標(biāo)價(jià)是140元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)等量（不等）關(guān)系列出方程和不等式是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）近日，教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版），將勞動(dòng)從原來(lái)的綜合實(shí)踐活動(dòng)課程中獨(dú)立出來(lái)．某中學(xué)為了讓學(xué)生體驗(yàn)農(nóng)耕勞動(dòng)，開辟了一處耕種園，需要采購(gòu)一批菜苗開展種植活動(dòng)．據(jù)了解，市場(chǎng)上每捆A種菜苗的價(jià)格是菜苗基地的54倍，用300元在市場(chǎng)上購(gòu)買的A(1)求菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格．(2)菜苗基地每捆B種菜苗的價(jià)格是30元．學(xué)校決定在菜苗基地購(gòu)買A，B兩種菜苗共100捆，且A種菜苗的捆數(shù)不超過B種菜苗的捆數(shù)．菜苗基地為支持該?；顒?dòng)，對(duì)A，B兩種菜苗均提供九折優(yōu)惠．求本次購(gòu)買最少花費(fèi)多少錢．【答案】(1)20元(2)2250元【分析】（1）設(shè)菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格為x元，根據(jù)題意列出方程，解出方程即可；（2）設(shè)：購(gòu)買A種菜苗m捆，則購(gòu)買B種菜苗100?m捆，花費(fèi)為y元，根據(jù)A種菜苗的捆數(shù)不超過B種菜苗的捆數(shù)，解出m的取值范圍，列出花費(fèi)y與A種菜苗m捆之間的關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式求出最少花費(fèi)多少錢即可．【詳解】（1）解：設(shè)：菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格為x元，300300×15解得x=20檢驗(yàn)：將x=20代入54∴x=20是原方程的解，∴菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格為20元．（2）解：設(shè)：購(gòu)買A種菜苗m捆，則購(gòu)買B種菜苗100?m捆，費(fèi)用為y元，由題意可知：m≤100?