2019-2021北京重點(diǎn)校高一(上)期中數(shù)學(xué)匯編：基本不等式

1/12019-2021北京重點(diǎn)校高一（上）期中數(shù)學(xué)匯編基本不等式一、單選題1．（2020·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）已知，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2020·北京·清華附中高一期中）玉溪某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，若每批生產(chǎn)件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品A．60件 B．80件 C．100件 D．120件3．（2020·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）若，則下列代數(shù)式中值最大的是A． B． C． D．4．（2020·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）如果正數(shù)滿足，那么（）A．，且等號(hào)成立時(shí)的取值唯一B．，且等號(hào)成立時(shí)的取值唯一C．，且等號(hào)成立時(shí)的取值不唯一D．，且等號(hào)成立時(shí)的取值不唯一5．（2020·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）函數(shù)f(x)=的最大值為（）A． B． C． D．16．（2019·北京市第十一中學(xué)高一期中）函數(shù)取得最小值時(shí)的自變量x等于（

）A． B． C．1 D．37．（2019·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）下列不等式一定成立的是（

）A．lg(x2＋)>lgx(x>0) B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C． D．>1(x∈R)8．（2019·北京·101中學(xué)高一期中）設(shè)函數(shù)f（x）=4x+-1（x＜0），則f（x）（

）.A．有最大值3 B．有最小值3 C．有最小值 D．有最大值9．（2019·北京師大附中高一期中）已知集合，則A． B． C． D．10．（2021·北京師大附中高一期中）某公司一年購(gòu)買某種貨物900噸，每次都購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為3萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為3x萬元，若要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則每次需購(gòu)買（

）A．20 B．30 C．40 D．60二、雙空題11．（2020·北京四中高一期中）函數(shù)的最小值是_____，此時(shí)_____.12．（2019·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）函數(shù)（x＞1）的最小值是______；取到最小值時(shí)，x=______．13．（2021·北京市第十三中學(xué)高一期中）已知，則函數(shù)在當(dāng)?shù)扔赺_______時(shí)函數(shù)有最小值為________.三、填空題14．（2020·北京八中高一期中）已知，且，則的最大值為_____．15．（2019·北京·北師大二附中高一期中）已知，則的最大值為______．16．（2019·北京市第十三中學(xué)高一期中）已知,則函數(shù)的最小值等于______．17．（2019·北京市第十三中學(xué)高一期中）已知函數(shù),a,b均為正數(shù)且,則的最小值等于______．18．（2019·北京四中高一期中）若x＞0，則的最小值為_____．19．（2019·北京師大附中高一期中）設(shè)，則的最小值為______.20．（2019·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）已知，則的最小值為_____________.四、解答題21．（2020·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）（1）已知，求函數(shù)的最小值；（2）已知0求函數(shù)的最大值.22．（2020·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）(1)已知,求的最大值;(2)已知,求的最大值.23．（2020·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）若x,y為正實(shí)數(shù),且,求的最小值.24．（2019·北京·101中學(xué)高一期中）住宅小區(qū)為了使居民有一個(gè)優(yōu)雅?舒適的生活環(huán)境，計(jì)劃建一個(gè)八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200的十字形區(qū)域.現(xiàn)計(jì)劃在正方形MNPQ上建一花壇，造價(jià)為4200元/，在四個(gè)相同的矩形上（陰影部分）鋪花崗巖地坪，造價(jià)為210元/，再在四個(gè)空角上鋪草坪，造價(jià)為80元/.（1）設(shè)總造價(jià)為S元，AD的邊長(zhǎng)為，試建立S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）計(jì)劃至少要投入多少元，才能建造這個(gè)休閑小區(qū)？25．（2019·北京·北師大二附中高一期中）判斷以下兩個(gè)命題是否正確，并加以解釋（1）命題：若，是正實(shí)數(shù)，則（2）命題：若，是正實(shí)數(shù)，則

參考答案1．B【解析】根據(jù)基本不等式，由題中條件，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等；故，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查由基本不等式求積的最值，屬于基礎(chǔ)題型.2．B【解析】確定生產(chǎn)件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和，可得平均每件的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和，利用基本不等式，即可求得最值．【詳解】解：根據(jù)題意，該生產(chǎn)件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和是這樣平均每件的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和為（為正整數(shù)）由基本不等式，得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，時(shí)，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的構(gòu)建，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題，運(yùn)用基本不等式時(shí)應(yīng)該注意取等號(hào)的條件，才能準(zhǔn)確給出答案，屬于基礎(chǔ)題．3．A【解析】因?yàn)椋C上可得最大，故選A.4．A【解析】正數(shù)滿足，∴4=，即，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，“=”成立；又4=，∴c+d≥4，當(dāng)且僅當(dāng)c=d=2時(shí)，“=”成立；綜上得，且等號(hào)成立時(shí)的取值都為2，選A．5．B【解析】本小題主要考查均值定理．（當(dāng)且僅，即時(shí)取等號(hào)．故選B．6．A【解析】根據(jù)基本不等式確定函數(shù)取得最小值時(shí)的自變量x的值.【詳解】函數(shù)，且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．故選：A．7．C【解析】應(yīng)用基本不等式：x，y>0，≥(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào))逐個(gè)分析，注意基本不等式的應(yīng)用條件及取等號(hào)的條件．【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，x2＋≥2·x·＝x，所以lg(x2＋)≥lgx(x>0)，故選項(xiàng)A不正確；當(dāng)x≠kπ，k∈Z時(shí)，sinx的正負(fù)不能確定，故選項(xiàng)B不正確；因?yàn)?，所以選項(xiàng)C正確；當(dāng)x＝0時(shí)，有＝1，故選項(xiàng)D不正確．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的運(yùn)用，在運(yùn)用基本不等式時(shí)需保證“一正，二定，三相等”，屬于基礎(chǔ)題.8．D【解析】直接利用基本不等式求得函數(shù)f(x)=4x+-1(x＜0)的最值得答案．【詳解】當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=4x+-1=-[(-4x)+]-1．當(dāng)且僅當(dāng)-4x=-，即x=-時(shí)上式取“=”．∴f(x)有最大值為-5．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題．9．A【解析】先求出集合B再求出交集.【詳解】，∴，則，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的求法，是基礎(chǔ)題.10．B【解析】先根據(jù)題意列出一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和的關(guān)系式，然后利用均值不等式進(jìn)行求解.【詳解】某公司一年購(gòu)買某種貨物900噸，每次都購(gòu)買x噸，則需購(gòu)買次，運(yùn)費(fèi)為3萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為3x萬元，則一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為，即噸時(shí)，等號(hào)成立，所以每次購(gòu)買噸時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小.故選：B.11．

3

2【解析】由題知，又由，結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】∵，∴，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最小值．故答案為：①3；②2．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題主要考查了利用基本不等式求解最值，在求解的過程中，時(shí)刻關(guān)注利用基本不等式求最值的三個(gè)條件：一正、二定、三相等，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力．12．

2

1【解析】由已知可知x-1＞0，由y=x+=x-1++1，結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】∵x＞1，∴x-1＞0，由基本不等式可得y=x+=x-1++1+1=2，當(dāng)且僅當(dāng)x-1=即x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值2．故答案為；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)試題．13．

【解析】利用基本不等式可求得函數(shù)的最小值及其對(duì)應(yīng)的的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，即?dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：；.14．【解析】將化為后，根據(jù)基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.15．【解析】直接使用基本不等式，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最大值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，屬基礎(chǔ)題.16．【解析】根據(jù)題意判斷,再利用基本不等式求的最小值,最后驗(yàn)證即可.【詳解】解:已知,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.所以函數(shù)的最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求和的最小值,需要注意”一定二正三相等”.17．【解析】根據(jù)a,b均為正數(shù)且,可得,,根據(jù)均值不等式得出,利用換元法令得到,根單調(diào)性得出最小值即可.【詳解】解:因?yàn)閍,b均為正數(shù)且,所以,則,因?yàn)閍,b均為正數(shù)且,所以,則令,則,在單調(diào)遞減,所以所以.故的最小值等于.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查均值不等式以及函數(shù)單調(diào)性最小值,是基礎(chǔ)題.18．【解析】直接利用基本不等式求函數(shù)的最小值.【詳解】∵x＞0，∴4x2（當(dāng)且僅當(dāng)4x即x時(shí)，取“＝”號(hào)），∴當(dāng)x時(shí)，f（x）最小值為．故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.19．【解析】把分子展開化為，再利用基本不等式求最值．【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立，故所求的最小值為．【點(diǎn)睛】使用基本不等式求最值時(shí)一定要驗(yàn)證等號(hào)是否能夠成立．20．【解析】試題分析：由可得.又.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).考點(diǎn)：1.對(duì)數(shù)的知識(shí).2.基本不等式.21．（1）；（2）.【解析】（1）由＝，利用基本不等式即可求最值；（2）由，利用基本不等式即可求最值.【詳解】（1），，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“＝”成立．的最小值為.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“＝”成立，的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，意在考查基本公式和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.22．（1）1（2）【解析】（1）函數(shù)變形為，再利用基本不等式求最值；（2）函數(shù)變形為，利用基本不等式求最大值，法二，利用二次函數(shù)求最大值.【詳解】(1)，，，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，的最大值是1.(2)法一：,當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即時(shí)，函數(shù)的最大值是.法二:,當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，意在考查基本公式和計(jì)算能力，屬于簡(jiǎn)單題型.23．18【解析】首先已知條件變形為，再化簡(jiǎn)，利用基本不等式求最小值.【詳解】(當(dāng)時(shí)取“=”)所以的最小值是.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值，意在考查“1”的妙用，基本不等式求最值使用的三個(gè)原則“一正，二定，三相等”，缺一不可，做題時(shí)需注意.24．（1）S=4000x2++38000，(

)；（2）至少要投入118000元，才能建造這個(gè)休閑小區(qū).【解析】(1)根據(jù)由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的十字形地域，四個(gè)小矩形加一個(gè)正方形面積共為200平方米得出AM的函數(shù)表達(dá)式，最后建立建立S與x的函數(shù)關(guān)系即得；(2)利用基本不等式求出(1)中函數(shù)S的最小值，并求得當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)S的最小值即可．【詳解】(1)由題意，可得AM=，由，可得

；則S=4200x2+210(200-x2)+80×2×；S=4200x2+42000-210x2+=4000x2++38000；∴S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式：S=4000x2++38000，(

)；(2)S=4000x2++38000≥2+38000=118000；當(dāng)且僅當(dāng)4000x2=時(shí)，即x=時(shí)，∈(0，10)，S有最小值；∴當(dāng)x=米時(shí)，Smi