2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：解三角形（九大題型）（練習(xí)）（學(xué)生版+解析）

第04講解三角形

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：正弦定理的應(yīng)用.........................................................2

題型二：余弦定理的應(yīng)用.........................................................2

題型三：判斷三角形的形狀.......................................................2

題型四：正'余弦定理的綜合運(yùn)用.................................................3

題型五：正'余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用...................................3

題型六：解三角形的實(shí)際應(yīng)用.....................................................4

題型七：倍角關(guān)系...............................................................5

題型八：三角形解的個(gè)數(shù).........................................................6

題型九：三角形中的面積與周長(zhǎng)問(wèn)題...............................................7

02重難創(chuàng)新練..................................................................8

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................11

題型一：正弦定理的應(yīng)用

1.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且6=應(yīng),°=2,8=30°,則。=.

45

2.在中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,cosA=~,cosB=—,a=2,貝ljc=.

3.已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若｝上=I,則角A=___.

sinA+smBa+c

題型二：余弦定理的應(yīng)用

4.在銳角三角形ABC中，角A民C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若AASC的面積為.（竺5岫+。,-0^^二,

4sinC

則角A=—.

sinCsinA—sinB

5.在AABC中，----------=-----------,則角A=____________.

sinA+sinBsinB+sinC

6.在AASC中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a,。,c,若a：6：c=5:7:8,貝晨ASC中角8的大小是（）

A.135°B.120°C.90°D.60°

題型三：判斷三角形的形狀

7.（2024?高三.廣東廣州?開(kāi)學(xué)考試）在AABC中，cos2與=陪，則AABC的形狀為_(kāi)_____三角形.

22c

8.在AASC中，有2sin（A+8）-1=J-c；s2C,試判斷融。的形狀（從“直角三角形”，“銳角三角

形”，“鈍角三角形”中選一個(gè)填入橫線中）.

9.在AABC中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,"c,且o-6=c-（cos3-cosA）,則AABC的形狀為.

10.對(duì)于AABC,有如下四個(gè)命題：

①若sin2A=sin23,則AABC為等腰三角形，

②若sin3=cosA,則AASC是直角三角形

③若si/A+sir^vsirc,則AASC是鈍角三角形

b

④若一A=―B=―C,則AABC是等邊三角形.

Jcos—cos—cos——

222

其中正確的命題序號(hào)是

11.已知AABC的三個(gè)內(nèi)角A,3,C所對(duì)的邊分別為°,瓦c,滿足cos?A-cos?8+cos2c=1+sinAsinC,且

sinA+sinC=l,則AABC的形狀為

A.等邊三角形B.等腰直角三角形

C.頂角為150。的等腰三角形D.頂角為120。的等腰三角形

題型四：正、余弦定理的綜合運(yùn)用

12.（2024?北京西城?三模）在AABC中，若c=2,a=64”工貝!!sinC=______,b=_______.

6

7

13.（2024.貴州六盤水.三模）在"1BC中，AB=2,AC=3,ZA=-，則AABC外接圓的半徑為（）

A.五B.@C.前D

3333

14.設(shè)ZkABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為〃，b,c,若sinA=sin3,且02=2儲(chǔ)（1+sinC）,則0=（）

71—兀一兀一3%

A.—B.—C.—D?—

643,4

題型五：正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用

15.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=2力sinxcos%-2cos之x.

（1）求函數(shù)y=iog2/（x）的定義域和值域；

（2）已知銳角44BC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,若/［弓）=0,求今￡的最大值.

16.（2024?湖南長(zhǎng)沙?一模）已知函數(shù)/（"=7^m；85；+852；.

（1）若4%）=1,求COS［夸7）的值.

（2）在AABC中，角A5,C的對(duì)邊分別是。也C,且滿足acosC+'c：=b,求”3）的取值范圍.

17.在AABC中，角4民0的對(duì)邊分別為0,仇＜?.已知向量1=卜］1114+7］，—1］，向量B=（l,cosA）,且6一5=g.

（1）求角A的大?。?/p>

（2）若方=4,c=5,求sin23的值.

題型六：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

18.（2024.山東臨沂.一模）在同一平面上有相距14公里的A,3兩座炮臺(tái)，A在8的正東方.某次演習(xí)時(shí)，A

向西偏北夕方向發(fā)射炮彈，B則向東偏北。方向發(fā)射炮彈，其中〃為銳角，觀測(cè)回報(bào)兩炮彈皆命中18公里

外的同一目標(biāo)，接著A改向向西偏北三方向發(fā)射炮彈，彈著點(diǎn)為18公里外的點(diǎn)則8炮臺(tái)與彈著點(diǎn)加的

2

距離為（）

A.7公里B.8公里C.9公里D.10公里

19.（2024.江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）《海島算經(jīng)》是魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽所著的測(cè)量學(xué)著作，書中有一道測(cè)量

山上松樹(shù)高度的題目，受此題啟發(fā)，小李同學(xué)打算用學(xué)到的解三角形知識(shí)測(cè)量某建筑物上面一座信號(hào)塔的

高度.把塔底與塔頂分別看作點(diǎn)C,D,C￡）與地面垂直，小李先在地面上選取點(diǎn)A,測(cè)得AB=206m,

在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)C,。的仰角分別為30°,60°,在點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)。的仰角為30°,則塔高。為m.

20.（2024?湖南岳陽(yáng)?二模）岳陽(yáng)樓地處岳陽(yáng)古城西門城墻之上，下瞰洞庭，前望君山.因范仲淹的《岳陽(yáng)

樓記》著稱于世，自古有“洞庭天下水，岳陽(yáng)天下樓”之美譽(yù).小明為了測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度48,他首先在C

處，測(cè)得樓頂A的仰角為60。，然后沿3C方向行走22.5米至。處，又測(cè)得樓頂A的仰角為30。，則樓高

為米.

A

21.中華人民共和國(guó)國(guó)歌有84個(gè)字，37小節(jié)，奏唱需要46秒，某校周一舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡

度15。的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60。和30。，第一

排和最后一排的距離為100米（如圖所示），旗桿底部與第一排在同一個(gè)水平面上.要使國(guó)歌結(jié)束時(shí)國(guó)旗剛

好升到旗桿頂部，升旗手升旗的速度應(yīng)為（米/秒）

/旗桿

W負(fù)一……/

最后一排

看吝［去￥@一人60。

第1排

22.（2024?上海金山?二模）某臨海地區(qū)為保障游客安全修建了海上救生棧道，如圖，線段2C、8是救生

棧道的一部分，其中3c=300〃?，CD800m,8在A的北偏東30。方向，C在A的正北方向，。在A的北

偏西80。方向，且？B90?.若救生艇在A處載上遇險(xiǎn)游客需要盡快抵達(dá)救生棧道3-C-。，則最短距離為

m.（結(jié)果精確到1m）

題型七：倍角關(guān)系

23.（多選題）（2024.河北?三模）已知AABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是。、b、c,A=23,則（）

A.a2=c（Z>+c）B.2+*.的最小值為3

C.若AABC為銳角三角形，則：e（l,2）D.若a=2#,b=3,則c=5

b

c2

24.在銳角"IBC中，內(nèi)角A,民C所對(duì)的邊分別為a*,c,若/=從+稅，則］+京方的最小值為.

25.設(shè)“LBC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a八c,且4=23,6Nc,。為3C邊上的中點(diǎn)，且AQ=0c，

貝!|cosA=.

26.在銳角"LBC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿足/一/=慶.

（1）求證：A=2B；

（2）若》=1,求。邊的范圍；

（3）求一二二+2sinA的取值范圍.

題型八：三角形解的個(gè)數(shù)

27.（2024?北京朝陽(yáng)?一模）在AABC中，a=4垃,b=m,sinA-cosA=0.

（1）若加=8,貝ijc=；

（2）當(dāng)機(jī)=（寫出一個(gè)可能的值）時(shí)，滿足條件的“WC有兩個(gè).

28.（2024?上海閔行?模擬預(yù)測(cè)）已知N4BC中，NA,/B,/C的對(duì)邊分別為。，b,c,若匕=4,c=6,

給出下列條件中：①NA=30。，@ZB=30°,③％18c=6,能使AABC有兩解的為.（請(qǐng)寫出所有

正確答案的序號(hào)）

TT

29.已知。，瓦c分別是“出。內(nèi)角所對(duì)的邊，若6=2,A=-,且AABC有唯一解，則。的取值范圍

6

為.

30.（2024?遼寧沈陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）沈陽(yáng)二中北校區(qū)坐落于風(fēng)景優(yōu)美的輝山景區(qū)，景區(qū)內(nèi)的一泓碧水蜿蜒形成

了一個(gè)“秀”字,故稱“秀湖湖畔有秀湖閣（㈤和臨秀亭（8）兩個(gè)標(biāo)志性景點(diǎn)，如圖.若為測(cè)量隔湖相望的A、

8兩地之間的距離，某同學(xué)任意選定了與A、8不共線的C處，構(gòu)成AABC,以下是測(cè)量數(shù)據(jù)的不同方案:

①測(cè)量/A、AC.BC；

②測(cè)量/A、NB、BC；

③測(cè)量/C、AC,BC；

④測(cè)量/A、ZC,ZB.

其中一定能唯一確定A、3兩地之間的距離的所有方案的序號(hào)是

crA

題型九：三角形中的面積與周長(zhǎng)問(wèn)題

31.(2024.山東.模擬預(yù)測(cè))內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,若6=2asin3,be=4,則“WC

的面積為.

32.(2024?安徽滁州?模擬預(yù)測(cè))已知的內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為“也c,&=(%-〃)，

￡=(sinC+sinB,sin4+sinB)且1〃/.

⑴求角C；

(2)若c=3亞/A3C的面積為圭叵，求AABC的周長(zhǎng).

2

33.(2024?北京西城?二模)己知函數(shù)/(x)=^sinx+2cos2[.在AA6C中，/(A)=/(B),且山b.

⑴求NC的大?。?/p>

(2)若c=5,且“IfiC的面積為2石，求AA6C的周長(zhǎng).

1.（2024?河南信陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)“BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知a=9,b=8,c=5,

則AABC的外接圓的面積為（）

225125-123113

A.-----兀B.-----7iC.兀D.71

111166

2

2.（2024.重慶.模擬預(yù)測(cè)）記AABC的內(nèi)角4氏C的對(duì)邊分別為。,瓦c,若B=§兀,6=6,/+c?=3ac,則^ABC

的面積為（）

A.至B.2C.延D.2

4422

3.（2024?新疆喀什?三模）在AABC中，AB=2,BC=幣,ZBAC=120°,D是BC邊一點(diǎn)、,AD是/BAC

的角平分線，則AO=（）

2

A.-B.1C.2D.73

4.（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,c（sinA-sinC）=（a-Z2）（sinA+sinj5）,

若朗5c的面積為且，周長(zhǎng)為外，則AC邊上的高為（）

4

AB.上C.V3D.2后

-f2

5.（2024?湖南衡陽(yáng)?三模）在AABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,若力二c,。為AC的中點(diǎn),

人sinA=2sinZABD,貝()5。=()

A.1B.V2C.6D.2

6.（2024?北京.三模）在四棱錐尸—ABCD中，底面ABCD為正方形，AB=4,PC=PD=3,ZPC4=45°,

則APBC的周長(zhǎng)為（）

A.10B.11C.7+A/17D.12

7.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）在AASC中，三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為b,c,且

acos（B+￡1=bsinA,若°=石，c=2,則（）

A.1B.2C.2A/3D.4

8.（2024浙江紹興.三模）在融（7中，內(nèi)角4,2,。所對(duì)的邊分別為。也，.若2幾0$（3+。-。8$。=*0$4,

則A等于（）

7171712兀

A.B.C.D.

6~4~3T

9.（多選題）（2024?安徽安慶?模擬預(yù)測(cè)）在“ISC中，面積5=*（/+。2-/），則下列說(shuō)法正確的是（）

A.8=60°

B.若“WC是銳角三角形，則;<a<2c

2

C.若6=2,貝

D.若角3的平分線長(zhǎng)為右，則a+4cN10

10.（多選題）（2024?廣東佛山?一模）在AASC中，ABC所對(duì)的邊為a,》,c,設(shè)BC邊上的中點(diǎn)為^ABC

的面積為S,其中°=2百，b2+c2=24,下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若則S=3&B.S的最大值為

TT

C.AM=3D.角A的最小值為1

11.（多選題）在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,下列命題正確的是（）

A.若A=30。，6=4,a=3,則AASC有兩解

B.若A=60。，a=2,則AABC的面積最大值為2檔

C.若a=4,6=5,c=6,則AABC外接圓半徑為隨

7

D.若acosA=bcos3,則AABC一定是等腰三角形

12.（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角ABC的對(duì)邊分別是a,Z?,c,已知。=c=5,三角形面積為

12,則”.

13.（2024?新疆?三模）在AABC中，3sinA=2sinC,cosB=g.則sinA=.

14.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）在"1BC中，已知BC=1,AC=2,cosC=|,貝l]sin2A=.

15.(2024?湖南長(zhǎng)沙?三模)記△ABC的內(nèi)角A,民C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知。=2/=4.

(1)若cosB+2cosA=ccosC,求。的值；

(2)若。是邊川上的一點(diǎn)，且8平分/ACB,cos/AC3=-；,求8的長(zhǎng).

16.(2024.江西新余?二模)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且AABC的面積

a2+c2-Z?2)sinB.

⑴求角&

(2)若/ABC的平分線交AC于點(diǎn)。，a=3,c=4,求8。的長(zhǎng).

17.(2024?天津南開(kāi)?二模)在從IfiC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知c?="十/-4bccosC,

sinA=cosC.

(1)求證：a=2c；

⑵求cosC的值；

(3)求cos,+的值.

18.(2024?天津河北?二模)在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知。=4/=3.

⑴若c°sC=】'求"的值和融°的面積;

⑵在⑴的條件下，求cosQc+5］的值；

(3)若A=23,求。的值.

19.（2024-內(nèi)蒙古呼和浩特.二模）在中，記角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,已知

\[3a=V3ccosB+csinB.

⑴求角C；

（2）已知點(diǎn)￡）在AC邊上，S.AD=2DC,BC=6,BD=2不，求&4BC的面積.

1.（2024年上海高考數(shù)學(xué)真題）已知點(diǎn)8在點(diǎn)C正北方向，點(diǎn)。在點(diǎn)C的正東方向，3C=CD,存在點(diǎn)A

滿足-8AC=16.5o,4DAC=37。，則N3C4=（精確到0.1度）

2.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知AABC中，點(diǎn)。在邊2C上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)

籌AC取得最小值時(shí)，BD=______.

AB

3.（2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）記"1BC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知sinC=&cosB，

cT+b~_c~—

⑴求3

（2）若"1SC的面積為3+相，求c.

4.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）在中，內(nèi)角A3,C的對(duì)邊分別為“，4c,/A為鈍角，a=7,

sin2B-——bcosB.

7

⑴求/A；

（2）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得AABC存在，求AABC的面積.

條件①：6=7；條件②：cosB=j|；條件③：csinA=|V3.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解

答計(jì)分.

5.（2024年新課標(biāo)全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）記AABC的內(nèi)角C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinA+A/§COSA=2.

⑴求A.

（2）若a=2,亞sinC=csin23，求AABC的周長(zhǎng).

9a2

6.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）在中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,4c,已知cos3=Z,b=5,-=~.

16c3

⑴求。；

⑵求sinA；

⑶求cos（B-2A）的值.

Z,2,?2_?2

7.（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）記AABC的內(nèi)角A,反C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知〃+'一。=2.

cosA

⑴求be；

acosB-bcosAb,-4

（2）若---「——r--=晨求AABC面積.

acosB+bcosAc

8.（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）在AABC中，已知/B4C=120。，AB^2,AC=1.

⑴求sinZABC；

（2）若。為BC上一點(diǎn)，且/54。=90。，求△ADC的面積.

9.（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知在AABC中，A+B=3C,2sin（A-C）=sinB.

⑴求sinA；

⑵設(shè)AB=5,求AB邊上的高.

10.（2023年新課標(biāo)全國(guó)H卷數(shù)學(xué)真題）記△ABC的內(nèi)角ABC的對(duì)邊分別為已知AABC的面積為

6，。為8。中點(diǎn)，且AD=1.

jr

⑴若ZAOC=§,求tan3；

（2）若。2+/=8,求Z?,c.

11.（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）在AABC中，角A,3,C所對(duì)的邊分別為a,6,c.已知4a=&,cosC=1.

（1）求sinA的值；

（2）若b=ll,求AABC的面積.

12.(2022年新高考全國(guó)H卷數(shù)學(xué)真題)記&4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,分別以a,b,

c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為印邑,工，已知&+邑=走,sin8=』.

23

(1)求融。的面積；

(2)若sinAsinC=:^,求6.

3

13.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(文)真題)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A).

⑴若A=23,求C；

(2)證明：24=廿+°2

14.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)記AABC的內(nèi)角4民C的對(duì)邊分別為“，瓦c,已知

sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A).

⑴證明：2/=02+02；

25

(2)若a=5,cosA=—,求△ABC的周長(zhǎng).

15.(2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題)在AABC中，sin2C=V3sinC.

⑴求/C；

(2)若方=6,且AABC的面積為66，求AABC的周長(zhǎng).

sin23

16.(2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)記AABC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知-—―

1+smA1+cos23

(1)^C=^27r,求&

2.J2

(2)求幺」的最小值.

第04講解三角形

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：正弦定理的應(yīng)用.........................................................2

題型二：余弦定理的應(yīng)用.........................................................2

題型三：判斷三角形的形狀.......................................................2

題型四：正'余弦定理的綜合運(yùn)用.................................................3

題型五：正'余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用...................................3

題型六：解三角形的實(shí)際應(yīng)用.....................................................4

題型七：倍角關(guān)系...............................................................5

題型八：三角形解的個(gè)數(shù).........................................................6

題型九：三角形中的面積與周長(zhǎng)問(wèn)題...............................................7

02重難創(chuàng)新練..................................................................8

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................11

//

題型一：正弦定理的應(yīng)用

1.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且6==2,8=30°,則。=.

【答案】15°或105。

【解析】在&ABC中，b=y/2,a=1,B=30，

則由正弦定理得三=上，二―=31七，得sinA=YI,

smAsmBsinAsin302

因?yàn)?°<A<150。,所以A=45°或A=135°,

當(dāng)A=45°時(shí)，C=180°-45°-30°=105°,

當(dāng)A=135°時(shí),C=180o-135°-30o=15°

故答案為：15°或105°

45

2.在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,cosA=-,cosB=—,a=2,則。=—

423

【答案】-/3-

【解析】在AABC中，由cosA=l，cosB=—,sinA=Vl-cos2A=—,sinB=Vl-cos2B=—,

3541263

貝sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=—x----F—x—=——,

51351365

---=---=2=竺106342

由正弦定理理sin。sinA33，所以。=工~、力■=

—36513

42

故答案為：—

sinCb

3.已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,若.“八+々=1，則角A=_____

sinA+sinBa+c

【答案】y

【解析】由正弦定理角化邊可知，.S'nC.+-=^-+—=1,

sinA+sin6a+ca+ba+c

整理為加+，=/+A，即cosA二二旦二

2bc2bc2

由于Ae（0,7i）,所以A=].

故答案為：y

題型二：余弦定理的應(yīng)用

4.在銳角三角形ABC中，角A民C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若的面積為.（竺5岫+。,-0^^二,

4sinC

則角A=

【答案】|

【解析】由題，5.」屐由4=若.」.

△ADC2

4sinC

\[3(b2+C1-t?2)y/3(b2+c2-a2)

故bsinA——----------------，sinA二一---------L./.sinA=6cosA,

2c2bc

C4兀L.兀

0<A<—,tanA=v3,/.A——

3

故答案為：—

sinCsinA-sinB

5.在“IBC中,，則角A二

sinA+sinBsinB+sinC

9jr

【答案】y

sinCsinA-sinB,由正弦定理可得’產(chǎn)

【解析】因?yàn)?=

sinA+sinBsinB+sinCa+bb+c

HPbc+c1=a1—b1.

^22_2-be

由余弦定理cosA=----------------

2bc2bc2

■：AG(0,7t),，一

3

2兀

故答案為：y

6.在AABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,"c,若a：b：c=5:7:8,則AABC中角8的大小是（）

A.135°B.120°C.90°D.60°

【答案】D

【解析】設(shè)。加:。=5:7:8=左，貝!j々=5左,〃=7匕c=8左,

由余弦定理得cosB=、+c*=（5k）+（8左）-一（74=L

lac2x5k-8k2

又5?0,兀）,所以B=60。.

故選：D.

題型三：判斷三角形的形狀

7.（2024?高三.廣東廣州?開(kāi)學(xué)考試）在“BC中，cos?與=『，則AASC的形狀為_(kāi)____三角形.

22c

【答案】直角

【解析】在中，由cos20=",得1+COSB=1+3,BPa=ccosJB,

22cc

,2_h2

由余弦定理得，整理得/+〃=。2,

lac

所以AABC是直角三角形.

故答案為：直角

8.在44BC中，有2sin（A+8）-1=J-c；s2）,試判斷金。的形狀（從“直角三角形”，“銳角三角

形”，“鈍角三角形”中選一個(gè)填入橫線中）.

【答案】直角三角形

【解析】由二倍角公式cos2c=1-2sin2c可知，尸察=Ji0二”fl=標(biāo)E=卜缶C卜sinC，

且注意到在AABC中，有sin（A+B）=sin（兀-C）=sinC,

因此可將已知2sin（A+B）-1=2c轉(zhuǎn)換為2sinC—1=sinC,解得sinC=1,

rr

因?yàn)镃是A/IBC的一個(gè)內(nèi)角，所以C=],即AASC是直角三角形.

故答案為：直角三角形.

9.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為"C,且a-Z?=c-（cosB-cosA）,則從IBC的形狀為.

【答案】直角三角形或等腰三角形

【解析】用正弦定理對(duì)條件進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)后進(jìn)行求解.

10.對(duì)于AABC,有如下四個(gè)命題：

①若sin2A=sin23,則AABC為等腰三角形，

②若sin3=cosA,則AASC是直角三角形

③若sin?A+sin?3<sin?C,則AABC是鈍角三角形

abc

④若一A=―B=―C,則AABC是等邊三角形.

7COS—cos—cos——

222

其中正確的命題序號(hào)是

【答案】③④

JT

【解析】對(duì)于①sin2A=sin25可推出A=3或A+B=D，故不正確；

②若5=100。,A=10。，顯然滿足條件，但不是直角三角形；

③由正弦定理得〃2+b2一C2<0,所以8SCV0,是鈍角三角形；

④由正弦定理知sinAg=siBn￡=Csin*,由于半角都是銳角，所以今A=Rg=C+,三角形是等邊三角形.

乙乙乙乙乙乙

故答案為：③④

11.已知AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,》,c,滿足cos?A—cos?3+cos2c=l+sinAsinC,且

sinA+sinC=l,則AABC的形狀為

A.等邊三角形B.等腰直角三角形

C.頂角為150。的等腰三角形D.頂角為120。的等腰三角形

【答案】D

【解析】由題1-sii?A-(l-sin2B)+l-sin2C=l+sinAsinC

2.2121

即sinZ+sirC-sin"EsinAsinC,由正弦定理及余弦定理得"=-工

2ac2

19

即cosBBG(0,^)/.B=—7r

故sinA+sin(q-A)=l整理得sin[A+g)=l,故4=看,；.8=7

故AABC為頂角為120。的等腰三角形

故選。

題型四：正、余弦定理的綜合運(yùn)用

12.(2024?北京西城?三模)在AABC中，若c=2,a=#),ZA=^,則sinC=,b=.

o

【答案］V3±V2

V32,

【解析】由正弦定理二二」7；,有「？=而不，所以sinC=.,

smAsinCsin—3

6

由余弦定理。2="+C2-2〃CCOSA,有(6)=b2+22-2x2Z?cos-^,

角星得b=y/3±A/2.

故答案為：冬牛"

13.(2024?貴州六盤水?三模)在AABC中，AB=2,AC=3,ZA=j,則“IBC外接圓的半徑為()

A..2s

rD,巫

333

【答案】B

7E

【解析】因?yàn)锳B=2,AC=3,ZA=j,由余弦定理可得：

BC=VAB2+AC2-4ABACcosA=J4+9-2x2x3x|=77,

BCB

設(shè)AABC外接圓的半徑為R,由正弦定理可得：sinA一若，則7?=衛(wèi).

—3

7

故選：B.

14.設(shè)△A3C中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c,若sinA=sin3,且/=2〃(l+sinC),則。=()

【答案】D

【解析】因?yàn)閟inA=sinB,由正弦定理有a=6,

根據(jù)余弦定理有c2=6^+b2—2abcosC=2〃—2〃2cosc，

且02=2a2(1+sinC),故有sinC=-cosC,即tanC=-1,

又Ce(O,兀)，所以C=7.

故選：D.

題型五：正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用

15.(2024?湖南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=2^/3sinxcosx-2cos2x.

⑴求函數(shù)y=iog2/?的定義域和值域；

(2)已知銳角44BC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,若/[T[=0,求號(hào)的最大值.

【解析】(1)/(x)=2A/3sinxcosx-2cos2x=A/3sin2x-cos2x-l=2sin^2x--^J-l,

所以要使y=log2〃x)=log22sin(2x—?1-1有意義，

只需2sin2x-￡-l>0,即sin(2x-￡71>]1,

62

TTTT)TT7T7T

所以一+2/CJI<2x——<----1-2kn,kGZ,角軍得一+E<%<一+kn.kGZ

66662

所以函數(shù)y=log2"x）的定義域?yàn)椋╚+E，5+Ej/eZ,

由于。<2sin12尤+力-1V1,所以log?/(x)4log21=0,

所以函數(shù)y=log2"x）的值域?yàn)椋?°°,。]；

（2）由于/[￡|=2sin[A-"-1=0,所以sin卜一野=；

因?yàn)?<4<々，所以一所以A一￡=￡即A=[,

2663663

。3

由銳角41SC可得所以

2兀7162

0<C=——B<-

32

/?+c_sinB+sinC

由正弦定理可得sinB+sin^+B

asinA

-sinB+^、

cosB=^sinB4-cosB=2sin^B+-^-j,

22

E、1兀n兀LL…兀c兀2?！薄?

因?yàn)?<2<U，所以二+：<二，所以J3Vb+C<-2,

62363a

所以"的最大值為2.

a

16.（2024.湖南長(zhǎng)沙.一模）已知函數(shù)/（x）=指sin；cos；+cos?；

,的值.

(1)若〃%)=1,求cos

在中，角民的對(duì)邊分別是且滿足求（）的取值范圍.

(2)AABCACa,4c,acosC+gc=b,/3

【解析】(1)/(x)=sin—cos—+cos2—=^-sin—+—cos—+—=sinX711

—+—+—

v744422222262