2025年中考數(shù)學一輪復習：二元一次方程組及其應(yīng)用（解析版）

考點二二元一次方程組及其應(yīng)用

知識點整合

一、二元一次方程（組）及解的概念

1.二元一次方程

含有2個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程.

2.二元一次方程的解

使二元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程的解.

3.二元一次方程組

由兩個二元一次方程組成的方程組叫二元一次方程組.方程組中同一個字母代表同一個

a,x+b,y=c,

量，其一般形式為,.

a2x+b2y=c2

4.解二元一次方程組的基本思想

解二元一次方程組的基本思想是消元，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程.

5.二元一次方程組的解法

（1）代入消元法：將方程中的一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并

代入另一個方程中，消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程.

（2）加減消元法：將方程組中兩個方程通過適當變形后相加（或相減）消去其中一個

未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程.

二、一次方程（組）的應(yīng)用

1.列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟

（1）審題；

（2）設(shè)出未知數(shù)；

（3）列出含未知數(shù)的等式一一方程；

（4）解方程（組）；

（5）檢驗結(jié)果；

（6）作答（不要忽略未知數(shù)的單位名稱）.

考向一解二元一次方程組

典例引領(lǐng)

x+y=2k

1.若二元一次方程組的彳k的解也是二元一次方程3x-y=6的解，則4的值為_

x-y=—

I2

【答案】2

【分析】本題的實質(zhì)是解二元一次方程組，用加減法或代入法來解答.先用含左的代數(shù)式

表示無,?即解關(guān)于無y的方程組，再代入3龍-y=6中可得解出左的數(shù)值.

（5

rx+y=2kx=~k

【詳解】解：解方程組左，得:，

[x-y2=-卜=”3

x+y=2k

回二元一次方程組的k的解也是二元一次方程3x-y=6的解，

x-y=—

I2

53

^x-k--k=6,

44

解得左=2.

故答案為：2.

f-2mx+5y=15[x=5

2.關(guān)于％,y的方程組「二（其中加，〃是常數(shù)）的解為力則關(guān)于。，

[x+7〃y=14[y=2

-2加〃+/?)+5(Q-2Z?)=15

b的方程組的解為

(Q+Z?)+7M(〃—2/7)=14

〃二4

【答案】

b=l

【分析】本題考查了二元一次方程組的解，根據(jù)已知得出關(guān)于。，b的方程組，進而得出

答案，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

|-2mx+5y=15

【詳解】解：團關(guān)于x,y的方程組[X+7-14（其中加,〃是常數(shù)）的解為

-2加(〃+人)+5(〃-2b)=15a+b=5

團方程組方程組的解為

(a+b)+7〃(Q-2Z?)=14a-2b=2

Q=4

故答案為:

b=l

x+2y=k

3.已知關(guān)于x、y的方程組的解X、y的值的和等于6,則女的值

2%+3y=32-1

為.

【答案】3.5

【分析】本題考查了二元一次方程組的解，利用加減消元法得出％+y的值，再根據(jù)x、y

的值的和等于6,進而求解即可，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

x+2y=k?

【詳解】

2x+3y=3k-l@

②-①，得％+y=2左_1,

由題意得，x+y=6,

回2左一1=6,

解得k=3.5,

故答案為：3.5.

[ax+4y=15@

4.甲、乙兩人同解方程組41。同，由于甲看錯了方程①中的。，得到方程組的

[-4%+勿=-3②

\x=—3[x=7

解為《，甲看錯了方程②中的b,得到方程組的解為tC，則a+b=

[y=-5[y=2

【答案】4

【分析】本題考查二元一次方程組的解，將錯解代入錯方程求解即可得到答案;

(x=—3fx=7__

【詳解】解：依題意，將〈代入②中，c代入①得，

[>=-5[y=2

-4x(-3)-5Z?=-3

回

7<2+4x2=15

4=1

解得

b=3'

回〃+/?=1+3=4,

故答案為：4.

2x—N=2k—\

5.己知關(guān)于x,y的二元一次方程組3x+2-2的解滿足f=L則/的值為

【答案】-6

13x+2y=—2

【分析】本題考查二元一次方程組的解，根據(jù)題意得出1，再求解是解題的關(guān)

[x+y=l

鍵.

3x+2y=—2

【詳解】解：由題意得：

x+y=l

,[x=-4

解得：＜,

Iy=5

團2x(-4)-5=2Z-l,

解得：k=-6,

故答案為：-6.

[3x-ay=5[x=5

6.已知關(guān)于％，y的二元一次方程組,,，的解為,那么關(guān)于X，＞的二元一次

[x+by=n[y=6

藍)］；中的%1的值為

方程組

\l+b)x+(l-2b)y=11x-2y

【答案】|

6

【分析】根據(jù)二元一次方程組解的定義求出外人的值，再代入方程組得到一個關(guān)于％、y的

二元一次方程組，求出不y的值，再代入計算即可.

3x—ay=5x=5

【詳解】解：???關(guān)于的y的二元一次方程組八”的解為

x+by=11y—6

3x5-6〃=5

5+6/7=11

5

a=—

解得：3,

b=l

5419

ci———(3-〃)%+(3+2a)y=5-x-\---y=5

將3代入得＜33

(l+/?)x+(l-2Z?)y=11

b=\2x-y=11

故答案為：.

6

【點睛】本題考查二元一次方程組的解以及解二元一次方程組，理解二元一次方程組解的

定義，掌握解二元一次方程組的方法是正確解答的前提.

7.若關(guān)于尤，y的二元一次方程組的解是，;則關(guān)于a,6的二元一次方

5（a+2b）—加（a—b）=7

程組的解是_______

4（a+2b）+〃（〃-/?）=8

a=1

【答案】

b=-l

【分析】先把[\yx=—2\代入[Q5x—+m「y=78'求出'〃和"的值，再將，〃和，，的值代入

5（?+2Z?）-m=7

即可求解.

4（Q+2Z?）+〃（〃—/?）=8

x=-l5x-my=7-5-2m=7

【詳解】解：把代入得,

y=24x+孫=8-4+2n=8

m=-6

解得:

〃=6

m=-615（〃+28）_冽（〃_人）=7/口5（Q+2b）+6（a-b）=7

n-6代入（4（〃+2/7）+〃（〃一/?）=8付，

4（Q+2Z?）+6（Q-Z?）=8'

1U+4Z?=7Q=1

整理得:解得:

10a+2b=8b=-l

a=l

故答案為:

b=—l

【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握方程組解的定義，以及解

二元一次方程組的方法和步驟.

2x+5y=2

8.已知關(guān)于x,y的二元一次方程組5x+2y=12的解滿足=求”的值.

【答案】機=1￡3

【分析】本題考查了解二元一次方程組以及二元一次方程的解，根據(jù)方程組的特征得到

X-y=與是解題的關(guān)鍵.

2x+5y=2①

【詳解】解:

5x+2y=12②'

②一①，3x-3y=10,

10e

把③代入x-y=mT中，得￥=“7-1,

13

解得：m=y

9.解方程組

x-y=5①

(1)

3x-y=-l?

a”①

(2)

2無+3y=12②

x=-3

【答案】(1)

y=-8

x=3

(2)

y=2

【分析】(1)本題考查解二元一次方程組，先用x表示y,然后代入消元法解方程組即

可；

(2)本題考查解二元一次方程組，利用加減消元法解方程組即可.

x-y=5①

【詳解】(1)解:

3x-y=-l?

由①得，V=x-5③,

把③代人②，得

3x一(x—5)=-1,

解得x=-3,

把x=-3代入③，得產(chǎn)-8,

fr=-3

所以原方程組的解為：。；

[y=-8

X——=2①

(2)解：原方程組可化為2,

2尤+3y=12②

①x2得,2x—y=4③,

②-③得，4y=8,

解得y=2,

把y=2代入③，得x=3,

[x=3

所以原方程組的解為：.

[y=2

fx=2一

10.己知｛，是關(guān)于X,y的二元一次方程3x+分=14的一組解.

b=4

⑴求。的值

(2)請用含有了的代數(shù)式表示兀

【答案】(1)。=2

3

(2)j=7--x

\x=2

【分析】(1)將二元一次方程的解,代入3x+?=14得到關(guān)于。的方程，解關(guān)于。的

3=4

方程即可；

(2)將。=2代入3x+?=14得到3x+2y=14,將x看作已知數(shù)，y看作未知數(shù)，解關(guān)于y

的方程即可.

fx=2

【詳解】(1)解：將“代入3x+ay=14,得：

[y=4

3x2+4a=14,

解得〃=2；

(2)解：團〃=2,

13原方程可變?yōu)?無+2y=14,

_3

=7-—x.

11.解方程組:

x—y=4

(1)

5%+2y=6'

x+1八八

亍+2『

(2)

2(x+l)=ll-y

x=2

【答案】（1）

y=-2

x=5

(2)

y=-l

【分析】本題考查了解一元一次方程，靈活選擇代入消元法、加減消元法解方程是解題的

關(guān)鍵.

（1）利用加減消元法求解即可；

（2）利用代入消元法求解即可.

【詳解】⑴解：《If②，

（T）x2+（2）,得2尤一2y+5x+2y=4x2+6,

07%=14

解得x=2,

把x=2代入①，得2-y=4,

s\y=-2,

回方程組的解為《[x=2

U=-2

四+2）；=0①

（2）解團《3,

2（x+l）=ll-y（2）

由②得，x+l=、2③，

把③代入①，得與？+2y=0,

O

解得、=一1,

把y=-l代入③，得x+]=l：T),

解得元=5,

jx—5

團方程組的解為《1.

[y=-l

[ax+by=4①

12.已知方程組,-由于甲看錯了方程①中的a,得到方程組的解為

[ax-by=-3^)

(%=]{x—1

C；乙看錯了②中的6,得到方程組的解為

[y=-2[y=T

⑴求a、b的值；

(2)乙看錯了②中的6,他把6看成了哪個數(shù)？

【答案】.

(2)m--6

【分析】(1)將甲得到的方程組的解代入第二個方程，將乙得到方程組的解代入第一個方

程，聯(lián)立兩個方程求出a,b；

(2)設(shè)把6看成了打，代入②，求出方程的解即可得到6.

【詳解】(1)解：將尤=1，，=-2代入方程組中的第二個方程得：。+4=-5①，

將x=l，丫=-1代入方程組中的第一個方程得：a-b=4@,

a+2b=—5

聯(lián)立①②

a-b=4

6Z—1

解得:

b=-3

(2)設(shè)把?？闯闪薽,

把無=1,y=T,a=l代入方程狽-⑺=-5,

得m=-6

【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未

知數(shù)的值.

13.已知關(guān)于x、y的方程組):7臺，甲由于看錯了方程①中的。，得到方程組的

[41_外=7②

fx=3\x=—1

解為.一J乙由于看錯了方程②中的6,得到方程組的解為一，.求原方程組的正確

[y=5[y=7

解.

【答案】

[y=i

[x=3

【分析】首先根據(jù)甲看錯方程①中的。說明甲所解出的結(jié)果滿足方程②，所以把二代

[y=5

入方程②可得：12-58=7即可求出6；而乙看錯方程②中的b說明乙所解出的結(jié)果滿足

[——]

方程①，所以把一r代入方程①可得：-a+7=5即可求出。；

[y=7

【詳解】由題意可得：

(

把《x=3〈代入②得：12-56=7

1丫=5

解得：b=l,

(X=—1

把〈r代入①得：-a+7=5

U=7

解得：a=2

一f2x+y=5

團原方程組為“?r，

[4x_y=7

[x=2

解這個方程組得：?,

【點睛】本題主要考查二元一次方程組的錯解問題，充分理解題意，將甲和乙得到的解代

入正確的方程中是求解本題的關(guān)鍵.

[x+2y=5①

14.已知關(guān)于x,y的方程組0門八臺.

[尤-2y+〃ix+9=0②

⑴方程x+2y=5中，用含y的式子表示了；

(2)若方程組的解滿足x+y=O③，求機的值.

【答案】(I)y=|-氐，

(2)加的值為-g.

【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)將x+2y=5變形，即可得出用含x的式子表示九

（2）根據(jù)條件可求出x=-5,y=5,代入方程即可得出機的值.

【詳解】（1）-：x+2y=5,

51

y=------x,

22

x+2y=5

（2）根據(jù)題意得

x+y=0

「.y=5,x=-5,

代入％-2〉+如+9=°得，

-5-10-5m+9=0,

解得：^=-|,

答：加的值為-1".

【點睛】考查二元一次方程（組）的解法和應(yīng)用，代入法是常用的方法.

f2x+5y=21

15.已知關(guān)于x,y的二元一次方程組5x+2=_12的解滿足％一y=^T，求機的值.

【答案】〃7=-1。

【分析】將②一①，得到尤7=—11,再代入x-y=7篦-1即可得至1］小的值.

【詳解】解：5f2+x+52y-1=21②?

②一①，3x—3y=-33

x-y=-ll（3）

把③代入尤-y=m一1中，得一11="2—1

m=—10.

【點睛】本題考查了解二元一次方程組以及二元一次方程的解，根據(jù)方程組的特征得到

x-y=Ti是解題的關(guān)鍵.

16.對于有理數(shù)x,y,定義新運算：x*y=ax+by,x?y=ax-by,其中°,6是常數(shù).已

知1*1=1,302=8.

⑴求a,b的值；

⑵若關(guān)于X,y的方程組Ix*二y=4—<m的解也滿足方程無+y=5,求機的值;

[x^）y=5m

⑶若關(guān)于X,y的方程組的解為求關(guān)于x，y的方程組

":朦（二:U的解

【答案】⑴

【分析】（1）根據(jù)定義新運算得出關(guān)于。、b的二元一次方程組，再解方程組即可;

（2）根據(jù)題意得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，求出方程組的解，再代入方程彳+丫=5求

解即可;

（3）根據(jù)定義新運算得出相關(guān)方程組，根據(jù)方程組的解的定義，利用整體代入的方法解答

即可.

a+b=l

【詳解】（1）解：（1）由題意得

3a—2b=8'

a=2

解得:

b=-l；

2x—y=4-m

（2）解:依題意得

2x+y=5m

x=m+l

解得:

y=3m-2

尤+y=5,

m+l+3m—2=5,

3

解得：加=5；

2a}x-b}y=c,x=4

(3)解：由題意得::1的解為

y=5f

2a2x+b2y=c2

q(尤+y"(x-y)=G得:2%(x+y)—4(%—y)=cx

由方程組

a2(x+y)?b2(x—y)=c22〃2(%+y)+%—y)=c2

%+y=4

0

尤—y=5'

9

x=—

2

解得：

1

【點睛】本題考查了解二元一次方程組和二元一次方程組的解，根據(jù)新定義列出二元一次

方程組，利用方程組的解列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

17.解下列方程組.

x=5-2y①

(1)

3x-y=]②，

2x-y=-4①

(2)

4x-5y=-23@'

x=l

【答案】(1)

j=2

1

x=—

(2)2

,y=5

【分析】本題考查解二元一次方程組,

(1)利用代入消元法解方程組即可;

(2)利用加減消元法解方程組即可.

x=5-2y@

【詳解】(1)解:

3x-y=l?

將①代入②得：3(5-2y)—y=l,

整理得：15-7y=l,

解得：y=2,

將y=2代入①得：X=5-4=1,

X=1

回

y=2

2尤-y=-4①

(2)解:

4x—5y=-23②

①x2-②得：3y=15,

解得：y=5,

將y=5代入①得：2x-5=T,

解得：尤=1

2

1

x=—

叫2

y=5

18.解方程組：

2x-y=3

(1)3x+2y=l

2x+ly5

⑵326

5(x+3)+4(y-l)=l

X=1

【答案】⑴

y=-i

x=2

(2)

y=-5

【分析】本題考查了解二元一次方程組.

(1)利用代入消元法即可求解；

(2)先去分母，去括號，整理出方程組，再利用加法消元法即可求解.

【詳解】⑴解：卜\2x+-2yy-=3①1②

由①得：＞=2尤-3③，

將③代入②得：3x+2(2x-3)=l,即7x-6=l,

解得：x=l,

將x=l代入③得：y=2xl-3=-l,

fx=l

???原方程組的解為：

[y=T

4x+3y=-7①

(2)解：原方程組整理得:

5x+4y=-10@

①x4-②x3得：％=2,

將1=2代入①得：4x2+3y=—7,

解得：y=-5,

fx=2

「?原方程組的解為：.

[y=-5

fox+5y=150八

19.甲、乙兩人共同解方程組,/。小由于甲看錯了方程①中的。，得到方程組的

[Ax-by=-2^)

解為[=乙看錯了方程②中的6,得到方程組的解為,試計算

U=T[y=4

清23+(_，力2。22的值.

【答案】0

[x=-3fx=5

【分析】將I代入方程組的第二個方程，將,代入方程組的第一個方程，聯(lián)立求

b=-i[y=4

出。與。的值，即可求出所求式子的值.

(尤=-3

【詳解】解：把,代入4X一勿=-2,得

[y=-i

—12+/?=—2,

勵=10,

把代入"+5y=15,得

口=4

5〃+20=15,,

團a=-1,

/、2022

團4023+(―\。嚴2=(_1廣3+__^xW=_1+1=().

【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，代數(shù)式求值，方程組的解即為能使方程組中兩

方程成立的未知數(shù)的值.求出〃、。值是解題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.一個自然數(shù)，把它各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位依次排列得到一串數(shù)字，再把它各數(shù)

位上的數(shù)字從個位到最高位依次排列，得到另一串數(shù)字，如果兩串數(shù)字完全相同，我們就

把這樣的自然數(shù)稱為"回文數(shù)".例如22,323,4664,567765等都是"回文數(shù)".已知一個

三位數(shù)是能被11整除的"回文數(shù)"，則符合條件的三位數(shù)的個數(shù)有（）

A.8個B.9個C.24個D.33個

【答案】A

【分析】本題考查一次方程的應(yīng)用，整式的加減.設(shè)這個三位數(shù)為1。標+10了+彳，根據(jù)這

個三位數(shù)是能被11整除的，得到工，，的關(guān)系，即可.

【詳解】解：設(shè)這個三位數(shù)為100x+10y+x,

[3100x+10y+x=101x+10y=99;c+lly+2x-y能被11整除，

El2x-y能被11整除，

ffll<x<9,0<y<9,且均為整數(shù)，

(x=l(x=2(x=3Jx=4

回當2x-y=0時,jy=2,===8

x=6\x=7\x=8Jx=9

當2x-y=U時,，，

y=rK=3｛y=51y=7

團符合條件的回文數(shù)有121,242,363,484,616,737,858,979,共8個;

故選A.

x+2y=4

2.已知關(guān)于x,y的方程組的解滿足x+y=l,則"=

2x+y=2n-3

【答案】1

：+=：得出3x+3y=2〃+l,根

【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，根據(jù)

2x+y=2n—3

據(jù)%+y=l,得出3=2〃+1,求出〃的值即可.

【詳解】解：，[x+2y尸=42〃?-3②，

①+②得：3x+3y=2〃+l,

即3(x+y)=2〃+l,

團犬+y=1,

團3=2〃+1,

解得：n=\,

故答案為：L

x+2y=5k

3.若關(guān)于x,y的二元一次方程組的解也是二元一次方程2x+y=24的解,則

x—y—k

上的值為.

【答案】4

【分析】本題考查解二元一次方程組，將方程組中的兩個方程相加即可得到關(guān)于左的方

程，解方程即可.

x+2y=5左①

【詳解】解:

x-y-k@

①+②得：2x+y=6k,

則6k=24,

解得：k=4,

故答案為：4.

fx+2y=12,

4.若心y滿足則Q+y)如3

\2x+y=-15,

【答案】-1

[x+2y=12,①?

【詳解】c-由①+②得3(x+y)=-3,解得x+y=_l,

[2尤+y=-15,②

(x+y)2013=(-l)2013=-l.

易錯點分析:此題容易忽略簡單的方法，而采用一般的加減消元法或代入消元法算出x、y

具體的值之后，再代入公式進行計算，比較麻煩.要養(yǎng)成先觀察分析再做題的習慣，整體

相加便可得出答案.

f2x+y=1+2m

5.若關(guān)于X,y的方程。/的解滿足％-y=3,則加二

\2y+x=4—m

【答案】2

【分析】利用二元一次方程組，得到X,y的值，代入％-y=3,即可得到答案.

(2x+y=1+2m

【詳解】解:

[2y+x=4-m

2-5m

x=------

…3

4m-7

13

'：x—y=3

...--2---5--m--(--4-m----7^=---2---5-m--1-4-m---7-=9--m---9-=.3

313J333

9m-9=9

:?m=2

故答案為：2.

【點睛】本題考查二元一次方程求參數(shù)的問題，熟練掌握解二元一次方程的方法是解題的

關(guān)鍵.

[x=l,[ax+y=—1,,

6.已知。是方程組c；c的解，則。+6=_.

[y=2[2x—by=0

【答案】-2

(X=]

【分析】將c代入方程組中的兩個方程，得到兩個一元一次方程，即可求解.

[y=2

fx=l\ax+y=-10

【詳解】解：回c是方程組c；e的解，

(x=l小

團將c代入①，得"+2=-1,

[y=2

團Q=-3,

fx=l小

將c代入②，得2-2。=0,

[y=2

06=1,

[3a+b=—3+1=—2,

故答案為：-2.

【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，解題關(guān)鍵是把*和y的值代入方程，得到一元

一次方程.

7.若多項式zra?+n%+5+7x-2尤2+7nx的值與*的取值無關(guān)，則的值是.

【答案】11

【分析】本題考查多項式不含某項的問題，涉及合并同類項，解二元一次方程組和代數(shù)式

求值等知識，先合并同類項再令尤項的系數(shù)為零，解方程即可得到答案，根據(jù)題意列出關(guān)

于如〃的方程組求解是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：mx2+nx+5+7x—2x2+mx

=twc2—2x+nx+lx+mx+5

=(m-2)x2+(m+n+7)x+5,

多項式祖/+nx+5+7x—2x2的值與x的取值無關(guān)，

fm+n+7=0[m-2

on，解得o-

[m-2=0\n=—9

“=2—(—9)=11,

故答案為：IL

8.已知(2a+6+5)的算術(shù)平方根是3,(3a+力-1)的立方根是2,求(2。-切的平方根.

【答案】±4

【分析】本題考查了立方根和平方根、算術(shù)平方根的綜合應(yīng)用，涉及了二元一次方程組的

求解，熟記相關(guān)定義即可求解.

【詳解】解：回2。+》+5的平方根是3.

回2。+6+5=9,

的立方根是2,

團3a+b—1=8,

J2a+。+5=9

|3<z+Z?-l=8'

a=5

解得:

b=-6

1112a—6=16,

132a的平方根是±4.

|4x+2y=10\ax+by--4

9.已知關(guān)于x、y的方程組。/。和八。有相同的解，求4萬+必2的值.

\3x-2y=-3[ax-by=6

【答案】0

【分析】此題考查了二元一次方程組的求解，代入求值，解題的關(guān)鍵是掌握加減消元法求

解二元一次方程，正確求得a、b的值.

【詳解】解：解方程組,，得:X=1

\3x-2y=-3

X=1ax+by=—4

把代入得:

y=3cue—by=8

〃+3b=-4a=2

解得:

a-3b=8b=-2

當a=2,b=—2時，erb+ab1=ab{a+&)=2x(-2)x(2-2)=0.

2x+5y=300

10.閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時，采用了一種“整體代換"的

4元+lly=5②

解法：

解:將方程②變形，得4x+10y+y=5,

即2(2x+5y)+y=5.③

把①代入③，得2x3+y=5,解得y=-l.

把>=T代入①，得2x+5x(-l)=3,

解得x=4.

「x=4

所以方程組的解為：，

[y=-i

f3x-2y=5

請你模仿小軍的"整體代換"法解方程組，J1O

[6x-5y=18

11

【答案】]3

y=-8

【分析】本題考查了解二元一次方程組，將方程②變形為2（3x-2y）-y=18③，再將

3x-2y=5整體代入即可求方程組.熟練掌握加減消元法和代入消元法解二元一次方程

組，體會整體思想解方程組的便捷是解題的關(guān)鍵.

f3%-2y=5①

【詳解】解：=②中,

將②變形，得：6x-4y-y=18即2(3x—2y)—y=18③,

將①代入③得，2x5-y=18,

國y=-8,

將＞=一8代入①得，x=-

11

x=----

團方程組的解為3.

y=-8

3（1機+5；）+-22；（n〃+3；）=7-l時，一米用了一種

11.閱讀材料：善于思考的樂樂同學在解方程組

”整體換元〃的解法，把根+5,〃+3分別看成一個整體，設(shè)機+5=x,n+3=y,則原方程

3x-2y=-1,解人,得[x仁=lm+5=1m=-4

組可化為即,解得

3x+2y=7n+3=2n=-l

請你模仿樂樂同學的"整體換元"的方法，解下列方程組:

J3（尤+y）一2（6x-y）=l

[057）=7

x+yx-y

-----1-----=/

23

（2）＜

x+yx-y

----------------=—1

.34

x=l

【答案】⑴

y=2

x=9

⑵

y=-3

【分析】本題考查了整體代換法解二元一次方程組的解法.

⑴設(shè)x+k叱6f=〃，利用加減消元法求得]I』m=3，即\x再+y=利3用加減

消元法即可求解;

m=lx+y=6

(2)設(shè)x+y=6帆，x-y=12n,利用加減消元法求得「即-再利用加減

n=lx—y=12

消元法即可求解.

3（%+y）_2（6%_y）=l

【詳解】(1)解:

（%+y）+（6x-y）=7

3m-In=1①

設(shè)x+y=機,6x-y=n則原方程組可化為

m+n=7②

①+②x2得5m=15,解得〃?=3,

將m=3代入②，得3+w=7,解得"=4,

元+y=3

解得

6x—y=4

解得

0+3=7

23

(2)解：<

蟲-q=-1

34

3m+4n=7①

設(shè)x+y=6根，x-y=\2n,則原方程組可化為

2m-3n=-1(2)

①x3+②x4得17m=17,解得機=1,

將機=1代入②，得2—3〃=—1,解得〃=1,

\bx+y=12\x=5

12.甲和乙兩人同解方程組,’,甲因抄錯了。，解得)，乙因抄錯了瓦解

1%+@=5[y=2

(x=3

得,求5〃-2b的值.

[y=2

【答案】1

【分析】本題考查了二元一次方程組的解，將甲、乙求得的解分別代入正確的方程，求出

。，人的值即可求解，用代入法解方程是解本題關(guān)鍵.

(?X=5

【詳解】解：由題意C，是"+y=12的解，

[y=2

.156+2=12,解得6=2,

fx=3

又,??<。是％+沖=5的解，

「.3+2〃=5,解得a=l,

...5a—2Z?=5xl—2x2=1.

「和ax—by=4

13.方程組：c同解，求。、b的值.

ax+by=2

a=3

【答案】，1

b=——

I5

【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，熟練掌握解一元二次方程是解題的關(guān)鍵.先

求出方程組It；的解，將值代入得到關(guān)于〃、%的二元一次方程組，計算即可■

2尤一〉=-3

【詳解】解：解方程組

3x+y=8

X=1

得

y=5

ax-by=4。一5Z7=4

代入方程組

ax+by=2a+5b=2

a=3

解得＜1.

b=——

15

ax+by=3x—5y=39

14.方程組與有相同的解，求〃、匕的值.

4x+3y=23ax-by=17

【答案】〃=1,b=3

【分析】本題考查的是同解方程組的含義，二元一次方程組的解法；本題根據(jù)同解方程組

先組合可得。二一,先求解x,y的值，由/小可得，°，再代入可得

[3x-5y=39[ax-by=\i[by=-9

答案.

【詳解】解：依題意，得

4x+3y=23

3x—5y=39‘

x=8

解得,

y=-3'

ax+by=-1ax=S8〃二8

則由i=17,得到處=-9,即

-3b=-9"

a=l

解得:

b=—3’

團a=1,b=3.

15.綜合與實踐

問題情境：小明同學在學習二元一次方程組時遇到了這樣一個問題:

4x+3y16x-y

38

解方程組：

4x+3y?6x-y,]]

62

觀察發(fā)現(xiàn):

（1）如果用代入消元法或加減消元法求解，運算量比較大，容易出錯.如果把方程組中的

（4x+3y）看成一個整體，把（6x-y）看成一個整體，通過換元，可以解決問題.

m=lS

設(shè)4x+3y=相，6x-y=n,則原方程組可化為,解關(guān)于加，”的方程組，得

n=16

4x+3y=18

所以61-；16,解方程組,得-.

探索猜想:

3（2x+y）_2（%_2y）=26

（2）運用上述方法解下列方程組:

2（2x+y）+3（x-2y）=13*

mn

—+—=8

38x=3x=3

【答案】（1）尸2；⑵

mny=2

=11

162

【分析】（1）根據(jù)換元法和加減消元法可得答案;

（2）利用換元法將原方程組變形，解關(guān)于如w的方程組，然后得到關(guān)于x,y的新的二元

一次方程組，再解方程組可得答案;

【詳解】解：（1）設(shè)4x+3y=相，6x-y=n,

—m+—n=門8

38

則原方程組可化為

mn一

-+-=11

162

m=18

解關(guān)于如w的方程組，得

n=16'

4x+3y=18

所以

6x—y=16

fx=3

解方程組，得c

[y=2

mn門

—+—=8

38x=3

故答案為：

mn-y=2

—+—=11

162

(2)設(shè)2x+y=m，x—2y=n,

3m-2n=26

則原方程組可化為

2m+3w=13

解關(guān)于相，〃的方程組，得

2x+y=8

所以

x—2y=—1

fx=3

解方程組，得c

[y=2

【點睛】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法以及換元法的應(yīng)用是解題的

關(guān)