2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：平面向量中的最值與范圍問題【十大題型】解析版

平面向量中的最值與范圍問題【十大題型】

?題型歸納

【題型1定義法求最值（范圍）問題】..........................................................4

【題型2基底法求最值（范圍）問題】..........................................................6

【題型3坐標(biāo)法求最值（范圍）問題】.........................................................10

【題型4與平面向量基本定理有關(guān)的最值（范圍）問題】.........................................14

【題型5與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）問題】...................................................16

【題型6與模有關(guān)的最值（范圍）問題】......................................................21

【題型7平面向量中參數(shù)的最值（范圍）問題】.................................................23

【題型8極化恒等式】........................................................................26

【題型9矩形大法】..........................................................................30

【題型10等和（高）線定理】....................................................................33

?命題規(guī)律

1、平面向量中的最值與范圍問題

平面向量中的范圍、最值問題是高考的熱點問題，也是難點問題，此類問題綜合性強，體現(xiàn)了知識的

交匯組合；其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系

數(shù)的范圍等.

?方法技巧總結(jié)

【知識點1平面向量中的最值與范圍問題的解題策略】

1.平面向量中的最值（范圍）問題的兩類求解思路：

（1）“形化"，即利用平面向量的相關(guān)知識將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后結(jié)合平面圖

形的特征直接進行判斷；

（2）“數(shù)化"，即利用平面向量的坐標(biāo)運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方

程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決.

2.平面向量中的最值(范圍)問題的常用解題方法：

(1)定義法

①利用向量的概念及其運算將所求問題進行轉(zhuǎn)化，得到相應(yīng)的等式關(guān)系；

②運用基木不等式、二次函數(shù)求其最值(范圍)問題，即可得出結(jié)論.

(2)坐標(biāo)法

①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，把幾何圖形放在坐標(biāo)系中，就賦予了有關(guān)點與向量具體的坐標(biāo)；

②將平面向量的運算坐標(biāo)化，進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算；

③運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如：二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值(范圍).

(3)基底法

①適當(dāng)選取一組基底，利用基底轉(zhuǎn)化向量；

②寫出向量之間的聯(lián)系，根據(jù)向量運算律化簡目標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的關(guān)系式來進行求解；

③運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如：二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值(范圍)，

即可得出結(jié)論.

【知識點2極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過程與幾何意義

(1)平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：

|￡+斤+|3—斤=2（|不+,『）,

證明：不妨設(shè)4B=a,AD=石,貝!J/C=a+B,DB=a-b>

22

阿=宓=R+S）=同2+2a-b+|S|①,

阿=加=(￡一可=同一2鼠叼邛②,

①②兩式相加得:

\AC

(2)極化恒等式：

上面兩式相減，得：a-b=--------極化恒等式

平行四邊形模式：?-ft=|[|^C|2-|￡)S|2].

2.幾何解釋：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平

方差的

4

(1)平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線長”與“差對角

(2)三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差，即就?於=

--------2--------2

AM—為的中點)(如圖).

極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關(guān)系.

【知識點3矩形大法】

1.矩形大法

矩形所在平面內(nèi)任一點到其對角線端點距離的平方和相等.

即：已知點。是矩形與所在平面內(nèi)任一點，可以得到：O^2+OC2=(9S2+OD2.

【知識點4等和(高)線定理】

1.等和(高)線定理

(1)由三點共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點共線結(jié)論可知，若5?=2方+〃無%〃CR),

則%+〃=1,由△0/8與△(??夕相似,必存在一個常數(shù)依KR,使得蘇=kOP，則蘇=kOP=kXOA+k^tOB,

又OP=x。！+yOB(x,y€R),；.x+y=H+M=左；反之也成立.

(2)平面內(nèi)一個基底｛扇，無｝及任一向量蘇，OP'=XOA+f^OB^iER),若點P在直線N8上或在平

行于N2的直線上，貝〃+〃=?定值)；反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和(高)

線.

①當(dāng)?shù)群途€恰為直線N3時，k1；

②當(dāng)?shù)群途€在。點和直線42之間時，住（0,1）；

③當(dāng)直線48在。點和等和線之間時，?。?,+8）；

④當(dāng)?shù)群途€過。點時，k=0；

⑤若兩等和線關(guān)于。點對稱，則定值自，上2互為相反數(shù);

⑥定值k的變化與等和線到O點的距離成正比.

?舉一反三

【題型1定義法求最值（范圍）問題】

【例1】（24-25高三上?廣東?開學(xué)考試）已知單位向量耳索的夾角為爭則同一t（無一砌|（teR）的最小值

為（）

A.|B.亨C.1D.|

【解題思路】直接利用數(shù)量積與模的關(guān)系結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可.

【解答過程】易知萬?詼=COS3=

所以|瓦—t(無一歸)|2=|(l-t)e］：+tej|2=(l-t)2+2(l-t)t-|+t2

3

-t+1-t2+-

--_4

即當(dāng)t=4時,IW-t（e?-^）lmin=y.

故選：B.

【變式1-1］（23-24高一下?安徽蕪湖?期中）如圖，已知點G是△/!回的重心，過點G作直線分別與4B,AC

兩邊交于M,N兩點，設(shè)病=x荏，AN=yAC,則x+4y的最小值為（）

A.9B.4C.3D.|

【解題思路】借助平面向量線性運算與三點共線定理及基本不等式計算即可得.

【解答過程】由點G是△48C的重心，AM^xAB,AN^yAC,

故而=+而）=l（^AM+-AN）=j-AM+j^AN,

11

由G、M、N三點共線，故五+豆=1,

則比+4、=0+4/?+［）="打￡+5冶+2再焉=3,

當(dāng)且僅當(dāng)愛=/即x=l,y=：時，等號成立.

故選：C.

【變式1-2］（23-24高一下?陜西西安?階段練習(xí)）點。是△ABC所在平面內(nèi)一點，若刀+南+沆=0,AM

=xAB,AN=yAC,~MO=WN,則久y的最小值為（）

124

A.-B.1C.~D.-

【解題思路】易知。為△ABC的重心，由題意，根據(jù)重心的性質(zhì)可得:+；=箸=3,結(jié)合基本不等式計

算即可求解.

【解答過程】由題意知，OA+OB+OC^O,則。為△ABC的重心，

由箱=xABAN=yAC^MO=4而知，

4M,8三點共線，4MC三點共線，M,O,N三點共線，

---->2---->----?---->----?---->---->----?

如圖，。為3c的中點，且40=E4D,M0=AL4+40,0N=04+4N,

由麗=4而，得加+而=2（福+而），又府=久彳瓦麗=y/,

所以|（1+A）AD=AyAC+xAB,

-*入y*x>3AV>3x>

ACABACAS

即4°=I（I+A）+I（I+A）=2（I+A）+2（I+A）,

因為。為8c的中點，所以而=夕+冠，

3Ay_1_l+a

所以蠻工，解得:迅所以鴻=皆=3,

、2（1+2）-2。一

由久>0,y>0,得3=：+>2區(qū),即孫之：，

xy-yjxyy

當(dāng)且僅當(dāng)X=y=|時等號成立，所以孫的最小值為*

故選：D.

【變式1-3](23-24高一下?上海?期末)已知向量五區(qū)K滿足同=|引=1,a-b=—^,c=xa+yb

(x、y￡R,y>0),則下列四個命題中，正確命題的個數(shù)是().

①若x=l,則?的最小值為孚；

②若尤=1,則存在唯一的y,使得a?工=0；

③若向=1,貝b+y的最小值為一1；

④若向=1,則aU+。茄勺最小值為一a

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】對于①，對5+y1兩邊平方轉(zhuǎn)化為求產(chǎn)-y+1的最值可判斷①；對2=刃兩邊同乘

以工可判斷②；對工=xa+證兩邊平方然后利用基本不等式可判斷③；由③知x+y>-1可判斷④.

【解答過程】：向=|引=1/ic=xa+yb(x,yeR,y>0),

對于①，若％=1,則涔=%2港+2盯方.3+y2^=1+2yx(—1)+y2

=y2-y+l^(y_|)2+^>^當(dāng)且僅當(dāng)y=T時，取得等號，

???那的最小值為*同的最小值為亨.??①正確；

對于②，若％=1,由]?工=0得久五2+y五.B=%—#=0,/.l--y=0t

.?.y=2,?,?存在唯一的y=2,使得五?工=0,.??②正確；

對于③,若|工|=L則1=*=(xa+ybf=x2+y2—xy

=(x+y)2-3xy>(%+y)2-3'(等)=

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時取得等號，，任產(chǎn)Wl,.-.x+y<2,

又y之0,j.x+yN%之一1,當(dāng)且僅當(dāng)y=0,第=—1時取得等號，??.③正確；

對于④，若同=1,則五4+"不=%—3+(—))%+y=矍，

由③知汽+y>—1,???矍之一今④正確.

故選：D.

【題型2基底法求最值（范圍）問題】

【例2】（23-24高一下?重慶巴南?階段練習(xí)）在矩形48CD中，已知瓦尸分別是上的點，且滿足靛=前

，次=2麗.若點P在線段BD上運動，且2P=4a￡+/MF&〃eR）,則1+〃的取值范圍為（）

A.17B.34C.23D.工1

5,5-.5,5-.3,4.515.

【解題思路】建立基底，DC=a^DA=b,則族=五—頡而=》—b,然后將設(shè)4P=tAB+(1-t)AD

,0<t<1,最終表示為而=—1+熟通+R—第而，然后得到兀+“=；,進而求出范圍.

【解答過程】矩形/BCD中，已知瓦F分別是BC,CD上的點，且滿足族=品方=2萬,

設(shè)DC=a,DA=b,則荏=屈+而=H—貨，AF^AD+DF=^a-b,

6族3

--

AE=a--ba=55

荏4F

聯(lián)立?而=匕,廠可解得26

--

b=55XF

、3

因為點P在線段8。上運動，則可設(shè)而=tXB+(1-t)AD,0<t<1,

Ip=tAB+-t)~AD=ta--t)b

(1-0(g/E—

_|+”+弓書而,

心2,8t

又萬=2荏+〃而以“ER）,所以

^=56-T9t

、28t69t41

a+〃=—m+w+m?，

因為owt工1,所以a+〃=怖一c

故選：B.

【變式2-1］（23-24高一下?浙江?期中）如圖，在四邊形ABC。中，ABWCD,AB=2CD,尸為線段CD上一個

動點（含端點），AC=mDB-\-nAP,則TH+九的取值范圍是（）

DPC

A.（0,1]B.[2,3]C.[1,2]D.[2,4）

_>_>_>_?_>（An_1

【解題思路】設(shè)而=ADC,以瓦，同為基底表示死后可得小三一？，求出nvi后結(jié)合0<2<1可求m+n

[n—m=1

的范圍.

【解答過程】設(shè)麗=ADC,則0<2<1,

故前=m（AB-AD）+n（而+ADC）=（m+第同+（n-m）而,

又前=而+沆=而+次瓦因而，刀不共線，

,An1，3

44n=——

771+--=-r2+A所以zn+n=2一1,

所以2?，故彳3y

n-m=lm=---1

.2+A

因為0SS1,故+九<2,

故選：C.

【變式2-2]（23-24高一下?河南?階段練習(xí)）已知口/8"）中，點尸在對角線NC上（不包括端點/,C）,

點。在對角線8。上（不包括端點3,D）,若方=%屈+〃1阮，AQ=A2XB+ii2BC,記2盾一%的最小

12

值為〃7,詬+R的最小值為"，貝I（）

1919

m-n-Bm-n-

-8-2--2-

A.cmm

1919

---n-----n--

o^4D.44

【解題思路】由四邊形48CD為平行四邊形，得AP=^AB+n±BC=41aB+及%=%且%e（0,1）,

再通過二次函數(shù)求最小值m；由而=而荏+〃2而及點。在對角線3。上，得而+〃2=1，再通過基本不

等式求最小值n.

【解答過程】因為四邊形/8C。為平行四邊形，所以而=同+%近=%荏+出前，

又點尸在對角線NC上（不包括端點/,C）,所以汨=“1且%e（0,l）,

則2淤-1=2盾_%=2（%_丁一、當(dāng)為=：時，m=-j.

同理而=而同+〃2而，因為點0在對角線8。上（不包括端點8,D）,

所以入2+42=1且入2>。，〃2>0，

則去+V=（泰+怖）（，2+〃2）=》聶+普馬=:

當(dāng)且僅當(dāng)；12=々，〃2=|時取得等號，所以九=:

故選：A.

【變式2-3］（23-24高三下?云南?階段練習(xí)）已知。為△4BC的內(nèi)心，角/為銳角，sin4=浮，若刀=〃

O

AB+AAC,貝!J〃+4的最大值為（）

A.—ZB.74C.~5D.6

【解題思路】方法一：先得到點。是△力BC內(nèi)心的充要條件是：a市+6南+c方=6,其中8C=a,

ACb,AB=c,從而得到〃+%=~^-今擊=1+E，求出cos4=（,利用余弦定理得到乒+c2c=

CL-rO-rC/XT/LUTLO4-

a2,求出E=［「三’由基本不等式求出最大值，得到答案；

方法二：作出輔助線，得到而=xyAB+x（l-y）XC,得到方程組，得到；I+〃=x,作出內(nèi)切圓，根據(jù)sin4=

平，求出si6=；,設(shè)出內(nèi)切圓半徑，故4。=針，由圖知。DNOE=r,從而求出x=黑=4,；贏三,

【解答過程】方法一：點。是a/lBC內(nèi)心的充要條件是：a而+6而+c方=6,其中BC=a,AC=b,

AB=c,

理由如下：若a。！+6而+c方=6,貝Ua萬？+6（。！+同）+c（61+而）=6,

整理得（a+b+c）01+bAB+cAC=0,

所以a=—薪（需j+焉），即點。在ABAC的角平分線上，

同理可證，點。在乙48C,NBC4的角平分線上，即點。為△48C的內(nèi)心.

故彩=—^—AB+—j—AC,

“a+b+ca+b+c

,,-b+c14,a

故f〃+2=^7；今國=1+嬴.

因為角/為銳角，sin4=平，

O

所以cos/=5.由定理得到cosZ==(=爐+C2—9c=a2,

OZDCO4

b2+c2-：bc

b2+c2+2bc

又因為￡+522（當(dāng)且僅當(dāng)6=c時取等號），

15

1511a5

所以1—之1一二=病所以氤=1+育21+

^+1+22+216D+c4

cb

4

故〃+%w土

方法二：如圖,延長力0,交BC于點、D,

設(shè)而=y而，即而一^=y（瓦一左），故而=丫荏+（1—、）衣,

設(shè)4。=xAD=x{yAB+(1—y)^C)=xyAB+%(1—y^AC,

則m3獷

????1+〃=%,

作的內(nèi)切圓與邊切于點E,與ZB切于點R

設(shè)圓O半徑為r,

???sinA=A為銳角,

.AAA

2nsin—cos—2tan-

sinA=2sin^cosy=""2"2.一2

sin2d+c0S2_-tan^+l

故譚勺“=器I，解得tan2=*或后（舍去）,

故+后s.m,/=—V15cos-/,

又sin2?+cos2y=1,解得sin?=負(fù)值舍去,

ZZZ4

OF1

即40=4r,由圖知0DN0E=r,

_|祠_4r4

'=調(diào)=4r+\0D\-5'

故選：c.

【題型3坐標(biāo)法求最值(范圍)問題】

【例3】(2024?河北滄州一模)如圖，在等腰直角△力BC中，斜邊48=4魚，點D在以3C為直徑的圓上

運動，則|通+而|的最大值為()

A.4V6B.8C.6V3D.12

【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，表示出相關(guān)點的坐標(biāo)，用坐標(biāo)法求向量的模的取值范圍.

【解答過程】如圖：以C為原點，建立平面直角坐標(biāo)系.

則力(0,4),5(4,0),可設(shè)D(2+2cos0,2sin。),

則28=(4,—4),AD=(2+2cos0,2sin0—4)

所以AB+4D=(6+2cos0,2sin0-8)

--2

所以4B+ZZ)=(6+2cos0)2+(2sin0—8)2=104+8(3cos0—4sin0).

又因為3cosB-4sin0<5,所以|荏+ADf<144=\AB+AD\<12.

故選：D.

【變式3-1](2024?四川成都?三模)在矩形ABC。中，4B=5,4。=4,點E滿足2族=3而，在平面ABC。

中，動點P滿足無?麗=0,則麗?尼的最大值為()

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2V13-6

【解題思路】建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答過程】以。為坐標(biāo)原點(。是8E中點)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

因為在矩形ABC。中，AB=5,AD=4,2族=3麗，麗?麗=0,

所以動點P在以。為圓心，1為半徑的圓上運動，故設(shè)P(cose,sin8),

則4(0,4),D(4,4),C(4,-l),

DP-AC=(cos0—4,sin0—4)-(4,-5)=4(cos0—4)—5(sin0—4)=V41cos(0+<p)+4,

其中銳角9滿足tan?=p故而?尼的最大值為伍+4,

【變式3-2](2024?湖南永州三模)在△ABC中,N4CB=120°,園=3,|BC|=4,DC-DB=0,則|屈+而|

的最小值為()

A.6V3-2B.2V19-4C.3V3-1D.V19-2

【解題思路】以C為坐標(biāo)原點，CB所在直線為x軸，過C垂直BC的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)

系，求得點。的軌跡方程，取BD的中點為M,求得M的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合可求|而+而|mim

【解答過程】由題意，以C為坐標(biāo)原點，CB所在直線為x軸，過C垂直CB的直線為y軸建立如圖所示的平面

貝心(一|,孚)，5(4,0),由皮?麗=0,可得。是以BC為直徑的圓,

所以。的軌跡方程為(x—2)2+y2=生

取BD的中點為M,設(shè)M(x,y),D(&,yo),

可得而，所以｛劭1：〉)、所以(2x—6)2+(2y)2=4,

所以點M的軌跡方程為(％—3)2+y2=1,圓心為“(3,0),半徑為1,

由9+而=2萬認(rèn)所以I9+而I=2|而I，所以|四+3b|min=2|前Imin，

所以14Mlmin=|力"I—1=J(-|—3)+(^^-0)-1=3V3—1,

所以Im+而|min=6V3-2.

故選：A.

【變式3?3】（2024?貴州貴陽?一模）如圖，在邊長為2的正方形4BC0中.以C為圓心，1為半徑的圓分別

交CD,BC于點、E,F.當(dāng)點P在劣弧EF上運動時，麗的取值范圍為（）

A.[1-2V2,-1]B.[1-2V2,-1]

C.[-1,1-72]D.[1-2V2,1-V2]

【解題思路】根據(jù)給定條件，建立坐標(biāo)系，設(shè)出點P的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示建立函數(shù)關(guān)系，求出函

數(shù)的值域即可.

【解答過程】依題意，以點C為原點，直線D&8C分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖,

設(shè)點P(cos8,sin8)(-Ti<0<-^),而。(一2,0),8(0,—2),

則BP=(cos0,sin0+2),DP=(cos?+2,sin0),

因此BP?DP=cos20+2cos6+sin2^+2sin0=1+2V2sin(^+：),

由一5,得一與—不則一1<sin(6+4)<—冬

因此1—2V2<1+2V2^sin（0+^）<—1,

所以麗?市的取值范圍為［1-2V2,-1］.

故選：B.

【題型4與平面向量基本定理有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例4】（2024?四川遂寧?模擬預(yù)測）在△ABC中，點下為線段8C上任一點（不含端點），^AF=xAB+2y

AC（x>0,y>0）,則:+：的最小值為（）

A.3B.4C.8D.9

【解題思路】先根據(jù)共線向量基本定理得到x+2y=1,利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【解答過程】因為點尸為線段2C上任一點（不含端點），

所以設(shè)麗=2瓦，故而一卷=%尼―蘇瓦

即方=AAC+（1-A）AB,

又2F=xAB+2yAC（x>0,y>0）,

故％+2y=1—4+4=1,

照+；=（H孤+2m=1+4+§+年25+2營|=9，

當(dāng)且僅當(dāng)§=仔，即x=y=拊，等號成立，

故!+：的最小值為9.

故選：D.

【變式4-1］（23-24高一下?廣西南寧?階段練習(xí)）在△力BC中，點。滿足麗=2瓦，過點。的直線分別交

射線力B,4C于不同的兩點M,N.設(shè)前=顓，麗=次，則爪2+n的最小值是（）

323

A.3B,1C,-D.-

【解題思路】利用共線定理的推論可得疑+|n=1,然后利用換元法結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求出最值即可.

【解答過程】由題可知，m>0,n>0,

因為宿=三看，俞=次，所以同=6前，AC=nAN,

因為而=2沆，所以而一同=2（前一前），

所以而=+|XC=^mAM+InAN,

因為M,O,N三點共線，所以界+|幾=1,則?1=與^>0,則0<znV3,

所以？ri?+幾=7n2+與您=（m—當(dāng)m=；時等號成立,

2\4/16164

所以小+71的最小值為

16

故選：D.

【變式4-2]（23-24高一下?安徽六安?期末）在△ABC中，已知荏?菰=9,sinB=cosXsinC,SAABC=6,P

黃+瑞？則打和勺最小值為（

為線段ZB上的一點，且CP=")

A工+在B5+前n5+2缶

A.12+3c^+T■-6-

【解題思路】根據(jù)題設(shè)條件依次可求得邊瓦C,a和角4的三角函數(shù)值，從而將向量等式化簡，利用平面向量基

本定理得到?+3=1,最后利用常值代換法即可求得.

【解答過程】由-AC=bccosA=9①，由sinB=cos/sinC和正弦定理可得b=ccos4②,

把②代入①可得，b=3,

又由S44BC=^bcsinA=6可得be=總代入①可得，tanA=￡

則角a是銳角，cos4=|,代入①可得，c=5,

O

222

又由余弦定理，a=b+c-2bccosA=9+25—2x5x3x-=16得Q=4,

于是，CP=x-j|^|+yj|||=+^CB,因P為線段上的一點，則[+*=1,

因（+；=&56+今=」+3+/宜|+2房=[+當(dāng)=￥，

當(dāng)且僅當(dāng)左=工時等號成立，即久=3V6-6,y=12—4歷時，"又得最小值字.

故選：D.

【變式4-3]（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖所示，在△ABC中，M為線段BC的中點，G為線段4M上一點，

AG=2GM,過點G的直線分別交直線AB,4c于P,Q兩點.設(shè)方=%而。>0）,XC=yXQ（y>0）,則

士+搟7的最小值為（）

A

3BC36

A.4-D.

【解題思路】由中點和三等分點得到正=式同+前)，結(jié)合同=x^(x>0),AC=yAQCy>0)>得到

而二卯+領(lǐng)，

由三點共線得到x+y=3,利用均值不等式中“1的代換”求得貴4+正I的最小值.

【解答過程】因為M為線段BC的中點，所以贏=|(AB+AC),又因為庶=2GM,所以前=押=|(4B+

AC),

又屈=xQ(x>0),AC=yAQ^y>0),則正=并+領(lǐng)，

XV

而P,G,Q三點共線，所以§+§=1,即x+y=3,

當(dāng)且僅當(dāng)/二*2,即x=2,y=l時取等號.

故選：B.

【題型5與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問題】

1

【例5】(2024?陜西渭南?二模)已知菱形4BCD的邊長為1,COSNBAD="為菱形的中心，E是線段力B上的

動點，則麗?麗的最小值為()

1211

A.T3B.T5C.ZTD.o7

—>—>

【解題思路】設(shè)4E="8,0W4W1,將DE,。。分別用4B/D表示，再結(jié)合數(shù)量積的運算律即可得解.

【解答過程】由題意點。為8。的中點，

——>

設(shè)4E=>L4B,0<2<1,

則反=族一前=4同一和~DO=^DB=|AB-|AD,

故反.麗=(AAB-AD)?(凈-；利

1—>21—>2/I1\—?—>

=2AAB+2AD~\2A+2)AB'AD

=21A+21-31\/12A+21\)

【變式5-1](2024?重慶?模擬預(yù)測)如圖，圓。內(nèi)接邊長為1的正方形2BCD,P是弧BC(包括端點)上一

【解題思路】法一：以/為坐標(biāo)原點，4B,4D所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量

的坐標(biāo)運算即可求解；法二：連接設(shè)"48=0,0<0<p則NP"=?一/而?屈=|XP||AB|cos

9=\AB\■\AC\cosz.PAC,即可求解.

【解答過程】方法一：如圖1,以/為坐標(biāo)原點，4B,2D所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

則4(0,0),8(1,0)).

設(shè)P(x,y),則而=(x,y).因為荏=(1,0),所以而-AB^x.

由題意知，圓。的半徑「=乎.因為點P在弧BC(包括端點)上，

所以lSxwT+乎，所以而?四的取值范圍是[1，晉目?

方法二：如圖2,連接2&CP.易知=M

4-

設(shè)NP4B=80WeWT，貝IUP4C=?—仇

由已知可得=1,\AC\=a4Ape=p所以|4P|=\AC\CQSZ-PAC=&cosg_9）,

所以ZP?AB=\AP\\AB\cos6=V^cosg—O）cos。=四俘cos8+孝sin6）cos。

=（cos8+sin6）cos。=cos20+sinOcosJ=匕等絲+=J+退sin（20+-）.

因為OW"*所以打28+牌季所以日wsin（28+：）Wl,

所以1<|+爭in（29+力l即Q.荏的取值范圍是，，陰.

故選：C.

【變式5-2］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形4BCD中，△4BD為等邊三角形,

CB=CD=2BD=2,當(dāng)點E在對角線4C上運動時，前?麗的最小值為（）

【解題思路】由平面幾何知識可得2C平分NB4D,且平分NBCD,設(shè)4c與BD交于點0,可求得通|cosNBC4=

券，可得就?麗=（瓦］—享丫―言，可求最小值.

【解答過程】因為CB=CD,所以△BCD為等腰三角形，又△ABD為等邊三角形，

所以力C平分NB4D,且平分NBCD,

設(shè)4c與BD交于點。，由題可知BD=1,CB=CD=2,

所以|而|COSNBC4=孚,

所以正-^B=IC-（JEC+CB）=EC2+JC-CB=

\EC\2+\EC\■\CB\cos（EC^CB）=\EC\2-\EC\'\CB\cosZ.BCA=\EC\2~^-\EC\

=（國-穹之一噌所以當(dāng)回=苧時，記.而取最小值，最小值為一卷.

故選：D.

【變式5-3]（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，已知正六邊形48CDEF的邊長為2,對稱中心為0,以。為圓心

作半徑為1的圓，點M為圓。上任意一點，則而?加的取值范圍為（）

A.[-6,4]B.[0,8]C.[-8,0]D.[-6V3,0]

【解題思路】解法一連接。M,0C,設(shè)詬，麗=①根據(jù)向量的線性運算用血，而表示出由，然后結(jié)合

三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

解法二以。為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)M（cos8,sin8）,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到而?雨，再結(jié)

合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

解法三借助向量投影的知識將通?而轉(zhuǎn)化，找到取得最值時點M的位置，即可求得結(jié)果.

【解答過程】解法一：如圖所示:

B

連接。M,設(shè)而，麗=仇連接。C,依題意得4。=2,AB=4,0C=2,AD-0C=19

則40-CM=AD?(~0M—0C)=AD?OM—AD,OC=4x1xcos0—4x2xcosp

=4cos8—4.

因為ee[o,Ti),所以一IWcosewi,(三角函數(shù)的有界性)

所以一8w而?屈wo.

故選：C.

解法二如圖，

B

以。為坐標(biāo)原點，以直線4。為x軸，過。且和力C垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

則依題意可得4(-2,0),0(2,0),C(l,-V3),

因為圓。的半徑為1,所以可設(shè)M(cosasin。)，

所以4D=(4,0),CM=(cos0—l,sin0+V3),所以ZD,CM=4cos。一4,

又一IWCOSOWI,(三角函數(shù)的有界性)

所以—8W而?雨W0.

故選：C.

解法三如圖所示:

設(shè)前，加=9,則同?不/=|AD||CM|COS6=4|CM|COS0.

I擊|cos?？煽闯墒嵌诙系耐队?，

當(dāng)點M與G重合時|回司cos。最小，最小值為一2,

當(dāng)點M與N重合時|前kos。最大，最大值為0,

故一8《詬?屈W0.

故選：C.

【題型6與模有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例6】（2024?安徽六安?模擬預(yù)測）已知平面向量無b,才滿足同=1,|同=舊，H.b=-1,

每一福一力=30。，則舊的最大值等于（）

A.2V7B.V7C.2V3D.3值

【解題思路】由N408=150。,乙4cB=30°,即點4O,B,C四點共圓，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.

【解答過程】設(shè)"？=afiB=bfiC=c,

i|a|=1,|fo|=V3,a-h=—I，則cos乙4。8=—孚

所以乙4。8=150。，又怎-福一方=30°,所以乙4cB=30°,

即點40,8,C四點共圓，要使?最大，即|沆|為圓的直徑，

在△40B中，由余弦定理可得=OA2+0B2-20AxOBxcos乙4。8=7,

即4B=V7,又由正弦定理可得2R=TE=2V7，

smz-AuD

即?的最大值為2V7,

故選：A.

【變式6-1］（2024?湖南長沙?三模）在平行四邊形力BCD中，AC=2BD=4,點P為該平行四邊形所在平面

內(nèi)的任意一點，則|互5，+|而『+|玩『+|而『的最小值為（）

A.6B.8C.10D.12

【解題思路】設(shè)"與BD的交點為0,由西=而+而，兩邊平方可表示出I可|2,同理可表示I方|2,|玩而

『，四個式子相加化簡可求得結(jié)果.

【解答過程】設(shè)4C與BD的交點為。，由同=PO+OA,

得I而|2=|PO|2+麗2+2PO.OA)

同理可得I而|2=|P0|2+|0B|2+2P0-OB,

\PC\2=\P0\2+|0C|2+2P0-OC,

\PD\2=\P0\2+\0D\2+2P0~~0D,

所以西2+|函2+西|2+|而|2=

4\PO\2+\0A\2+\0B\2+\0C\2+\0D\2+2P0-(0A+~0B+0C+^0D)

=4|PO|2+10>10,當(dāng)點P與點。重合時，等號成立.

故選：C.

【變式6-2]（23-24高一下?天津?期末）如圖，在△ABC中，已知4B=2,4C=3,右4=120。，E,尸分

別是48,4C邊上的點，且族=xAB,AF=yAC,且2x+y=1,若線段EF,的中點分別為M,N,貝”兩

|的最小值為（）

V7「V21D?察

A.,~14~

【解題思路】根據(jù)幾何圖形中線段對應(yīng)向量的線性關(guān)系，可得病=知就+而初，AN=l（AB+AC）,再

------?----->------>______?2____

根據(jù)“％=47—4用并結(jié)合乂丫6[0,1]且2%+、=1,可得MN關(guān)于x的函數(shù)式，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求

|麗|的最小值.

【解答過程】解：在△4BC中，|同|=2,|m|=3,M=120。,則荏?就=|同||而|cos4=-3,分別是邊

AB/C的點，線段的中點分別為M,N

---?1----->----->1-----?----->----->1----->----->

??.4M=-（AF+AE）=-（yAC+xAB},AN=-（AB+AC）,

??.麗=AN-AM=1[(1-x)AB+(1-y)AC],

???兩邊平方得:

M/V2=i[(l-x)292+2(1-x)(l-y)AB-XC+(1-y)2^]

=^[4(1-%)2-6(1-x)(l-y)+9(1-y)2]=(1-%)2-1(1-%)(1-y)+-y)2.

v2x+y=1,

.?.W2=13x2-5x+1=13(x一親)2+||,

又e[0,1],

二當(dāng)“得時，而2最小值為即|而|的最小值為嚼.

故選：B.

【變式6-3](23-24高一下?廣東廣州?期末)已知平面向量五，b,e,且同=1,同=2.已知向量石與3所成

的角為60。，且加一詞2仍一用對任意實數(shù)唯成立，則|五+司+版一目的最小值為()

A.V3+1B.2V3C.V3+V5D.2V5

【解題思路】楊一同2另一同對任意實數(shù)t恒成立，兩邊平方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的恒成立問題，用判別式來

解,算出歷|=2,借助同=2,得到同+可=詫+2W，忻+可+,一砸勺最小值轉(zhuǎn)化為匿+2目+版一同

的最小值，最后用絕對值的三角不等式來解即可

【解答過程】根據(jù)題意，b-e=\b\-|e|cos60°=||&|,

\b-te\>\b-e\,兩邊平方歷『+t2同2_2竊亮2\b\2+\e]2-2b-e,整理得到田一歷歸一1+的>0,

對任意實數(shù)t恒成立，則△=|砰一4(—1+網(wǎng))W0,解得(歷|—2:W0,貝胴|=2.

-a+~e

e

由于同=2,如上圖，|五+可=版+2W，則+可+版一同=2五+2a+恨一同2