2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系（解析版）

考點(diǎn)四一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)整合

一、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系

1.根的判別式

一元二次方程以2+6%+。=0（。/0）是否有實(shí)數(shù)根，由k—4ac的符號(hào)來確定，我們

把匕2-4ac叫做一元二次方程根的判別式.

2.一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系

（1）當(dāng)4ac>0時(shí)，方程以2+以+。=0（。/0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）當(dāng)廿一4"=0時(shí)，方程以2+云+。=0（。/0）有1個(gè)（兩個(gè)相等的）實(shí)數(shù)根；

（3）當(dāng)Z?2—4ac<0時(shí)，方程+6x+c=0（a/0）沒有實(shí)數(shù)根.

3.根與系數(shù)關(guān)系

對(duì)于一元二次方程依2+"+c=o（其中a,b,c為常數(shù)，awO）,設(shè)其兩根分別為項(xiàng)，

bc

馬，則%1+%=---，再%2二一?

aa

典例引領(lǐng)

1.已知關(guān)于X的一元二次方程尤2-（2m+l）x+m（m+l）=o.

（1）求證：無論加取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：

（2）若該方程的一個(gè)根為1,求加的值及另一個(gè)根.

【答案】（1）證明見解析

（2）當(dāng)m=0時(shí)，方程的另一個(gè)根為元=0；當(dāng)相=1時(shí)，方程的另一個(gè)根為x=2

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，一元二次方程的定

義，熟練掌握一元二次方程的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

（1）只需要證明A=[-（2加+1）1-4根（祖+1）>0恒成立即可；

（2）把x=1代入原方程得到加一%=0,解方程求出m的值,進(jìn)而根據(jù)m的值解方程求

出方程的另一根即可.

【詳解】（1）證明：由題意得，A=[-（2/n+1）]2-4m（m+1）

=4m2+4m+l—4m2—4m

=1>0,

團(tuán)無論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：

（2）解：團(tuán)關(guān)于尤的一元二次方程尤2-（2〃?+1）%+機(jī)（〃?+1）=。的一個(gè)根為1,

01—（2m+l）+m（m+l）=0,

回根2一機(jī)=0,

解得相=0或m=1；

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，原方程為％2一%=0,解得了=0或%=1;

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，原方程為f-3%+2=0,解得九=1或%=2；

綜上所述，當(dāng)機(jī)=0時(shí)，方程的另一個(gè)根為％=0；當(dāng)機(jī)=1時(shí)，方程的另一個(gè)根為％=2.

2.已知關(guān)于1的一元二次方程爐―（2左—1）%+左2=。

⑴若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

⑵若方程的一個(gè)根為-1,求左的值和方程的另一個(gè)根；

【答案】⑴左<:

（2）當(dāng)上=一2時(shí)，另一個(gè)根為T；當(dāng)左=0時(shí)，另一個(gè)根為0

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解，解一元二次方

程：

（1）利用一元二次方程根的判別式，即可求解；

（2）把x=-l代入原方程，可求出左，再解出原方程，即可求解.

【詳解】（1）解：回方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

團(tuán)A>0,

BP[―（2左一1）丁—4左2>o,

角軍得：％<:；

4

（2）解：團(tuán)方程的一個(gè)根為-1,

回]_（2左+左2=0,

解得：左=一2或0,

當(dāng)上=一2時(shí)，原方程為f+5冗+4=0,

解得：=-l,x2=-4,

即另一個(gè)根為T;

當(dāng)左=0時(shí)，原方程為元=0,

解得：=-l,x2=0,

即另一個(gè)根為0;

綜上所述，當(dāng)％=-2時(shí)，另一個(gè)根為T；當(dāng)％=0時(shí)，另一個(gè)根為0.

3.已知關(guān)于x的一元二次方程方程加/-（m-1卜+1=0（加為常數(shù)），如果方程根的判別

式的值為1,請(qǐng)求出機(jī)的值以及方程的根.

【答案】"?的值為6,方程的根為;和1

【分析】本題考查了根的判別式、一元二次方程的定義以及因式分解法解一元二次方程，

利用二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式△=1,可列出關(guān)于m的一元二次方程及一元一次不等

式，解之可得出加的值，再將加的值代入原方程，利用因式分解法解方程，即可得出結(jié)

論.

【詳解】解：國(guó)關(guān)于x的一元二次方程方程，汝2_（加一1卜+1=。（僅為常數(shù)）的根的判別式

的值為1,

加wO

A=-4m=l?

解得：m=6,

將切=6代入原方程得：6f—5x+l=0,

0（2x-l）（3x-l）=O,

11

解得：玉=5，*2=§，

回加的值為6,方程的根為;和工.

乙J

4.定義新運(yùn)算"十"：對(duì)于實(shí)數(shù)加，n,p,q,有,*p\?\q^n]=nm+pq,其中等式的右

邊是通常的加法和乘法運(yùn)算.例如：[2,3]十[4,5]=2x5+3x4=22.

⑴求關(guān)于x的方程[/，尤-1]十[3,1]=。的根；

⑵若關(guān)于x的方程N(yùn)+1，習(xí)十[1-2后耳=。有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求后的取值范圍.

【答案】⑴％=士反，灰=土包

1222

(2)左V，且上力。

4

【分析】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解一元二次方程，一元二次方程根的判別

式.明確新定義的運(yùn)算規(guī)則是解題的關(guān)鍵.

(1)由題意知，f+3"-1)=0,然后解方程即可；

(2)由題意知，左(公+1)+。-24)x=0,整理得去2+(1-2左)x+左=0,由關(guān)于x的方程有

兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可知公=(1-2左)2-4抬20,kwO,計(jì)算求解然后作答即可.

【詳解】(1)解：團(tuán)[尤，x-l]?[3,1]=0,

回爐+3(龍-1)=0,整理得丁+3》一3=0,

2

回a=l,b=3,c=—3fA=/?—4ac=9+12=21>0,

解得：xL±?,

2

n-3+V21-3-V21

回玉

(2)解：團(tuán)[X2+1,%]十[1一2左，k]=0,

團(tuán)化(_?+1)+0_2左)尤=0,整理得點(diǎn)2+0—2左)％+左=0,

團(tuán)關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

0A=(l-2Jl)2-4^2>O,kwO,

解得，左V;且％W0,

4

回左的取值范圍為％且左。0.

4

5.法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)在研究一元二次方程時(shí)發(fā)現(xiàn)：如果關(guān)于x的一元二次方程

b

ax2+bx+c=O(awO,ZJ2-4ac>0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為毛、巧，那么%+%=--，

a

=￡.習(xí)慣上把這個(gè)結(jié)論稱作“韋達(dá)定理

a

(1)方程3/-4尤-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為耳、巧，求網(wǎng)+%和%?工2的值.

（2）方程/+21=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為4、巧，求*+學(xué)的值.

⑶若4、X2為關(guān)于X的方程d-（2m-3卜+/-t=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求才+考的最小

值.

42

【答案】（1）%+無2=§，玉,尤2=-耳

（2）-3

嗚

【分析】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是

一種經(jīng)常使用的解題方法.

hr

（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系：玉+%=-2,工「尤,=￡，來解題.

aa

hr

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系：尤|+%=一2,占?無2=上，來解題.

aa

（3）首先根據(jù)根的判別式求得加的取值范圍，然后由根與系數(shù)的關(guān)系來求最小值.

、、42

【詳解】（1）Xx+x2=—,X[-x2=——.

（2）%+%=一2,%々=一4.

2

玉尤2+（石+工2『-2占?尤2（-2）-2x（-4）

-----1-----=-----------=---------------------------=-----------------------=—3.

x2%xx?x2-4

3

（3）團(tuán)方程—一（2〃/—3）%+加2-z=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

0A=（2m-3）2-4m2-1-j=-12m+12>0,解得：m￡l.

c73

回％i+/-2m-3,xl-x2=m-—

2蘇-3

團(tuán)X；+%；=（玉+馬『一2玉?x2=（2m-3）-2

4

=2m2-12m+^=2（m—3）2

0m￡1,

回m=1時(shí)，x；=2療-12加+521有最小值，最小值為^■.

6.已知關(guān)于x的方程（加+2）尤+4m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中玉＜馬.

⑴若機(jī)=-l,求xj+k的值;

(2)一次函數(shù)y=3尤+1的圖像上有兩點(diǎn)A(占,，若AB=而,求機(jī)的值；

⑶邊長(zhǎng)為整數(shù)的直角三角形，其中兩直角邊的長(zhǎng)度恰好為n和巧，求該直角三角形的面

積.

【答案】(1)網(wǎng)2+92=9

⑵〃4=6+A/33,=6—

⑶該直角三角形的面積為30或24

【分析】該題主要考查了一元二次方程的根判別式"A=〃一44"，根與系數(shù)關(guān)系

hc

"%+%=——,尤「9=—"，一次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理"直角三角形兩

aa

直角邊的平方之和等于斜邊的平方”等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是分類談?wù)撍枷氲倪\(yùn)用；

(1)將機(jī)=-1代入方程得出方程，再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到

玉+Z=--=1，石，%2=—=—4,將兄J+々之轉(zhuǎn)化即可求解；

aa

(2)根據(jù)點(diǎn)以/弘),雙々，%)在函數(shù)圖像上，得出A(不3%+1),B(X2,3X2+1),再根據(jù)根

與系數(shù)關(guān)系得到再+巧=m+2,%々=4加，根據(jù)A5=JTU即可求解；

(3)根據(jù)直角三角形兩直角邊再為整數(shù)，得出A=〃—4ac=機(jī)2—12機(jī)+4,令

4一12m+4=/(左為正整數(shù))，得出(m+k-6)(m-06)=32,又m+k-6>m-k-6,然

后分三種情況取值即可解答；

【詳解】(1)當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，方程為％2-%-4=0,

A=b2-4ac=(-1)2-4xlx(-4)=17>0,

b、c

「.玉+%=--=1,石?/二一~一4,

aa

即+X：=(芯+%2)—2毛%2=13—2x(—4)=9；

(2)將(九2，%)代入>=3%+1可得如(與3%+1),B(x2,3x2+1),

故%1+々=加+2,%?々=4m,

2

AB=(xj-x2)+(%-%)

2

二10(%-x2),

2

即10(芯_%2)2=10,(jq-x2)=1,

22

(%-x2)=(%+x2)-4^2=1,

(m+2)2—4x4m=1,

(m-6)2=33,

町=6+5/33,7712=6—5/33；

(3)回直角三角形兩直角邊玉,馬為整數(shù)，

/.A=Z?2—4ac=(m+2)2—4x4m=m2-12m+4為平方數(shù),

不妨令M-12帆+4=8(左為正整數(shù))，

(利-6『-32二%2,

(m+女-6)(加-女-6)=32,

m+k-6>m-k-6,

當(dāng)①團(tuán)〃z+左一6=32,m—k—6=1,

解得機(jī)=三45(不合題意舍去)；

當(dāng)②加+左一6=16,%一左一6=2,

解得m=15,

團(tuán)方程f—17x+60=0，

x,=12,x2=5,則斜邊為13,

即5=苫^=30；

當(dāng)③〃/+左一6=8,—左一6=4,

解得加=12,

團(tuán)方程14%+48=0,

%—6,X2=8,則斜邊為10,

即5=土三=24,

綜上所述：該直角三角形的面積為30或24.

7.已知關(guān)于x的一元二次方程尤2-6x+2a+5=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根毛，巧.

(1)求a的取值范圍；

(2)若犬+%2-%%V3。，且。為整數(shù)，求。的值.

【答案】(1)。<2

⑵。的值為-1，0,1

【分析】本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式A=62-4ac>0,即可得出關(guān)于％的一元一次不等

式組，解之即可得出。的取值范圍；

(2)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到%+%=6,再％=2a+5,將

元+%2-玉多〈30化為(玉+%『一3為尤2430,然后代入即可得到。2-|,即可得到。的

值.

【詳解】(1)「關(guān)于x的一元二次方程d-6x+2a+5=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為，々，

,-.A=&2-4ac=(-6)2-4(2a+5)>0,

解得a<2；

(2)由根與系數(shù)的關(guān)系知：玉+工2=6,玉%2=2〃+5,

團(tuán)A,巧滿足+々2—玉電工30,

2

玉+x2)-3石工2-3。，

36-3(2a+5)W30,

?a>~—

.'—2'

。為整數(shù)，且。<2,

???〃的值為-1,0,1.

8.關(guān)于x的一元二次方程％2—5%+左=0有一個(gè)根是％=-1,求左的值和方程的另一個(gè)根.

【答案】人的值為-6,方程的另一個(gè)根為％=6

【分析】此題考查了一元二次方程的解，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，利用根與系數(shù)的

關(guān)系表示出兩根之和與兩根之積，由一個(gè)根為-1,求出另一根，進(jìn)而確定出左的值.熟練

掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為巧，

依題意有：-1+三=5,-\-x2=k,

解得x2=6,左=—6,

故%的值為-6,方程的另一個(gè)根為x=6.

9.求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)小，關(guān)于x的方程/-2如+22=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了一元二次方程加+云+。=0("0)的根情況，判斷其根的情況,

完全取決于A=〃一4ac的符號(hào)，當(dāng)工>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，方

程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

【詳解】解：△=4病-4(2%-2)

=4m2—8機(jī)+8

=4(/w—1)-+4.

(m-1)2>0,

A=4(m-1)-+4>4>0.

二對(duì)于任意實(shí)數(shù)成，關(guān)于X的方程尤2-2爾+2利-2=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

10.已知關(guān)于x的一元二次方程了?+(m+3)x+加+2=0.

(1)求證：不論實(shí)數(shù)“取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；

⑵當(dāng)加取何值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？

【答案】(1)見詳解

(2)m=—}

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟記"△=62一4b"是解題關(guān)鍵.

(1)方程有實(shí)數(shù)根時(shí)A=》2一4々<:20,由此即可求解.

(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根即A=〃—4數(shù)=0,由此即可求解.

【詳角軍】(1)證明：A=Z?2-4(7c=(m+3)2-4xlx(m+2)

=m2+6m+9—4m—8

=m2+2m+l

=(m+l)2

(m+1)2>0,

二?不論實(shí)數(shù)加取何值，方程總有實(shí)數(shù)根.

(2)由(1)問可知：△=/一4〃。=(m+1)2,

方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

...△=0即(機(jī)+1)2=0,

解得：m=-l.

故當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

11.已知關(guān)于X的一元二次方程：X2-(2^+1)X+4^-^=0.

(1)求證：這個(gè)方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

⑵若等腰..ABC的一邊長(zhǎng)。=4,另兩邊長(zhǎng)6、。恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求一ABC

的周長(zhǎng).

【答案】⑴見解析

⑵10

【分析】本題主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判別式、等腰三角形的定義

等,

(1)運(yùn)用根的判別式、平方數(shù)的非負(fù)性進(jìn)行判斷求證即可；

(2)根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論，①當(dāng)6=c時(shí)，即方程兩根相等；②當(dāng)。=匕=4

或者。=。=4時(shí)，即x=4是原方程的一個(gè)根；分析計(jì)算求出ABC的三邊長(zhǎng)，計(jì)算得出

ASC的周長(zhǎng)即可；

熟練掌握解一元二次方程、一元二次方程根的判別式、等腰三角形的定義，分類討論是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】⑴解：在關(guān)于x的一元二次方程Y-(2A+l)x+4，-￡|=。中，。=1，

少=一(2左+1),c=

回公=人2_4ac=(24+I)?-4?4卷替

=4k2+4左+1—16左+8

=4左2—12左+9

=（2左-3））

0（2^-3）2>0

回?zé)o論％取何值，這個(gè)方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）解：回等腰_MC的一邊長(zhǎng)a=4,另兩邊長(zhǎng)6、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

①當(dāng)6=c時(shí)，即方程兩根相等，

7

回A二（2k-3）=0,

,3

解得：^=~,

團(tuán)方程可化為：%2一4兀+4=0,

解得：％=2,

回b=c=2,

團(tuán)ABC三邊為長(zhǎng)分別為4,2,2,

團(tuán)2+2=4,

團(tuán)不符合三角形三邊關(guān)系，不能構(gòu)成三角形，故舍去；

②當(dāng)a=〃=4或者a=c=4時(shí)，即％=4是原方程的一個(gè)根，

把x=4代入/一（2左+l）x+4（左一gJ=0得：16-4（2左+1）+4卷-步0,

解得：左=|,

回原方程可化為：--6元+8=0,

解得：x=4或x=2,

即一ABC的兩腰長(zhǎng)為4,底邊長(zhǎng)為2,

團(tuán)AFC的周長(zhǎng)=4+4+2=10.

12.關(guān)于x的一元二次方程尤?-2fcv+左2=9.

（1）求證：此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若方程有一個(gè)根是2,試求弘②-12%+2023的值.

【答案】（1）見解析

（2）2038

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根，代數(shù)式求值.熟練掌

握一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根，整體代入求值是解題的關(guān)鍵.

(1)由題意得公=(-2獷-4x1x(公一9)=36>0,然后作答即可；

(2)由題意得，2?-2左x2+左②=9,整理得，左2-4左=5,根據(jù)

3k2-12k+2023=3??？-4左)+2023,計(jì)算求解即可.

【詳解】(1)解：^^-2kx+k-=9,

團(tuán)尤2-2fcc+左2-9=0,

回八=(一2左)2-4xlx(A2-9)=36>0,

回此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)解：由題意得，2?-2左x2+/=9,整理得，k2-4k=5,

回3/_12左+2023=3(42_必)+2023=15+2023=2038,

03^-12^+2023的值為2038.

13.已知關(guān)于x的方程/+2/m+療一2=0.

(1)試說明：無論a取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)若方程有一個(gè)根為3,求2M+12m+2043的值.

【答案】⑴證明見解析

(2)2029

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解，代數(shù)式求值；

(1)根據(jù)一元二次方程根的判別式，進(jìn)行證明即可；

(2)根據(jù)方程有一個(gè)根為3,得出川+6〃?=_7,然后整體代入求值即可.

解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程依2+法+。=0(。手0)的根與△=〃一4比有如下關(guān)

系：當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)

A<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

【詳解】(1)證明：0A=(2m)2-4xlx(m2-2)=4m2-W+8=8>O,

團(tuán)無論加取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)解：團(tuán)方程有一個(gè)根為3,

032+6m+zu2—2=0,

整理，得：m2+6m=-7,

回2加2+12加+2043

=2(〃，+6〃,+2043

=2x(-7)+2043

=-14+2043

=2029.

14.已知關(guān)于尤的一元二次方程Y+根_1=o.

⑴若該方程有一個(gè)根是2,求該方程的另一個(gè)根；

⑵求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

【答案】(1)1

⑵見解析

【分析】本題主要考查了一元二次方程的解和根的判別式，

(1)直接把x=2代入到原方程中得到關(guān)于加的方程，再解方程即可得到答案；

(2)根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行證明.

掌握對(duì)于一元二次方程依2+bx+c=0(aw0),若A=〃-4ac>0,則方程有兩個(gè)不相等的

實(shí)數(shù)根，若A=〃-4℃=0,則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若公=〃一4改<0,則方程沒有

實(shí)數(shù)根；理解一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，是解決問題的關(guān)

鍵.

【詳解】(1)解：當(dāng)x=2時(shí)，4一2〃Z+MZ—1=0

則原方程為：X2-3%+2=0,即:(x-2)(x-l)=0,

二?％=1,&=2,

???另一個(gè)根1,

(2)證明：A=(-m)2-4xlx(m-l)

=m2—4m+4

=(m-2)2>0,

...該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

15.已知關(guān)于x的一元二次方程無2+(m-5)x-2(m-3)=0

(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

⑵如果該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為4,求m的值

【答案】(1)見解析

(2)5或一3

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

(1)證明A20即可；

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出為+%和占?無2,結(jié)合%-3=4列方程，即可求解.

【詳解】(1)證明：根據(jù)題意得：

△=(機(jī)一5)2-4xlx[-2(加一3)]=機(jī)2-2桃+i,

(??-1)2>0,

A>0,

，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)解：設(shè)為,三是關(guān)于的一元二次方程/+(加-5卜-2(m-3)=0的兩個(gè)根，益>々，

?玉+無2=---—=5—777,Xt'Xj——2(利—3),

該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為4,

%]-x2=4,

2

(x,-x2)=16,

2-

又(玉一元2y=(%+x2)—4AJ-X2=(5—+4x2(m—3)=(m—l),

(m-仔=16,

771-1=±4,

解得m=5或〃?=-3,

即加的值為5或-3.

16.解方程;

(1)X2-2%+2=0；

（2）x（2x-5）=4x-10.

【答案】⑴無實(shí)數(shù)根

（2）=—,%2=2

【分析】本題考查了一元二次方程的解法和一元二次方程的判別式，

（1）根據(jù)一元二次方程的判別式求解即可；

（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.

解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法

等.

【詳解】（1）X2-2%+2=0

回。=1,b=—2,c=2

0A=Z?2-4ac=（-2）2-4xlx2=-4<O

團(tuán)方程無實(shí)數(shù)根；

（2）x（2x-5）=4x-10

x（2x-5）=2（2%-5）

x（2x-5）-2（2尤-5）=0

（2x-5）（x-2）=0

回2彳-5=0或x-2=0

解得玉=|,X2=2.

17.關(guān)于x的一元二次方程/+（2l）x+蘇=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求加的取值范

圍.

【答案】m<7

4

【分析】本題考查了根的判別式.根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出

.=（2優(yōu)-1）2-4帆2>0,然后解不等式即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得”=（2加一1）2-4/>0,

解得m<—,

4

即"?的取值范圍為.

4

18.定義：如果關(guān)于x的一元二次方程依2+法+。=0（。中0）滿足。+6+。=0,那么我們稱

這個(gè)方程為"鳳凰"方程.

（1）寫出一個(gè)"鳳凰"方程是；

⑵"鳳凰"方程必定有一個(gè)根是；

⑶己知方程V+〃=0是"鳳凰"方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求機(jī)〃的值.

【答案】（1）2f+x-3=0

（2）1

（3）mn=—2

【分析】（1）本題主要考查一元二次方程根的情況，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)x=l是方程的根，

直接寫出一個(gè)根為1一元二次方程即可.

（2）本題主要考查通過代數(shù)式觀察，可以發(fā)現(xiàn)x=l是一元二次方程的一個(gè)根，直接求解

即可.

（3）本題主要考查由一元二次方程根的情況，推導(dǎo)出△=62一4公=0,可以得到一個(gè)方

程，再由鳳凰方程，又可以得到一個(gè)1+〃?+〃=0的方程，然后去求，加和”即可，最后求

出〃"7的值.

【詳解】（1）由題可知，要寫出一個(gè)一元二次方程，并且滿足一個(gè)根是x=l；

即為：2/+x-3=0.

（2）關(guān)于x的一元二次方程依2+bx+c=0（aw0）,且滿足a+〃+c=0；

Elx=l時(shí)，a+b+c=0；

故鳳凰”方程必定有一個(gè)根是x=l.

（3）1x?+”a+〃=0是"鳳凰"方程；

:.l+m+n=0,即"=一〃z—1；

,方程V+的+〃=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

A=m2-An—0'將“=—"2—1代入，得M2—4（—M—1）=。；

解得：m=-2,=1；

mn=（-2）x1=-2.

19.已知關(guān)于x的一元二次方程式+仕+3卜+2左+2=0.

⑴求證：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;

⑵若方程的兩個(gè)根分別為不，巧，且為+%+2%％=17,求人的值.

【答案】（1）見解析

⑵《

【分析】（1）列出一元二次方程根的判別式，通過配方，可得A20,即可得到結(jié)論;

（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得玉+々=-（4+3）,卒2=2左+2,結(jié)合

玉+%+2%々=17,可得關(guān)于左的方程，解方程即可.

本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)關(guān)系定理，熟練掌握兩個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)

是解題的關(guān)鍵.一元二次方程以2+bx+c=0（"0）的根與公=/一44c有如下關(guān)系：①當(dāng)

A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)

根；③當(dāng)A<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根；兩根巧，巧與。、6、c有如下關(guān)系：西+x,=-一

a

中2,

a

【詳解】（1）回爐+（左+3戶+2左+2=0是關(guān)于x的一元二次方程,

EIA=（A+3）2-4xlx（2左+2）=（左一I?>0,

團(tuán)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;

（2）設(shè)方程f+（左+3）x+2左+2=0的兩個(gè)根分另IJ為巧

貝!］芯+/=—（左+3）,玉%2=2k+2,

團(tuán)%+%2+2%%2=17,

團(tuán)一（左+3）+2（2k+2）=17

解得，左=個(gè)

20.設(shè)一元二次方程以2+加;+。=0（。wo）的兩個(gè)根為再、x2,若該方程的一個(gè)根與另一個(gè)

根的2倍的和為0,我們就稱這個(gè)一元二次方程為“兩根相反倍數(shù)”方程.

⑴如果方程2/+3*+2"7-3=0是"兩根相反倍數(shù)"方程，則"?=；

(2)如果方程f+20無+c=0是"兩根相反倍數(shù)"方程，求2再-尤尼的值.

【答案】(1)/??=-3

⑵一8夜+16或40+16.

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；

(1)根據(jù)新定義可得再+2超=0,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：%+%=-]3,%%=三27一77-32

得出％=、3，玉=-3,進(jìn)而代入為%=I9m-上3，即可求解；

(2)分兩種情況：設(shè)無1+2無2=0,則占=一2%,或%+2玉=0,則％=-2%；根據(jù)(1)

的方法，分別求得玉,9的值，代入代數(shù)式，即可求解.

【詳解】(1)解：團(tuán)方程2*2+3X+2〃7-3=0是"兩根相反倍數(shù)”方程，

團(tuán)玉+2X2=0,

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：%+%=-：3，%/=吟2m上—3

3.

團(tuán)“2=萬，玉=-3

2m-39

0————=-5

解得：m=—3

當(dāng)馬+2石=0,

3o

回石=萬，x2=-3

2m-39

回平'2=丁=一5

解得：m=-3

(2)分兩種情況：設(shè)玉+2%2=0,貝也=-2々

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：西+々=-2后，%+2々=。

解得：%=2近,玉

2xj—4A/2x——8A/2+16

設(shè)％2+2%=0,則x2=-2x1

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：

%+%2——2,玉+2x?—0

解得：菁=2A/2,x2=—4\/2

2%—xxx2=4&-卜4也x2也)=4&+16

21.已知關(guān)于x的一元二次方程V一2*+加=0.

⑴如果此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求m的值；

112

⑵如果此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為4，巧，且滿足三+『=一§，求〃?的值.

【答案】(1)m=1

(2)-3

【分析】本題考查一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系：

(1)一元二次方程改2+fer+c=0(aw0)根的情況與根的判別式A=62-4ac的關(guān)系：當(dāng)

A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0

時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，據(jù)此求解即可.

(2)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：設(shè)一元二次方程依2+云+。=0(。工0)的兩個(gè)根為

bc

毛、巧，則為+工2=--，不，%2=—，據(jù)此求解即可.

aa

【詳解】⑴解：田方程f-2尤+加=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

回公=(一2)2—4加=0,解得相=1；

(2)解：團(tuán)方程f-2工+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為耳，巧，

團(tuán)玉+%-2,x1x2=m,

m3

解得m=-3,

經(jīng)檢驗(yàn)，加=—3是方程的解，且△=(—2)2—4x(—3)=16>0

0m=-3.

22.已知關(guān)于x的一元二次方程f-3x-r+z+i=o(左為常數(shù)).

(1)求證：無論左取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)若該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且(玉+1)(々+1)=3,求人的值.

【答案】⑴見解析

(2)^=2,色=-1

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式的意義，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方

程；

(1)求出A>0即可證明；

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出占尤2=-廿+左+1，%+%=3,結(jié)合已知等式得出關(guān)于左的

一元二次方程，解方程可得答案.

【詳解】(1)證明：0

△=(-3)2-4(-笈2+左+1)=9+4左2—4左一4=4左2-4左+5=(2左一1)2+4>0,

回?zé)o論左取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)解：團(tuán)方程/_3尤_/+左+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根a，4，

回尤1%=-4。+左+1,無]+%=3,

又回(%+1)(%+1)=3,

回為工2+芯+%+1=3,

團(tuán)一左2+左+]+3+1=3,

解得：K=2,k2=-1.

變式拓展

1.關(guān)于X的方程￡-2抖2"-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(1)求小的取值范圍；

⑵若方程有一個(gè)根為0,求此時(shí)加的值.

【答案】(1)冽<1,

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式以及方程的解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用根

的判別式A>0求出加的取值范圍.

(1)根據(jù)根的判別式即可求得加的取值范圍；

(2)將x=0代入原方程即可求得加的值.

【詳解】(1)解：團(tuán)關(guān)于X的方程V-2x+2〃Ll=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

EI(-2)2-4xlx(2m-l)>0,

解得m<l；

(2)解：當(dāng)x=0時(shí)，2/77-1=0,

m=—,

2

回加的值為g.

2.已知關(guān)于x的方程3爐一(。一3)無一。=0.

(1)求證：方程總有實(shí)數(shù)根；

(2)不論。取何值，方程3/-S-3)x-4=0總有一個(gè)不變的根，求這個(gè)不變根.

【答案】(1)見解析

(2)x=-l

【分析】(1)根據(jù)根的判別式進(jìn)行判斷即可.

(2)將含字母。的各項(xiàng)進(jìn)行合并，令其系數(shù)等于零，即可得出.

【詳解】(1)A=[-(a-3)J-4x3x(-?)=(a+3)2>0,所以方程總有實(shí)數(shù)根；

(2)3尤2_(X+1”+3X=0,因?yàn)椴徽?。取何值，方程總有一個(gè)不變的根，所以x+l=0,

x=-l

這個(gè)不變根為x=-l.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的判別方

法.△>(),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；A=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；A<0,方程

沒有實(shí)數(shù)根.

3.定義：若一元二次方程0?+法+。=0(4工0)滿足6=。+以則稱該方程為“和諧方程

⑴下列屬于和諧方程的是:

（D%2+2%+1=0;（2）x2—2%+1=0;（3）x2-x-2=0;（4）x2+x=0

（2）求證：和諧方程總有實(shí)數(shù)根；

【答案】（1）①③④

⑵見解析

【分析】此題考查了新定義-"和諧方程"，判斷一元二次方程根的情況，利用一元二次方

程的判別式求參數(shù)，

（1）根據(jù)定義直接判斷即可；

（2）計(jì)算從一44即可判斷；

正確理解新定義、掌握一元二次方程的根的判別式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：①/+2了+1=0

回a=l,b=2,c=lf

回〃+c=1+1=2=Z?,

回①屬于和諧方程；

0%2-2X+1=0

團(tuán)a=1,b=—2,c=1,

團(tuán)a+c=1+1=2wZ7,

回②不屬于和諧方程；

?X2-X-2=0

回a=l,b--\,c=—2,

團(tuán)a+c=l+（-2）=—1=Z?,

回③屬于和諧方程；

④%之+%=o

回a=l,b=l,c=0,

團(tuán)a+c=l+O=l=b,

回④屬于和諧方程；

（2）證明：回一元二次方程加+bx+c=0（4H0）為"和諧方程"，

^\b=a+c,

團(tuán)Z?2—4ac

=(a+c)—A-cic

=(a-c)2>o,

團(tuán)和諧方程總有實(shí)數(shù)根.

4.定義：若再、入2是方程以2+bx+c=0(〃w0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若滿足人-々IT玉?無21，則

稱此類方程為"差積方程".例如：g](x-l)=。是差積方程.

(1)判斷：方程Y-4X=0"差積方程"(填"是"或"不是")；

⑵己知關(guān)于無的方程｛m+2)x+2〃z=0,

①證明：不論取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；

②若該方程是"差積方程"，求小的值.

【答案】(1)不是

(2)①見解析；②或一2.

【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，解一元二次方程，根的判別式，理解新定義是解題的關(guān)

鍵.

(1)分別根據(jù)因式分解法解一元二次方程，然后根據(jù)定義判斷即可求解；

(2)①利用一元二次方程根的判別式列式計(jì)算即可求解；

②先根據(jù)因式分解法解一元二次方程，然后根據(jù)定義列出絕對(duì)值方程，解方程即可求解.

【詳解】(1)解：國(guó)Y-4X=0,

0x(x-4)=O,

解得：玉=0,x2=4,

0|O-4|^|Ox4|,

團(tuán)方程x2-4x=0不是差積方程；

故答案為：不是；

(2)解：(T)0x2-(m+2)x+2m=0,

ElA=[-(〃?+2)丁—4x1x2m=(???-2)">0,

國(guó)關(guān)于X的方程d_(m+2)x+2加=0不論加取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；

②)團(tuán)x2-(m+2)x+2m=0,

團(tuán)(x—2)(九一機(jī))=0,

解得：％=2，x2=m,

回％2_(加+2)x+2根=0是差積方程,

回2—詞=|2m|,

即2—帆=2m或2-徵=-2m.

7

解得：§或-2.

5.已知關(guān)于了的一元二次方程f+2元+左=0.

(1)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求上的取值范圍；

(2)若加是方程的根,且根2+2機(jī)=2,求％的值.

【答案】⑴左<1

(2)笈=一2

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式與一元二次方程的解的含義，理解原理

的應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵；

(1)根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得△=〃-4a>0,求出左的取值范圍即可；

(2)先由方程解的含義可得病+2加=一%，結(jié)合蘇+2相=2即可求解.

【詳解】(1)解：回關(guān)于x的一元二次方程一+2彳+左=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

0A=fc2-4oc=4-4左>0，

解得：k<I；

(2)回機(jī)是方程尤?+2無+左=0的根，

回機(jī)2+2m+左=0即+2m=—k,

0nr+2m=2，

回一左=2,

解得：上=一2.

6.已知關(guān)于左的一元二次方程nx2-2x+l=0(〃w0)有實(shí)數(shù)根.

⑴求”的取值范圍;

(2)當(dāng)”取最大值時(shí)，求方程加-2x+1=0(〃手0)的根.

【答案】且〃W0

(2)X]=%=1

【分析】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式以及解一元二次方程.

(1)根據(jù)題意，可得AM〃-ZCZO,即4-4〃20,解不等式，并根據(jù)一元二次方程的定

義確定”的取值范圍即可；

(2)結(jié)合"的取值范圍確定〃的最大值，然后利用配方法解該方程即可.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意，一元二次方程加2-2x+l=0(〃w0)有實(shí)數(shù)根，

則A=ft2-4ac=(-2)2-4X?X1=4-4M>0,

解得〃41,

又回〃H0,

團(tuán)”的取值范圍是且〃w0；

(2)由且awO得，〃的最大值為1,

把"=1代入原方程得x2-2尤+1=0,

0(x-l)2=O,

解得尤1=尤2=1.

7.己知一元二次方程尤2-4X+〃L1=0.

⑴若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

⑵若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)〃?以及此時(shí)方程的根.

【答案】(1)加<5

(2)m=5,玉=9=2

【分析】本題考查了根的判別式，牢記“①當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)

△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)A<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.”

(1)由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于俄的一元一次不等

式，解之即可得出結(jié)論；

(2)由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于加的一元一次方程，解

之即可得出結(jié)論.

2

【詳解】（1）解:A=（-4）-4（WZ-1）,

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

A>0,解得機(jī)<5.

（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

AA=0,即16—4（〃?-1）=0

解得加=5

，方程的根是：占=三=4=2.

8.已知關(guān)于x的一元二次方程X2+2（〃?-1）X+1+2=0.

（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

⑵若方程兩實(shí)數(shù)根分別為毛，巧，且滿足（巧-9）2=18求實(shí)數(shù)小的值.

【答案】（1）加4一；

（2）m=—2

【分析】本題考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是掌握一元

二次方程判別式與方程根的情況的對(duì)應(yīng)以及一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系.

（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式即可求解；

（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求解即可.

【詳解】（1）解：；一元二次方程/+2（冽-1卜+川+2=0有實(shí)數(shù)根，

\=b2-4-ac

=[2（相—1）了—4x1x（/+2）

=4（加?—2m+lj-4（^m2+2）

=—8m—4>0,

解得：機(jī)4一（，

團(tuán)當(dāng)機(jī)4-g,方程有實(shí)數(shù)根；

（2）解：由根與系數(shù)關(guān)系可知%+%=-2（/-1）,占彳2=/+2,

2

（石—X2）=18—玉%2，

2

（玉+x2）-4^%2=18-玉%2,

2

（再+x2）=18+3玉％2,

:,[-2（m-l）]2=18+3（m2+2）,

即4（機(jī)之一2根+1）=18+3加2+6,

/.m2-8m-20=0,

解得叫二-2,小2=10,

m<——,

2

/.m=—2.

9.老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的演算過程，隨后用手掌遮住了一部分，如圖所示.

x2

⑴若所捂的部分為0,求x的值；

⑵若所捂的部分是常數(shù)。，若該方程有實(shí)數(shù)根，求。的取值范圍.

【答案】⑴0或-2；

（2）a>-l.

【分析】本題主要考查解一元二次方程和一元二次方程根的判別式.

（1）利用分解因式法進(jìn)行求解即可；

（2）利用一元二次方程的根的判別式求解即可.

【詳解】（1）由題意得：12+21=0,

x（x+2）=0,

團(tuán)x=0,x+2=0,

團(tuán)玉=0,々二一2,

即X的值為：0或-2；

（2）由題意得:X2+2x=aj

整理，得：x2+2x—a=0,

團(tuán)方程有實(shí)數(shù)根，

I?]A=22-4x（-〃）=4+4aNO,

解得：a>—\.

10.已知關(guān)于x的一元二次方程依2一尤+1=0有實(shí)數(shù)根

（1）求％的取值范圍；

（2）當(dāng)左取最大整數(shù)值時(shí)，求此方程的實(shí)數(shù)根.

【答案】（1）左v1且上R0

4

/1_-1+A/5_-l->/5

（2）x\="，x2=2

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，一元二次方程

依2+樂+。=。（。中0）的根與A=〃-4ac有如下關(guān)系：?A>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根，②A=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③A<0,方程沒有實(shí)數(shù)根.

（1）根據(jù)題意得出“/,、2,，，八，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；

△=（一1）-4xA：xl>0

（2）根據(jù)（1）中的左的范圍得出左的值，再解一元二次方程即可.

【詳解】（1）解:回關(guān)于x的一元二次方程自2一彳+1=0有實(shí)數(shù)根，

'k#0

"A=（-l）2-4x^xl>0，

解得：上4—且ZwO；

4

（2）解：由（1）知/4L且％W0,

4

.：%可取的最大整數(shù)值為T,

回此時(shí)，方程為-尤2-元+1=0,

X2+X=1f

2-1口"D5

/.X+XH—=ld,即XH=一,

44I2J4

11.已知4，々是關(guān)于X的一元二次方程d-2（7"+l）x+M+5=0的兩實(shí)數(shù)根.

（1）求加的取值范圍；

（2）若（玉一1）（%—1）=19,求加的值.

【答案】（1）機(jī)22

(2)m=5

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系；

（1）根據(jù)根的判別式得出關(guān)于加的不等式，解不等式即可；

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出占+/=2（機(jī)+1）,項(xiàng)％=/+5,根據(jù)

得出1+5-2（祇+1）+1=19,然后解方程即可；

一元二次方程62+灰+。=0（。工0）的根與A=Z?—4ac有如下關(guān)系：當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩

個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)

,,bc

不n艮?再+工2=----，xi'x2=一?

aa

【詳解】（1）解：團(tuán)4，々是關(guān)于X的一元二次方程^+5=0的兩實(shí)數(shù)

根，

團(tuán)AN0,

a[-2（m+l）]2-4（m2+5）>0,

解得：m>2；

2

（2）解：團(tuán)玉+/=2（加+1）,x[x2=m+5,

又回（％—1乂.—1）=19,

團(tuán)玉龍2—（玉+/）+1=19,

0m2+5—2（m+1）+1=19,

解得機(jī)=-3（舍去），m=5,

0m=5.

12.關(guān)于1的一元二次方程必+2%+左-1=0的實(shí)數(shù)解是天和巧.

⑴求上的取值范圍；

⑵如果西+%2-玉%2VT且左為整數(shù)，求左的值.

【答案】⑴上《2

（2）1或2

【分析】本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系.

(1)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，必須滿足公=從一48上0,從而求出實(shí)數(shù)上的取值范圍；

(2)先由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得玉+%=-2,玉?%=%