2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：與圓有關(guān)的計(jì)算（講義）（解析版）

考點(diǎn)21.與圓有關(guān)的計(jì)算（精講）

【命題趨勢(shì)】

從近年各地中考來(lái)，與圓相關(guān)的計(jì)算考查頻率還是比較高，主要結(jié)合圓周角和圓心角相關(guān)知識(shí)圍繞計(jì)算

正多邊形相關(guān)知識(shí)、弧長(zhǎng)、扇形面積、不規(guī)則圖形的面積及圓錐相關(guān)知識(shí)命題，題型主要以選填題為主，難

度不大。預(yù)測(cè)2024年各地中考還會(huì)延續(xù)這種命題趨勢(shì)，并也有可能出現(xiàn)創(chuàng)新型題目。

【知識(shí)清單】

1：正多邊形的相關(guān)概念與計(jì)算

1）正多邊形的相關(guān)概念

正多邊形概念：各條邊相等,并且各個(gè)內(nèi)角也都相笠的多邊形叫做正多邊形。

正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的空必。,

正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的生徑。{A}

正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的典通。

正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。

2）正多邊形的常用公式（R?為正多邊形外接圓的半徑）

1QQO1OQO1

邊長(zhǎng)：4=2'?sin*；周長(zhǎng)：P"=na"；邊心距：-R“cos*；面積：Sn=-an-rn-n；

nn2

（n-2）-180°360°

內(nèi)角度數(shù)：1——』-----;外角/中心角度數(shù)：出；邊長(zhǎng)、半徑、邊心距的關(guān)系：

nn

注意：正多邊形的內(nèi)切圓與外接圓為同心圓.

2：弧長(zhǎng)、扇形面積、圓錐的相關(guān)計(jì)算（☆☆☆）

1）設(shè)國(guó)。的半徑為R,n°圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為n為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，則

（1）弧長(zhǎng)公式：/=理；（2）扇形面積公式：S由『=西^或S喟形=二次.

（3）圓錐側(cè)面積公式：S圓錐側(cè)=匹〃（其中/是圓錐的母線長(zhǎng)，廠是圓錐的底面半徑）

（4）圓錐全面積公式：S圓錐全=獷/+兀/（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）

注：圓錐的相關(guān)公式難以記憶，建議牢記圓錐與側(cè)面展開(kāi)圖的圖形形式，并理解側(cè)面展開(kāi)圖與扇形之

間的關(guān)系。相關(guān)公式在解題過(guò)程中進(jìn)行推導(dǎo)。

3：不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算（☆☆☆）

求與圓有關(guān)的不規(guī)則圖形的面積時(shí)，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想,即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)

則圖形的面積。常用的方法有：割補(bǔ)法、等積變換法、圖形變換法等。

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)1.正多邊形的相關(guān)概念與計(jì)算

例1：（2023年江蘇省無(wú)錫市中考數(shù)學(xué)真題）下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是

中心對(duì)稱圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長(zhǎng)相等；④正力邊形共有〃條對(duì)稱軸.其中真命題的個(gè)數(shù)

是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)以及正多邊形與圓的關(guān)系逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：各邊相等各角相等的多邊形是正多邊形，只有各邊相等的多邊形不一定是正多邊形，如菱

形，故①是假命題；

正三角形和正五邊形就不是中心對(duì)稱圖形，故②為假命題；

正六邊形中由外接圓半徑與邊長(zhǎng)可構(gòu)成等邊三角形，所以外接圓半徑與邊長(zhǎng)相等，故③為真命題；

根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義和正多邊形的特點(diǎn)，可知正〃邊形共有〃條對(duì)稱軸，故④為真命題.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的概念以及正多邊形與圓的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型.

變式1.（2023?廣東揭陽(yáng)?統(tǒng)考一模）一個(gè)正多邊形的中心角為36。，則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為度.

【答案】1440

【分析】依據(jù)正多邊形的中心角和為360。求得邊數(shù)，再依據(jù)多邊形內(nèi)角和公式代入求解即可.

【詳解】解：因?yàn)檎噙呅蔚闹行慕菫?6。，且中心角和為360。，所以這個(gè)多邊形邊數(shù)：360°^36°=10,

則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：（10-2）*180°=1440°.故答案為：1440.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形內(nèi)角和公式、中心角性質(zhì)，通過(guò)中心角求得邊數(shù)是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2023湖南省衡陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，用若干個(gè)全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是

其中3個(gè)正五邊形的位置.要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個(gè)數(shù)是個(gè).

【答案】10

【分析】先求出正五邊形的外角為72。，貝UN1=N2=72°,進(jìn)而得出NAOB=36。，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：回正五邊形的一個(gè)外角=箋360~°=72。，HZ1=Z2=72°,

360°

0ZAOB=18O°-72°x2=36°,團(tuán)共需要正五邊形的個(gè)數(shù)=戶=10（個(gè)），故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，正多邊形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的外角的求法.

例2：（2022?四川成都?中考真題）如圖，正六邊形ABCDE尸內(nèi)接于回O,若回。的周長(zhǎng)等于6萬(wàn)，則正六邊

形的邊長(zhǎng)為（）

E

A.6B.瓜D.2y/3

【答案】C

【分析】連接OB,OC,由回。的周長(zhǎng)等于6n,得回。的半徑，又由圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，即可求得答

案.

【詳解】解：連接。B,0C,

EE。的周長(zhǎng)等于6u，釀0的半徑為：3,00BOC=-x360°=60°,EOB=OC,

03OBC是等邊三角形，0BC=OB=3,回它的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為3,故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形與圓的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

變式1.（2023?湖南衡陽(yáng),?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓的半徑為R,那么它的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)是.

【答案】6R

【分析】根據(jù)正三角形外心的性質(zhì)得OC=R,/BCE=30。,BC=2CD,再根據(jù)含30度直角

三角形的性質(zhì)及勾股定理求出邊長(zhǎng)即可.

【詳解】解：如圖所示，。為正三角形，ABC外接圓的圓心，

A

:.AD±BC,OC=R,ZBCE=-ZBCA=30°,BC=2CD,

2

在RtzXODC中，?BCE30?,OC=R,:.OD=-OC=-R,CD=y/oC2-OD2=—R,

222

:.BC=6R故答案為:叔

【點(diǎn)睛】本題考查圓與正多邊形的相關(guān)計(jì)算，解題關(guān)鍵掌握正三角形外心的性質(zhì).

變式2.（2023?廣東?統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形ABCD防內(nèi)接于（Q,正六邊形的周長(zhǎng)是12,則正六邊形

內(nèi)切圓的半徑是（）

A.百B.2C.272D.2也

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件先求出正六邊形的邊長(zhǎng)以及對(duì)應(yīng)角度，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可求出答

案.

^OA=OB,回，。43是等邊三角形，SOA=AB=2,

0OG1AB,回AG=：AB=1,在RfOAG中，OA=2,AG=1,

由勾股定理得OG=doN_e=亞二F=6，即正六邊形內(nèi)切圓的半徑是VL故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正六邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

例3：（2023年四川省德陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題）已知一個(gè)正多邊形的邊心距與邊長(zhǎng)之比為也，則這個(gè)正多邊

2

形的邊數(shù)是（）

A.4B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】如圖，A為正多邊形的中心，BC為正多邊形的邊，AB,AC為正多邊形的半徑，AD為正多邊

形的邊心距，由”=也可得竺=若，可得/3=60。，而AB=AC,可得“1BC為等邊三角形，從而可

BC2BD

得答案.

【詳解】解：如圖，A為正多邊形的中心，8c為正多邊形的邊，AB,AC為正多邊形的半徑，AD為正

多邊形的邊心距,

A

0AB=AC,ADJ.BC,處=迫，^BD=CD=-BC,回=

BC222BD2噎3

AT)「

團(tuán)tan/3=——=V3,回/5=60°,jfffAB=AC,回為等邊三角形,

BD

0Zfl4C=6O°,團(tuán)多邊形的邊數(shù)為：等=6,故選B

60

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形與圓，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.

變式1.（2022?四川雅安?中考真題）如圖，己知回。的周長(zhǎng)等于6兀，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEP的邊心

距0G為（）

D.3

【答案】C

【分析】利用圓的周長(zhǎng)先求出圓的半徑，正六邊形的邊長(zhǎng)等于圓的半徑，正六邊形一條邊與圓心構(gòu)成等邊

三角形，根據(jù)邊心距即為等邊三角形的高用勾股定理求出0G.

【詳解】團(tuán)圓。的周長(zhǎng)為6萬(wàn)，設(shè)圓的半徑為R,回2萬(wàn)7?=61回氏=3

連接0c和OD,則OC=OO=3回六邊形A8COEF是正六邊形,

360°

00COD=——=60°,EBOCD是等邊三角形，OG垂直平分C。,

6

13?-------------

^iOC=OD=CD,CG=-CD=-^\OG=^OC2-CG2故選,

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊形的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2023年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，六邊形ABCDEF是。的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊

S.

形ABCDEF的面積為S-AACE的面積為邑，貝1］甘=.

A

D

【答案】2

【分析】連接OAOCOE,首先證明出"CE是＜。的內(nèi)接正三角形，然后證明出BAC^.O4C（ASA）,

得到SBAC==S.CDE,SOAC=S0AE=SOCE,進(jìn)而求解即可.

【詳解】如圖所示，連接。

A

D

回六邊形ABCOE尸是I。的內(nèi)接正六邊形，^AC=AE=CE,團(tuán)八4。石是。的內(nèi)接正三角形，

0ZB=120°,AB=BC,ElABAC=ZBCA=^-(180°-ZB)=30°,

SZCAE=60°,^ZOAC=ZOAE^30°,回ZBAC=NQ4C=30°,同理可得，ZBCA=Z.OCA=3Q°,

又ISAC=AC,回BAC^OAC(ASA),0SBAC=S0AC,

由圓和正六邊形的性質(zhì)可得，SBAC~SA.FE~SCDE'由圓和正三角形的性質(zhì)可得，SOAC=SOAE=S.OCE>

13iS]=SBAC+S+SCDE+S0AC+S0AE+S0CE=2(^S0AC+S0AE+S0CE)=2S2,0—=2.答案：2.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，正六邊形和正三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn).

例4：(2023年安徽省舒城縣中考模擬數(shù)學(xué)試題)如圖，正六邊形ABCDE產(chǎn)內(nèi)接于O,點(diǎn)尸在A尸上，Q

是OE的中點(diǎn)，則NCPQ的度數(shù)為()

A.30°B.36°C.45°D.60°

【答案】C

【分析】先計(jì)算正六邊形的中心角，再利用同圓或等圓中，等弧對(duì)的圓心角相等，圓周角定理計(jì)算即可.

【詳解】如圖，連接。COD,。。,OE,國(guó)正六邊形ABCDEF,。是。石的中點(diǎn)，

36001

0ZCOD=ZDOE=——=60°,ZDOQ=ZEOQ=-ZDOE=30°,

0ZCOQ=ZCOD+ZDOQ=90°,IS/CPQ=；/COQ=45°,故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，圓周角定理，熟練掌握正多邊形中心角計(jì)算，圓周角定理是解題的關(guān)

鍵.

變式1.（2023年安徽中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正五邊形ABCZ汨內(nèi)接于O,連接OC,OD,則

NBAE—NCOD=()

【答案】D

【分析】先計(jì)算正五邊形的內(nèi)角，再計(jì)算正五邊形的中心角，作差即可.

360°360°360°360°

【詳解】?NBAE=180。一一—,ZCOD=—^,ElZBAE-ZCOD=180o-------------—=36°,故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了正五邊形的外角，內(nèi)角，中心角的計(jì)算，熟練掌握計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2023?吉林長(zhǎng)春?校聯(lián)考二模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。。，點(diǎn)M在A尸上，則NCMD的

【答案】C

【分析】由正六邊形的性質(zhì)得出/COD=60。，由圓周角定理求出NQWD.

【詳解】解：連接OC,0D,

團(tuán)多邊形ABCDE尸是正六邊形，0ZCOD=60°,ElZCMD=-ZCOD=30°,故選：C.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

核心考點(diǎn)2.弧長(zhǎng)、扇形面積、圓錐的相關(guān)計(jì)算

例5：(2023年四川省達(dá)州市中考數(shù)學(xué)真題)如圖，四邊形HBCD是邊長(zhǎng)為g的正方形，曲線

D44GR4是由多段90。的圓心角的圓心為C,半徑為eg；的圓心為D,半徑為

DC,,。4、4耳、用金62的圓心依次為AB、C、。循環(huán)，則&02%023的長(zhǎng)是()

【答案】A

【分析】曲線D44G24…是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑+g,得到

ST=M,=4X；(〃-1)+:，M,=5B?=4X1(?-1)+1,得出半徑，再計(jì)算弧長(zhǎng)即可.

【詳解】解：由圖可知，曲線4GA4…是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑

113

+-,/.AD=AA=-BA=BB】=l,CB=CC=-DC=DD=2,

2l2JXX29}]

\3

AD}=AA1=2+-,B4=BB2=2+1,CB2=CC2=2+-,Z)C2=Z)Z)2=2+2,........,

陋-=的,=4X1(H-1)+1,B\=BBn=4xi(n-l)+l,

故/3%3的半徑為=%。23=4X1x（2023-1）+1=4045，

904045

???4023/23的弧長(zhǎng)=麗*4045萬(wàn)=亍（故選A

loUZ

【點(diǎn)睛】此題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，弧長(zhǎng)的計(jì)算公式：/=黑，找到每段弧的半徑變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

180

變式1.（2023.重慶中考模擬預(yù)測(cè)）如圖，扇形0LB的半徑為1,分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于的長(zhǎng)

2

為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)P,NBOP=35°,則A8的長(zhǎng)/=（結(jié)果保留%）.

【分析】先求解NAOB=2/30=2x350=70。，再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【詳解】解：由作圖知：0P垂直平分AB,SOA=OB,!3NAO3=2N3OP=2x35°=70°,

回扇形的半徑是1,回48的長(zhǎng)=縹?二無(wú).故答案為：g.

lol）lolo

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，等腰三角形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟記弧長(zhǎng)公式是解本

題的關(guān)鍵.

變式2.（2023年遼寧省大連市中考數(shù)學(xué)真題）圓心角為90。，半徑為3的扇形弧長(zhǎng)為（）

'cc31

A.27rB.37rC.—TID.一兀

22

【答案】C

【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式/=箸（弧長(zhǎng)為/,圓心角度數(shù)為“，圓的半徑為r）,由此計(jì)算即可.

180

【詳解】解：該扇形的弧長(zhǎng)/=黑=桀盧=當(dāng)，故選：C.

loU1802

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的弧長(zhǎng)計(jì)算公式/=黑（弧長(zhǎng)為/,圓心角度數(shù)為小圓的半徑為r）,正確記憶

180

弧長(zhǎng)公式是解答此題的關(guān)鍵.

變式3.（2023年湖北省荊州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ˋC），點(diǎn)。是這段

弧所在圓的圓心，8為AC上一點(diǎn)，6?1_AC于。.若AC=300百m,3O=150m,則AC的長(zhǎng)為

B

A.300^mB.200OTQC.150^-mD.100石4m

【答案】B

【分析】據(jù)垂徑定理求出AD長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理求出半徑長(zhǎng)度，最后利用弧長(zhǎng)公式即可求出答案.

【詳解】解：點(diǎn)。是這段弧所在圓的圓心，.?.A0=CD,,

OD=OD,OA=OC,：..ADO^CDO,.\ZAOD=ZCOD.

AC=300V3m,AD=CD,AD=CD=150y/3m.^OA=OC=OB=x,則。O=x-150,

22

在Rt/VIDO中，x=(x-150)+(150^V,.-.^=300ni,.-.sinZAOD=—=^^=—.

v7v'AO3002

.-.AAOD=60°,ZAOC=120°,二AC==120x.x300=2007rm.故選:B.

180180

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的垂徑定理，弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵在于通過(guò)勾股定理求出半徑長(zhǎng)度，從而求出所

求弧長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù).

例6：（2023年山東省濟(jì)南市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)為2,以A為圓心，以AB為半

徑作弧8E,則陰影部分的面積為（結(jié)果保留"）.

【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出正五邊形的內(nèi)角和，再求出NA的度數(shù)，利用扇形面積公式計(jì)算即

可.

【詳解】解：正五邊形的內(nèi)角和=（5—2興180。=540。,

540°

.-.ZA=^-=108o,F…喘咚，故答案為：y

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積和正多邊形內(nèi)角和的計(jì)算，熟練掌握扇形面積公式和正多邊形內(nèi)角和公式是

解答本題的關(guān)鍵.

變式1.（2022?四川達(dá)州?中考真題）如圖所示的曲邊三角形可按下述方法作出：作等邊ABC,分別以點(diǎn)

4B,C為圓心，以長(zhǎng)為半徑作BC，AC-AB，三弧所圍成的圖形就是一個(gè)曲邊三角形.如果一個(gè)

曲邊三角形的周長(zhǎng)為2兀，則此曲邊三角形的面積為（）

A.2it—B.2兀一C.27rD.兀一\f3

【答案】A

【分析】根據(jù)此三角形是由三段弧組成，所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得半徑，即正三角形的邊長(zhǎng)，根據(jù)曲邊三角

形的面積等于三角形的面積與三個(gè)弓形的面積和，邊長(zhǎng)為。的等邊三角形的面積為運(yùn)，即可求解.

4

【詳解】解：設(shè)等邊三角形有8c的邊長(zhǎng)為「，

60'7i'V1

—--x2^,^#r=2,即正三角形的邊長(zhǎng)為2,

lot）3

，止匕曲邊三角形的面積為呼x22+3x（筆二一f乂22]=2/一2石故選A

43604J

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算.此題的關(guān)鍵是明確曲邊三角形的面積等于三角形的面積與三個(gè)弓形

的面積和，然后再根據(jù)所給的曲線三角形的周長(zhǎng)求出三角形的邊長(zhǎng).

變式2.（2023年遼寧省錦州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點(diǎn)A,B,C在。上，ZABC=40°,連接。4,

OC.若。的半徑為3,則扇形AOC（陰影部分）的面積為（）

33

【答案】D

【分析】先利用圓周角定理求出,AOC的度數(shù)，然后利用扇形面積公式求解即可.

【詳解】解：0ZABC=4O°,0ZAOC=2ZABC=80°,

又〈。的半徑為3,國(guó)扇形AOC（陰影部分）的面積為生史互=2".故選：D.

360

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，扇形面積公式等，掌握"同弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半〃

是解題的關(guān)鍵.

例7：（2023年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學(xué)真題）用一個(gè)圓心角為90。，半徑為8的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)

面，則這個(gè)圓錐的底面直徑是（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】先利用弧長(zhǎng)公式求出扇形的弧長(zhǎng)即圓錐的底面周長(zhǎng)，再根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式求出直徑即可.

【詳解】解：扇形的弧長(zhǎng)：穿=4%,則圓錐的底面直徑：4萬(wàn)千萬(wàn)=4.故選：C.

180

【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面積公式，熟記公式的靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023年西藏自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）圓錐的底面半徑是3cm,母線長(zhǎng)10cm,則它的側(cè)面展開(kāi)圖的

圓心角的度數(shù)為.

【答案】108°

【分析】設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為廢，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐

底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到27?3=室普，然后解關(guān)于〃的方程即可.

180

【詳解】解：設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為廢，

根據(jù)題意得2萬(wàn)=解得“=108,即圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為108。.故答案為：108。.

180

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇

形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng).

變式2.（2023年浙江省寧波市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為30cm,母線長(zhǎng)為

50cm,則煙囪帽的側(cè)面積為cm2.（結(jié)果保留兀）

【答案】1500兀

【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，由扇形面積公式代值求解即可得到答案.

2

【詳解】解：?圓錐形煙囪帽的底面半徑為30cm,母線長(zhǎng)為50cm,

,煙囪帽的側(cè)面積S=』B=LX2兀x3Ox5O=15OO7r（cm2）,故答案為：1500兀.

22

【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面展開(kāi)圖及扇形面積公式S=；〃，熟記扇形面積公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

變式3.（2023年云南省中考數(shù)學(xué)真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某同學(xué)制作了一頂圓錐形紙帽.若圓錐的底面圓

的半徑為1分米，母線長(zhǎng)為4分米，則該圓錐的高為分米.

【答案】V15

【分析】根據(jù)勾股定理得，圓錐的高2=母線長(zhǎng)2-底面圓的半徑2得到結(jié)果.

【詳解】解：由圓錐的軸截面可知：圓錐的高2=母線長(zhǎng)2-底面圓的半徑2

圓錐的高=、42-12=厲,故答案為岳.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐，勾股定理，其中對(duì)圓錐的高，母線長(zhǎng)，底面圓的半徑之間的關(guān)系的理解是解決

本題的關(guān)鍵.

例8：（2023年內(nèi)蒙古赤峰市中考數(shù)學(xué)真題）某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽.如圖，

這個(gè)圓錐的底面圓周長(zhǎng)為20兀cm,母線A8長(zhǎng)為30cm,為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中

需要粘貼一條從點(diǎn)A處開(kāi)始，繞側(cè)面一周又回到點(diǎn)A的彩帶（彩帶寬度忽略不計(jì)），這條彩帶的最短長(zhǎng)度

【答案】B

【分析】根據(jù)圓錐的底面圓周長(zhǎng)求得半徑為10,根據(jù)母線長(zhǎng)求得展開(kāi)后的扇形的圓心角為120。，進(jìn)而即可

求解.

【詳解】解：回這個(gè)圓錐的底面圓周長(zhǎng)為20兀cm,回271r=2071解得：r=10

ffl——=20無(wú)解得："=120回側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為120°

180

如圖所示，AC即為所求，過(guò)點(diǎn)B作3D_LAC,0ZABC=120°,BA=BC,則NBAC=30。

0AB=3O,則=1513A￡)=15-，AC=2AD=3073,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)，勾股定理解直角三角形，求得側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角

為120。解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023?廣東湛江?統(tǒng)考一模）如圖，已知圓錐底面圓的半徑為2cm,母線長(zhǎng)為6cm,一只螞蟻從點(diǎn)

A出發(fā)沿圓錐側(cè)面一周（回到原來(lái)的位置A）所爬行的最短路徑為cm.

S

【答案】6石

【分析】本題考查了圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角，把圓錐的側(cè)面展開(kāi)得到圓心角為120。，半徑為6cm的扇

形，求出扇形中120。的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)即為最短路徑.將圓錐中的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)到展開(kāi)圖中是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開(kāi)如圖，過(guò)點(diǎn)S作SCLAB,

S

SSA=SB=6cm,設(shè)ZASB=w°,即：2萬(wàn)x2=-------,得：”=120,

180

^AS=BS,SCLAB,SZSAB=ZSBA^30°,AC=BC^iSC=-AS=3cm

2

團(tuán)AC=‘AS?_sc?=3八m，0AB=2AC=673cm.故答案為：

變式2.(2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考二模)如圖，已知圓錐的底面半徑是2g,母線長(zhǎng)是6A/L如果A是底面圓

周上一點(diǎn)，從點(diǎn)A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點(diǎn)，則這根繩子的最短長(zhǎng)度是.

【答案】18

【分析】連接AC,過(guò)B作BQ0AC于。，設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角EABC為加利用弧長(zhǎng)公式可

求出w的值，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短可得AC為這根繩子的最短長(zhǎng)度，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用國(guó)CBD的

正弦值求出AC的長(zhǎng)即可得答案.

【詳解】如圖，連接AC,過(guò)B作加EAC于。，設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為”.

團(tuán)兩點(diǎn)間線段最短，0AC為這根繩子的最短長(zhǎng)度，

團(tuán)圓錐的底面半徑是2百，回AC=2乃=,回""A："=4下!兀，解得：〃=120°,

0BD0AC,BC=AB,EBC2￡)=g[3ABC=60°,CD=^AC,

ElCr)=BCsin60°=6石x@=9,EIAC=2CD=18,故答案為：18

2

【點(diǎn)睛】此題考查了圓錐的計(jì)算、等腰三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握?qǐng)A錐的底面圓的周

長(zhǎng)和扇形弧長(zhǎng)相等并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

核心考點(diǎn)3.不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算

例9：（2023年四川省成都市數(shù)學(xué)中考真題）為傳承非遺文化，講好中國(guó)故事，某地準(zhǔn)備在一個(gè)場(chǎng)館進(jìn)行

川劇演出.該場(chǎng)館底面為一個(gè)圓形，如圖所示，其半徑是10米，從A到8有一筆直的欄桿，圓心。到欄

桿AB的距離是5米，觀眾在陰影區(qū)域里觀看演出，如果每平方米可以坐3名觀眾，那么最多可容納

名觀眾同時(shí)觀看演出.（兀取3.14,6取1.73）

【答案】184

【分析】過(guò)點(diǎn)。作的垂線段，交AB于點(diǎn)C,根據(jù)直角三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系求出/AC?的角度，陰影面

積即為扇形A03的面積減去三角形AOB的面積，隨機(jī)可以求出容納觀眾的數(shù)量.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作的垂線段，交于點(diǎn)C,

圓心。到欄桿A3的距離是5米，.,.OC=5米，

QC]_________

OCVAB,sinZOBC=--=~,24s=2BC=2AC=2dOB?-OC°=10且米，：.^OBC=3Q°,

ODZ

OA=OB,ZAOB=180°-2ZOAB=120°,.??可容納的觀眾

=陰影部分面積x3=3x（S扇形4.一544翁）=3'[黑義》xl02一;xloGx5]“184.25（人），

，最多可容納184名觀眾同時(shí)觀看演出，故答案為：184.

【點(diǎn)睛】本題考查弓形的面積，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)，熟知扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

變式:L（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題（B卷））如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E為BC的中

點(diǎn)，連接AE,DE,以E為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別與AE,DE交于點(diǎn)N,則圖中陰影部分的面

積為.（結(jié)果保留兀）

AD

【分析】利用矩形的性質(zhì)求得48=。=2,3石=匿=2,進(jìn)而可得

NBAE=ZAEB=ZDEC=ZCDE=45°,然后根據(jù)S陰影=2（S布-S扇形BEM）解答即可.

【詳解】解：團(tuán)四邊形ABCD是矩形，AB=2,BC=4,E為BC的中點(diǎn)，

SAB^CD=2,BE=CE^-BC^2,ZABC=NDCB=90°,EZBAE=ZAEB=ZDEC=ZCDE=45°,

2

13s陰影=2（54帥一5扇形BEM）=2X］；X2X2—空年］=2x［2-；萬(wàn)］=4一萬(wàn)；故答案為：4一萬(wàn).

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和不規(guī)則面積的計(jì)算，熟練掌握矩形的性質(zhì)、明確陰影面積為兩個(gè)全等的

等腰直角三角形的面積減去兩個(gè)圓心角為45。的扇形面積是解題關(guān)鍵.

變式2.（2023年青海省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)是4,分別以點(diǎn)A,B,C,。為圓心，

2為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積是（結(jié)果保留萬(wàn)）.

【分析】分析出陰影面積=正方形面積一圓的面積，再利用相應(yīng)的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：由圖得，陰影面積=正方形面積T個(gè)扇形面積，

即陰影面積=正方形面積一圓的面積，陰影=42-％"=16-4〃.故答案為：16-4萬(wàn).

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的求法，正方形面積及圓的面積的求法是解題關(guān)鍵.

例10：（2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2,對(duì)角線ACBZ）相交于點(diǎn)

O,以點(diǎn)8為圓心，對(duì)角線8。的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交3c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積

為.

AD

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出陰影部分的面積為扇形BED的面積，然后由勾股定理得出3。=20，再

由扇形的面積公式求解即可.

【詳解】解：正方形ABC。，［3AO=CO,BO=DO,AD=CD,NDBE=45。,AAOD^,tCOB（SSS）,

團(tuán)正方形A3CD的邊長(zhǎng)為2,^\BD=V22+22=2A/2

團(tuán)陰影部分的面積為扇形3ED的面積，即45x萬(wàn)x（21）故答案為：萬(wàn).

-JL

360

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)及扇形的面積公式，理解題意，將陰影部分面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.

變式1.（2023年山東省濱州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，某玩具品牌的標(biāo)志由半徑為1cm的三個(gè)等圓構(gòu)成，且

三個(gè)等圓601,6。2,6。3相互經(jīng)過(guò)彼此的圓心，則圖中三個(gè)陰影部分的面積之和為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)圓的對(duì)稱性可知：圖中三個(gè)陰影部分的面積相等，只要計(jì)算出一個(gè)陰影部分的面積即可，如

圖，連接Aojaoa,陰影AQU的面積=扇形AQQ的面積，據(jù)此即可解答.

【詳解】解：根據(jù)圓的對(duì)稱性可知：圖中三個(gè)陰影部分的面積相等；

如圖，連接A。"見(jiàn)。。，則△AO02是等邊三角形，

團(tuán)NAG.=60°,弓形AQ.Aa，。。2的面積相等，

團(tuán)陰影AQQ的面積=扇形AO.的面積=里裝上=1萬(wàn)cn?,

團(tuán)圖中三個(gè)陰影部分的面積之和=3x）乃=1乃cn?；故選：c

62

【點(diǎn)睛】本題考查了不規(guī)則圖形面積的計(jì)算，正確添加輔助線、掌握求解的方法是解題關(guān)鍵.

變式2.（2023年湖北省恩施州中考數(shù)學(xué)真題）如圖，等圓二。1和。2相交于A,8兩點(diǎn)，。經(jīng)過(guò)。2的

【答案】D

【分析】先證明“AC。也.Be。?，再把陰影部分面積轉(zhuǎn)換為扇形面積，最后代入扇形面積公式即可.

???等圓一。1和0。2相交于A,B兩點(diǎn).?.，AB,AC=

。和02是等圓QA==O.B=O2B...OXO2B是等邊三角形...NOQB=60。

■,-ZACOj=ZBCO2=90°,AC=BC,CA=O2BACOX注BCO2

=扇形=彳?故選：

SBCO2+S圖形5cq=SBOQ=360D?

【點(diǎn)睛】本題考查了相交弦定理，全等的判定及性質(zhì)，扇形的面積公式，轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正六邊形ABCDM的外接圓。的半徑為2,過(guò)圓

心。的兩條直線6、4的夾角為60。，則圖中的陰影部分的面積為（）

D.23

C.—7i-A/3

332

【分析】如圖,連接AO,標(biāo)注直線與圓的交點(diǎn)，由正六邊形的性質(zhì)可得：A,O,。三點(diǎn)共線，ACOD

為等邊三角形，證明扇形AOQ與扇形COG重合，可得/影=S扇形coo-Sc”，從而可得答案.

【詳解】解：如圖，連接AO,標(biāo)注直線與圓的交點(diǎn),

由正六邊形的性質(zhì)可得：A,。，。三點(diǎn)共線，△COD為等邊三角形,

mZAOQ=/DOH,ZCOD=ZGOH=60°,ElZCOG=ZDOH=ZAOQ,

回扇形A。。與扇形COG重合，聞S陰影=S扇形co。-S.COD,

回為等邊三角形，OC=OD=2,過(guò)。作0長(zhǎng)，8于長(zhǎng)，

0ZCOD=60°,CK=DK=1,。長(zhǎng)=廬下=百，

團(tuán)S陰影=S^COD-sCOD=-=-x2xV3=--V3；故選C

屈形3602"3'

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形與圓，扇形面積的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，熟記正六邊形的性質(zhì)是解本題

的關(guān)鍵.

例11：（2023年四川省廣安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在等腰直角..ABC中，ZACB=90°,AC=BC=272,

以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑畫(huà)弧，交A3于點(diǎn)E,以點(diǎn)8為圓心，BC為半徑畫(huà)弧，交A3于點(diǎn)尸，則圖中

陰影部分的面積是（）

K

A.71—2B.2元—2C.27r—4D.47c—4

【答案】C

【分析】先利用扇形的面積公式求出扇形ACE和扇形BCb的面積，再減去—ABC的面積即可得.

【詳解】解：.ABC是等腰直角三角形，\/A=?345?,

AC=BC=2A/2,回圖中陰影部分的面積是S扇形ACE+S扇形BCF—,^Rt,ABC

=45兀x（2?十45兀x（2?」_4,故選：C.

3603602'J'）

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積，熟練掌握扇形的面積公式是解題關(guān)鍵.

變式1.（2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在一ABC中，ZABC=90°,/ACB=30。，

AB=4,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，以。為圓心，。3長(zhǎng)為半徑作半圓，交AC于點(diǎn)O,則圖中陰影部分的面積是

（）

A.56一%

B.5&'-4%C.5宕-2萬(wàn)D.106-2萬(wàn)

【答案】C

【分析】連接OD,BD,作0〃LCD交CD于點(diǎn)H,首先根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)度，然后利用解直角

三角形求出2。、C。的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到。即是等邊三角形，400=60。，然后根據(jù)30。角直角三角形的

性質(zhì)求出O”的長(zhǎng)度，最后根據(jù)S陰影=SACB-SCOD-S扇形”8進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖所示，連接0。，作OHLCD交C。于點(diǎn)H

BC==A6=_4_=4且

回在&ABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,AB=4,0-tan/ACB-tan30°--，

T

國(guó)點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，以。為圓心，08長(zhǎng)為半徑作半圓，回BC是半圓的直徑，0ZCDB=90°,

0ZACB=30°,EBD=1BC=2A/3,CD=BC.cos/BCD=4有義與=6,

又@OB=OC=OD=LBC=26,0OB=OD=BD,ElA03。是等邊三角形，0ZBO￡）=6O°,

2

GOHLCD,ZOCH=30°,0OH=-OC=V3,

2

n1l1L60^-X（2A/3）.、出廣

C

回S陰影=5AAeB-SACOD-S扇形.=5義4*4有一百x6——牙工=$也-2k故選：-

【點(diǎn)睛】本題考查了30。角直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形面積，勾

股定理等知識(shí)，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?湖北十堰?中考真題）如圖，扇形AOB中，ZAOB=90°,OA=2,點(diǎn)C為。8上一點(diǎn)，將扇

形AOB沿AC折疊，使點(diǎn)5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)方落在射線AO上，則圖中陰影部分的面積為.

【答案】2/4-4也

【分析】連接A3,在向”02中，由勾股定理，求得AB=2應(yīng)，由折疊可得：AB'=AB=2e

CB'=CB,則05'=2〃—2，設(shè)。C=x,則CB'=CB=2-x,在RdC。"中，由勾股定理，得

（2A/^—2）+尤’=（2—九）2,解得：x-2>/2—2,最后由S照影:5嬴^2SAAOC求解即可.

【詳解】解：連接AB,

在中，由勾股定理，得A樂(lè)辰+OC。=也2+*=2叵，

由折疊可得：AB'=AB=2母,CB'=CB,團(tuán)05'=2血—2，設(shè)OC=x,則C3'=CB=2-x,

在必AC。"中，由勾股定理，得(2應(yīng)—2『+*=(2—犬了，解得:足26■一2,

9QTZ"x2219QTZ"x2?1(1—、

S陰跖S扇形~2St\AOC=--------------2x—OA-OC=-----------2x—x2x(2-^2—21=2加+4-4^/2，故答案

18021802\'

為：2〃+4-40.

【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積，利用折疊的性質(zhì)和勾股定理求出OC長(zhǎng)是解題關(guān)

鍵.

變式3.(2023?河南周口?統(tǒng)考二模)如圖1所示的是以AB為直徑的半圓形紙片，AB=6,沿著垂直于AB

的半徑OC剪開(kāi)，將扇形Q4C沿AB向右平移至扇形OBC',如圖2,其中點(diǎn)A與點(diǎn)。重合，點(diǎn)。與點(diǎn)5重

合，則圖中陰影部分的面積為.

【答案】3萬(wàn)-王

4

【分析】連接AE,作田，AB于點(diǎn)。，S扇形-S3E,即可求得弧班和以及DE圍成的重疊部分的面

積，則重疊部分的面積即可求得.

本題考查了扇形的面積的計(jì)算，正確理解不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和、差計(jì)算是關(guān)

鍵.

【詳解】解：連接AE,作于點(diǎn)￡>.

67

60^x(—)23

AE=AB=2AD,.\ZAED=30°:.ZEAB=60°

s扇形=一麗——5萬(wàn)

222

在直角VADE中，DE=y]AE-AD=J3-