山東省淄博市淄川中學(xué)2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題

淄川中學(xué)2016級(jí)高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷一、選擇題1.已知,i是虛數(shù)單位，若，則a=（A）1或1（B）（C）（D）2.設(shè)有下面四個(gè)命題：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)，則.其中的真命題為A. B． C． D．3．已知函數(shù)，則的值為()A． B．C．D．04.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（A）（–∞，1）（B）（–∞，–1）（C）（1，+∞）（D）（–1，+∞）5．下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是()①y＝cosx(x∈R)是三角函數(shù)；②三角函數(shù)是周期函數(shù)；③y＝cosx(x∈R)是周期函數(shù)．A．①②③ B．②①③C．②③① D．③②①6.展開式中的系數(shù)為A．15 B．267．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是()A． B．C． D．8.安排4名志愿者完成5項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有（）A．120種B．180種C．240種D．36種9．已知,其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,則的值為A． B．C． D．10．在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率，則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p的取值范圍是()A．[0．4,1] B．(0,0．4]C．(0,0．6] D．[0．6,1)11.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且,當(dāng)時(shí)，有恒成立，則不等式的解集為（）A．B．C．D．12．若存在過(guò)點(diǎn)O(0,0)的直線l與曲線和都相切，則a的值是()．A．1B．eq\f(1,64)C．1或eq\f(1,64)D．1或－eq\f(1,64)二、填空題13．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為，則=。14.曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角的余弦值為15.已知多項(xiàng)式32=，則=________．16．函數(shù)，則的值為17.用數(shù)字0,1，2，3，4，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為18.在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率為eq\f(65,81)，則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為三、解答題19.甲、乙、丙3人投籃，投進(jìn)的概率分別是eq\f(1,3)，eq\f(2,5)，eq\f(1,2)．(1)現(xiàn)3人各投籃1次，求3人至少一人投進(jìn)的概率；(2)用ξ表示乙投籃4次的進(jìn)球數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望Eξ．20.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為.（1）若a=1，求判斷C與l的位置關(guān)系；（2）若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為2，求.21.設(shè)函數(shù)(x∈R)，已知是奇函數(shù)，且F(1)＝－11.(1)求的值；(2)求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.22.對(duì)于n∈N*，用數(shù)學(xué)歸納法證明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2)．23.已知函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）如果當(dāng)且時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍．

淄川中學(xué)2016級(jí)高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)答案一、選擇題ADACBBCCBABC二、填空題13.14.15.3216.6+17.7018.三、解答題19.（1）記“甲投籃1次投進(jìn)”為事件a，“乙投籃1次投進(jìn)”為事件b，“丙投籃1次投進(jìn)”為事件c；“至少一人投進(jìn)”為事件A。P（A）=1P(a)P(b)P(c)=（2）隨機(jī)變量的可能取值為：0,1,2，3，4；且所以，（k=0，1，2，3，4）故，隨機(jī)變量的概率分布為：01234PE（）=0*+1*+2*+3*+4*=20.（1）解：曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），化為標(biāo)準(zhǔn)方程是：+y2=1；

a=1時(shí)，直線l的參數(shù)方程化為一般方程是：x+4y5=0；

聯(lián)立方程，

解得:；所以橢圓C和直線l相切．

（2）l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）化為一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，

橢圓C上的任一點(diǎn)P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），

所以點(diǎn)P到直線l的距離d為：

d==，φ滿足tanφ=，

又d的最大值dmax=2，

所以|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|的最大值為34，因?yàn)閍>0；

得：或﹣5﹣a﹣4=﹣34，

即a=25．

21．解因?yàn)閒(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c.從而F(x)＝x3＋bx2＋cx＋d－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x＋(d－c)，由F(x)是一個(gè)奇函數(shù)，所以F(0)＝0，F(xiàn)(－x)＝－F(x)，得d－c＝0，b－3＝0，故b＝3，d＝c.又由F(1)＝－11可得1＋(b－3)＋(c－2b)＋(d－c)＝－11，即b－d＝9，所以d＝c＝－6.B+2C3D=9(2)由(1)知F(x)＝x3－12x，從而F′(x)＝3x2－12，令3x2－12＝0，得x＝±2，由F′(x)＝3x2－12＞0，得x＞2或x＜－2，由F′(x)＝3x2－12＜0，得－2＜x＜2.故(－∞，－2)和(2，＋∞)是函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，(－2,2)是函數(shù)F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．F(x)在x＝－2時(shí)取得極大值，極大值為16，F(xiàn)(x)在x＝2時(shí)取得極小值，極小值為－16.22.證明：設(shè)f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1.(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，等式成立；(2)設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝eq\f(1,6)k(k＋1)(k＋2)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－2]·3＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＝eq\f(1,6)k(k＋1)(k＋2)＋eq\f(1,2)(k＋1)(k＋1＋1)＝eq\f(1,6)(k＋1)(k＋2)(k＋3)．∴由(1)(2)可知當(dāng)n∈N*時(shí)等式都成立．23、已知函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）如果當(dāng)且時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍．解：（1）定義域?yàn)?分設(shè)①當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，，所以在上是增函數(shù)4分②當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)6分③