北師大版八年級數(shù)學(xué)常見題型專練：二次根式（8種題型）（解析版）

第08講二次根式（8種題型）

3【知識梳理】

一.二次根式的定義

二次根式的定義：一般地，我們把形如心（。20）的式子叫做二次根式.

①“廠”稱為二次根號

②a（020）是一個非負數(shù)；

.次根號

連開方數(shù)

學(xué)習(xí)要求：

理解被開方數(shù)是非負數(shù)，給出一個式子能準確的判斷其是否為二次根式，并能根據(jù)二次根式的定義確定被開

方數(shù)中的字母取值范圍.

二.二次根式有意義的條件

判斷二次根式有意義的條件：

（1）二次根式的概念.形如遍Q20）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍.二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù).

（3）二次根式具有非負性.4（?>0）是一個非負數(shù).

學(xué)習(xí)要求：

能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的

非負性解決相關(guān)問題.

【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件

1.如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非

負數(shù).

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零.

三.二次根式的性質(zhì)與化簡

（1）二次根式的基本性質(zhì)：

①C20;g0（雙重非負性）.

②（二）2=a（a20）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）.

a(a>0)

③，"巫=同=<0(a=0)(算術(shù)平方根的意義)

~a(a<0)

（2）二次根式的化簡：

①利用二次根式的基本性質(zhì)進行化簡;

②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行化簡.

Vab=Va,Vb(心0，6河)

（3）化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得

盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于

根指數(shù)2.

【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法

1.常見題型：與分式的化簡求值相結(jié)合.

2.解題方法：

（1）化簡分式：按照分式的運算法則，將所給的分式進行化簡.

（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結(jié)果.

（3）檢驗結(jié)果：所得結(jié)果為最簡二次根式或整式.

四.最簡二次根式

最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方

數(shù)或平方式的因數(shù)或因式.

如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2、3、a（a》O）、x+y等；

含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、c/2、（x+y）2、x2+2xy+y2等.

五.二次根式的乘除法

（1）積的算術(shù)平方根性質(zhì)：Va^b=Va,Vb（aNO,bNO）

（2）二次根式的乘法法則：Va,Vb=Va^b（。20，b20）

（3）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：5=親（。三①b>0）

（4）二次根式的除法法則：#=強（a>0,b>0）

規(guī)律方法總結(jié)：

在使用性質(zhì)a-b（。20,b20）時一定要注意。20,b20的條件限制，如果oVO,b<0,使

用該性質(zhì)會使二次根式無意義，如（JR）X（口）W-4X-9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，

商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運算也是如此.

六.二次根式的加減法

（1）法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合

并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變.

（2）步驟：

①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號.

②把不是最簡二次根式的二次根式進行化簡.

③合并被開方數(shù)相同的二次根式.

（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：

二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進行合并.合并時，只合并根式外的因式，即系數(shù)相

加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變.

七.二次根式的混合運算

（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用.學(xué)習(xí)二次根式的混合運算

應(yīng)注意以下幾點：

①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的.

②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作”多項式

（2）二次根式的運算結(jié)果要化為最簡二次根式.

（3）在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往

往能事半功倍.

八.二次根式的化簡求值

二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值.

二次根式運算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干

擾.

九.二次根式的應(yīng)用

把二次根式的運算與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識的整體性，不斷豐富解決

問題的策略，提高解決問題的能力.

二次根式的應(yīng)用主要是在解決實際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運算的方法.

W【考點剖析】

一.二次根式的定義（共4小題）

1.（2023春?廬陽區(qū)校級期末）下列式子中，一定是二次根式的是（）

A.52023B.V8C.如D.VI

【分析】形如心（。三0）的式子即為二次根式，據(jù)此進行判斷即可.

【解答】解：而目不符合二次根式定義，

則/不符合題意；

?=2近，符合二次根式的定義，

則8符合題意；

軻不符合二次根式定義，

則C不符合題意；

當(dāng)。<0時，孤不符合二次根式定義，

則。不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查二次根式的定義，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握.

2.（2023春?大石橋市期中）下列各式是二次根式的有（）

（I）&L⑵（3）&+「（4）炯;（5）V-2X-2.

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】根據(jù)形如?（。20）的式子是二次根式，可得答案.

【解答】解：二次根式有（1）V21）（3）力2+1，

故選：C.

【點評】本題考查了二次根式，二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù).

3.（2022秋?門頭溝區(qū)期末）下列代數(shù)式能作為二次根式被開方數(shù)的是（）

A.xB.3.14-itC.x2+lD.x2-1

【分析】根據(jù)二次根式的定義解答即可.

【解答】解：：x2+l>0,

.,.?+1能作為二次根式被開方數(shù).

故選：C.

【點評】本題考查的是二次根式的定義，一般地，我們把形如遍（a^O）的式子叫做二次根式是解題的

關(guān)鍵.

4.（2022秋?寧德期末）已知。是正整數(shù)，J通是整數(shù)，則。的最小值是2.那么若6是正整數(shù)，

是大于1的整數(shù)，則b的最大值與最小值的差是45.

【分析】由相耳運，結(jié)合6是正整數(shù)，相E是大于1的整數(shù)，可得6是15的倍數(shù)，從而可

得答案.

［解答］解：?.?相正那守區(qū),

又是正整數(shù)且是大于1的整數(shù)，

.?.當(dāng)6=15時，，等的整數(shù)值最大為4,此時6的值最小，

當(dāng)6=60時，相E的整數(shù)值最小為2,此時6的值最大，

：.b的最大值與最小值的差是60-15=45.

故答案為：45.

【點評】本題考查的是算術(shù)平方根的含義與估算，理解題意是解本題的關(guān)鍵.

二.二次根式有意義的條件（共3小題）

5.（2023春?江夏區(qū)校級期末）若使二次根式^/存1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A.x》3B.x>3C.x<3D.xW3

【分析】直接利用二次根式有意義的條件，被開方數(shù)是非負數(shù)，進而得出答案.

【解答】解：若使二次根式J-3+X在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,則-3+尤20,

解得：

故選：A.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

6.（2022秋?寶山區(qū)期末）如果歹=j3-2xW2x-3，貝!Jx+歹的值為（）

A.—B.1C.—D.0

23

【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出X,V的值，進而得出答案.

【解答】解：；3-2x20,2x-320,

則X2旦，xw3,

22

解得：x=3,

2

故y=0,

則+0=—.

22

故選：A.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確得出x,y的值是解題關(guān)鍵.

7.（2023春?東港區(qū)校級月考）已知x,>為實數(shù)，且y=Vx2-9則（）

A.-1B.-7C.-1或-7D.1或-7

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)得出x,>的值，然后討論進而得出答案.

【解答】解：,:yMx2-9-J9-x2+4,

.??%2=9,y=4,

.*.%=±3,

當(dāng)x=3,y=4時，x-y=3-4=-l；

當(dāng)x=-3,y=4時，x-y=-3-4=-7；

.*.x-y=-1或-7.

故選：C.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確得出x的值是解題關(guān)鍵.

三.二次根式的性質(zhì)與化簡（共4小題）

8.（2023春?合川區(qū)期末）實數(shù)加對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡1（m-2）2+J（m-7）2的結(jié)果為

（）

___I____I____I____I____I伊I___

-101234

A.2m-9B.-5C.5D.9-2m

【分析】由數(shù)軸可得3Vm<4,然后根據(jù)匠=同=<"'進行化簡即可.

【解答】解：由數(shù)軸可得3c加<4,

那么m-2>0,m-7<0,

原式=|加-2田加-7|

=m-2+7-m

=5,

故選：C.

【點評】本題考查實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，二次根式的性質(zhì)，利用數(shù)軸判斷出加-2>0,加-7<0是解題的

關(guān)鍵.

9.（2023春?泰山區(qū)校級期中）把根號外的因式移入根號內(nèi)，化簡的結(jié)果是（）

A.Vl-xB.Vx-1C.-Vx-1D.-Vl-x

【分析】由于被開方數(shù)為非負數(shù)，可確定的取值范圍，然后再按二次根式的乘除法法則計算即可.

【解答】解：由已知可得，x-K0,即1-x>0.

所以'-~

故選：D.

【點評】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，由已知得出x-1的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵.

10.（2023?婁底二模）如果^6一2）2=27,那么x取值范圍是（）

A.%W2B.x<2C.xN2D.x>2

【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是一個20的數(shù)，可得不等式，解即可.

【解答】解：（X-2）2=2-X，

-2W0,

解得

故選：A.

【點評】本題考查了二次根式的化簡與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是要注意被開方數(shù)的取值范圍.

11.（2023春?莘縣期末）若2<。<3,則，a2-4a+4H（a-3）2等于（）

A.5-2aB.\-2aC.2a-5D.2。-1

【分析】先根據(jù)2<a<3把二次根式開方，得到a-2-（3-°）,再計算結(jié)果即可.

【解答】解：V2<a<3,

,,Va2-4a+4->/（a-3）2

—a-2-（3-。）

=a-2-3+Q

=2a-5.

故選：C.

【點評】本題考查了二次根式的化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

四.最簡二次根式（共2小題）

12.（2022秋?平度市期末）下列各式：①患，②近,③。五，@VQ72＞最簡二次根式有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可.

【解答】解：①點=零，不是最簡二次根式；

②近,是最簡二次根式；

③百§=3&,不是最簡二次根式；

④疝工=匹，不是最簡二次根式，

5

最簡二次根式有②；

故選：A.

【點評】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，滿足以下兩個

條件的二次根式，叫最簡二次根式：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含有能開

得盡方的因數(shù)和因式.

13.（2023春?南京期末）下列二次根式中，最簡二次根式是（）

A.V12B.遍C.4口?患

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義，逐一判斷即可解答.

【解答】解：A、712=273-故N不符合題意；

B、&是最簡二次根式，故8符合題意；

C、故C不符合題意；

D、患=喙，故D不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.

五.二次根式的乘除法（共6小題）

14.（2023春?仙游縣期中）下列運算正確的是（）

A.V2*Vs=V5B.9axC.娓乂近=12D.V24-11=6

【分析】直接利用二次根式的乘除運算法則分別化簡得出答案.

【解答】解：/、&返，故此選項錯誤;

B、9A/3X=9X1=3,故此選項錯誤;

3

C、氓乂近=2'底故此選項錯誤;

D、724-,故此選項正確;

故選：D.

【點評】此題主要考查了二次根式的乘除法，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

15.（2021秋?古冶區(qū)期末）計算:

(1)V3XV12；

(2)xV27-

【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法運算即可求得;

（2）根據(jù)二次根式的乘法運算即可求得.

【解答】解：（1）原式=13X12

=V36

=6；

（2）原式=

=對

=3.

【點評】本題考查了二次根式的乘法運算，化簡二次根式，熟練運用運算法則是解決本題的關(guān)鍵.

⑹⑵23春?興縣期中）若合佑成立，則,）

A.x<6B.04W6C.x20D.0Wx<6

【分析】根據(jù)分式和二次根式有意義的條件進行解答即可.

【解答】解：要使成立,

后^V6-x

則,

I6-x>0

解得：0?6,故。正確.

故選：D.

【點評】本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的被開方數(shù)大

于等于0,分式的分母不等于0.

17.（2023春?蓬萊區(qū)期中）已知則。0.063=（）

A辿B.辿C.旦D.辿

1010100100

【分析】把0.063寫成分數(shù)的形式，化簡后再利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，寫成含油的形式.

【解答】解：VO7O63=J630-=^

V10000100

=詬xg

100

y[]A=b,

原式=&也.

100

故選：D.

【點評】本題考查了二次根式的化簡及積的算術(shù)平方根的性質(zhì).積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：?=石?瓜

（心0,620）

18.（2023春?密云區(qū)期末）計算：

【分析】根據(jù)二次根式的乘除法法則計算即可.

【解答】解：原式=2遙X3巨X返

23

=76x72x73

=6.

【點評】本題考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法則是解題的關(guān)鍵.

19.（2022春7皇中區(qū)校級月考）3遍X2JI5.

【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則求解.

【解答】解：原式=6^/50

=30日

【點評】本題考查了二次根式的乘除法，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的乘法法則.

六.二次根式的加減法（共5小題）

20.（2022秋?道外區(qū)期末）下列計算正確的是（）

A.74^9=713B.VsW3=V5C.3V2W2=-2＞/2D.V3*V5=V15

【分析】根據(jù)二次根式的運算法則，依次計算各個選項，即可進行解答.

【解答】解：4、遍+\^=2+3=5，故/不正確，不符合題意；

B、&-\巧=小歷-愿，故3不正確，不符合題意；

c、3&-我=2A歷，故C不正確，不符合題意；

D、V3'V5=V15,故。正確，符合題意.

故選：D.

【點評】本題主要考查了二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的運算法則.

21.（2022秋?渠縣校級期末）計算6-7^7的結(jié)果是（）

A.A/6B.-1C.A/3D.-百

【分析】直接化簡二次根式，進而合并二次根式得出答案.

【解答】解：原式=2?-3日

=-后

故選：D.

【點評】此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

22.（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）規(guī)定用符號[河表示一個實數(shù)加的整數(shù)部分，^$0：[-|]=0-[3.14]=3,按

此規(guī)定[7-的值為4.

【分析】直接估算通的取值范圍，進而結(jié)合符號阿]表示一個實數(shù)加的整數(shù)部分，進而得出答案.

【解答】解：???2＜相＜3,

.,?[7-V5]=4.

故答案為：4.

【點評】此題主要考查了二次根式的加減，正確估算無理數(shù)的大小是解題關(guān)鍵.

23.（2023?松北區(qū)三模）計算技-3患的結(jié)果是

【分析】先把各二次根式化為最減二次根式，再合并同類項即可.

【解答】解：原式=3百

=2?.

故答案為：2M.

【點評】本題考查的是二次根式的加減法，熟知二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，

再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變是解答此題的關(guān)鍵.

24.（2023春?涪城區(qū)期中）已知實數(shù)冽、n、p滿足等式4m-3+n73-m-n=5/3m+5n-2-p+Jm-n-p，則

p=5.

【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式求出m+n的值，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出方程組，然后求解即可.

【解答】解：由題意得，m-3+〃20且3-機-

解得冽+〃23且加+〃<3,

所以冽+〃=3,

所以，等式可化為V3m+5n_2_pWirrn-p=0,

由非負數(shù)的性質(zhì)得，煙+5n-2-p=0,

Im-n-p=0

解得（22,

U=5

故〃的值為5.

故答案為：5.

【點評】本題考查的知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，二元一次方程組的解法，難點在于求出

加+〃=3并整理等式.

七.二次根式的混合運算（共3小題）

25.（2023春?宿城區(qū)期末）計算：（炳-勺/多.

【分析】先進行乘法的運算，化簡運算，再進行加減運算即可.

【解答】解：（弧W§）x亞-唔

=2&XV2+V3X&-4X遮

2

=4+Vo-2^6

=4-我.

【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握.

26.（2023春?金川區(qū)校級期中）計算：

⑴V12-3V8+2V78；

⑵973+7V12+5748+2^;

（3）V24^-V3-V6X2V3；

⑷（遍-愿）2-（述+2）（述-2）?

【分析】（1）（2）先化簡二次根式，再根據(jù)二次根式的加減計算法則求解即可；

（3）根據(jù)二次根式的混合計算法則求解即可；

（4）根據(jù)平方差公式和完全平方公式求解即可.

【解答】解：（1）原式=273-672+小/§=873-6A/2；

（2）原式=973+14>/3+2oV3=131^；

（3）原式=憫-4&；

（4）原式=（5-2^15+3）-（5-4）=8-2^15-5+4=7-2A/15.

【點評】本題主要考查了二次根式的加減計算，二次根式的混合計算，完全平方公式和平方差公式，熟

知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵.

27.（2023春?潘集區(qū)期末）計算：

⑴V27-2^12+2^-xV6;

⑵（2V5-5V2）（2V5+5V2）-（V5-V2）2-

【分析】（1）先化簡二次根式，再合并即可；

（2）先利用平方差公式和完全平方公式化簡二次根式，再合并即可.

【解答】解：（1）原式=3百-4遮+&義遍

=3近一4回+2?

=?；

（2）原式=（2遍）°一（5近）2-（V5）。+2乂臟乂近-（V2）2

=20-50-5+2^10-2；

=2^/10-37.

【點評】本題考查的是二次根式的混合運算，在進行此類運算時，一般先把二次根式化為最簡二次根式

的形式后再運算.

八.二次根式的化簡求值（共4小題）

28.（2023春?福清市期中）已知1=丁g+"\/3，JE，求/+町的值.

【分析】根據(jù)二次根式的加法法則、乘方法則分別求出x+八xy,根據(jù)完全平方公式把原式變形，代入計

算即可.

【解答】解：正，y=A-

?冒口=（V5+V3）+（遙一F）:2疾,xy=（V5+V3）（遙一F）=5-3=2,

?\x2+xy+y2

=x+2xy+y-xy

=2-xy

=（2、而）2-2

=20-2

=18.

【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的加法法則、乘方法則、完全平方公式是解

題的關(guān)鍵.

29.（2023春?泰安期中）（1）當(dāng)a=3-2\歷時，求代數(shù)式a+24a2-6a+9的值?

（2）當(dāng)a=3+2&，b=3-2&，求代數(shù)式。2-3仍+序的值.

【分析】（1）先判斷出。-3的符號，再把二次根式進行化簡即可；

（2）把原式化為（a-b）2-處的形式，再把a,b的值代入進行計算即可.

【解答】解：（1）.:a=3-2版,

：.a-3=3-2M-3=-2&<0,

a+27(a-3)2

=q+2(3-a)

—'tz-l-6-2Q

=6-Q,

=6-(3-2A/2)

=6-3+2V2

=3+26；

(2)?：a=3+2加，b=3-2%，

：.a-6=3+2&-3+2&=4、日,ab=(3+2揚(3-2折=1

-3ab+t^

=(a-b)2-ab

=(4V2)2-1

=32-1

=31.

【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值，熟知二次根式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵.

30.（2023春?虹口區(qū)期末）已知：a+b=-2,ab=\,求：叢^+a?！龅闹?

【分析】根據(jù)。+6=-2,加=1可知a,b互為倒數(shù)，且。<0,b<0,再把代數(shù)式進行化簡，進而可得出

結(jié)論.

【解答】解：-2,ab=l,

??a,6互為倒數(shù)，且Q<0,b<0,

...原式=_

ab

__b___a_

ab

,22

=-b-軟

abab

=-b2-a2

=-（6Z2+/）2）

=-（a+b）2-Zab

=-4-2

=-6.

【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值，根據(jù)題意得出。<0,6V0是解題的關(guān)鍵.

31.（2022秋?羅湖區(qū)校級期末）小明在解決問題：已知求2/-8。+1的值，他是這樣分析與解

2W3

答的：

——我l=2$-

2m（2W3）（2W3）

?-a-2=-

（Q-2）2=3,即Q2-4〃+4=3.

??a~4。=-1,

2/-8a+l=2（屋-4。）+1=2X（-1）+1=-1.

請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：

（1）計算：?—=石-1;

V2+1

（2）計算:----------------+---------------------十十-------------------------------------

V2+1迎啦V4+V3V2020W2019

⑶若。=-3—，求2/-8。+1的值.

V5-2

【分析】（1）根據(jù)小明的解答過程即可進行計算;

（2）結(jié)合（1）進行分母有理化，再合并即可得結(jié)果；

（3）根據(jù)平方差公式，可分母有理化，根據(jù)整體代入，可得答案.

【解答】解：（1）「近1——=&-1，

V2+1（V2+1）（V2-1）

故答案為：V2-1；

（2）原式=6-i+x/3-V2+V4--/3+-+V2020-V2019

=72020-1

=27505-1：

（3）：a=遙+2,

.,.a-2=A/5.

（Q-2）2=5,即a2-4Q+4=5.

n&

??ci~4Q=1,

：.2a2-8a+l=2（/-4。）+1=2X（1）+1=3.

答:2a2-8a+1的值為3.

【點評】本題考查了分母有理化的應(yīng)用，能求出。的值和正確變形是解此題的關(guān)鍵.

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2023春?浙江寧波?八年級寧波市第十五中學(xué)校考期中）若根式向！有意義，則x的取值范圍是

（）

A.x=2B.%w2C.x>2D.x>2

【答案】D

【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列不等式求解即可.

【詳解】解：由題意得，x-2>0,

解得x>2.

故選：D.

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意

義.

2.（2023春?山東臨沂?八年級統(tǒng)考期末）下列二次根式為最簡二次根式的是（）

A.V12B.703C.J/+]D.怎7

【答案】C

【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念判斷.

【詳解】解：A、V12=2A/3,故不是最簡二次根式，不合題意；

B、屈=柏，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式，不合題意；

C、77W是最簡二次根式，符合題意；

D、后，被開方數(shù)含能開得盡方的數(shù)，不是最簡二次根式，不合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查的是最簡二次根式的概念，掌握被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)

或因式的二次根式是最簡二次根式是解題的關(guān)鍵.

3.（2023春?廣東惠州?八年級校考期中）已知：廊是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)〃為（）

A.2B.4C.5D.20

【答案】C

【分析】將屈化簡為2后，要是一個數(shù)開平方后為整數(shù)，那么這個數(shù)一定是完全平方數(shù)，即可解答.

【詳解】解：同?=2標，

???^^是整數(shù)，

,滿足條件的最小正整數(shù)〃為5,

故選：C.

【點睛】本題考查了求二次根式中參數(shù)的值，熟知二次根式的計算結(jié)果是整數(shù)的情況是解題的關(guān)鍵.

4.（2023春?河北廊坊?八年級統(tǒng)考期末）下列各式計算正確的是（）

A.2+后=2后B.J（-3）x（-4）=12

C.y[2x-j3=yf6D."+?=

【答案】C

【分析】根據(jù)二次根式的加法，乘法法則依次判斷即可.

【詳解】解：A、2+0不能再計算，錯誤，故不符合題意；

B、7（-3）x（-4）=V12=2^,錯誤，故不符合題意；

C、72x73=76,正確，符合題意；

D、V?+\[9=2+3=5,錯誤，故不符合題意；

故選：C.

【點睛】此題考查了二次根式的計算，正確掌握二次根式的加法和乘法法則是解題的關(guān)鍵.

5.（2023春?安徽淮南?八年級統(tǒng)考期末）若°=寂*己-癡+則p的取值范圍為（）

A.0<p<lB.1<p<2C.2<p<3D.3<p<4

【答案】A

【分析】根據(jù)二次根式的混合運算法則可進行求解.

【詳解】解：o=—而+志

=716-710

=4-710,

,/3<Vio<4,

o<4-Vio<i；

故選A.

【點睛】本題主要考查二次根式的運算，熟練掌握二次根式的乘除運算是解題的關(guān)鍵.

6.（2023春?北京海淀?八年級中關(guān)村中學(xué)?？计谥校┫铝卸胃街?，與百能合并的是（）

A.724B.720C.A/18D.g

【答案】D

【分析】化簡二次根式，找出與省是同類二次根式的即可.

【詳解】解：A、724=276，不能與右合并，則此項不符合題意；

B、而=2遙，不能與6合并，則此項不符合題意；

C、718=3>/2,不能與百合并，則此項不符合題意；

D、V12=2A/3,能與右合并，則此項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了二次根式的化簡、同類二次根式，熟練掌握二次根式的化簡方法是解題關(guān)鍵.

7.（2023?上海?八年級假期作業(yè)）已知X=3-2A/3,貝U—Gx+l的值為（

A.-4D.2石-8

【答案】B

【分析】將x=3-2石化為-3=-2有，將尤-6元+1=（X-3）2-9+1,代入值進行計算即可得到答案.

【詳解】解：,.,x=3-26，

.*.x-3=-2,\/3,

X2-6X+1=（X-3）2-9+1=（-2A/3）2-8=4,

故選：B.

【點睛】本題主要考查求代數(shù)式的值，將式子進行配方以及采用整體代入法是解題的關(guān)鍵.

8.（2023春?四川德陽?八年級統(tǒng)考期末）若最簡二次根式反與-斤能夠合并，則。的值是（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)最簡同類二次根式可以合并，即被開方數(shù)相同即可求解.

【詳解】解：：最簡二次根式衣■與-37§工斤能夠合并，

2a=3。一1,

解得：a=l.

故選C.

【點睛】本題考查最簡二次根式的定義，同類二次根式的定義.解題的關(guān)鍵是熟知同類最簡二次根式的被

開方數(shù)相同.

9.（2023春?廣東惠州?八年級統(tǒng)考期末）下列根式是最簡二次根式的是（）

A.aB.RC.y/5D.y/s

【答案】C

【分析】當(dāng)二次根式滿足：①被開方數(shù)不含開的盡方的數(shù)或式；②根號內(nèi)面沒有分母.即為最簡二次根

式，由此即可求解.

【詳解】解：A、4=2,不是二次根式，故本選項不符合題意；

,不是最簡二次根式，故本選項不符合題意;

C、6是最簡二次根式，故本選項符合題意;

D、血=2&,不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題主要考查了最簡二次根式，解題關(guān)鍵在于掌握最簡二次根式的定義.

10.（2023?全國?八年級假期作業(yè)）下列式子一定是二次根式是（）

A.y/^4B.itC.WD.不

【答案】D

【分析】根據(jù)二次根式的概念進行判斷即可.

【詳解】解：A、該代數(shù)式無意義，不符合題意；

B、乃是無理數(shù)，不是二次根式，故此選項不合題意；

C、該代數(shù)式是三次根式，故此選項不合題意；

D、占是二次根式，故此選項符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查二次根式的概念，確定被開方數(shù)恒為非負數(shù)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.（2023春?江蘇?八年級專題練習(xí)）已知〃是一個正整數(shù)，&麗是整數(shù)，則〃的最小值是.

【答案】3

【分析】直接化簡二次根式，再利用二次根式的性質(zhì)得出答案.

【詳解】解：，：W8n=65,

的最小正整數(shù)值是：3.

故答案為：3.

【點睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與定義，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

12.（2023春?江西贛州?八年級統(tǒng)考期中）計算：-后+&=.

【答案】-3直

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，加減運算方法即可求解.

【詳解】解：-V32+V2=-4A/2+A/2=-3^,

故答案為：-372.

【點睛】本題主要考查二次根式的加減運算，掌握二次根式的性質(zhì)進行二次根式的加減運算法則是解題的

關(guān)鍵.

13.（2023春?福建龍巖?八年級統(tǒng)考期末）當(dāng)x=4時，二次根式氐工的值為.

【答案】1

【分析】直接把x=4代入行工中進行求解即可.

【詳解】解：把x=4代入行二中得：如==6=4="=1,

故答案為：1.

【點睛】本題主要考查了求代數(shù)式的值，求算術(shù)平方根，正確計算是解題的關(guān)鍵.

14.（2023春?河南新鄉(xiāng)?八年級河南師大附中?？计谀┯嬎悖盒?#=.

［答案］叵金辟

【分析】先利用二次根式的性質(zhì)化簡，再合并即可.

【詳解】解：H-底=卑-屈=巫-瓜巫?

V2V222

故答案為：忌.

2

【點睛】本題考查了二次根式的減法，二次根式的性質(zhì)化簡，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

15.（2023春?山東泰安?八年級統(tǒng)考期末）計算：+行7+7-尤=.

【答案】4

【分析】根據(jù)二次根式有意義求出x=3,再代入求值即可.

【詳解】+萬

Jx-3>0

解得x=3,

[3-x>0

??yjx—3+\/3—x+7-尤=7-3=4,

故答案為：4.

【點睛】本題考查二次根式有意義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次根式被開方數(shù)非負這一隱藏條件求出x=3.

16.（2023春?廣東汕頭?八年級統(tǒng)考期末）計算：（2+退）（2-否y=

【答案】2-73

【分析】根據(jù)乘法公式、實數(shù)的運算法則進行求解即可.

【詳解】原式=（2+@（2-@（2-6）

=（4-3）x（2-V3）

=2-石

故答案為：2-上.

【點睛】本題考查實數(shù)的運算；靈活對運算式變形，采用合適的乘法公式進行巧算是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

17.（2023春?北京東城?八年級期末）已知工=2+石，求代數(shù)式（*-琰-2尤+5的值.

【答案】5

【分析】利用完全平方公式，將（尤--2x+5變式為（尤-2了+2,再代入數(shù)值解題.

【詳解】解：（無一丁-2x+5

—%2—2%+1—2%+5

=x2-4x+6

=（X-2）2+2

當(dāng)x=2+0時，

原式=（2+若-2『+2

=（南+2

=3+2

=5.

【點睛】本題考查代數(shù)式求值，涉及完全平方公式、二次根式的性質(zhì)，是重要考點，掌握完全平方公式是

解題關(guān)鍵.

18.（2023春?廣東江門?八年級統(tǒng)考期末）如圖，從正方形ABCD中載去兩個面積分別為24cm?和15cm2的

正方形和DR9G,求留下部分的總面積.

【答案】12V10cm2

【分析】先得出小正方形的邊長，從而求出大正方形的邊長，從而計算面積.

【詳解】解：從一個大正方形中裁去面積為24cm2和15cm2的兩個小正方形，

兩個小正方形的邊長分別為V24cm和V15cm,

，大正方形的邊長是（724+Vi5）cm,

留下部分的總面積為（舊+/）2-24-15=12而cn?.

【點睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是得出大正方形的邊長.

19.（2023?全國?八年級假期作業(yè)）閱讀材料，并解決問題:

定義：將分母中的根號化去的過程叫做分母有理化.如：將6:道分母有理化,解：原式=

2（昌@

心-塔心+塔=（75+73）.運用以上方法解決問題:

（1）將的M分母有理化;

（2）比較大?。海ㄔ跈M線上填“>”、“<”或"="）

①7^-------

②廠\~~7_________-y=-r(〃22,且"為整數(shù))；

yjn-y/n-l+1—

⑶化面:1+72+夜+石+石+/+...+7202^+72022'

【答案】⑴2-g

(2)?<；②<

(3)72022-1

【分析】（1）根據(jù)平方差公式將分子和分母都乘以2-g,即可求出答案;

（2）先分母有理化，求出后進行判斷即可;

（3）先分母有理化，最后合并即可.

【詳解】（1）解：

2)

(2+73)(2-73)

2-6

4-3

=2—5/3;

1A/6+V5

（2）①：不斯（后+灼=&>+下,

1,廣匕力廠\"+巡

布-瓜（6-指）（V7+指）

又,：非〈幣,

??A/6+^/5<y/y+,\/6，

11

,-----------<------------

??屈-百A/7-A/6

故答案為：<；

1y/n+yjn-1=Vn+Vn-1

②；[y[n-冊+y/n-})

又y/n—1<y/n+1，

y/n+J〃—1<y/n+1+y/n,

11

...--------==<--=--------

y/n-y/n-1{n+1-G'

故答案為：<；

「、1?1?1?1

⑶1+72+V2+V3+A/3+A/4+...十，2021+,2022

夜-1超-垃72022-72021

(V2+1)(A/2-1)+(73+V2)(^-A/2)++(J2022+,2021)(J2022-,2021)

=亞-1+代-0+〃-6+…+J2022-J2021

=12022-1.

【點睛】本題考查分母有理化，平方差公式的應(yīng)用，解的關(guān)鍵是能正確進行分母有理化.

20.（2023春?北京西城?八年級?？计谥校┘褐獂=?+6，y=S6求+的值.

【答案】4H

【分析】先求出x+y,孫，然后把所求式子分解因式后再整體代入求解即可.

【詳解】解：■:x=亞+也,y=A/5—,

x+y=2下,xy=（石+6）（斯-6）=2,

j^y+xy1=xy（^x+y^=2x2\f5=445.

【點睛】本題考查了二次根式的代入求值，正確變形、準確計算是解題的關(guān)鍵.

21.（2023春?廣東惠州?八年級統(tǒng)考期末）計算：曲-2^+（2-石）（2+6）.

【答案】V2+1

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和平方差公式計算，然后再進行實數(shù)的混合運算即可.

【詳解】解：花一2^^+（2-百）（2+班）

=20-0+4-3

=>/2+1

【點睛】此題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和運算法則是解題的關(guān)鍵.

22.（2023春?北京東城?八年級期末）計算:

⑵（2遂+4,（2君一4卜曲.

【答案】⑴百+正

2

⑵3

【分析】（1）先化簡二次根式，再根據(jù)二次根式的加減計算法則求解即可;

（2）根據(jù)二次根式的混合計算法則求解即可.

【詳解】（1）解：原式=26-立+應(yīng)-6

2

=出+叵;

2

（2）解：原式=（275）2-42+2忘

=（20-16）+2夜

=4+2夜

【點睛】本題主要考查了二次根式的混合計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵.

23.（2023春?福建福州?八年級統(tǒng)考期末）計算：76^（3727-2748）.

【答案】V2

【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡，再合并同類二次根式，最后算除法即可得到答案.

【詳解】解：屈弋歷-2網(wǎng)

=展+&8⑻

=娓、下）

=\/2?

【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則，準確進行計算，是解題的關(guān)鍵.

24.（2023春?廣東汕頭?八年級統(tǒng)考期末）計算：5/3XV6-V48-A/3+（^+1）2.

【答案】572-1

【分析】根據(jù)二次根式的乘法，二次根式的除法，完全平方公式和二次根式混合運算法則進行計算即可.

【詳解】解：原式=30-4+2+20+1

=5忘-1.

【點睛】本題考查了二次根式的乘法，二次根式的除法，完全平方公式和二次根式混合運算，熟練掌握以

上運算法則是解決問題的關(guān)鍵.

25.（2023春?北京海淀?八年級中關(guān)村中學(xué)校考期中）計算：（2