初中數(shù)學(xué) 四邊形知識點(diǎn)總結(jié)

四邊形知識點(diǎn):

關(guān)系結(jié)構(gòu)圖:

兩組對邊分別平行

平行四邊形正方形

一組對邊平行，

梯形

另一組對邊不平行

一個角是直角直角梯形

二、知識點(diǎn)講解：

1.平行四邊形的性質(zhì)（重點(diǎn)）:

(1)兩組對邊分別平行;

(2)兩組對邊分別相等;

ABCD是平行四邊形n(3)兩組對角分別相等;

(4)對角線互相平分；

(5)鄰角互補(bǔ).

2.平行四邊形的判定（難點(diǎn)）:

一.兩組對邊分別平行

1C

從邊看J一組對邊平行且相等

一三.兩組時邊分別相等a的四邊形是平行四邊形，

從角看----四.兩組對角分別相等

AB

從時角線看一一五.時角線互相平分一

3.矩形的性質(zhì)：

X1)具有平行四邊形的所有通性；\:::

因?yàn)锳BCD是矩形n<(2)四個角都是直角；

(3)對角線相等.____________

ABAB

(4)是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.

4矩形的判定：

矩形的判定方法：(D有一個角是直角的平行四邊形；

(2)有三個角是直角的四邊形

(3)對角線相等的平行四邊形；

(4)對角線相等且互相平分的四邊形.n四邊形ABCD是矩形.

5.菱形的性質(zhì)：D

[(1)具有平行四邊形的所有通性；

因?yàn)锳BCD是菱形(2)四個邊都相等；

(3)對角線垂直且平分對角.

B

6.菱形的判定：

D

①平行四邊形+一組鄰邊等'

n四邊形四邊形ABCD是菱形./\

(2)四個邊都相等

A3c

(3)對角線垂直的平行四邊形

B

7.正方形的性質(zhì)：

D□______________CD囚____________,C

-Q)具有平行四邊形的所有通性；

ABCD是正方形n(2)四個邊都相等，四個角都是直角；

(3)對角線相等垂直且平分對角.

ABAB

8.正方形的判定：

(1)平行四邊形+一組鄰邊等+一個直角'

(2)菱形+一個直角>=>四邊形ABCD是正方形.

(3)矩形+一組鄰邊等

名

定義性質(zhì)判定面積

稱

兩組對邊分①對邊平行；①定義；S=ah（a為一邊長，

別平行的四②對邊相等；②兩組對邊分別相等的四邊h為這條邊上的

平

邊形叫做平③對角相等；形；高）

行

行四邊形。④鄰角互補(bǔ)；③一組對邊平行且相等的四

四

⑤對角線互相平分；邊形；

邊

⑥是中心對稱圖形④兩組對角分別相等的四邊

形

形；

⑤對角線互相平分的四邊形。

有一個角是除具有平行四邊形的性質(zhì)外，還有：①有三個角是直角的四邊形S=ab（a為一邊長,

矩直角的平行①四個角都是直角；②對角線相等；是矩形；②對角線相等的平行b為另一邊長）

形四邊形叫做③既是中心對稱圖形又是軸對稱圖四邊形是矩形；③定義。

矩形形。

有一組鄰邊除具有平行四邊形的性質(zhì)外，還有①①四條邊相等的四邊形是菱①S二ah（a為一邊

相等的平行四邊形相等；②對角線互相垂直，且形；②對角線垂直的平行四邊長，h為這條邊上

四邊形叫做每一條對角線平分一組對角；③既是形是菱形；③定義。的高）;

菱

菱形。中心對稱圖形又是軸對稱圖形。

形S=~rbc

②2（b、c

為兩條對角線的

長）

有一組鄰邊具有平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)：①有一組鄰邊相等的矩形是/（a為邊

相等且有一①四個角是直角，四條邊相等；②對正方形；②有一個角是直角的

正長）；

個角是直角角線相等，互相垂直平分，每一條對菱形是正方形；③定義。

方$=為

的平行四邊角線平分一組對角；③既是中心對稱

形②2（b為

形叫做正方圖形又是軸對稱圖形。

形對角線長）

三.精典例題解答:

1.己知：如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點(diǎn)，AE=CF?

求證：（1）AADF^ACBE；（2）EB〃DF。

證明：（1）：AE=CF；.AE+EF=CF+FE即AF=CE

又ABCD是平行四邊形，，AD=CB,AD〃BC；.ZDAF=ZBCE

在4ADF與4CBE中

'AF=CE

，AD=CB

ZDAF=GCRAADF^ACBE(SAS)

(2),/AADF^ACBEZDFA=ZBECDF/7EB

例1圖例2圖

C2.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)0,E、F是直線AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF,求

證：四邊形BFDE是平行四邊形。

證明：；四邊形ABCD是平行四邊形

0A=0C,0B=0D

又,:AE=CF

0A+AE=0C+CF即0E=0F

四邊形BFDE是平行四邊形

C3.如圖，在梯形紙片ABCD中，AD〃BC,AD>CD,將紙片沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)C落在AD

上的點(diǎn)C'處，折痕DE交BC于點(diǎn)E,連結(jié)UE。

求證：四邊形CDC'E是菱形。

證明：根據(jù)題意可知^CDE^C'DE

則CD=C'D,ZC(DE=iCDE,CE=C?R

AD〃BC-C-S￡=^CED：.ZCDE=ZCED

CD=CE/.CD=C,D=C,E=CE四邊形CDCE為菱形

例3圖

.把正方形ABCD繞著點(diǎn)A,按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG,邊FG與BC父于點(diǎn)H（如圖）。

試問線段HG與線段HB相等嗎？請先觀察猜想，然后再證明你的猜想。

解：HG=HBo

證法1：連結(jié)AH,

四邊形ABCD,AEFG都是正方形

ZB=ZG=90°

由題意知AG=AB,又AH=AH

RtAAGH^RtAABH(HL)

HG=HB

證法2：連結(jié)GB

四邊形ABCD,AEFG都是正方形

ZABC=ZAGF=90°

由題意知AB=AG（第4題）

ZAGB=ZABG

ZABC-ZABG=ZAGF-ZAGB即/HBG=NHGB

HG=HB

C5.如圖，正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)n。后得到正方形AEFG,邊EF與CD交于點(diǎn)0。

（1）以圖中已標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)連結(jié)兩條線段（正方形的對角線除外），要求所連結(jié)的兩條線段

交且互相垂直，交說明這兩條線段互相垂直的理由；

CM

（2）若正方形的邊長為2cm,重疊部分（四邊形AE0D）的面積為二,求旋轉(zhuǎn)的角度n。

解：（1）我連結(jié)的兩條相交且互相垂直的線段是—A0—和—DE—o

理由如下：

,/在RtZkADO與RtZkAEO中，AD=AE,A0=A0,

RtAADO^RtAAEO

ZDA0=Z0AE（即AO平分/DAE）

AO±DE（等腰三角形的三線合一）

注：其它的結(jié)論也成立如GDLBE。

（2）???四邊形AEOD的面積為3

ADxDO2s

/.三角形ADO的面積=

VAD=2

如縝

3

JZDA0=30°

ZEAB=30°即旋轉(zhuǎn)的角度是30。

例5圖例6圖

6.四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG?

(1)求證：AE=CG；

(2)觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想。

證明：(1)如圖，

,/AD=CD,DE=DG,ZADC=ZGDE=90°

又ZCDG=90°+ZADG=ZADE

/.AADE^ACDG

AE=CG

(2)猜想:AEXCGo

證明：如圖，設(shè)AE與CG交點(diǎn)為M,AD與CG交點(diǎn)為N

,/AADE^ACDG

ZDAE=ZDCG

又：ZANM=ZCND

AAMN^ACDN

ZAMN=ZADC=90°

AE±CG

.已知：如圖,在△知C中,AB=AC,AD±BC,垂足為點(diǎn)D,AN是AABC外角/CAM的平分線,

CE±AN,垂足為點(diǎn)E,

(1)求證：四邊形ADCE為矩形；

(2)當(dāng)AABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明。

證明：(1)在AABC中，AB=AC,AD±BC

ZBAD=ZDAC

AN是AABC外角ZCAM的平分線

ZMAE=ZCAE

ZZ)Aff=ZD^CT+ZC4￡=^xl80*=90,

2

又：AD±BC,CE±AN

ZADC=ZCEA=90°

/.四邊形ADCE為矩形

AD=\BC

(2)當(dāng)2時(答案不唯一)，四邊形ADCE是正方形。

證明：,/AB=AC,AD_LBC于D

DC=-BC

2

AD=-BC

又

，DC=AD

由（1）四邊形ADCE為矩形

，矩形ADCE是正方形

（笫7題）

Cg.將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點(diǎn)C與A重合，點(diǎn)D落到二“處，折痕為EF。

（1）求證：△ABE0ZXAD'F；

（2）連接CF,判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論。

證明：（1）由折疊可知：ZD=ZZ/,CD=AD),

,/四邊形ABCD是平行四邊形

ZB=ZD,AB=CD,ZC=ZBAD

ZB=ZDZ,AB=AD,

ZD'AE=ZBAD,即Nl+/2=/2+/3

Z1=Z3

△ABE^AAD,F

(2)四邊形AECF是菱形。

由折疊可知：AE=EC,Z4=Z5

???四邊形ABCD是平行四邊形

???AD〃BC

JZ5=Z6

???Z4=Z6

JAF=AE

AE=EC

AF=EC

又?:AF〃EC

???四邊形AECF是平行四邊形

AF=AE.??四邊形AECF是菱形。

.如下圖，已知P正方形ABCD的對角線AC上一點(diǎn)(不與A、C重合)，PELBC于點(diǎn)E,PF±CD

于點(diǎn)F.

(1)求證：BP=DP；

(2)若四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有BP=DP?若是，請給予證明；

若不

是，請用反例加以說明；

(3)試選取正方形ABCD的兩個頂點(diǎn)，分別與四邊形PECF的兩個頂點(diǎn)連結(jié)，使得到的兩條線段在四

邊

形PECF繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中長度始終相等，并證明你的結(jié)論.

思路分析：(1)解法一：在4ABP與4ADP中，利用全等可得BP=DP.

解法二：利用正方形的軸對稱性，可得BP=DP.

(2)不是總成立.當(dāng)四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時，

DP>DOBP,此時BP=DP不成立.

說明：未用舉反例的方法說理的不得分.

(3)連接BE、DF,則BE與DF始終相等.

在圖中，可證四邊形PECF為正方形，

在△BEC與△DFC中，可證△BECg△DFC.

從而有BE=DF

C10.為創(chuàng)建綠色校園，學(xué)校決定對一塊正方形的空地進(jìn)行種植花草，現(xiàn)向?qū)W生征集設(shè)計圖案.圖

案要求只能用圓弧在正方形內(nèi)加以設(shè)計，使正方形和所畫的圖弧構(gòu)成的圖案，既是軸對稱圖形又是中心對

稱圖形.種植花草部分用陰影表示.請你在圖③、圖④、圖⑤中畫出三種不同的的設(shè)計圖案.

提示：在兩個圖案中，只有半徑變化而圓心不變的圖案屬于同一種，例如：圖①、圖②只能算一種.

1.如圖，等腰梯形ABCD中，AB=15,AD=20,/C=30°。點(diǎn)M、N同時以相同速度分別從點(diǎn)A、

點(diǎn)D開始在AB、AD(包括端點(diǎn))上運(yùn)動。

(1)設(shè)ND的長為x,用x表示出點(diǎn)N到AB的距離，并寫出x的取值范圍。

(2)設(shè)用t表示AAMN的面積。

(3)求△AMN的面積的最大值，并判斷取最大值時△AMN的形狀。

解：(1)過點(diǎn)N作BA的垂線NP,交BA的延長線于點(diǎn)P。

由已知：AM-X,AN=20-Xo

'：四邊形ABCD是等腰梯形，AB〃CD,ZD=ZC=30°,

ZPAN=ZD=30°o

py=l(2o-x)

在RtAAPN中，2.

i(20-x)

即點(diǎn)N到AB的距離為

...點(diǎn)N在AD上，0WxW20,點(diǎn)M在AB上，O<x<l5,

X的取值范圍是OSxW15。

—=WP=lx(20-x)=l(10-O(10+/)=l(l00-?)