2024-2025學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市高三上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1若集合，，則（） B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，且為實(shí)數(shù)，則（）A.1 B.2 C. D.?23.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則=（）A.2 B.1 C.0 D.4.設(shè)向量，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.與垂直5.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則a的取值范圍是是（）A. B. C. D.6.若，，則的值為（）A. B.－ C. D.7.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有一極大值點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A B. C. D.8.2022年12月3日，南昌市出土了東漢六棱錐體水晶珠靈擺吊墜，如圖（1）所示．現(xiàn)在我們通過(guò)DIY手工制作一個(gè)六棱錐吊墜模型．準(zhǔn)備一張圓形紙片，已知圓心為O，半徑為，該紙片上的正六邊形ABCDEF的中心為O，，，，，，為圓O上的點(diǎn)，如圖（2）所示．，，，，，分別是以AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A為折痕折起，，，，，，使，，，，，重合，得到六棱錐，則六棱錐的體積最大時(shí)，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為（）A. B. C. D.5cm二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.9.下列函數(shù)中最小值為4的是（）A B.C. D.10.已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為B.直線是圖象的一條對(duì)稱軸C.D.是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心11.已知四面體平面，垂足為，垂足為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則平面C.若，則D.若，則四面體體積最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若正數(shù)x，y滿足，則的最大值是______.13.已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______.14.已知在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，，沿對(duì)角線BD將折起，使平面平面BCD，則四面體ABCD外接球的表面積為________；若P為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的平面截該四面體ABCD的外接球所得截面面積為S，則S的最小值為________．四、解答題：本題共5小題，共77分.15.已知函數(shù)且.（1）若在區(qū)間上的最大值為2，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)值域?yàn)?，求不等式的?shí)數(shù)的取值范圍.16.平面多邊形中，三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有這一性質(zhì)．如圖所示，四邊形的頂點(diǎn)在同一平面上，已知．（1）當(dāng)長(zhǎng)度變化時(shí)，是否為一個(gè)定值？若是，求出這個(gè)定值；若否，說(shuō)明理由．（2）記與的面積分別為和，請(qǐng)求出的最大值．17.如圖，正四棱錐所有棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M，Q分別在側(cè)棱PB，PD上，為底面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且平面.（1）證明：直線平面；（2）求直線與底面所成角的大小.18.已知函數(shù).（1）判斷和的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.如圖，點(diǎn)，復(fù)數(shù)可用點(diǎn)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸.顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).按照這種表示方法，每一個(gè)復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)，反過(guò)來(lái)，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng).一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，即其中為復(fù)數(shù)的模，叫做復(fù)數(shù)的輻角（以非負(fù)半軸為始邊，所在射線為終邊的角），我們規(guī)定范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，記作叫做復(fù)數(shù)的三角形式．復(fù)數(shù)三角形式的乘法公式：．棣莫佛提出了公式：，其中.（1）已知，求的三角形式；（2）已知為定值，，將復(fù)數(shù)化為三角形式；（3）設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正二十邊形的20個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為，求復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)．2024-2025學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先化簡(jiǎn)集合與集合，再根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，且為實(shí)數(shù)，則（）A.1 B.2 C. D.?2【正確答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法及乘法運(yùn)算得出，再結(jié)合復(fù)數(shù)的類型求參.【詳解】由得，故為實(shí)數(shù)時(shí)，.故選：C.3.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則=（）A.2 B.1 C.0 D.【正確答案】D【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義列出方程求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，所以，即恒成立，所以，故選：D4.設(shè)向量，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.與垂直【正確答案】D【分析】根據(jù)，求出模長(zhǎng)判斷A,根據(jù)數(shù)量積判斷B,再應(yīng)用平行向量坐標(biāo)表示判斷C,根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算判斷D.【詳解】因，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以不平行，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，D選項(xiàng)正確.故選：D.5.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則a的取值范圍是是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】?jī)啥魏瘮?shù)都要增，在1附近也要增，列不等式組求解即可.【詳解】是R上的增函數(shù)，則要滿足：，解得.故選：B.6.若，，則的值為（）A. B.－ C. D.【正確答案】D【分析】直接利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】已知，，

所以，即，

所以，

所以，

所以.

故選：D.7.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有一極大值點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先證明當(dāng)恒成立時(shí)，為的極小值點(diǎn)，由此可得有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求參數(shù)范圍.【詳解】由題意，令，若恒成立，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點(diǎn)，不合題意，若函數(shù)的最小值為，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)fx在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)fx在上單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，不合題意；故函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)．設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，且，則，若，則當(dāng)時(shí)，f′x<0，與為函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾，若，則當(dāng)時(shí)，f′x>0，與為函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾，若，則當(dāng)時(shí)，f′x<0，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)，f′x>0，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f′x<0，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，f′x>0，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，滿足要求，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：D.結(jié)論點(diǎn)睛：可導(dǎo)函數(shù)y=fx在點(diǎn)處取得極值的充要條件是，且存在，使得當(dāng)時(shí)f′x>0，當(dāng)時(shí)f′x8.2022年12月3日，南昌市出土了東漢六棱錐體水晶珠靈擺吊墜，如圖（1）所示．現(xiàn)在我們通過(guò)DIY手工制作一個(gè)六棱錐吊墜模型．準(zhǔn)備一張圓形紙片，已知圓心為O，半徑為，該紙片上的正六邊形ABCDEF的中心為O，，，，，，為圓O上的點(diǎn)，如圖（2）所示．，，，，，分別是以AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A為折痕折起，，，，，，使，，，，，重合，得到六棱錐，則六棱錐的體積最大時(shí)，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為（）A. B. C. D.5cm【正確答案】C【分析】連接，交EF于點(diǎn)H，則．設(shè)，從而求得六棱錐的高，正六邊形ABCDEF的面積，進(jìn)而求得體積，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，從而可求得最小值時(shí)的值，進(jìn)而可求解.【詳解】連接，交EF于點(diǎn)H，則．設(shè)，則，．因?yàn)?，所以六棱錐的高．正六邊形ABCDEF的面積，則六棱錐的體積令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，正六棱錐的體積最大，此時(shí)正六邊形ABCDEF的底面邊長(zhǎng)為．故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.9.下列函數(shù)中最小值為4的是（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】對(duì)于BCD：利用基本不等式運(yùn)算求解注意取等條件成立條件是否成立；對(duì)于A：取特值代入檢驗(yàn).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：令，可得，所以4不是的最小值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為4，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閟inx>0，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為4，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，但，所以的最小值不為4，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10.已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為B.直線是圖象的一條對(duì)稱軸C.D.是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心【正確答案】ABC【分析】先應(yīng)用二倍角余弦公式及輔助角公式化簡(jiǎn)得到，先根據(jù)周期判斷A；直接利用復(fù)合函數(shù)同增異減可以驗(yàn)證C；用代入法進(jìn)行驗(yàn)證判斷B,D.【詳解】，對(duì)于A：函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，所以直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)和在為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)樗?，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)不是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知四面體平面，垂足為，垂足為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則平面C.若，則D.若，則四面體體積的最大值為【正確答案】BCD【分析】對(duì)于A與B：根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)可得平面，平面，平面，；對(duì)C：根據(jù)≌得；對(duì)D：在中，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值.【詳解】對(duì)于A與B：因?yàn)槠矫?，平面，所以若又平面，所以平面，又因平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，即與不垂直，故A不正確，B正確；對(duì)C：，因?yàn)閯t≌則≌，，所以，故C正確；對(duì)于D，在中，，則，，所以，又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值所以四面體體積的最大值為，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若正數(shù)x，y滿足，則的最大值是______.【正確答案】##【分析】先換元設(shè),再結(jié)合已知條件化簡(jiǎn)為,再根據(jù)判別式及根的分布列不等式得出最大值即可.【詳解】令,所以,又因?yàn)?，所?x>0即得有正根，當(dāng)有兩個(gè)正根時(shí)Δ=25t2?4×7×當(dāng)有一個(gè)正根一個(gè)非正根時(shí)Δ=25t2?4×7×t綜上可得，當(dāng)時(shí)經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，所以的最大值為.故答案為.13.已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______.【正確答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)的大致圖象，令gx=0可得，或，由條件結(jié)合圖象可得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，f′x<0，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，f′x>0，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，與一次函數(shù)相比，函數(shù)增長(zhǎng)速度更快，從而，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，f′x>0，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f′x<0，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，與對(duì)數(shù)函數(shù)相比，一次函數(shù)增長(zhǎng)速度更快，從而，當(dāng)，且時(shí)，，根據(jù)以上信息，可作出函數(shù)的大致圖象如下：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程的解的個(gè)數(shù)一致，方程，可化為，所以或，由圖象可得沒(méi)有解，所以方程的解的個(gè)數(shù)與方程解的個(gè)數(shù)相等，而方程的解的個(gè)數(shù)與函數(shù)y=fx的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)相等，由圖可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=fx的圖象與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn).故答案為.方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.14.已知在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，，沿對(duì)角線BD將折起，使平面平面BCD，則四面體ABCD外接球的表面積為________；若P為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的平面截該四面體ABCD的外接球所得截面面積為S，則S的最小值為________．【正確答案】①.##②.【分析】先取中點(diǎn)，利用面面垂直推出線面垂直，再分別取和的外心，，利用等邊三角形三心合一找到外接球球心，連接,,,,，利用勾股定理求出，最后利用外接球的表面積公式求解；由分析知當(dāng)P為截面圓圓心時(shí)，S最小，設(shè)截面圓的半徑為，，求出，代入即可得出答案.【詳解】由已知可得和均為等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，則平面，分別取和的外心，，過(guò)，分別作對(duì)應(yīng)面的垂線，相交于，如圖，則為三棱錐的外接球的球心，由和均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，可得，，，所以四面體的外接球的表面積為.P為AB的中點(diǎn)，且，又，所以為三等分點(diǎn)，取為的中點(diǎn)，，，，，過(guò)點(diǎn)P的平面截該四面體ABCD的外接球所得截面面積為S，當(dāng)P為截面圓圓心時(shí)，S最小，設(shè)截面圓半徑為，，則，所以.故；.四、解答題：本題共5小題，共77分.15.已知函數(shù)且.（1）若在區(qū)間上的最大值為2，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)的值域?yàn)?，求不等式的?shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）或.（2）【分析】（1）分兩種情況討論，利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性和最值，求的值；（2）由函數(shù)的值域?yàn)椋蟮闹?，利用單調(diào)性解對(duì)數(shù)不等式.【小問(wèn)1詳解】已知函數(shù)（且）在區(qū)間上的最大值是2．時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則有或a>1f16=loga16=2【小問(wèn)2詳解】函數(shù)的值域?yàn)?，令，的最小值?，單調(diào)遞增，則的最小值為1，則當(dāng)x=1，，所以a=2，即，得，解得，即不等式的解集為.16.平面多邊形中，三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有這一性質(zhì)．如圖所示，四邊形的頂點(diǎn)在同一平面上，已知．（1）當(dāng)長(zhǎng)度變化時(shí)，是否為一個(gè)定值？若是，求出這個(gè)定值；若否，說(shuō)明理由．（2）記與的面積分別為和，請(qǐng)求出的最大值．【正確答案】（1）為定值，定值為1（2）14【分析】（1）法一：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，兩式相減可得答案；法二：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，兩式相減可得答案；（2）由面積公式可得，令轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)配方求最值即可．【小問(wèn)1詳解】法一：在中，由余弦定理，得，即①，同理，在中，，即②，①②得，所以當(dāng)長(zhǎng)度變化時(shí)，為定值，定值為1；法二：在中，由余弦定理得，即，同理，在中，，所以，化簡(jiǎn)得，即，所以當(dāng)長(zhǎng)度變化時(shí)，為定值，定值為1；【小問(wèn)2詳解】，令，所以，所以，即時(shí)，有最大值為14．17.如圖，正四棱錐所有棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M，Q分別在側(cè)棱PB，PD上，為底面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且平面.（1）證明：直線平面；（2）求直線與底面所成角的大小.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，先求平面法向量，再應(yīng)用空間向量法證明線面平行即可；（2）由已知得出,直線與底面所成角轉(zhuǎn)化為與底面所成角,最后用線面角正弦向量法求解.【小問(wèn)1詳解】連接,正四棱錐，平面,以分別為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，,,所以,,因?yàn)?，所?,,，設(shè)平面的法向量為,所以,即可,令x=1,則,所以，因?yàn)?不在平面內(nèi)，所以平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫妫?可取底面法向量為,設(shè)與底面所成角為,,所以.所以直線與底面所成角為.18.已知函數(shù).（1）判斷和的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【分析】（1）求得，分和，兩種情況討論，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；再求得，令，求得，得到的單調(diào)性與最大值，進(jìn)而求得的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化在(1,+∞)內(nèi)恒成立，令，求得，再，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，進(jìn)而得到中各存唯一的使得，進(jìn)而得出函數(shù)?x的單調(diào)區(qū)間，求得最小值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由函數(shù)，可得，若時(shí)，，在定義域上單調(diào)遞減；若時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；又由函數(shù)的定義為，且，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，也為最大值，所以，所以在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】由不等式，即在(1,+∞)內(nèi)恒成立，即在(1,+∞)令，可得，令，可得，得,，所以在單調(diào)遞增，，，所以在中存在唯一的使得，即有，因?yàn)棣誼在單調(diào)遞增，