2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)高二上冊10月月考數(shù)學(xué)階段檢測試題合集2套（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段檢測試題（一）一、單選題（本大題共12小題）1．在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，是單位正方體，其中點A的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．2．在空間直角坐標(biāo)系中，與點關(guān)于平面對稱的點為（

）A． B． C． D．3．若，，且，則（

）A．， B．，C．， D．，4．長方體中，，，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．5．正方體的棱長為a，則棱到面的距離為（

）A． B．a(chǎn) C． D．6．如圖所示，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱的長度都為1，且兩兩夾角為，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．為了調(diào)查老師對微課堂的了解程度，某市擬采用分層抽樣的方法從，，三所中學(xué)抽取60名教師進(jìn)行調(diào)查，已知，，三所學(xué)校中分別有180，270，90名教師，則從學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為（

）A．10 B．12 C．18 D．248．“雙減”政策實施后，學(xué)生的課外閱讀增多.某班50名學(xué)生到圖書館借書數(shù)量統(tǒng)計如下：借書數(shù)量（單位：本）5678910頻數(shù)（單位：人）58131194則這50名學(xué)生的借書數(shù)量的上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）是（

）A．8 B．8.5 C．9 D．109．下列四個說法：①若向量是空間的一個基底，則也是空間的一個基底；②空間的任意兩個向量都是共面向量；③若兩條不同直線的方向向量分別是，則////；④若兩個不同平面的法向量分別是且，則//．其中正確的說法的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．已知點，，，，則向量在向量上的投影向量的模為（

）A． B．1 C． D．11．冬末春初，乍暖還寒，人們?nèi)菀赘忻鞍l(fā)熱，若發(fā)生群體性發(fā)熱，則會影響到人們的身體健康，干擾正常工作生產(chǎn)，某大型公司規(guī)定：若任意連續(xù)7天，每天不超過5人體溫高于37.3℃，則稱沒有發(fā)生群體性發(fā)熱，下列連續(xù)7天體溫高于37.3℃人數(shù)的統(tǒng)計特征數(shù)中，能判定該公司沒有發(fā)生群體性發(fā)熱的為（

）（1）中位數(shù)為3，眾數(shù)為2

（2）均值小于1，中位數(shù)為1（3）均值為3，眾數(shù)為4

（4）均值為2，標(biāo)準(zhǔn)差為A．（1）（3） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（2）（4）12．如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點，為線段上的動點，則下列四個命題中正確命題的個數(shù)是（

）①存在點，使得

②不存在點，使得平面③三棱錐的體積是定值

④不存在點，使得與所成角為A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題）13．已知兩條異面直線對應(yīng)的方向向量分別是，，則異面直線的夾角為．14．某班級有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)測試平均成績是92分，如果30名男生的平均成績?yōu)?0分，那么20名女生的平均成績?yōu)榉?15．已知一組數(shù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)的方差為.16．如圖，平行六面體中，，，，則線段的長度是.17．已知空間向量（1）若，且，則；（2）若共面，在以下三個條件中①，②，③選取一個作為已知，則的值可以為．18．如圖，在正方體中，為棱的中點．動點沿著棱從點向點移動，對于下列三個結(jié)論：①存在點，使得；②的面積越來越大；③四面體的體積不變．所有正確的結(jié)論的序號是．三、解答題（本大題共6小題）19．某市舉辦“強國有我，愛我中華”科技知識競賽，賽后將參賽的2000名學(xué)生成績分成4組：①，②，③，④，并進(jìn)行統(tǒng)計分析，公布了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計這2000名學(xué)生科技知識競賽成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）；(2)某同學(xué)獲知自己的成績進(jìn)入本次競賽成績前，估計該同學(xué)的成績不低于多少分？20．記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，.(1)求B；(2)若時，求的面積.21．如圖，在三棱錐中，點為棱上一點，且，點為線段的中點．(1)以為一組基底表示向量；(2)若，，，求．22．如圖所示，點分別是正四棱柱上、下底面的中心，是的中點，.(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離；(3)求二面角的余弦值.23．如圖，在五面體中，四邊形是正方形，是等邊三角形，平面平面，，，是的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大小；(3)求三棱錐的體積．24．對于維向量，若對任意均有或，則稱為維向量.對于兩個維向量定義.（1）若,求的值；（2）現(xiàn)有一個維向量序列：若且滿足：，求證：該序列中不存在維向量.(3)現(xiàn)有一個維向量序列：若且滿足：，若存在正整數(shù)使得為維向量序列中的項，求出所有的.

答案1．【正確答案】D【詳解】點A的坐標(biāo)為.故選：D2．【正確答案】A【詳解】解：因為點，則其關(guān)于平面對稱的點為.故選：A.3．【正確答案】B【詳解】由題意，向量，，因為，可得，即，解得.故選：B.4．【正確答案】A【詳解】，，到直線的距離為.故選：A.5．【正確答案】C【詳解】如圖，連接，它們交于點，正方形中，又平面，平面，所以，平面，所以平面，所以的長即為棱到面的距離，而，所以所求距離為．故選：C．6．【正確答案】B【詳解】設(shè)向量，且，可得，則，所以，，所以，且，所以.故選：B.7．【正確答案】A【分析】按照分層抽樣原則，每部分抽取的概率相等，按比例分配給每部分，即可求解.【詳解】，，三所學(xué)校教師總和為540，從中抽取60人，則從學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為人.故選:A.本題考查分層抽樣抽取方法，按比例分配是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8．【正確答案】C【詳解】由，故第75百分位數(shù)在借書數(shù)量從小到大排序后的第38人，又，故四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）是9.故選：C9．【正確答案】D【詳解】試題分析：：①若向量是空間的一個基底，則也是空間的一個基底，正確．②空間的任意兩個向量都是共面向量，正確．③若兩條不同直線l，m的方向向量分別是，則∥∥，正確．④若兩個不同平面α，β的法向量分別是，且，∵，則∥．其中正確的說法的個數(shù)是4考點：空間向量的概念10．【正確答案】D【詳解】根據(jù)題意：，，向量在上的投影向量的模為.故選：D.11．【正確答案】D【詳解】將7個數(shù)由小到大依次記為、、、、、、對于（1）選項，反例：、、、、、、，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，與題意矛盾，（1）選項不合乎要求；對于（2）選項，假設(shè)，即該公司發(fā)生了群體性發(fā)熱，因中位數(shù)為1，則，平均數(shù)為，矛盾，故假設(shè)不成立，即該公司沒有發(fā)生群體性發(fā)熱，（2）選項合乎要求；對于（3）選項，反例：、、、、、、，滿足眾數(shù)為4，均值為3，與題意矛盾，（3）選項不合乎要求；對于（4）選項，假設(shè)，即該公司發(fā)生群體性發(fā)熱，若均值為2，則方差為，即，與（4）選項矛盾，故假設(shè)不成立，即該公司沒有發(fā)生群體性發(fā)熱，（4）選項合乎要求.故選：D12．【正確答案】A【詳解】對于①，在正方體中，，，則四邊形為平行四邊形，所以，，而為線段的中點，即為的中點，所以，若存在點，使得，且、不重合，則，這與矛盾，假設(shè)不成立，①錯；對于②，若為中點，則，而，故，又面，面，則，故，因為，、面，則面，所以存在使得平面，②錯；對于③，在正方體中，，，所以，四邊形為平行四邊形，則，而面，故與面不平行，所以Q在線段上運動時，到面的距離不是定值，故三棱錐的體積不是定值，③錯；對于④，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖示空間直角坐標(biāo)系，則、，且，所以，，則，整理可得，解得，合乎題意，所以，存在點，使得與所成角為，④錯.故選：A.13．【正確答案】【詳解】由已知，由于異面直線夾角的取值范圍為所以異面直線的夾角為.故14．【正確答案】95【詳解】設(shè)所求平均成績?yōu)?，由題意得，∴.故9515．【正確答案】【詳解】依題意.所以方差為.故答案為.16．【正確答案】.【詳解】根據(jù)平行四邊形法則可得，所以，所以，故答案為.17．【正確答案】或或(只需寫出一個)【詳解】(1)當(dāng)時，，因為，所以，因為，所以，解得；(2)因為共面，所以由空間向量的基本定理可知，，選①，則，故，解得；選②，則，故，解得；選③，則，故，解得；綜上所述，的值可以為或或.故；或或.18．【正確答案】①③【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，設(shè)，則，令，解得：，所以存在點，使得，故①正確；，，設(shè)點到直線距離為，則，所以，因為，動點沿著棱從點向點移動，所以從逐漸變到，隨著的變大，的面積越來越小，②錯誤；以為底，高為點到上底面的距離，因為底面，所以不變，所以四面體的體積不變，③正確．故①③．19．【正確答案】(1)83.5(2)92分【詳解】（1）因為，所以這2000名學(xué)生競賽成績的平均數(shù)可以估計為83.5．（2）因為這組數(shù)據(jù)占總數(shù)的，該同學(xué)的成績進(jìn)人本次競賽成績前，所以．所以可以估計該同學(xué)的成績不低于92分．20．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由余弦定理得，則，又因為，可得，因為，所以.（2）由（1）知，且，因為，由正弦定理，可得，又由，所以的面積為.21．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）∵為線段的中點，∴，∵，∴，∴；（2）．22．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）解：以點為坐標(biāo)原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因為，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，因為，所以，又因為平面，所以平面.（2）解：由（1）知，平面的一個法向量為，且，可得，所以點到平面的距離為.（3）解：在正方形中，可得，因為平面，且平面，所以，又因為，且平面，所以平面，所以平面的一個法向量為，由（1）知，平面的一個法向量為，設(shè)二面角所成角的角為，且，所以，所以二面角所成角的余弦值為.23．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理來證明線面垂直；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量發(fā)求線面角；(3)先利用向量法求點到面的距離，然后利用體積公式求解棱錐體積.【詳解】(1)因為是等邊三角形，是的中點，所以．平面，又平面平面，平面平面，所以平面；(2)記的中點為，易知兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則

令，此時．設(shè)直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角為；(3)設(shè)點到平面的距離為，，則．由平面幾何知識，易知在直角梯形中，所以．

24．【正確答案】（1）（2）不存在（3）【詳解】（1）由于，，由定義，可得.

（2）反證法：若結(jié)論不成立，即存在一個含維向量序列，使得，.因為向量的每一個分量變?yōu)椋夹枰鏀?shù)次變化，不妨設(shè)的第個分量變化了次之后變成，所以將中所有分量變?yōu)楣残枰?，此?shù)為奇數(shù).又因為，說明中的分量有個數(shù)值發(fā)生改變，進(jìn)而變化到，所以共需要改變數(shù)值次，此數(shù)為偶數(shù)，所以矛盾.所以該序列中不存在維向量.

（3）存在正整數(shù)使得為維向量序列中的項，此時.2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段檢測試題（二）一、單選題（本大題共10小題）1．如果點A在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點B在平面α內(nèi)，則可以表示為（

）A．A?a，a?α，B∈α B．A∈a，a?α，B∈αC．A?a，a∈α，B?α D．A∈a，a∈α，B∈α2．下列結(jié)論中正確的是（

）A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．當(dāng)正棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等時該棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線3．如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是邊長為2的菱形，且，則原平面圖形的周長為（

）A． B． C． D．84．若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（

）A．異面或平行 B．異面或相交C．異面 D．相交、平行或異面5．給出下列關(guān)于互不相同的直線l、m、n和平面α、β、γ的三個命題：①若l與m為異面直線，l?α，m?β，則α∥β；②若α∥β，l?α，m?β，則l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.其中真命題的個數(shù)為（

）A．3 B．2C．1 D．06．已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（

）A． B． C． D．7．設(shè)m，n為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，且，，則“”是“且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（

）A． B． C． D．9．如圖，在直三棱柱中，，點為側(cè)棱上的動點．當(dāng)最小時，三棱錐的體積為（

）A．1 B． C． D．10．如圖所示，在棱長為1的正方體中，點分別是棱的中點，是側(cè)面內(nèi)一點，若平面，則線段長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共5小題）11．母線長為的圓錐體，其側(cè)面展開圖的面積為，則該圓錐的體積為.12．如圖，在正三棱柱中，已知，點是棱上的動點，當(dāng)三棱錐的體積為時，13．設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為，體積為.14．正方體中，是的中點，平面經(jīng)過直線且與直線平行，若正方體的棱長為，則平面截正方體所得的多邊形的面積為.15．如圖是一幾何體的平面展開圖，其中ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點．在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論：①平面EFGH∥平面ABCD；②直線PA∥平面BDG；③直線EF∥平面PBC；④直線EF∥平面BDG.其中正確的序號是．三、解答題（本大題共5小題）16．如圖，圓錐中，，為底面圓的兩條直徑，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求圓錐的表面積.17．如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線.18．如圖，在三棱錐中，分別是中點，平面平面.求證.19．如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，證明B1D1∥l.20．如圖在四棱錐中，，M，N分別是AB，CD的中點，．(1)求證：平面AED；(2)若點F在棱AD上且滿足，平面CEF，求的值．

答案1．【正確答案】B【詳解】點A在直線上，而直線在平面α內(nèi)，點B在平面α內(nèi)，表示為A∈，?α，B∈α.故選:B.2．【正確答案】D【詳解】對于A，正八面體的各個面都是三角形，但不是三棱錐，所以A錯誤.對于B，若以銳角三角形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體是兩個圓錐形成的組合體，所以B錯誤.對于C，正六棱錐的底面六邊形的外接圓半徑與底面邊長相等，而正棱錐的側(cè)棱長大于底面多邊形外接圓半徑，所以正六棱錐的側(cè)棱長大于底面邊長，所以C錯誤.對于D，圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線，所以D正確.故選：D.3．【正確答案】B【詳解】由題可知，∴，還原直觀圖可得原平面圖形，如圖，則，∴，∴原平面圖形的周長為.故選：B.4．【正確答案】D【詳解】a和b是異面直線，b和c是異面直線，根據(jù)異面直線的定義可得：可以是異面直線，如下所示：

也可以相交

也可以平行

故選.5．【正確答案】C利用面面關(guān)系的判定與性質(zhì)逐項排除.【詳解】①中當(dāng)α與β不平行時，也可能存在符合題意的l、m；②中l(wèi)與m也可能異面；③中，同理，l∥m，則m∥n，正確．故選：C.6．【正確答案】B【詳解】分析：首先根據(jù)正方形的面積求得正方形的邊長，從而進(jìn)一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關(guān)公式求得圓柱的表面積.詳解：根據(jù)題意，可得截面是邊長為的正方形，結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為，所以其表面積為，故選B.點睛：該題考查的是有關(guān)圓柱的表面積的求解問題，在解題的過程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關(guān)量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時候，一定要注意是兩個底面圓與側(cè)面積的和.7．【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用面面平行的性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，，，則且，反之，當(dāng)且時，若，則或與相交，所以“”是“且”的充分不必要條件.故選A.8．【正確答案】C【詳解】如圖，設(shè)，則，由題意，即，化簡得，解得（負(fù)值舍去）.故選：C.【點晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計算能力，是一道容易題.9．【正確答案】C【詳解】將直三棱柱展開成矩形，如下圖，連接，交于，此時最小，∵，則，而，由且都在面，則面，又，則面，即面，點為側(cè)棱上的動點，當(dāng)最小時，即，得，又為直角三角形，此時三棱錐的體積為：.故選：C10．【正確答案】B【詳解】如圖，取的中點，的中點，連接，顯然，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面,所以平面，因為，平面，平面,所以平面，又因為，所以平面平面，因為平面，所以平面，點在側(cè)面上，所以點位于線段上，因為，，所以當(dāng)點位于點時，最大，當(dāng)點位于的中點時，最小，此時，所以，所以線段長度的取值范圍是.故選B11．【正確答案】【詳解】圓錐體其側(cè)面展開圖為扇形，S=，解得，由圓錐的截面圖可得，故答案為12．【正確答案】3【詳解】解：因為正三棱柱中，,所以點到平面的距離為，所以根據(jù)等體積法，解得.故答案為.13．【正確答案】【詳解】根據(jù)題意條件可知三棱柱是棱長都為a的正三棱柱，上下底面中心連線的中點就是球心，如圖：則的外接圓的半徑為，所以其外接球的半徑為，所以球的表面積為；體積為.故；14．【正確答案】.【詳解】過作交于，過作的平行線，交于，連接，則平面即為符合條件的平面，由圖可知分別為的中點，故，，且，∴等腰梯形的高為，∴梯形的面積為.故答案為.15．【正確答案】①②③【詳解】作出立體圖形，連接四點構(gòu)成平面，①：因為分別是的中點，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面EFGH∥平面ABCD，故①正確；②：連接，交于點，連接，則為的中點，得，又平面，平面，所以平面，故②正確；③：由①的分析可知，所以，因為平面，平面，所以平面，故③正確；④：由③的分析可知，結(jié)合圖形，可知，所以直線EF與平面BDG不平行，故④錯誤.故①②③16．【正確答案】(1)證明見解析；