2024-2025學(xué)年江蘇省徐州市高三上冊(cè)第二次質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省徐州市高三上學(xué)期第二次質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，共40分）1.已知集合，則（）A. B. C. D.2若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.2 C.2 D.43.若，且，則下列不等式一定正確是（）A B. C. D.4.若正四棱錐的高為8，且所有頂點(diǎn)都在半徑為5的球面上，則該正四棱錐的側(cè)面積為（）A.24 B.32 C.96 D.1285.若，則（）A. B. C. D.6.甲?乙?丙?丁?戊共5名同學(xué)進(jìn)行演講比賽，決出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相鄰，則5人的名次排列可能有（）種不同的情況.A.18 B.24 C.36 D.487.0和1是計(jì)算機(jī)中最基本數(shù)字，被稱為二進(jìn)制數(shù)字．若數(shù)列滿足：所有項(xiàng)均是0或1，當(dāng)且僅當(dāng)（其中為正整數(shù)）時(shí)，，其余項(xiàng)為0．則滿足的最小的正整數(shù)（）A.50 B.51 C.52 D.538.對(duì)于實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多選題（本大題共3小題，共18分）9.函數(shù)的圖象如圖所示，將其向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.函數(shù)在上單調(diào)遞減10.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比為q，且滿足，，則（）A. B.C. D.若，則當(dāng)最小時(shí)，11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則（）A.與是異面直線B.存在點(diǎn)，使得，且平面C.與平面所成角的余弦值為D.點(diǎn)到平面的距離為三、填空題（本大題共3小題，共15分）12.已知，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，若，則__________.13.若曲線與曲線有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處有公切線，則實(shí)數(shù)______．14.如圖，四邊形由和拼接而成，其中，，若與相交于點(diǎn)，，，，且，則的面積______．四、解答題（本大題共5小題，共77分）15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）若為邊上的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．16.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．17.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面平面，.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值？若不存在，說(shuō)明理由.18.集合，將集合A中元素按由小到大的順序排列成數(shù)列an，即，，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為．（1）求，，；（2）判斷672，2024是否是an（3）求，2024-2025學(xué)年江蘇省徐州市高三上學(xué)期第二次質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，共40分）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意解出集合，進(jìn)而求出交集即可.【詳解】由，解得：或，所以，由，解得：，所以，所以.故選：C.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.2 C.2 D.4【正確答案】C【分析】根據(jù)除法運(yùn)算求得，再利用模長(zhǎng)公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：C.3.若，且，則下列不等式一定正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合作差比較法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)榍?，可得，所以，?duì)于A中，由，所以，所以A正確；對(duì)于B中，由，所以，所以B不正確；對(duì)于C中，由，因?yàn)?，所以，可得，所以，所以C不正確；對(duì)于D中，由，所以，所以D不正確.故選：A4.若正四棱錐的高為8，且所有頂點(diǎn)都在半徑為5的球面上，則該正四棱錐的側(cè)面積為（）A.24 B.32 C.96 D.128【正確答案】C【分析】根據(jù)正四棱錐及球的特征求出錐體的底邊邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)，然后結(jié)合勾股定理利用側(cè)面積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，設(shè)P在底面的投影為G，易知正四棱錐的外接球球心在上，由題意球O的半徑，所以，，則，故中，邊AB的高為，所以該正四棱錐的側(cè)面積為.故選：C5.若，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】首先正切化為正弦和余弦，再利用輔助角和二倍角公式化解得到，再利用角變換表示，最后利用三角函數(shù)二倍角公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，，故選：C.6.甲?乙?丙?丁?戊共5名同學(xué)進(jìn)行演講比賽，決出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相鄰，則5人的名次排列可能有（）種不同的情況.A.18 B.24 C.36 D.48【正確答案】B【分析】由題意知將丙和丁看成一個(gè)整體，按丙和丁位置分4種情況討論，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，將丙和丁看成一個(gè)整體，分4種情況分析：①丙和丁的整體分別為第1、2名，有種情況；②丙和丁的整體分別為第2、3名，第1名只能是戊，所以甲和乙為第4、5名，有種情況；③丙和丁的整體分別為第3、4名，第1名只能是戊，所以甲和乙為第2、5名，有種情況；④丙和丁的整體分別為第4、5名，第1名只能是戊，所以甲和乙為第2、3名，有種情況；所以共有種情況.故選：B7.0和1是計(jì)算機(jī)中最基本的數(shù)字，被稱為二進(jìn)制數(shù)字．若數(shù)列滿足：所有項(xiàng)均是0或1，當(dāng)且僅當(dāng)（其中為正整數(shù)）時(shí)，，其余項(xiàng)為0．則滿足的最小的正整數(shù)（）A.50 B.51 C.52 D.53【正確答案】B【分析】由題意可得，則，根據(jù)即可求解.【詳解】由題意知，，且，即，當(dāng)時(shí)，，由于，所以滿足的的最小值為51，故選：B．8.對(duì)于實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，分析單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為恒成立，即，再求解的最小值即可.【詳解】已知，由知.故排除BD.由得，，構(gòu)造函數(shù)，是上的增函數(shù)，則由得，即，令，，由得，當(dāng)，則單調(diào)遞減，當(dāng)，則單調(diào)遞增，，則，又，則.故選：C.二、多選題（本大題共3小題，共18分）9.函數(shù)的圖象如圖所示，將其向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.函數(shù)在上單調(diào)遞減【正確答案】ABD【分析】先根據(jù)圖象確定函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)圖象的平移，得到函數(shù)的解析式，可分析函數(shù)與的性質(zhì)，判斷ABC的真假，在分析函數(shù)的單調(diào)性，判斷D的真假.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，且，所以.故A正確；因?yàn)?，由，，得函?shù)的對(duì)稱中心為：，，當(dāng)時(shí)，得對(duì)稱中心為：，故B正確；.其對(duì)稱軸為：，，所以不是函數(shù)的對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤；，由，，.所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：，，因?yàn)?，，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD10.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比為q，且滿足，，則（）A. B.C. D.若，則當(dāng)最小時(shí)，【正確答案】ABD【分析】由，構(gòu)造，兩式相減得到遞推關(guān)系，結(jié)合數(shù)列是等比數(shù)列，可得公比，再利用已知數(shù)據(jù)，得到，由，令，可解出，故可判斷ABC；而D項(xiàng)，求解正項(xiàng)遞增等比數(shù)列前項(xiàng)之積的最小值時(shí)的，即比較數(shù)列各項(xiàng)與1的大小，求出即得.【詳解】因?yàn)椋?，兩式相減得，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以公比，由，得，則，由，令，則，解得，故A，B項(xiàng)正確，C項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，則，且，則恒成立，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，且為遞增數(shù)列，令，得，由，，可得，即，故當(dāng)最小時(shí)，，故D項(xiàng)正確．故選：ABD．11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則（）A.與是異面直線B.存在點(diǎn)，使得，且平面C.與平面所成角的余弦值為D.點(diǎn)到平面的距離為【正確答案】BC【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)得到與平行；B選項(xiàng)，先求出，得到平面的法向量，根據(jù)數(shù)量積為0得到，得到平面；C選項(xiàng)，先求出與平面所成角的正弦值，進(jìn)而求出余弦值；D選項(xiàng)，求出平面的法向量，根據(jù)點(diǎn)到平面距離公式求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，以作坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，則，由于，故與平行，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，因?yàn)?，故，平面，故存在點(diǎn)，使得，且平面，B正確；C選項(xiàng)，平面的法向量為，故與平面所成角的正弦值為，則與平面所成角的余弦值為，C正確；D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，則點(diǎn)到平面的距離為，D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題（本大題共3小題，共15分）12.已知，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，若，則__________.【正確答案】【分析】由向量的線性運(yùn)算可得，再代入，即可求得.【詳解】由題意，，所以.故答案為.13.若曲線與曲線有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處有公切線，則實(shí)數(shù)______．【正確答案】【分析】設(shè)曲線與曲線的公共點(diǎn)為，由題意可以得到，列出關(guān)于的方程并進(jìn)行求解即可.【詳解】由的定義域?yàn)椋虼嗽O(shè)曲線與曲線的公共點(diǎn)為，，則，即①，又，，且兩曲線在公共點(diǎn)有公切線，則，即②，①②聯(lián)立消去得，解得，代入①可得，故14.如圖，四邊形由和拼接而成，其中，，若與相交于點(diǎn)，，，，且，則的面積______．【正確答案】##【分析】在中，由正弦定理得再利用兩角和差的正弦展開(kāi)式計(jì)算出，最后利用三角形面積公式得到面積.【詳解】在中，由正弦定理得：，由于，所以．而，則有：，，又，，由，可得，所以，故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于能利用正弦定理和兩角差的正切公式結(jié)合三角形面積公式求出邊長(zhǎng).四、解答題（本大題共5小題，共77分）15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）若為邊上的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由，利用正弦定理，再化簡(jiǎn)可得，可得，求得；（2）由，，可得，在中，由余弦定理解得，得，由余弦定理求得，在中，由余弦定理即可求得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，在中，，則，得，因?yàn)?，所以，即，，又，則，則，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以，解得，在中，由余弦定理得，則，又為邊上的中點(diǎn)，所以，在中，由余弦定理得則，在中，由余弦定理得，所以.16.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，由此得證.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.17.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面平面，.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值？若不存在，說(shuō)明理由.【正確答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）不存在，理由見(jiàn)解析【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，再由線面垂直的性質(zhì)得出；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可；(3)由，C，M三點(diǎn)共線，利用向量共線得出，利用線面垂直判定定理證明平面，由于，不平行，則不存在棱上的點(diǎn)，使得平面.【詳解】（1）在四棱錐中因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嬗忠驗(yàn)?，平面所以平面因?yàn)槠矫嫠裕?）取中點(diǎn)，連接因?yàn)樗砸驗(yàn)槠矫嫫矫?，平面平面因?yàn)槠矫嫠云矫嫠砸驗(yàn)樗运运倪呅问瞧叫兴倪呅嗡匀鐖D建立空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.所以.因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄浚杂蓤D可知，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.（3）設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在使得.設(shè)，則所以所以所以.所以.因?yàn)槠矫嫠云矫?所以是平面的一個(gè)法向量.若平面，則.所以因?yàn)榉匠探M無(wú)解，所以在棱上不存在點(diǎn)，使得平面.本題主要考查了利用線面垂直證明線線垂直以及利用向量法求二面角，屬于中檔題.18.集合，將集合A中的元素按由小到大的順序排列成數(shù)列an，即，，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為．（1）求，，；（2）判斷672，2024是否是an（3）求，．【正確答案】（1），，（2）672是數(shù)列的項(xiàng)，2024不是中的項(xiàng)（3），【分析】（1）直接對(duì)a,b,c賦值求值即可；（2）直接利用集合A中元素的意義驗(yàn)證即可；（3）先確定集合A中元素個(gè)數(shù)，再確定an中最大項(xiàng)是（），最小項(xiàng)是可求出，再利用求和求得.【小問(wèn)1詳解】，，．【小問(wèn)2詳解】