數(shù)理統(tǒng)計課件：非正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間

非正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間樞軸量的分布有時容易求得，有時并不容易求得.當(dāng)樞軸量的精確分布不容易獲得的時候，就需要利用大樣本理論來獲得樞軸量的漸近分布，并基于漸近分布構(gòu)造參數(shù)的置信區(qū)間.下面，我們來介紹非正態(tài)總體參數(shù)置信區(qū)間的構(gòu)造方法：

一是小樣本方法，即樞軸量的精確分布已知.二是大樣本方法，即樞軸量的精確分布不容易獲得.4.3.1小樣本方法一指數(shù)分布參數(shù)的置信區(qū)間其中λ>0是未知參數(shù)設(shè)X1,X2,…,Xn是來自指數(shù)分布總體X

的樣本，其密度函數(shù)為問題：構(gòu)造參數(shù)λ

或者1/λ

的置信水平為1-α的置信區(qū)間.背景：指數(shù)分布參數(shù)的置信區(qū)間在實際工程和科學(xué)研究中，特別是在可靠性分析中有非常廣泛的應(yīng)用.解:1/λ的一個良好的點估計(且是UMVUE)，因此，取作為樞軸量.由于對給定置信水平1-α

(0<α<l)，只要取c1

和c2

滿足如何確定c1

和c2，滿足上式的c1

和c2有無窮對，其中有一對c1

和c2使得區(qū)間長度最短.但是這樣一對c1

和c2不易求得且表達式復(fù)雜，應(yīng)用不方便.通常采用下列方法，一般令c1

和c2滿足其中這樣找到的c1

和c2雖不能使置信區(qū)間的精度最高，但是表達式簡單，可通過χ2分布的上α分位數(shù)表求得，應(yīng)用上很方便.因此有利用不等式等價變形得λ的置信水平為l-α的置信區(qū)間為同理得到λ

的置信水平為1-α的置信下限和上限分別為1/λ

的置信水平為1-α的置信區(qū)間為例4.3.1

某工廠生產(chǎn)某種電子元器件，為了了解該電子元器件的壽命，工程師從生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取了10個樣品進行測試并獲得其壽命數(shù)據(jù)為(單位：千小時)：51.198，29.092，154.949，94.141，54.775，225.471，79.341，38.891，205.883，195.727已知這種電子元器件的壽命分布為指數(shù)分布E(λ)，試根據(jù)上述試驗數(shù)據(jù)分析該電子元器件平均壽命1/λ的置信水平為95%的置信區(qū)間.解：則1/λ的置信水平為95%的置信區(qū)間為n=10，由樣本算得，查表得二均勻分布參數(shù)的置信區(qū)間設(shè)X1,X

2,…，Xn

是來自均勻分布U[0,θ],θ>0,的樣本，問題：構(gòu)造參數(shù)θ的置信水平為1-α的置信區(qū)間.解：X(n)是θ

的極大似然估計又是充分統(tǒng)計量，的密度函數(shù)為因此取作為樞軸量對給定置信水平1-α(0<α<1)，只要取c1和c2滿足而等價變形為考慮區(qū)間平均長度最短的要求得到因此，θ的置信水平為1-α的置信區(qū)間為即：4.3.2大樣本方法背景：兩點分布在實際應(yīng)用和科學(xué)研究中的應(yīng)用也比較廣泛.比如，工程師經(jīng)常用兩點分布來描述生產(chǎn)線上產(chǎn)品的狀態(tài).問題：令X表示產(chǎn)品的狀態(tài)，取值為{0(正品)，1(次品)}，則X的分布為兩點分布.工程師關(guān)心的是次品率p的置信區(qū)間.一兩點分布參數(shù)的置信區(qū)間設(shè)X1,X

2,…，Xn是來自兩點分布B(1，p)的樣本，且0<p<1未知，求參數(shù)p的置信區(qū)間.解：令，可知根據(jù)中心極限定理，對于充分大的n，有當(dāng)N(0,1)，與未知參數(shù)p無關(guān).當(dāng)n充分大時，隨機變量的極限分布是于是取T作為樞軸量.當(dāng)n充分大時，對于給定置信水平1-α

，有不等式等價于p的置信水平近似為1-α的置信區(qū)間為實用中可采用下列更簡單的方法：得到由和將上述兩式相乘，按照Slutsky引理，有T的極限分布與p無關(guān)，于是取T作為樞軸量.當(dāng)n充分大時，對于給定置信水平1-α

，有即不等式等價于p的置信水平近似為1-α的置信區(qū)間為例4.3.2某地區(qū)隨機調(diào)查了七歲以下的兒童2452名，發(fā)現(xiàn)患有肥胖病的56名，試以98%的置信水平給出該地區(qū)全部七歲以下兒童的肥胖發(fā)病率的區(qū)間估計?p的近似98%置信區(qū)間為解：[0.023-2.33×0.003,0.023+2.33×0.003]=

[0.016,0.03]例4.3.3設(shè)自一大批產(chǎn)品的100件樣品中，得一級品60件，求這批產(chǎn)品的一級品率的置信水平為95%置信區(qū)間?p的近似95%置信區(qū)間為解：[0.6-1.96×0.049,0.6+1.96×0.049]=

[0.504,0.696].因此，在這批產(chǎn)品中以95%的可靠度估計一級品率在50.4%至69.6%之間.例4.3.4在某電視節(jié)目收視率的調(diào)查中，隨機抽取了500戶家庭，其中有200戶家庭收看該電視節(jié)目.試求收視率p的95％置信區(qū)間.p的近似95%置信區(qū)間為解：[0.36,0.44]收視率p是兩點分布的參數(shù)二泊松分布參數(shù)的置信區(qū)間求參數(shù)λ

的置信區(qū)間設(shè)X1,X

2,…，Xn是來自泊松分布P(λ)的樣本，且λ>0未知

解：令，可知Sn~P(nλ).根據(jù)中心極限定理，對于充分大的n，有于是取T作為樞軸量.當(dāng)n充分大時，隨機變量的極限分布是N(0,1)，與未知參數(shù)λ

無關(guān).當(dāng)n充分大時，對于給定置信水平1-α

，有解不等式參數(shù)λ的置信水平近似為1-α的置信區(qū)間為實用中可采用下列更簡單的方法：由和根據(jù)Slutsky引理，有T的極限分布與未知參數(shù)λ

無關(guān)，于是取T作為樞軸量.當(dāng)n充分大時，對于給定置信水平1-α

，有即不等式等價于參數(shù)λ的置信水平近似為1-α的置信區(qū)間為其中