第五章：平面向量與解三角形（模塊綜合調(diào)研卷）（A4版-教師版）-2025年高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第五章：平面向量與解三角形（模塊綜合調(diào)研卷）

（19題新高考新結(jié)構(gòu)）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.已知向量值與B能作為平面向量的一組基底，若：+應(yīng)與伏+1/+B共線（后eR）,則左的值是（）

A—1+A/5D—1+y/5r—1—y/5n1+y/5

2222

【答案】B

【分析】引入?yún)?shù)4,由平面向量基本定理建立方程組即可求解.

【詳解】若。+左，與化+1）。+石共線，貝I]設(shè)Z+屆=2[0+1）汀+3]=40+1》+歷,

因?yàn)橄蛄糠脚cB能作為平面向量的一組基底，

所以[；一：（，+1），所以〃+"1=0,解得3=T士".

故選：B.

2.設(shè)的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為。，b,c,已知。=9乃=8,0=5,則的外接圓的面積為

()

225125123113

A.71B.71C.71D.——兀

111166

【答案】A

【分析】由余弦定理先求出cos。，結(jié)合同角平方關(guān)系求出sin。，再由正弦定理求出外接圓半徑為R,即可

得解.

【詳解】因?yàn)椤?9,b=8,c=5,

a2+Z?2-c281+64-255

所以cosC=

2ab2x9x86

所以sinC=Jl-cos2c=—

6

設(shè)的外接圓半徑為R,

1

D_c_5_15V11225

則2sinCVil11，則“5C的外接圓的面積S=TIR2=1-兀.

亍

故選：A.

3.已知單位向量限B滿足（3-孫1=3,則與B的夾角為（）

7T7T2兀57r

A.—B.—C.—D.—

6336

【答案】D

【分析】根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得展B=進(jìn)而可得B-2可=6，（12斗（結(jié)合夾角

公式分析求解.

【詳解】由題意可知：|?|=|%1,

/rr\ppprpri_i

因?yàn)椋?一6）4=〃2—4?6=1—4?6=—,解得屐6=—,

（Xr2rrrr?廣

貝“4-26）X-a2-Aa-b+Ab2=3,即忸-2々二43,

/rrxrrrr3

\a-2byb=a-b-2b2=~—,

/rA「3

,rra—2b2/Q

可得cos（/ar—2b,bx\=-vy----芍.燈=――—=--A--,

'/*2用Z）|V3xl2

且?-26,小［0,兀］,所以"23與5的夾角為?

故選：D.

4.在中，48=2,BC=近,ZBAC=U0°,D是BC邊一點(diǎn)、,AD是2切C的角平分線，則=

（）

2

A.-B.1C.2D.石r-

【答案】A

【分析】由余弦定理得到/C=l,由正弦定理和3C=不得50=也，求出cos448C=辿，進(jìn)而得到

314

sinZABC=叵,在△/四中，由正弦定理得到答案.

14

AB、AC2-BC2

【詳解】在“8C中，由余弦定理得cos/R4C=

2AB?AC

即看浮==，解得4=1或-3（舍去）,

ABBD

在△45。中，由正弦定理得

sinZADBsinZBAD

2

ACCD

在△ZCZ）中,由正弦定理得

sinZADCsinZCAD

其中4。5+4。。=180。，/BAD=/CAD=60。，

所以sinZ.ADB=sin/ADC，sinABAD=sinNCAD，

ABBD2

故+h前=

CD1

又BC=J7,所以BZ）=馬自,

3

AB-+BC1-AC2_4+7-1_5幣

在“BC中，由余弦定理得cos//8C

2AB-BC_2x2xV7-k

在△/加中,由正弦定理得谷=丹

AD2

即3解得

V21-V3

142

故選：A

5.在zUBC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。也c.已知（36-。倒2+，一叫=2仍ccosC.貝！JtanZ=

（）

A.V2B.2A/2C.V3D.2A/3

【答案】B

【分析】先利用余弦定理，然后利用正弦定理化簡即可.

【詳解】，因?yàn)閏os/="C一"，nb2+c2-a2=2bcsA

2bcCO

又因?yàn)椋?6-°）僅2+/一/）=2abccosC

得（3b-c）2bccosA=2abccosC

整理得（3b-c）cosA=acosC

由正弦定理可得3sinBcosA-sinCcosZ=sin/cosC

得3sinBcosZ=sinCcos/+sin/cosC

得3sin5cos/=sin（4+C）=sin5,因?yàn)閟inBwO

3

所以cos/=—

3

所以tan/="4=叵亙=2百

cosAcosA

故選:B

6.在“3C中，角/、B、C所對的邊為0、b、c若與="叱，則。BC的形狀是（）

ctanC

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角、切化弦，再結(jié)合二倍角公式求解即得.

sin5

【詳解】在。8C中，由與=處”及正弦定理得組二=B零，而sinN>0,sin8>0,

c2tanCsin2csmC

cosC

整理得sin5cos5=sinCeosC,即sin25=sin2C,而0<B<兀,0<C<兀，

jr

則0<23<2私0<2C<2%,因此2B=2C或23+2。=?!,即3=C或3+C=—,

2

所以是等腰三角形或直角三角形.

故選：C

7.已知或“為單位向量，且怩-5*7,則電司+歸_2a的最小值為（）

A.2B.2A/3C.4D.6

【答案】B

【分析］由忸一5可=7,得=力可得歸_*收由|2@_小,_24恒一斗忸一咋拓一25卜2

當(dāng)?shù)忍柍闪r可得最小值.

【詳解】癡/為單位向量，有同=|+同=1,得方=7=,2=1，

由忻一5可=7,得（37-5盯=9片-303Z+25b2=49,

有16=—上，所以比b=臼，

23

1"一畫==，企-2a.B+鏟=V5,

|K|=|c|=l,b,c=c,b,有歸_2a=忸_目,

貝I」四一同+6_2a=恒一磯+bfe-c|>\la-2b卜21，

當(dāng)且僅當(dāng)2a-己與涕-己方向相反時"="成立，

如取Q=（i,o）1十5,號卜二夕春時，可使"="成立.

4

所以（團(tuán)_司+歸一2磯=2占.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

本題關(guān)鍵點(diǎn)是由已知條件得歸-24=|23-3,這樣就能得到|21-己|+歸-23=21-[+,在-？上忻-2m.

7

8.已知&45C的內(nèi)角4￡。的對邊分別為Q,4。,且cos/=—.M為N45C內(nèi)部的一點(diǎn)，且

8

aMA+bMB+cMC=Q^=xAB+yAC,貝＞Jx+＞的最大值為（）

4551

A.—B.-C.-D.-

5462

【答案】A

【分析】把已知等式中冊瓦流向量用方，就，而表示后可求得x，＞,由余弦定理得a,6,c的關(guān)系，求出

二的最值，再由不等式性質(zhì)得結(jié)論.

b+c

[i￥WlaMA+bMB+cMC=Q>

aAM=bMB+cMC=b（AB-AM）+cC4C-AM），

----*b—"c—0-----.—?

/.AM=--—AB+---AC,XAM=xAB+yAC,

a+b+ca+b+c

b+c1

.-.=^-,y=^—x+y=----------=-----------

Xa+b+cQ+]

a+b+ca+b+c

b+c

715

由余弦定理得〃2=b2+c2-2bccosA=b2+c2——be—（b+c）2-----be,

44

由絲且（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號），得Q22（b+c）2—"乂把包=如貯,

44416

14

?，--—%1,5，即x+y的最大值是

b+c4:+15

4

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理，考查余弦定理及基本不等式求最值.解題關(guān)鍵是由平面向量基本定

理把陽y用c表示出來.

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）

9.已知向量0,B的夾角為:，且同=1,|可=2,貝I]（）

A.（a-b）laB.\a+b\=41

C.忸+可=國D.Z在B的方向上的投影向量為日3

5

【答案】AB

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積、向量的模、向量的垂直和投影向量的運(yùn)算性質(zhì)，對各個選項(xiàng)逐一判定即可.

［詳解］a-b=|a||z)|cosj=lx2x-^=1,(彳-B"=同一萬=1-1=0,故A正確；

歸+.2=同，麻+2限3=1+4+2=7,所以忖+可=嶼，故B正確；

忸+,=4同，麻+碗3=4+4+4=12,所以忸+可=28，

又因?yàn)榫W(wǎng)=4,所以忸+小國，故C錯誤；

a-bb1p

日在不上的投影向量為WW=zb，故D錯誤；

故選：AB.

10.在銳角△A8C中，內(nèi)角Z,B,C的對邊分別為a,b,c,且c=2asin5,則()

A.45邊上的高為晟

11

B.--------1--------為定值

tanAtanB

sinC

C.的最小值為2

cosAcosB

D.若tanC=3,則/+/=

5

【答案】ABD

【分析】對A,根據(jù)45邊上的高為asin5求解即可；對B,由正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡即可；對C,

由正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡，結(jié)合B中一L+—匚=2,再根據(jù)基本不等式求解即可；對D,根據(jù)

tanAtanB

三角形內(nèi)角關(guān)系，結(jié)合兩角和差的正切公式與正弦定理判斷即可.

【詳解】對A,45邊上的高為asinB,由題意asinB=E，故A正確;

2

對B,由正弦定理。=2asin5即sinC=sin(4+5)=2sinZsin5,

故sinAcosB+cos/sin5=2sin4sinB,

,COSBCOSAc口門11

又銳角/BC,故———+-——=2,即----+-----=2,故B正確；

sinBsinAtanAtan5

sinC_sin(4+B)_sin/cosByos/sinB_

C,--------------=---------------------------------------------=tantanb,

cos4cos5cos4cos5cos4cos3

又---1—!=2,故tanA+tanB=—(tanA+tan8)f----1--------

tanAtanB2'\tanAtanB

1(tanBtan4、1A_ianB""tanA八tan5tan4

=-2+-------+------->-2+2J------x-------=2,當(dāng)且僅當(dāng)

21tanAtanB)21'tanAtanB,tan4tan5

6

7T7T

即tan/=tan5=l時取等號，此時Z=8=—,C=—,與銳角矛盾，故C錯誤;

42

對D,tanC=tan［兀一（4+5）］=-tan（/+B）=3,

tanA+tanB八11

即an-----------=-3,又------F----=2,即tanA+tanB=2tanAtanB，

1-tan/tanBtanAtanB

,,2tanAtanB，八-上八，，

故-----------二-3,解得tan/tan5=3,tanA+tanB=6.

1-tanAtanB

則tan/（6—tan"）=3,即tan?Z-6tan/+3=0,解得tan/=3土布.

故tan%=3+灰，tan5=3—述，或tanZ=3-V^,tan5=3+\/6.

不妨設(shè)tanA=3+4^,tanB=3-a,

..3+V6

則sin/=

3JF

.2,15+676,2_15-676sin/sinB=

故sinA=------產(chǎn),smB=------尸,20

16+6V616-6V6

故sin?Z+sin?5=生加?n4inB,由正弦定理而+b。="^-ab，故D正確.

55

故選：ABD

IL"奔馳定理"因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形

四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：己知〃是“3C內(nèi)一點(diǎn)，△BMC,

AAMC,A/MB的面積分別為必，SB,Sc,^.SA-MA+SB-MB+SC-MC^Q.以下命題正確的有（）

A.若S/:S§:Sc=1:1:1,則M為△4V7C的重心

B.若M為。8C的內(nèi)心，貝U8C-疝+NC?礪+48?荻=0

C.若/歷1C=45。，ZABC=60°,M為小BC的外心，則邑：：$c=6：2：1

D.若m為AA8C的垂心，3MA+4MB+5MC=Q^貝!lcos=-在

6

【答案】ABD

【分析】A選項(xiàng)，MA+MB+MC=0,作出輔助線，得到A,M,。三點(diǎn)共線，同理可得M為AABC的重

心；B選項(xiàng)，設(shè)內(nèi)切圓半徑為廠，將面積公式代入得到BC.祝5+4C-祕+/3?就=0；C選項(xiàng)，設(shè)外接圓

半徑，由三角形面積公式求出三個三角形的面積，得到比值；D選項(xiàng)，得到邑：S-：$c=3:4:5,作出輔助

線，由面積關(guān)系得到線段比，設(shè)〃。=加，MF=n,ME=5t,表示出NW,BM,MC,結(jié)合三角函數(shù)得

7

到機(jī)=""，%=叵的進(jìn)而求出余弦值；

33

【詳解】對A選項(xiàng)，因?yàn)橐兀篠R￡=1一」，所以疝+癥+標(biāo)=0，

取3c的中點(diǎn)。，則蕨+就=溝方，所以2礪=一而，

故A,",。三點(diǎn)共線，且|兒訓(xùn)=2|九研，

同理，取48中點(diǎn)E,/C中點(diǎn)尸，可得B,M,尸三點(diǎn)共線，C,M,E三點(diǎn)共線,

所以“為“8C的重心，A正確；

對B選項(xiàng)，若“為AASC的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為「，

貝1|邑=3207,SB=^AC-r,Sc=^AB-r,

所以』8c?廠?必+L/C〃?礪+1力8.廣研=6,

222

BPBC-MA+AC-MB+AB-MC=O>B正確；

對C選項(xiàng)，若/A4c=45。，ZABC=60°,M為443c的外心，則乙4cB=75。，

設(shè)“BC的外接圓半徑為K,故/BMC=2NA4c=90。，乙4MC=2//BC=120。,

ZAMB=2ZACB=150°,

222

故邑=1及2$歷90。=:&,SB=-Rsml2O°=—R,Sc=^7?sinl50°=1,

22B2424

所以與：邑：&=2：8：1，C錯誤；

對D選項(xiàng)，若“為“BC的垂心，3MA+4MB+5MC=O^

則Sj/：然=3:4:5,

如圖，AD1BC,CE1AB,BF.LAC,相交于點(diǎn)M,

又邑ABC=SA+SB+SC,

S31

=—=7>即W：A?=3:1,

、《ABC124

8

S41

—^-=—=-,即MF:8M=1:2,

、AABC123

S5

—^c-=—,即Affi:MC=5:7,

^AABC12

設(shè)MD=m,MF=n,ME=5t,則AM=3加，BM=2n,MC=1t,

nm

因?yàn)镹C4D=NC3F,sin/CAD=——,sinZCBF=——

3m2n

Hin娓

所以獷牙即m=--n

3

V6/7

3〃_#，貝llcos/NA/S=cos（兀一/BA?）=------，D正確;

cosZBMD=—

2n2n66

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量與四心關(guān)系應(yīng)用，關(guān)鍵是利用三角形的幾何關(guān)系及向量數(shù)量積及向量

線性表示逐項(xiàng)判斷.

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.已知平面向量)=(1,加)，3=(—2,1),5二(%2),若方_LB，b//c^則加+〃=.

【答案】-2

【分析】根據(jù)向量平行和垂直的坐標(biāo)表示得出參數(shù)計算即可.

【詳解】因?yàn)?=(1,加)方=(一2,1)為，8,所以1x(—2)+lx加=0,加=2,

因?yàn)?=(〃,2),8=(-2,1)?//8,所以lx〃=2x(-2)/=-4,

所以機(jī)+〃=2-4=-2.

故答案為：-2.

13.我國著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》提出了一種求三角形面積的方法"三斜求積術(shù)"，即在中,

角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,則"BC的面積為S=]g(田。/+尸2]若

伍-b)sin/=伍+c)(sinC-sin8),且^ABC的外接圓的半徑為半，則^ABC面積的最大值為.

【答案】G

9

【分析】先將g-6)sin/=伍+c)(sinC-sinB)化簡得C=m，再由均值不等式得MV4,最后代入面積共

公式即可得出答案.

【詳解】因?yàn)?"b)sin/=0+c)(sinC-sin3),

所以由正弦定理得("6"=(6+c)(c-6),

所以/+/一/=訕,

所以由余弦定理得cosC="2+'—°?=L

2ab2

而Cw(O,%),

所以c=g,

c=2R=2x拽,

所以

sinC3

所以c=3Ix3=2,

32

由。22=aba23+b2-4=ab>lab—4,

所以abV4,當(dāng)且僅當(dāng)〃=Z)=2時取等號，

故AABC面積的最大值為百.

故答案為：百

14.已知/、B、C是半徑為1的圓上的三個不同的點(diǎn)，且|劉卜6,則方.就的最小值是.

【答案】

2

【分析】根據(jù)題意，由正弦定理可得sinC="，然后分8=]兀-/與3=巴-/討論，再由平面向量數(shù)量積

233

的定義展開，結(jié)合三角恒等變換公式代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由正弦定理可得二J=—匕=2/，所以正=_也=2，

sinCsinBsinCsinB

所以sinC=且，且Ce(O,兀)，則C=g或1兀，

23J

2兀

貝ljg=—兀一/或5二—A,

33

當(dāng)B=g兀-4時，6=2sin5=2sin■兀一,

所以ABAC=becosA=>/3x2sin[—7r-^|xCOSA

10

、

=2A/3x——cosA-\——sinAcosA

{22

=3cos24+6sin4cos4

3(l+cos2/)百.c“

22

=V3sm^+-1^+I,IJll]2^+je,

當(dāng)2/+f=1■兀時，即/=(兀時，在.左(取得最小值|■一百;

32122

當(dāng)8=；—4時，6=2sinB=2sin[1-4],

所以=becosA=VJx2sin[g-4)xcos4

=2A/3x^-cosA--sinjeosA

122J

=3cos2A-sinAcosA

3(l+cos24)百.一

=--------------sin2A

22

=一氐出(2/-1+之八、。則2/一六]4,1，

則方?就無最值；

綜上所述，萬.就的最小值是g-G

故答案為：|-6

四、解答題(本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分,

19題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.在“8C中，角4B,C所對的邊分別為。，b,c,設(shè)向量成=囚114,、氏3+60》)，

712兀

方=(cos4cos/-sirL4),/(4)=麗?亢，Ae

6'T

⑴求函數(shù)/(/)的最大值;

(2)若/(/)=0,a=#>,sinS+sinC=9，求AABC的面積.

【答案】⑴6

(2)且

4

11

【分析】(1)由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得了(/),利用降幕公式和輔助角公式化簡，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求

最大值；

⑵/⑷=0解得4由sin5+sinC=Xi^用正弦定理邊化角得6+c=n，再結(jié)合余弦定理求得歷=1,

面積公式求^ABC的面積.

【詳解】(1)/(A)=m-fi=2sinAcosA+(^3sinA+V3cos^)(cosA-sinA)

=sin2A+V3(cos2^-sin2^)=sin24+geos24=2sin^2^+.

因?yàn)?壬,闿，月亍以+岑,

63333

所以當(dāng)2/+1=],即/=己時，/(/)有最大值2xg=6；

(2)因?yàn)?(/)=0,所以2sin，/+])=0,所以2/+^=左&左eZ,

因?yàn)?e,所以』=5,

633

_b_=_^=_a_=^_=2bc

由正弦定理sin8sinCsin/拒,所以sm8=3,sinC=-,

---/乙

2

又因?yàn)閟inB+sinC=,所以2+￡=得b+c=&,

2222

由余弦定理有：a2=b2+c2-2bccosA,即3=(b+c)?-36。，所以歷=1,

所以S*=$csiiU=：xlx號=*.

16.記zUBC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知史W=l+sin4

tan5

⑴若/=3,求C；

asinB+bsin/

⑵求的取值范圍.

2bcos2

【答案】(1)。=5

⑵(0,1)

【分析】(。先由題給條件求得/=8=《’進(jìn)而求得0=年

(2)先利用正弦定理和題給條件求得/=]-28和0<2<：,再構(gòu)造函數(shù)y=2/-J,等</<1,求得此函

數(shù)值域即為我怒浮的取值范圍

12

【詳解】(1)由4=8,您4=l+sin/

tan8

可得c0s'=1+sin/,則cos2Z=(1+sin^4)sinA

tan/''

整理得2sin2/+sin/-1=0，解之得sin/=1或sin/=-1

2

又0<Z</則4=/,則8=卜貝UC=W

2663

(2)A,5為AASC的內(nèi)角，則l+sinZ〉0

則由"]=l+sin/,可得q>0,則45均為銳角

tanBtanB

cos2-4---si.n2—411-t+an一4

八cosAA?9?

tanB=----------=-------y------------------------J

1+sin4z-

(sin—AFcos—A■)21[―+tan/—

D八兀c兀/兀t-f.ln兀/八八

又0<B<一,0<-------<—,則5=--------,0<B<

242442

則/=]一23,則sin/=sin]^-2Bj=cos2B

因?yàn)閍sinB=bsin力，

osinB+bsinZ2bsinA2bcosIB2cos2B-1?1

--------------------=-----------=-------------=--------------=2cosB--------

2bcosB2bcosB2bcosBcos8cos8

令，=cos8[0<8<：),則<t<\

/\i—

又/⑺=2/」在半,1單調(diào)遞增，入馬=0,/(1)=1

?I2J2

可得0<2"：<1,則2cosB-金萬的取值范圍為(0,1),

asmB+bsmA

則的取值范圍為(0,1)

2bcos5

cosCcosA+cosB

17.在銳角-BC中，內(nèi)角42,C的對邊分別為a,6,c,且滿足:

acosB+bcosAa+b

(1)求角。的大??；

(2)若c=3,角A與角8的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)。，求△48。面積的取值范圍.

【答案】(嗚

【分析】(1)根據(jù)正弦邊化角，并結(jié)合恒等變換得sin(C-/)=sin(3-C),再結(jié)合題意得2C=/+3,進(jìn)而

根據(jù)內(nèi)角和定理得答案;

13

（2）由題，結(jié)合（1）得乙4D8=M，設(shè)=則=工-a,進(jìn)而根據(jù)銳角三角形得=<a<；,

33124

在△48。中，由正弦定理得4。=2百sin[g-a],進(jìn)而

SA枚八=—AD-ABsma=—x3x2^/3sinf--6/^1sincrsin^2z+^|-^^-,再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求范圍即

223

可.

cosCcosA+cosB

【詳解】（1）解：因?yàn)?/p>

acosB+bcos/a+b

cosCcosA+cos5cosCcosC_cosA+cosB

sirUcos5+sinBcosAsin/+sin5sin(4+8)sinCsinA+smB

所以sinCcosN+sinCcosS=sin/cosC+sinBcosC,

所以sinCeos/-sin/cosC=sinBcosC—sinCcosB,BPsin(C-74)=sin(5-C),

因?yàn)樵阡J角ATIBC中，C—4￡[―5，萬]8—Cw

所以C—4=5—C,即2C=4+B,

因?yàn)閆+5+C=7l,

TT

所以3c=/+8+C=TI,解得C=]

所以c=1

jr

(2)解：因?yàn)镃=g,角A與角3的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)。,

所以/DAB=-ZCAB,ZDBA=-ZABC,

22

所以ZDAB+ZDBA=1zC45+；N4BC=1(7i-C)=j

2兀

所以NNOB后，

jr

設(shè)ZDAB=a,則Z-ABD=----a,

3

因?yàn)?45C為銳角三角形，

LL八c兀八c兀c兀hT\/口兀兀

所0<2a<一,0<5=兀----2a<一,解得一<a<—

232124

3sin

4RAD得今工

所以,在△/3O中,由正弦定理而N而3

sin乙48。.2兀

sm—

3

兀

所以，△4BZ）面積工幺助=—AD?ABsiner=—x3x2^3sin——asma

223

14

TT

因?yàn)镃e所以2a+±e

6

所以，△NBD面積的取值范圍是(上至，竺

18.記AA8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知------—

a-cosCsinC

(1)若bwc,證明：a2=b+c;

2

(2)若8=2C,證明：2c>b>個.

【答案】⑴見詳解；

(2)見詳解.

【分析】(1)根據(jù)正余弦定理角化邊，整理即可;

(2)根據(jù)正弦定理推得b=2ccosC,即可得到b<2c.通過分析，可得。=.1,以及c=『J,代入

2cosC-12cosC

a2=b+c,整理可得到b=12cos。J—1—Y,令"2cosC,構(gòu)造方=〃/)=與=一求導(dǎo)得到

U+2cosCjUcosC-lJt3+t2-t-}

f3在(1,2］上單調(diào)遞減.進(jìn)而得到/⑺>/⑵=：.

【詳解】(1)證明：由正弦定理可得，<=三，所以嗎=2,

sinBsinCsinCc

由余弦定理及其推論可得，cosgJ+c"_*cosC=a2—~,

laclab

a2+c2-b2

。-----------h

所以，由已知可得，——,2”，

lab

即2a2(Z,-c)=2(ft2-c2)=2(Z>+c)(Z)-c),

15

因?yàn)閎wc,所以/=b+c.

(2)證明：由已知得，sin5=sin2C=2sinCcosC,

bc

又由正弦定理二」一可得，6=2ccosC,

sinBsinC

因?yàn)閏osC<l,所以b<2c.

b+c

由(1)知，a2=b+c9則。=----

a

又由正弦定理號可得,

sinAsinBsinC

sin5+sinCsinS+sinCsin5+sinC2sinCeosC+sinC

sin4sin(B+C)sinBcosC+cosBsinC2sinCcosCcosC+(2cos2C-ljsinC

sinC(2cosC+1)1

^4cos2C-1)sinC2cosc—1'

又b=2ccosC,貝ij。=------

2cosC

]

將。=以及c二『J代入/We可得,

2cosC-12cosC

117b7,1+2cosc

--------=b+--------=b\---------

2cosC-1)2cosCI2cosC

2coscY1V_(2coscY1

整理可得,b=l+2cosCJbcosC-lJ-U+2cosCJbcosC-l

兀1

因?yàn)?，B=2C,A+B+C=TI,所以0<C<一,貝lj—<cosC<l.

32

令,=2cosC,則b=f(t)

3727+1

所以，當(dāng)1〈/<2,/'⑺<0恒成立，所以;■⑺在。,2）上單調(diào)遞減.

79

所以，/（?）>/（2）=--即

綜上所述，2c>b>j2.

19.若“BC內(nèi)一點(diǎn)P滿足NP4B=NPBC=/PC4=e,則稱點(diǎn)尸為AJBC的布洛卡點(diǎn)，。為08C的布洛

卡角.如圖，已知“3C中，BC=a,AC=b,4B=c,點(diǎn)P為的布洛卡點(diǎn)，。為“3C的布洛卡角.

16

(1)若6=c,且滿足儀=6，求的大小.

PA

(2)若“BC為銳角三角形.

(i)證明：—1―=——!——+——!——+——-——

tan。tanABACtan/.ABCtan/4cB

(ii)若可平分證明：b2=ac.

【答案】⑴B

6

(2)(i)證明見解析；(ii)證明見解析.

【分析】(1)先判斷APCB與胡相似，進(jìn)而得到.=任，應(yīng)用余弦定理求出cosN/BC的值即可;

(2)(i)在。8C內(nèi)，三次應(yīng)用余弦定理以及三角形的面積公式得：

a1+b2+c2

------------------1-------------------1------------------，針對8分別在AP/B、APBC和VPC/內(nèi)，三次應(yīng)用余弦定

tanNBACtan/ABCtanZ.ACB4s4Rc

理以及三角形的面積公式，且S..c=S/0B+S/BC+這表示出三角形的面積，由余弦定理