二項分布與正態(tài)分布（六種題型）-2025年高考數(shù)學(xué)熱點、重難點題型專項復(fù)習(xí)（原卷版）

第13講二項分布與正態(tài)分布（六種題型）

題型一：利用條件概率公式求解條件概率

一、單選題

1.（2023春?河北石家莊?高三石家莊二中校考階段練習(xí)）在一次春節(jié)聚會上，小王和小張

等4位同學(xué)準(zhǔn)備互相送祝福.他們每人各寫了一張祝福的賀卡，這四張賀卡收齊后讓每人從

中隨機(jī)抽取一張作為收到的新春祝福，則（）

A.小王和小張恰好互換了賀卡的概率為J

B.已知小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為g

C.恰有一個人抽到自己寫的賀卡的概率為，

0

D.每個人抽到的賀卡都不是自己寫的概率為■!

O

二、多選題

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）新型冠狀病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019,COVID-

19）,簡稱“新冠肺炎”，世界衛(wèi)生組織命名為“2019冠狀病毒病”，是指2019新型冠狀病毒

感染導(dǎo)致的肺炎.用核酸檢測的方法可以診斷是否患有新冠，假設(shè)P（A⑻=0.99,

P（A|B）=0.999,其中隨機(jī)事件A表示“某次核酸檢測被檢驗者陽性”，隨機(jī)事件B表示“被

檢驗者患有新冠”，現(xiàn)某人群中尸（3）=0.01,則在該人群中（）

A.每100人必有1人患有新冠

B.若P伍同=0.99,則事件A與事件B相互獨(dú)立

C.若某人患有新冠，則其核酸檢測為陽性的概率為0.999

D.若某人沒患新冠，則其核酸檢測為陽性的概率為0.001

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）隨著春節(jié)的臨近，小王和小張等4位同學(xué)準(zhǔn)備互相送祝福.

他們每人寫了一個祝福的賀卡，這四張賀卡收齊后讓每人從中隨機(jī)抽取一張作為收到的新

春祝福，貝!1（）

A.小王和小張恰好互換了賀卡的概率為J

O

B.已知小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為g

c.恰有一個人抽到自己寫的賀卡的概率為:

D.每個人抽到的賀卡都不是自己寫的概率為：

O

三、填空題

4.（2023春?湖南長沙?高三長沙麓山國際實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）隨著城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，

早高峰問題越發(fā)嚴(yán)重，上班族需要選擇合理的出行方式.某公司員工小明上班出行方式由

三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為而他自駕，坐

公交車，騎共享單車遲到的概率分別為!’二，結(jié)果這一天他遲到了，在此條件下，他自

456

駕去上班的概率是.

四、解答題

5.（2023?湖南?模擬預(yù)測）2020年全面建成小康社會取得偉大歷史成就，決戰(zhàn)脫貧攻堅取

得決定性勝利.某脫貧縣實現(xiàn)脫貧奔小康的目標(biāo)，該縣經(jīng)濟(jì)委員會積極探索區(qū)域特色經(jīng)

濟(jì)，引導(dǎo)商家利用多媒體的優(yōu)勢，對本地特產(chǎn)進(jìn)行廣告宣傳，取得了社會效益和經(jīng)濟(jì)效益

的雙豐收.

（1）該縣經(jīng)濟(jì)委員會為精準(zhǔn)了解本地特產(chǎn)廣告宣傳的導(dǎo)向作用，在購買該縣特產(chǎn)的客戶中隨

機(jī)抽取300人進(jìn)行廣告宣傳作用的調(diào)研，對因廣告宣傳導(dǎo)向而購買該縣特產(chǎn)的客戶統(tǒng)計結(jié)

果是：客戶群體中青年人約占15%,其中男性為20%；中年人約占50%,其中男性為

35%；老年人約占35%,其中男性為55%.以樣本估計總體，視頻率為概率.

（i）在所有購買該縣特產(chǎn)的客戶中隨機(jī)抽取一名客戶，求抽取的客戶是男性的概率；

（ii）在所有購買該縣特產(chǎn)的客戶中隨機(jī)抽取一名客戶是男客戶，求他是中年人的概率

（精確到0.0001）

⑵該縣經(jīng)濟(jì)委員會統(tǒng)計了2021年6?12月這7個月的月廣告投入龍（單位：萬元）；y（單

位：萬件）的數(shù)據(jù)如表所示：

月廣告投入尤/萬元1234567

月銷量y/萬件28323545495260

已知可用線性回歸模擬擬合y與尤的關(guān)系，得到y(tǒng)關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為

>與L請根據(jù)相關(guān)系數(shù)「說明相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱-（若上|20.75,則認(rèn)為兩個變量有

14711

很強(qiáng)的線性相關(guān)性，"直精確到0.001）

參考數(shù)據(jù)：1>*=1354,Z（y,-502=82O,V1435?37.88.

^x^-nxy

參考公式：相關(guān)系數(shù)「=

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某企業(yè)研發(fā)了一種新藥，為評估藥物對目標(biāo)適應(yīng)癥患者的治

療作用和安全性，需要開展臨床用藥試驗，檢測顯示臨床療效評價指標(biāo)A的數(shù)量y與連續(xù)

用藥天數(shù)x具有相關(guān)關(guān)系.隨機(jī)征集了一部分志愿者作為樣本參加臨床用藥試驗，并得到了

一組數(shù)據(jù)(七,%),i=L2,3,4,5,其中x,.表示連續(xù)用藥i天，為表示相應(yīng)的臨床療效評價指

標(biāo)A的數(shù)值.根據(jù)臨床經(jīng)驗，剛開始用藥時，指標(biāo)A的數(shù)量y變化明顯，隨著天數(shù)增加，j

的變化趨緩.經(jīng)計算得到如下一些統(tǒng)計量的值：=62,Z：=G，T(y，")=47，

2：=1"尸4.79,2匕(％-")、L615,X、(％-")(y-y)"19.38,其中％=lnx,「

(1)試判斷、=。+法與y=a+61nx哪一個適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型?并建立y關(guān)于

x的回歸方程；

(2)新藥經(jīng)過臨床試驗后，企業(yè)決定通過兩條不同的生產(chǎn)線每天8小時批量生產(chǎn)該商品，其

中第1條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率是第2條生產(chǎn)線的兩倍.若第1條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品的概率

為0.012,第2條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品約概率為0.009,兩條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)不合格藥品

相互獨(dú)立.

(i)隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品，求該藥品不合格的概率；

(ii)若在抽查中發(fā)現(xiàn)不合格藥品，求該藥品來自第1條生產(chǎn)線的概率.

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(和％),優(yōu),%…％，其回歸直線V=。+法的斜率和截距的

最小二乘估計分別為6=，=y-vx-

SM(X--X

題型二：利用二項分布概率公式求二項分布的分布列

、解答題

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))2022年冬奧會在北京舉行，冬奧會吉祥物“冰墩墩”自亮相

以來就好評不斷，出現(xiàn)了“一墩難求”的現(xiàn)象.主辦方現(xiàn)委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原

型的紀(jì)念品在專賣店進(jìn)行售賣.己知這款紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為80元/件，為了確定其銷售價

格，調(diào)查了對這款紀(jì)念品有購買意向的消費(fèi)者(以下把對該紀(jì)念品有購買意向的消費(fèi)者簡

稱為消費(fèi)者）的心理價位，并將收集的100名消費(fèi)者的心理價位整理如下:

心理價位（元/件）90100110120

人數(shù)10205020

假設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)這款紀(jì)念品的銷售價格小于或等于某位消費(fèi)者的心理價位時，該消費(fèi)者就會

購買該紀(jì)念品.公司為了滿足更多消費(fèi)者的需求，規(guī)定每位消費(fèi)者最多只能購買一件該紀(jì)念

品.設(shè)這款紀(jì)念品的銷售價格為X（單位：元/件），90<x<120,且每位消費(fèi)者是否購買該

紀(jì)念品相互獨(dú)立.用樣本的頻率分布估計總體的分布，頻率視為概率.

（1）若x=100,試估計消費(fèi)者購買該紀(jì)念品的概率；已知某時段有4名消費(fèi)者進(jìn)店，X為這

一時段該紀(jì)念品的購買人數(shù)，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；

（2）假設(shè)共有知名消費(fèi)者，設(shè)該公司售賣這款紀(jì)念品所得總利潤為￥（單位：元），當(dāng)該紀(jì)

念品的銷售價格尤定為多少時，丫的數(shù)學(xué)期望后”）達(dá)到最大值？

2.（2022秋?山東東營?高三勝利一中?？计谀┲戮窗倌?，讀書筑夢，某學(xué)校組織全校學(xué)

生參加“學(xué)黨史頌黨恩，黨史網(wǎng)絡(luò)知識競賽”活動.并對某年級的100位學(xué)生競賽成績進(jìn)行

統(tǒng)計，得到如下人數(shù)分布表.規(guī)定：成績在［80,100］內(nèi)，為成績優(yōu)秀.

成績[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)510152520205

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2x2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為此次競賽成績與性別有

關(guān)；

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計

男10

女35

合計

⑵某班級實行學(xué)分制，為鼓勵學(xué)生多讀書，推出“讀書抽獎額外賺學(xué)分”趣味活動方案：規(guī)

定成績達(dá)到優(yōu)秀的同學(xué)，可抽獎2次，每次中獎概率為。（每次抽獎互不影響，且P的值

等于成績分布表中不低于80分的人數(shù)頻率），中獎1次學(xué)分加5分，中獎2次學(xué)分加10

分.若學(xué)生甲成績在［80,100］內(nèi)，請列出其本次讀書活動額外獲得學(xué)分?jǐn)?shù)X的分布列并求

其數(shù)學(xué)期望.

n[ad-bc)~

參考公式：K2=n=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

附表:

尸（片"°）0.1500.1000.0500.0100.005

k02.0722.7063.8416.6357.879

3.（2022春?安徽滁州?高三?？茧A段練習(xí)）為了讓人民群眾過一個歡樂祥和的新春佳節(jié)，

某地疫情防控指揮部根據(jù)當(dāng)?shù)匾咔榉揽毓ぷ鞑渴?，安?名干部和三個部門（A,B,C）

的16名職工到該地的四個高速路口擔(dān)任疫情防控志愿者，其中16名職工分別是A部門8

人，8部門4人，C部門4人.

（1）若從這16名職工中選出4人作為組長，求至少有2個組長來自A部門的概率；

（2）若將這4名干部隨機(jī)安排到四個高速路口（假設(shè)每名干部安排到各高速路口是等可能

的，且各位干部的選擇是相互獨(dú)立的），記安排到第一個高速路口的干部人數(shù)為X,求隨機(jī)

變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

4.（2022春?安徽滁州?高三?？计谥校?022年2月20日，北京冬奧會在鳥巢落下帷幕，中

國隊創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績.北京冬奧會的成功舉辦推動了我國冰雪運(yùn)動的普及，讓越來越多的

青少年愛上了冰雪運(yùn)動.某校組織了一次全校冰雪運(yùn)動知識競賽，并抽取了100名參賽學(xué)

生的成績制作成如下頻率分布表：

競賽得分[50,60](60,70](70,80](80,90](90,100]

頻率0.10.10.30.30.2

⑴如果規(guī)定競賽得分在（80,90］為“良好”，競賽得分在（90,100］為“優(yōu)秀”，從成績?yōu)椤傲己谩?/p>

和“優(yōu)秀”的兩組學(xué)生中，使用分層抽樣抽取5人.現(xiàn)從這5人中抽取2人進(jìn)行座談，求兩

人競賽得分都是“優(yōu)秀”的概率；

（2）以這100名參賽學(xué)生中競賽得分為“優(yōu)秀”的頻率作為全校知識競賽中得分為“優(yōu)秀”的學(xué)

生被抽中的概率.現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記競賽得分為“優(yōu)秀”的人數(shù)為X,求隨

機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）血液檢測是診斷是否患某疾病的重要依據(jù)，通過提取病人的

血液樣本進(jìn)行檢測，樣本的某一指標(biāo)會呈現(xiàn)陽性或陰性.若樣本指標(biāo)呈陽性，說明該樣本攜

帶病毒；若樣本指標(biāo)呈陰性，說明該樣本不攜帶病毒.根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，每個疑似病例的樣本

呈陽性（即樣本攜帶病毒）的概率均為?，F(xiàn)有4例疑似病例，分別對其進(jìn)行血液

樣本檢測.多個樣本檢測時，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗，混合

樣本中只要攜帶病毒，則混合樣本化驗結(jié)果就會呈陽性.若混合樣本呈陽性，則將該組中各

個樣本再逐個化驗；若混合樣本呈陰性，則該組各個樣本均為陰性.現(xiàn)有以下兩種方案：方

案一：逐個化驗；方案二：平均分成兩組化驗.在該疾病爆發(fā)初期，由于檢測能力不足，化

驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.

（1）若p=；,求這4例疑似病例中呈陽性的病例個數(shù)X的分布列；

（2）若將該4例疑似病例樣本進(jìn)行化驗，且方案二比方案一更“優(yōu)”，求p的取值范圍，

6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）交通信號燈中的紅燈與綠燈交替出現(xiàn).某汽車司機(jī)在某一線

路的行駛過程要經(jīng)過A8兩段路，若已知A路段共要過4個交通崗，且經(jīng)過交通崗時遇到

12

紅燈或綠燈是相互獨(dú)立的，每次遇到紅燈的概率為：，遇到綠燈的概率為:，在3路段的

行駛過程中，首個交通崗遇到紅燈的概率為6=；,且上一交通崗遇到紅燈，則下一交通

崗遇到紅燈的概率為2:，遇到綠燈的概率為1:；若上一交通崗遇到綠燈，則下一交通崗遇

12

到紅燈的概率為耳，遇到綠燈的概率為:，記B段線路中第"個交通崗遇到紅燈的概率為

Pn,n^N\

（1）求該司機(jī)在A路段的行駛過程中遇到紅燈次數(shù)X的分布列與期望；

⑵①求該司機(jī)在8路段行駛過程中第"個交通崗遇到紅燈的概率｛匕｝的通項公式；

②試判斷在最后離開8路段時的最后一個交通崗遇到紅燈的概率大于還是小于請

用數(shù)據(jù)說明.

7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）某電子公司新開發(fā)一電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個系統(tǒng)G

有2〃-1個電子元件組成，各個電子元件能正常工作的概率均為p,且每個電子元件能否

正常工作相互獨(dú)立.若系統(tǒng)中有超過一半的電子元件正常工作，則系統(tǒng)G可以正常工作，

否則就需維修.

（1）當(dāng)〃=2,p=g時，若該電子產(chǎn)品由3個系統(tǒng)G組成，每個系統(tǒng)的維修所需費(fèi)用為500

元，設(shè)4為該電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)所需的總費(fèi)用，求4的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（2）為提高系統(tǒng)G正常工作的概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個功能完全一樣的電子元件，每個

新元件正常工作的概率均為P，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則系統(tǒng)C

可以正常工作，問p滿足什么條件時，可以提高整個系統(tǒng)G的正常工作概率？

8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）安慶市某學(xué)校高三年級開學(xué)之初增加晚自習(xí)，晚飯在校食堂

就餐人數(shù)增多，為了緩解就餐壓力，學(xué)校在原有一個餐廳的基礎(chǔ)上增加了一個餐廳，分別

記做餐廳甲和餐廳乙，經(jīng)過一周左右統(tǒng)計調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐

廳甲就餐的概率是25%、選擇餐廳乙就餐的概率為75%,前一天選擇餐廳乙就餐第二天選

擇餐廳乙就餐的概率是50%、選擇餐廳甲就餐的概率也為50%,如此往復(fù).假設(shè)學(xué)生第一天

選擇餐廳甲就餐的概率是:，擇餐廳乙就餐的概率是耳，記某同學(xué)第“天選擇甲餐廳就餐

的概率為2.

（1）記某班級的3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X,求X的分布列，并求E（X）；

（2）請寫出匕“與匕（〃eN*）的遞推關(guān)系；

（3）求數(shù)列｛6｝的通項公式并幫助學(xué)校解決以下問題：為提高學(xué)生服務(wù)意識和團(tuán)隊合作精

神，學(xué)校每天從20個班級中每班抽調(diào)一名學(xué)生志愿者為全體學(xué)生提供就餐服務(wù)工作，根據(jù)

上述數(shù)據(jù)，如何合理分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)？請說明理由.

9.（2022?海南省直轄縣級單位?統(tǒng)考三模）冬季兩項是第24屆北京冬奧會的比賽項目之

一，它把越野滑雪和射擊兩種特點不同的競賽項目結(jié)合在一起.其中20km男子個人賽的規(guī)

則如下：

①共滑行5圈（每圈4km）,前4圈每滑行1圈射擊一次，每次5發(fā)子彈，第5圈滑行直

達(dá)終點；

②如果選手有“發(fā)子彈未命中目標(biāo)，將被罰時〃分鐘；

③最終用時為滑雪用時、射擊用時和被罰時間之和，最終用時少者獲勝.

已知甲、乙兩人參加比賽，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙兩人每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率

分別為:和;.假設(shè)甲、乙兩人的射擊用時相同，且每發(fā)子彈是否命中目標(biāo)互不影響.

（1）若在前三次射擊中，甲、乙兩人的被罰時間相同，求最終甲勝乙的概率；

（2）若僅從最終用時考慮，甲、乙兩位選手哪個水平更高？說明理由.

題型三：利用二項分布期望方差公式求解期望和方差

一、填空題

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X~3（6,0.8）,若尸（X=左）最大，則

D（AX+1）=.

二、解答題

2.（2022?河北?模擬預(yù)測）中醫(yī)藥傳承數(shù)千年，治病救人濟(jì)蒼生.中國工程院院士張伯禮在

接受記者采訪時說：“中醫(yī)藥在治療新冠肺炎中發(fā)揮了核心作用，能顯著降低輕癥病人發(fā)展

為重癥病人的幾率.對改善發(fā)熱、咳嗽、乏力等癥狀，中藥起效非常快，對肺部炎癥的吸收和

病毒轉(zhuǎn)陰都有明顯效果.”2021年12月某地爆發(fā)了新冠疫情，醫(yī)護(hù)人員對確診患者進(jìn)行積極

救治.現(xiàn)有6位癥狀相同的確診患者，平均分成A,8兩組，A組服用甲種中藥，8組服用乙

139

種中藥.服藥一個療程后，A組中每人康復(fù)的概率都為不，8組3人康復(fù)的概率分別為歷，

33

"4,

(1)設(shè)事件C表示A組中恰好有1人康復(fù),事件D表示B組中恰好有1人康復(fù)，求

P(CD)；

(2)若服藥一個療程后，每康復(fù)1人積2分，假設(shè)認(rèn)定：積分期望值越高藥性越好，請問甲

、乙兩種中藥哪種藥性更好？

3.(2022.全國?高三專題練習(xí))某從事智能教育技術(shù)研發(fā)的科技公司開發(fā)了一個“A/作業(yè)”項

目，并且在甲、乙兩個學(xué)校的高一學(xué)生中做用戶測試.經(jīng)過一個階段的試用，為了解“A/作

業(yè)”對學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)情況，該公司隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，對他們的“向量數(shù)量積”知識點

掌握的情況進(jìn)行調(diào)查，樣本調(diào)查結(jié)果如下表：

甲校乙校

使用4作業(yè)不使用々作業(yè)使用4作業(yè)不使用41作業(yè)

基本掌握32285030

沒有掌握8141226

假設(shè)每位學(xué)生是否掌握“向量數(shù)量積”知識點相互獨(dú)立.

⑴從樣本中沒有掌握“向量數(shù)量積”知識點的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，用占表示抽取的2

名學(xué)生中使用“A/作業(yè)，，的人數(shù)，求J的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)用樣本頻率估計概率，從甲校高一學(xué)生中抽取一名使用“A/作業(yè)”的學(xué)生和一名不使用

“A/作業(yè)”的學(xué)生，用“X=l”表示該名使用“A/作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用

“X=0”表示該名使用“A/作業(yè)”的學(xué)生沒有掌握“向量數(shù)量積”，用“￥=1”表示該名不使用“A/

作業(yè)，，的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積，，，用“丫=0”表示該名不使用“A/作業(yè)”的學(xué)生沒有掌握

“向量數(shù)量積”.比較方差DX和0y的大小關(guān)系.

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）某商城玩具柜臺五一期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并

且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈送節(jié)日送禮，現(xiàn)有甲、乙兩個系列盲盒，每個甲系列盲盒可以

開出玩偶A,4，A3中的一個，每個乙系列盲盒可以開出玩偶用，層中的一個.

（1）記事件紇：一次性購買"個甲系列盲盒后集齊玩偶A,4,人玩偶；事件工：一次

性購買”個乙系列盲盒后集齊耳，與玩偶；求概率尸（耳）及P⑶）；

（2）某禮品店限量出售甲、乙兩個系列的盲盒，每個消費(fèi)者每天只有一次購買機(jī)會，且購

買時，只能選擇其中一個系列的一個盲盒.通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：第一次購買盲盒的消費(fèi)者購買甲

系列的概率為:，購買乙系列的概率為1;而前一次購買甲系列的消費(fèi)者下一次購買甲系

13

列的概率為了，購買乙系列的概率為了，前一次購買乙系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的

概率為購買乙系列的概率為如此往復(fù)，記某人第〃次購買甲系列的概率為Q“.

①求｛2｝的通項公式；

②若每天購買盲盒的人數(shù)約為100,且這100人都已購買過很多次這兩個系列的盲盒，試估

計該禮品店每天應(yīng)準(zhǔn)備甲、乙兩個系列的盲盒各多少個.

5.(2023?全國?高三專題練習(xí))某學(xué)校組織數(shù)學(xué)，物理學(xué)科答題競賽活動，該學(xué)校準(zhǔn)備了

100個相同的箱子，其中第M左=1,2,,100)個箱子中有％個數(shù)學(xué)題，100-左個物理題.每

一輪競賽活動規(guī)則如下：任選一個箱子，依次抽取三個題目(每次取出不放回)，并全部作

答完畢，則該輪活動結(jié)束；若此輪活動中，三個題目全部答對獲得一個獎品.

(1)已知學(xué)生甲在每一輪活動中，都抽中了2個數(shù)學(xué)題，1個物理題，且甲答對每一個數(shù)學(xué)

題的概率為P,答對每一個物理題的概率為夕.

①求學(xué)生甲第一輪活動獲得一個獎品的概率；

②已知P+o=i,學(xué)生甲理論上至少要進(jìn)行多少輪活動才能獲得四個獎品？并求此時「、q

的值.

(2)若學(xué)生乙只參加一輪活動，求乙第三次抽到物理題的概率.

6.(2023?全國?高三專題練習(xí))某企業(yè)從生產(chǎn)的一批零件中抽取100件產(chǎn)品作為樣本，檢測

其質(zhì)量指標(biāo)值相(其中：100<〃?<40)),得到頻率分布直方圖，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等

質(zhì)量指標(biāo)值m150<m<350100<m<150或350<m<400

等級A級B級

(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的60%分位數(shù)；

⑵從樣本的B級零件中隨機(jī)抽3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在［350,400］的零件的件數(shù)為

求4的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用混裝的方式將所有的零件按500個一箱包裝，已知一個A

級零件的利潤是10元，一個B級零件的利潤是5元，以樣本分布的頻率作為總體分布的概

率，試估計每箱零件的利潤.

題型四：利用正太分布對稱性求概率或參數(shù)值

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知兩個隨機(jī)變量X,Y,其中

（0>0）,若E（X）=E（Y）,且尸（M<1）=03,則尸?<-!）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.1

二、多選題

2.（2023春?江蘇南京?高三南京市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）下列命題中，正確的命題是（）

2

A.已知隨機(jī)變量服從8（九,0）,若磯X）=30,D（X）=20,則"=耳

B.已知尸（BA）=0.34,尸（約=0.71,則尸（癡）=0.37

C.設(shè)隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（0,l）,若尸q>1）=°,則P（-l<J<0）=；-p

D.某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,X-5（10,0.8）,則當(dāng)X=8時概率最大

3.（2022?湖北襄陽?襄陽五中?？寄M預(yù)測）下列命題中，正確的是（）

A.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（l,b2）,若P（XW0）=0.2,則P（X<2）=0.8

B.已知隨機(jī)變量X的分布列為尸（X=i）=溫j[=1,2,3,,100）,貝儲=爵

C.用X表示"次獨(dú)立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，P為每次試驗中事件A發(fā)生的概

率，若E（X）=50,D（X）=30,則p=：

4

D.已知某家系有甲和乙兩種遺傳病，該家系成員A患甲病的概率為百，患乙病的概率為

273

—,甲乙兩種病都不患的概率為則家系成員A在患甲病的條件下，患乙病的概率為!

15108

三、解答題

4.（2022秋?浙江金華?高三期末）為調(diào)查禽類某種病菌感染情況，某養(yǎng)殖場每周都定期抽

樣檢測禽類血液中A指標(biāo)的值.養(yǎng)殖場將某周的5000只家禽血液樣本中A指標(biāo)的檢測數(shù)據(jù)

進(jìn)行整理，繪成如下頻率分布直方圖

頻率

0.18

0.14

S6

S.O5

.O3

O..O2

.O

O.O

3579111315A指標(biāo)值

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這5000只家禽血液樣本中A指標(biāo)值的中位數(shù)(結(jié)果保留兩

位小數(shù))；

(2)通過長期調(diào)查分析可知，該養(yǎng)殖場家禽血液中A指標(biāo)的值X服從正態(tài)分布N(7.4,2.632).

(i)若其中一個養(yǎng)殖棚有1000只家禽，估計其中血液A指標(biāo)的值不超過10.03的家禽數(shù)量

(結(jié)果保留整數(shù))；

(ii)在統(tǒng)計學(xué)中，把發(fā)生概率小于1%的事件稱為小概率事件，通常認(rèn)為小概率事件的發(fā)

生是不正常的.該養(yǎng)殖場除定期抽檢外，每天還會隨機(jī)抽檢20只，若某天發(fā)現(xiàn)抽檢的20只

家禽中恰有3只血液中A指標(biāo)的值大于12.66,判斷這一天該養(yǎng)殖場的家禽健康狀況是否正

常，并分析說明理由.

參考數(shù)據(jù)：

?0.022753?0.00001,0.9772517?0.7；

②若XN.,吟,則P(〃—扇k〃+cr卜0.6827;尸(〃一2成k〃+2cr卜0.9545.

5.(2023?全國?高三專題練習(xí))南平市于2018年成功獲得2022年第十七屆福建省運(yùn)會承辦

權(quán).為進(jìn)一步提升第十七屆福建省運(yùn)會志愿者綜合素質(zhì)，提高志愿者服務(wù)能力，南平市啟動

首批志愿者通識培訓(xùn)，并于培訓(xùn)后對參訓(xùn)志愿者進(jìn)行了一次測試，通過隨機(jī)抽樣，得到

100名參訓(xùn)志愿者的測試成績，統(tǒng)計結(jié)果整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次測試成績X近似于服從正態(tài)分布N（〃,1L52）,〃近似

為這100人測試成績的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），

①求〃的值；

②利用該正態(tài)分布，求P（75.5<XV87）；

（2）在（1）的條件下，主辦單位為此次參加測試的志愿者制定如下獎勵方案：①測試成績

不低于〃的可以獲贈2次隨機(jī)話費(fèi)，測試成績低于〃的可以獲贈1次隨機(jī)話費(fèi)；

②每次獲贈的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為：

贈送話費(fèi)的金額（元）1030

3

概率

44

今在此次參加測試的志愿者中隨機(jī)抽取一名，記該志愿者獲贈的話費(fèi)為J（單位：元），試

根據(jù)樣本估計總體的思想，求片的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)與公式：若貝IJP（〃一cr<XW〃+b）=0.6826,

P(〃-2。<XW〃+2。)=0.9544,P(〃-3b<X4〃+3cr)=0.9974.

6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）教育部門最近出臺了“雙減”政策.即有效減輕義務(wù)教育階段

學(xué)生過重作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)，持續(xù)規(guī)范校外培訓(xùn)（包括線上培訓(xùn)和線下培訓(xùn)）.“雙

減”政策的出合對校外的培訓(xùn)機(jī)構(gòu)經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生了嚴(yán)重影響.某大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了規(guī)避

風(fēng)險，尋求發(fā)展制定科學(xué)方案，工作人員對2021年前200名報名學(xué)員的消費(fèi)金額進(jìn)行了統(tǒng)

計整理，其中數(shù)據(jù)如表.

消費(fèi)金額（千元）[3,5)[5,7)[7,9)ND[11,13)[13,15]

人數(shù)305060203010

(1)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)型方案之一是將文化科主陣地輔導(dǎo)培訓(xùn)向音體美等興趣愛好培訓(xùn)

轉(zhuǎn)移，為了深入了解當(dāng)前學(xué)生的興趣愛好，工作人員利用分層抽樣的方法在消費(fèi)金額為

［9,11)和［11,13)的學(xué)員中抽取了5人，再從這5人中選取3人進(jìn)行有獎問卷調(diào)查，求抽取的

3人中消費(fèi)金額為11/3)的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)以頻率估計概率，假設(shè)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)2021年所有學(xué)員的消費(fèi)金額可視為服從正

態(tài)分布〃，〃分別為報名前200名學(xué)員消費(fèi)的平均數(shù)尤以及方差S2(同一區(qū)間

的花費(fèi)用區(qū)間的中點值替代).

①試估計該機(jī)構(gòu)學(xué)員2021年消費(fèi)金額為［5.2,13.6)的概率(保留一位小數(shù))；

②若從該機(jī)構(gòu)2021年所有學(xué)員中隨機(jī)抽取4人，記消費(fèi)金額為［5.2,13.6)的人數(shù)為〃，求〃

的方差.

參考數(shù)據(jù)：行“1.4;若隨機(jī)變量則尸(〃一b<J<〃+b)=0.6827,

P(〃一2cr<J<〃+2cr)=0.9545,尸(〃一3b<J<〃+3b)=0.9973.

7.(2023?全國?高三專題練習(xí))第13屆女排世界杯于2019年9月14日在日本舉行，共有

12支參賽隊伍.本次比賽啟用了新的排球用球MIKSA-V200W,已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)欠單

位:g)服從正態(tài)分布N(270,5?).比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊進(jìn)行11場比賽(采

取5局3勝制)，最后靠積分選出最后冠軍積分規(guī)則如下:比賽中以3:0或3:1取勝的球隊積

3分，負(fù)隊積0分;而在比賽中以3:2取勝的球隊積2分，負(fù)隊積1分.已知第10輪中國隊對

抗塞爾維亞隊，設(shè)每局比賽中國隊取勝的概率為p(0<p<l).

(1)如果比賽準(zhǔn)備了1000個排球，估計質(zhì)量指標(biāo)在(260,265］內(nèi)的排球個數(shù)(計算結(jié)果取

整數(shù)).

(2)第10輪比賽中，記中國隊3:1取勝的概率為了(0).

(i)求出加)的最大值點Po；

(ii)若以P。作為P的值記第10輪比賽中，中國隊所得積分為X,求X的分布列.

參考數(shù)據(jù):cr2),貝!|戶0.6826,p(/z-2Kxy+2c戶0.9544.

8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）某省2021年開始將全面實施新高考方案.在6門選擇性考試

科目中，物理、歷史這兩門科目采用原始分計分；思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科

目采用等級轉(zhuǎn)換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為A,B,C,D,E共5個等

級，各等級人數(shù)所占比例分別為15%、35%、35%、13%和2%,并按給定的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)

換賦分.該省組織了一次高一年級統(tǒng)一考試，并對思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科

目的原始分進(jìn)行了等級轉(zhuǎn)換賦分.

（1）某校生物學(xué)科獲得A等級的共有10名學(xué)生，其原始分及轉(zhuǎn)換分如下表：

原始分9190898887858382

轉(zhuǎn)換分10099979594918886

人數(shù)11212111

現(xiàn)從這10名學(xué)4U中隨，機(jī)抽E僅3人，設(shè)這3人中生物轉(zhuǎn)換分不低于95分的人數(shù)為X,求X

的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）假設(shè)該省此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分丫服從正態(tài)分布陽75.8,36）.若丫~陽〃,戊），

令〃=工二巴，則請解決下列問題:

CT

①若以此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分C等級的最低分為實施分層教學(xué)的劃線分，試估計該

劃線分大約為多少分？（結(jié)果保留為整數(shù)）

②現(xiàn)隨機(jī)抽取了該省800名高一學(xué)生的此次生物學(xué)科的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互

獨(dú)立，記J為被抽到的原始分不低于71分的學(xué)生人數(shù)，求尸（。=處取得最大值時女的值.

附：若〃~N（0,l）,則尸（〃，，0.8）x0.788,尸（〃，，1.04）?0.85.

題型五：利用正太分布三段區(qū)間的概率值求概率

一、單選題

1.（2022春.全國?高三專題練習(xí)）2020年8月11日，國家主席習(xí)近平同志對制止餐飲浪費(fèi)

行為作出重要指示，他指出，餐飲浪費(fèi)現(xiàn)象，觸目驚心，令人痛心!“誰知盤中餐，粒粒皆

辛苦”，某中學(xué)制訂了“光盤計劃”，面向該校師生開展了一次問卷調(diào)查，目的是了解師生們

對這一倡議的關(guān)注度和支持度，得到參與問卷調(diào)查中的2000人的得分?jǐn)?shù)據(jù).據(jù)統(tǒng)計此次問

卷調(diào)查的得分尤（滿分：100分）服從正態(tài)分布N（93,26則P（91<x<97）=（）

若隨機(jī)變量&N.,吟,則P（〃-b<J<〃+b）=0.6827,

尸（〃-2cr<//+2cr）=0.9545

A.0.34135B.0.8186C.0.6827D.0.47725

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）醫(yī)用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內(nèi)、

中、外三層.內(nèi)層為親膚材質(zhì)（普通衛(wèi)生紗布或無紡布），中層為隔離過濾層（超細(xì)聚丙烯

纖維熔噴材料層），外層為特殊材料抑菌層（無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層）.根據(jù)國家

質(zhì)量監(jiān)督檢驗標(biāo)準(zhǔn)，醫(yī)用口罩的過濾率是重要的指標(biāo)，根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，某企業(yè)在生產(chǎn)

線狀態(tài)正常情況下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過濾率x：^（0.9372,0.01392）.若

x:cr2）（cr>0）,則P（/z-2cr<xW〃+2cr）=0.9545,

P（〃-3cr<xV〃+3cr）=0.9973,0.977255。右0.3164.有如下命題：甲：p（x<0,9）<0.5；

乙：尸（x<0.4）>P（x>1.5）；丙：尸（x>0.9789）=0.00135；?。杭僭O(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X

表示一天內(nèi)抽取的50只口罩中過濾率大于〃+2b的數(shù)量，則P（X21）。0.6.其中假命題是

()

A.甲B.乙C.丙D.丁

二、解答題

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))在“十三五”期間，我國的扶貧工作進(jìn)入了“精準(zhǔn)扶貧”階段，

到2020年底，全國830個貧困縣全部脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口全部脫貧，這是我

國脫貧攻堅史上的一大壯舉.重慶市奉節(jié)縣作為國家貧困縣之一，于2019年4月順利脫貧

摘帽，因地制宜發(fā)展特色產(chǎn)業(yè)，是奉節(jié)脫貧攻堅的重要抓手.奉節(jié)縣規(guī)劃發(fā)展了以高山煙

葉、藥材、反季節(jié)蔬菜；中山油橄欖、養(yǎng)殖；低山臍橙等為主的產(chǎn)業(yè)格局，各類特色農(nóng)產(chǎn)

品已經(jīng)成為了當(dāng)?shù)卮迕竦膿u錢樹.尤其是奉節(jié)臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質(zhì)細(xì)嫩化

渣、無核少絡(luò)，酸甜適度，汁多爽口，余味清香”而聞名.為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅成

果，各職能部門對臍橙種植、銷售、運(yùn)輸、改良等各方面給予大力支持.奉節(jié)縣種植的某

品種臍橙果實按果徑X(單位：加加)的大小分級，其中Xe(70,90］為一級果，

Xe(90,110］為特級果，一級果與特級果統(tǒng)稱為優(yōu)品.現(xiàn)采摘了一大批此品種臍橙果實，

從中隨機(jī)抽取1000個測量果徑，得到頻率分布直方圖如下：

⑴由頻率分布直方圖可認(rèn)為，該品種臍橙果實的果徑X服從正態(tài)分布NJ。?)，其中〃近

似為樣本平均數(shù)上。近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s,已知樣本的方差的近似值為IO。.若從這批臍

橙果實中任取一個，求取到的果實為優(yōu)品的概率(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代

表)

⑵這批采摘的臍橙按2個特級果和”(n>2,且〃eN*)個一級果為一箱的規(guī)格進(jìn)行包

裝，再經(jīng)過質(zhì)檢方可進(jìn)入市場.質(zhì)檢員質(zhì)檢時從每箱中隨機(jī)取出兩個果實進(jìn)行檢驗，若取

到的兩個果實等級相同，則該箱臍橙記為“同”，否則該箱臍橙記為“異”.

①試用含n的代數(shù)式表示抽檢的某箱臍橙被記為“異”的概率p；

②設(shè)抽檢的5箱臍橙中恰有3箱被記為“異”的概率為了(0),求函數(shù)“P)的最大值，及取

最大值時n的值.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(〃,4),則P(〃一b<XW〃+b)a0.6827,

P(//-2cr<X</j+2cr)?0,9545,P(〃-3cr<X<〃+3cr)40.9973.

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某工廠為了提高某產(chǎn)品的生產(chǎn)質(zhì)量引進(jìn)了一條年產(chǎn)量為100

萬件的生產(chǎn)線.已知該產(chǎn)品的質(zhì)量以某項指標(biāo)值上為衡量標(biāo)準(zhǔn)，為估算其經(jīng)濟(jì)效益，該廠先

進(jìn)行了試生產(chǎn)，并從中隨機(jī)抽取了100件該產(chǎn)品，統(tǒng)計了每個產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值鼠并分

成以下5組，其統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：

質(zhì)量指標(biāo)值[5,6)[6,7)[7,8)[8,9)Ri。]

頻數(shù)163040104

試?yán)迷摌颖镜念l率分布估計總體的概率分布，并解決下列問題：（注：每組數(shù)據(jù)取區(qū)旬的

中點值）

（1）由頻率分布表可認(rèn)為，該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值左近似地服從正態(tài)分布其中〃近

似為樣本平均數(shù)亍，。近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s,并已求得SB0.82,記X表示某天從生產(chǎn)線

上隨機(jī)抽取的10件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值上在區(qū)間（5.42,7.88］之外的個數(shù)，求尸（X=l）及X的

數(shù)學(xué)期望（精確到0.001）;

（2）已知每個產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值上與利潤y（單位：萬元）的關(guān)系如下表所示七（6,7）

質(zhì)量指標(biāo)值k[5,6)[6,7)[7,8)[8,9)Ri。]

利潤y5t3t2tt-5t2

假定該廠所生產(chǎn)的該產(chǎn)品都能銷售出去，且這一年的總投資為500萬元，問：該廠能否在

一年之內(nèi)通過銷售該產(chǎn)品收回投資？試說明理由.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量Z~N（〃Q2）,則

P（//-cr<Z<4+cr）=0.6827,尸（〃-2bvZ<〃+2b）=0.9545,

P（〃—3bvZ<〃+3b）=0.9973,0.81869?0.1651.

5.(2023?全國?局三專題練習(xí))冠狀病毒是一個大型病毒家族，可引起感冒以及中東呼吸綜

合征(MERS)和嚴(yán)重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴(yán)重疾病.出現(xiàn)的新型冠狀病毒

(nCoV)是從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼

吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急

性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢測血液中的指標(biāo)

A.現(xiàn)從采集的血液樣品中抽取500份檢測指標(biāo)A的值，由測量結(jié)果得下側(cè)頻率分布直方

圖：

頻率/組距

th

0.18.................

0.14.................

SO6

O5

O.O3

O.SO2

O

13151719212325質(zhì)量指標(biāo)值

(1)求這500份血液樣品指標(biāo)A值的平均數(shù)x和樣本方差52(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中

點值作代表，記作=,7))；

(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這項指標(biāo)A的值X服從正態(tài)分布NJ,。?)，其中〃近

似為樣本平均數(shù)3接近似為樣本方差在統(tǒng)計學(xué)中，把發(fā)生概率小于3%。的事件稱為

小概率事件(正常條件下小概率事件的發(fā)生是不正常的).該醫(yī)院非常關(guān)注本院醫(yī)生健康狀

況，隨機(jī)抽取20名醫(yī)生，獨(dú)立的檢測血液中指標(biāo)A的值，結(jié)果發(fā)現(xiàn)4名醫(yī)生血液中指標(biāo)A

的值大于正常值20.03,試根據(jù)題中條件判斷該院醫(yī)生的健康率是否正常，并說明理由.

7______1

附：參考數(shù)據(jù)與公式：Z4一元)4=3.46,直靈。2.63,3.46?-x2.632；若

z=l2

xN(〃,cr2),貝。①P(4-cr<xW〃+cr)=0.6826；②尸(〃一2cr<x<〃+2cr)=0.9545；

③P(〃-3b<x4〃+3cr)=0.9973.0.15874?0.006，0.15876?0,000016,

0.841314?0.0890，0.841316?0.0630.

6.（2023秋?貴州銅仁?高三統(tǒng)考期末）如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便

地網(wǎng)購，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中重要的一部分，其中大學(xué)生更是頻頻使用

網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù).A市教育主管部門為掌握網(wǎng)絡(luò)外賣在該市各大學(xué)的發(fā)展情況，在某月從該市

大學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了100人，并將這100人在本月的網(wǎng)絡(luò)外賣的消費(fèi)金額制成如下頻數(shù)分布

表（已知每人每月網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額不超過3000元）：

消費(fèi)金額（單位：百元）[0,5](5,10](10,15](15,20](20,25](25,30]

頻數(shù)2035251055

⑴由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，該市大學(xué)生網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額Z（單位：元）近似地服從正態(tài)

分布其中〃近似為樣本平均數(shù)x（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值，b=660）.現(xiàn)從

該市任取20名大學(xué)生，記其中網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額恰在390元至2370元之間的人數(shù)為X,

求X的數(shù)學(xué)期望；

（2）A市某大學(xué)后勤部為鼓勵大學(xué)生在食堂消費(fèi)，特地給參與本次問卷調(diào)查的大學(xué)生每人

發(fā)放價值100元的飯卡，并推出一檔“勇闖關(guān)，送大獎”的活動.規(guī)則是：在某張方格圖上標(biāo)

有第0格、第1格、第2格....第60格共61個方格.棋子開始在第。格，然后擲一枚均勻

的硬幣（已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是：，其中《=1）,若擲出正面，將棋子向前移

動一格（從左到上+1）,若擲出反面，則將棋子向前移動兩格（從k到上+2）.重復(fù)多次，

若這枚棋子最終停在第59格，則認(rèn)為“闖關(guān)成功”，并贈送500元充值飯卡；若這枚棋子最

終停在第60格，則認(rèn)為“闖關(guān)失敗”，不再獲得其他獎勵，活動結(jié)束.

①設(shè)棋子移到第”格的概率為匕，求證：當(dāng)1V〃W59時，是等比數(shù)列；

②若某大學(xué)生參與這檔“闖關(guān)游戲”，試比較該大學(xué)生闖關(guān)成功與闖關(guān)失敗的概率大小，并

說明理由.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（〃,4）,則P（〃一b<jv〃+b）=0.6827,

P（〃-2bvj,,//+2（T）=0.9545,〃+3b）=0.9973.

題型六：利用正太分布三段區(qū)間的概率值估計人數(shù)

一、解答題

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))某市教育局對該市普通高中學(xué)生進(jìn)行學(xué)業(yè)水平測試，試卷滿

分120分.現(xiàn)從全市學(xué)生中隨機(jī)抽查了10名學(xué)生的成績，分別為78,81,84,86,86,

87,92,93,96,97.

(1)已知10名學(xué)生的平均成績?yōu)?8,計算其中位數(shù)和方差；

⑵已知全市學(xué)生學(xué)習(xí)成績分布服從正態(tài)分布，某校實驗班學(xué)生30人.

①依據(jù)(1)的結(jié)果，試估計該班學(xué)業(yè)水平測試成績在(94,100)的學(xué)生人數(shù)(結(jié)果四舍五入

取整數(shù))；

②為參加學(xué)校舉行的數(shù)學(xué)知識競賽，該班決定推薦成績在(94,100)的學(xué)生參加預(yù)選賽，若

每個學(xué)生通過預(yù)選賽的概率為:，用隨機(jī)變量X表示通過預(yù)選賽的人數(shù)，求X的分布列和

數(shù)學(xué)期望.(正態(tài)分布參考數(shù)據(jù)：