高考數(shù)學一輪專項復(fù)習知識清單-立體幾何初步（含解析）

立體幾何初步

（思維構(gòu)建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）

維構(gòu)建?里里循0永紿

彳、空間幾何體的表面積和體積公歪）

Yo知識點二空間幾何體的表面積和體Q-■＜柱體、錐體、臺體側(cè)面積間的關(guān)系）題型01空間幾何體的表面積計算

題型02空間幾何體的體積計算

L（柱體、錐體、臺體體積回的關(guān)索）題型03空間幾何體的最短路徑問題

K四個公理）

r［等角定理）

立

題型01異面直線的判斷

空間兩條直線的位置關(guān)系）

體題型求異面直線所成角

。知識點三點、平面之間的位置關(guān)系《直線與直線的位置關(guān)系02

異面直線所成的鬲）題型03共線共點共面的判斷證明

幾題型04平面基本性質(zhì)與等角定理應(yīng)用

-（直線與平面的位置關(guān)系）

何

L（兩個平面的位置關(guān)系）

初

步

題型01線面平行的證明

題型02線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用

題型03面面平行的證明

知識點四直線、平面平行的判定與性質(zhì)

O題型04面面平行性質(zhì)定理應(yīng)用

題型05立體幾何幾何中的截面問題

《平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化

O知識點五直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

口識盤點?蟄幅訃米

知識點1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

1、多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺

D'SD'

S

圖形卷

ABABAB

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

側(cè)棱平行且相等相交于一點，但不一定相等延長線交于一點，但不一定相等

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

2、特殊的棱柱和棱錐

（1）側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.反之，正棱柱的底面是正

多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形.

（2）底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐.特別地，各棱長均相

等的正三棱錐叫做正四面體.反過來，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面正多邊形的

中心.

【注意】（1）棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，但側(cè)面都是平行四邊形的幾何體卻不一定是棱柱.

（2）棱臺的所有側(cè)面都是梯形，但側(cè)面都是梯形的幾何體卻不一定是棱臺.

（3）注意棱臺的所有側(cè)棱相交于一點.

3、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺球

@

圖形I11

旋轉(zhuǎn)圖形矩形直角三角形直角梯形半圓形

任一直角邊所在的垂直于底邊的腰直徑所在的

旋轉(zhuǎn)軸任一邊所在的直線

直線所在的直線直線

互相平行且相等，垂直

母線相交于一點延長線交于一點

于底面

軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓

側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)

4、空間幾何體的直觀圖

（1）畫法：常用斜二測畫法.

（2）規(guī)則：

①原圖形中X軸、y軸、Z軸兩兩垂直，直觀圖中，/軸、y軸的夾角為45。（或135。），Z，軸與V軸和y

軸所在平面垂直.

②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保

持原長度不變；平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?

（3）直觀圖與原圖形面積的關(guān)系

按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：S直觀圖=^S原圖形；S原圖形=2也S直觀圖.

知識點2空間幾何體的表面積和體積

1、空間幾何體的表面積和體積公式

表面積體積

幾何體

柱體（棱柱和圓柱）S表面積一S側(cè)+2s底V=s&h

v=^sh

錐體（棱錐和圓錐）S表面積=s側(cè)+S底&

卜+5下+4$述下）人

臺體（棱臺和圓臺）s表面積=s側(cè)+S上+S下

4

球S=4成2P=%R3

3

幾何體的表面積和側(cè)面積的注意點

①幾何體的側(cè)面積是指（各個）側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積與所有底面面積之和.

②組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.

2、柱體、錐體、臺體側(cè)面積間的關(guān)系

（1）當正棱臺的上底面與下底面全等時，得到正棱柱；當正棱臺的上底面縮為一個點時，得到正棱錐,

c,=c1c'=0]

貝Us正棱柱側(cè)=0〃'^-----s正棱臺側(cè)-----------正棱錐側(cè)

（2）當圓臺的上底面半徑與下底面半徑相等時，得到圓柱；當圓臺的上底面半徑為零時，得到圓錐,

/=尸/=0

貝US圓柱側(cè)=2?！?lt;----------S圓臺側(cè)=兀（r+，）/----->S圓錐側(cè)=w7.

3、柱體、錐體、臺體體積間的關(guān)系

知識點3點、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、四個公理

（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

作用：判斷一條直線是否在某個平面內(nèi)的依據(jù)

（2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.

【拓展】公理2的三個推論

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線處二點有且只有一個平面.

推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面.

推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.

作用：公理2及其推論是判斷或證明點、線共面的依據(jù)

（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，則它們有且只有一條過該點的公共直線.

作用：公理3是證明三線共點或三點共線的依據(jù)

（4）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

2、等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.

3、直線與直線的位置關(guān)系

（1）空間兩條直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系特點

相交同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點

平行同一平面內(nèi)，沒有公共點

異面直線不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點

（2）異面直線所成的角

①定義：設(shè)。，6是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點。作直線小。，61也把〃與，所成的銳角（或直角）

叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.

②范圍：（0。，90°].

4、直線與平面的位置關(guān)系

直線a在平面a外

位置關(guān)系直線a在平面a內(nèi)

直線a與平面a相交直線a與平面a平行

公共點無數(shù)個公共點一個公共點沒有公共點

符號表示auaQ||Q

-------a

圖形表示占

5、兩個平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交

公共點沒有公共點有無數(shù)個公共點（在一條直線上）

符號表示a||￡aC\/3=l

圖形表示/7

3/

知識點4直線、平面平行的判定與性質(zhì)

1、直線與平面平行

（1）直線與平面平行的定義：直線/與平面a沒有公共點，則稱直線/與平面a平行.

（2）判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

平面外一條直線與此平面內(nèi)a40a,bua,

判定定理

的一條直線平行，則該直線a\\b=>a\\a

平行于此平面

一條直線和一個平面平行，

alia,

性質(zhì)定理則過這條直線的任一平面與

aC\/3=b=>a\\b

此平面的交線與該直線平行

2、平面與平面平行

（1）平面與平面平行的定義：沒有公共點的兩個平面叫做平行平面.

（2）判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一aua,bua,a(lb=P,

判定定理/X/

個平面平行，則這兩個平面平行//a\\/3,6M=a||￡

兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的

a||￡,auanaM

直線平行于另一個平面%/

性質(zhì)定理

如果兩個平行平面同時和第三個平

a\\]3,aC\y=a,/3C\y=b=>a\\b

面相交，那么它們的交線平行

3、平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化

性質(zhì)定理

r判定定理_判定定理

線線平行^---------7線面平行面面平行

I性質(zhì)定理性質(zhì)定理

判定定理

在證明線面、面面平行時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面

面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向是由題目的具體條件而定的,

不可過于“模式化”.

知識點5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

1、直線與平面垂直

（1）定義：直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線/與平面a互相垂直.

（2）判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

一條直線與一個平面內(nèi)的兩a,bu"

1

aC\b=O

判定定理條相交直線都垂直，則該直

刁Ha

線與此平面垂直

lib

垂直于同一個平面的兩條直Q_LO],

性質(zhì)定理-=>a\\b

線平行bloi

2、直線和平面所成的角

（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線

垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0.

0把

（2）范圍：a2」.

3、平面與平面垂直

（1）二面角的有關(guān)概念

①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩

條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.

（2）平面和平面垂直的定義

兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

（3）平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

一個平面過另一個平面的1/lai八

判定定理

垂線，則這兩個平面垂直上6

兩個平面垂直,則一個平面aip'

/u￡

性質(zhì)定理內(nèi)垂直于交線的直線與另k=>/1a

an0=a

一個平面垂直

￡6Ila-

謹記五個結(jié)論

（1）若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

（2）若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線（證明線線垂直的一個重要方法）.

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行.

（4）一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這一條直線與另一個平面也垂直.

（5）兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.

4、垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化

在證明線面垂直、面面垂直時，一定要注意判定定理成立的條件.同時抓住線線、線面、面面垂直的

轉(zhuǎn)化關(guān)系，即：

判定

判定一―.判定~1

線線垂直『^線面垂直一^面面垂直

f性質(zhì)性質(zhì)I

性質(zhì)

在證明兩平面垂直時，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線在圖中不存在，則可通

過作輔助線來解決.

云突破?春分?必檢

重難點01幾何法求空間二面角

求二面角大小的一般步驟

（1）作：找出這個平面角；

（2）證：證明這個角是二面角的平面角；

（3）求：將作出的角放在三角形中，解這個三角形，計算出平面角的大小.

【典例1］（23-24高三下?內(nèi)蒙古錫林郭勒盟?模擬預(yù)測）在四面體48cp中，平面平面尸/C,APAC

是直角三角形，PA=PC=4,AB=BC=3,則二面角”-尸C-8的正切值為.

【答案】1/0.5

2

【解析】設(shè)4C,尸C的中點分別為E,。，連接則DE//R4,

因為4B=3C,所以BEL/C,

又因為平面48c_L平面尸/C,平面48CPI平面尸/C=/C,

所以平面尸NC,因為尸Cu平面PNC,所以3E_L尸C,/\

因為AP/C是直角三角形，且尸/=尸。=4,所以尸C,E*

所以DELPC且。￡=gx4=2,

B

又因為DEcBE=E,且DE,BEu平面ADE,所以PC_L平面ADE,

因為BOu平面8/歷，則尸C_LAD,

所以NBDE為二面角/-PC-3的平面角，

在直角ABDE中，可得tanNBDE喀二回?

DE22

【典例2】（23?24高三下?四川成都?模擬預(yù)測）如圖所示，斜三棱柱4C-44G的各棱長均為2,側(cè)棱期

TT

與底面ABC所成角為石，且側(cè)面4BB41底面ABC.

Bi4

(1)證明：點用在平面NBC上的射影。為48的中點；

(2)求二面角C-AB.-B的正切值.

【答案】(1)證明見解析；(2)2

【解析】(1)過耳作用。，/8于。，

由平面ABB[A[1平面ABC,平面4BB&Pl平面ABC=AB,

80u平面48耳其,B{OYAB,得與平面48C,因此/48/=60。，

又4B=BB1=2,從而A/3用為等邊三角形，。為中點.

(2)由于VABC是等邊三角形，所以CO1/3,

而平面ABBM1平面ABC,平面ABBlA}Cl平面ABC=AB,

COu平面/BC,所以CO,平面/4<=平面/844，則有COLZ4,

過。作O"_L14于”，連接CH,COPiOH=O,。。,。77<=平面。。"，

所以N8I_L平面CO",由CHu平面CO",則/耳_LS,

則ZOHC是二面角C-/4-B的平面角.

由于C0=6，OH=—,所以RMOHC中，tanNOHC=g=2.

2OH

因此二面角C-AB1-B的正切值為2.

7T

【典例3](23-24高三下?江西南昌?三模)如圖1,四邊形/BCD為菱形，ZABC=~,E,尸分別為

。。的中點，如圖2.將V4BC沿/C向上折疊，使得平面48CL平面/CFE,將A￡?E尸沿M向上折疊.使

得平面Z)EF_L平面NCFE,連接BZ).

B

B

E

(1)求證：A,B,D,￡四點共面：

(2)求平面AEDB與平面EDBC所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)：

【解析】(1)取NC,好的中點分別為M,N,連接DN,

取/M,的中點分別為G,H,連接G/7,HD,GE,

由題意知V/BC,ADEF都是等邊三角形，所以而W_L/C,DNVEF,

因為平面N3C_L平面/CFE,平面?！晔琂_平面/CFE,

所以平面/CFE,DN，平面ACFE,即以BMHDN,

因為/M,BM的中點分別為G,H,所以GE//MN

所以HM=DN,所以DH//MN,所以。H〃GE,

又因為。〃=GE,所以GH〃DE,

因為/W,3M的中點分別為G,H,

所以GH//4B,所以4B//QE,所以A,B,D,E四點共面；

(2)連接4D,DC,且延長”E,CF交于點p,由題意知/尸=/3,BD=DP,

P

所以40_L30,同理CCBD,

所以44DC就是二面角的平面角，

^AB=2a,貝Ij/C=2a,DN=—a,AN=-a，

22

所以.=巫。，同理。。=亞4，

22

10102)2

—a2H----Q—4a

]_

所以cos/.ADC=44

、VioVw5

2x-----CLx------a

22

所以平面4ED5與平面FDBC所成角的余弦值為;.

重難點02外接球和內(nèi)切球的解題思路

1、求解幾何體外接球的半徑的思路

（1）根據(jù)球的截面的性質(zhì)，利用球的半徑R、截面圓的半徑，及球心到截面圓的距離"三者的關(guān)系

相="+，求解，其中，確定球心的位置是關(guān)鍵；

（2）將幾何體補成長方體，如本例（2）,利用該幾何體與長方體共有外接球的特征，由外接球的直徑等于長

方體的體對角線長求解.

2、解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思

維流程是：

第一步定球心：如果是內(nèi)切球，則球心到切點的距離相等且為半徑；如果是外接球，則球心到接點的距離

相等且為半徑；

第二步作截面：選準最佳角度作截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些

元素間的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；

第三步求半徑、下結(jié)論：根據(jù)作出的截面中的幾何元素，建立關(guān)于球半徑的方程，并求解。

【典例1］（23-24高三下?陜西榆林?模擬預(yù)測）如圖，V/8C是邊長為4的正三角形，。是的中點，沿

ND將VN2C折疊，形成三棱錐/-BCD.當二面角2-/D-C為直二面角時，三棱錐/-BCD外接球的體

積為（）

BDC

C

5A/?兀20國

A.57iB.20K

6-3-

【答案】D

【解析】由于二面角B-4D-C為直二面角，且△NAD和A/C。都是直角三角形,

故可將三棱錐A-BCD補形成長方體來求其外接球的半徑R,

即（2R『=22+2?+（26）2,解得尺=石，

從而三棱錐/-BCD外接球的體積/=皿=3逼.故選：D

【典例2］（23-24高三下?陜西寶雞?三模）V/BC與都是邊長為2的正三角形，沿公共邊43折疊成

三棱錐且C。長為百，若點A,B,C,。在同一球。的球面上，則球。的表面積為（）

【答案】D

【解析】設(shè)的中點為E,正V48C與正△/AD的中心分別為N,M,如圖,

今C

B

根據(jù)正三角形的性質(zhì)有M,N分別在DE,CE上，。0，平面/2。，ON,平面

因為V45c與△/BZ）都是邊長為2的正二角形，則DE=CE=,又CZ）=A/J,

則△CQE是正三角形，

又ABIDE,AB八CE,CEp\DE=E,CE,DEu平面CDE,

所以平面COE,所以。在平面CDE內(nèi)，

^EM=EN=-ED=—,易得RaMEO之RtaNEO,

33

故NMEO=NNEO=30°,^OE=-ME■=-,

2

又￡3=1,故球O的半徑08=

VBY

故球。的表面積為S=4兀x

【典例3］（23-24高三下?新疆烏魯木齊?三模）三棱錐中，ND_L平面/3C,ABAC=60°,AB=\,

AC=2,4D=4,則三棱錐/-BCD外接球的表面積為（）

A.1071B.20TIC.25兀D.30兀

【答案】B

【解析】在V4BC中，ZBAC=60°,AB=1,AC=2,

由余弦定理可得8c2=/32+/C2-2AB2C-COSZ8/C,

即BC2=l+4-2xlx2xcos60°=3,所以3c=5

設(shè)V4BC的外接圓半徑為,，

貝!J2r=—————="=2,所以r=1,

sinZBACsin600

4￡>_L平面43C,且/。=4,

設(shè)三棱錐A-BCD外接球半徑為R,

則尺2=r+（；/。）2,即尺2=1+4=5,

所以三棱錐/-BCD外接球的表面積為4兀爐=20*故選：B.

【典例4］（24-25高三上?江蘇南通?月考）如圖，在三棱錐P-/3C中，ZACB=60°,2AC=BC=PB=PC,

平面P3C，平面4BC,。是8C的中點，PD=46，則三棱錐尸-/C。的外接球的表面積為（）

【答案】C

【解析】依題意，△尸C3為等邊三角形，且高產(chǎn)。=4百，則尸C=C8=P8=8,

而/C=CD=4,又NACB=60°,貝!JA/CD為等邊三角形，

平面P8C_L平面48C,PDVBC,平面48CPI平面PBC=8C,PDu平面PBC,

于是尸D_L平面/3C,

令A(yù)/CD的外心為G,三棱錐尸-ZCD外接球的球心為O,則OG_L平面/CD,

又三棱錐尸-NC。的外接球球心。在線段尸。的中垂面上，此平面平行于平面/CD,

因止匕OG=Lp。=2百，等邊A/C。外接圓半徑廠=2x4sin60°=迪,

233

三棱錐尸-/CD的外接球R,則尺2=OG2+/=I2+（￥）2=U，

所以三棱錐尸-ZCD的外接球的表面積5=4成2=竽，故選：c

重難點03空間幾何體中的探索性問題

1、立體幾何中的探索性問題立體幾何中的探索性問題的主要類型

①探索條件，即探索能使結(jié)論成立的條件是什么.

②探索結(jié)論，即在給定的條件下，探索命題的結(jié)論是什么.

2、對命題條件探索的三種方法：

①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明.

②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性.

③把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，探索命題成立的條件.

3、對命題結(jié)論探索的方法首先假設(shè)結(jié)論成立，然后在這個假設(shè)下進行推理論證，如果通過推理得到了合乎

情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，如果得到了矛盾的結(jié)果就否定假設(shè).

【典例1］（23-24高三上?遼寧?期末）（多選）已知正方體/BCD-點P滿足

而=疵+〃函下列說法正確的是（）

A.存在無窮多個點P,使得過2,民尸的平面與正方體的截面是菱形

B.存在唯---點尸，使得4P//平面45。

c.存在無窮多個點P,使得4尸，

D,存在唯一一點尸，使得口尸，平面4。。

【答案】ACD

【解析】點尸滿足而=九瑟+〃函40,1],

即點尸在正方形8CC1片內(nèi)（包括正方形的四條邊）上運動，

對于A：取線段C。的中點E,過點及￡，2作正方體的截面BERF,

因為面BCG8"/面ADDXAX,面/8耳4//面DCCR,

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理知如果一個平面與兩個平行平面相交，則交線平行,

所以有BE//QF,EDJ/BF,即四邊形BEDtF為平行四邊形，

又E為線段CG的中點，則有=所以四邊形BED產(chǎn)為菱形，

所以當點尸在線段BE上時，過2,民尸的平面與正方體的截面是菱形，

故有無窮多個點尸，使得過P的平面與正方體的截面是菱形，A正確；

對于B：在正方體N8CD-44G。中，因為44J/CG，且441=CG，

所以四邊形AA.C.C為平行四邊行,

所以/C//4G，又/Co面4a0,4Gu面

所以/c//面4G。，同理可得/4//面4G。，

又ACcAB[=A,AC,ABxci^ACBx

所以面〃面/eg,當點尸在線段2。上時，有/P〃平面4。。,

故有無窮多個點尸，使得/尸〃平面4G。，B錯誤；

對于c：連接48,8Cj，G4，z)4，

根據(jù)正方體ABCD-44q〃可得4G±BQi,4G±DDt,

又BXDXnDD}=DvBXDVZ）Z）］u面BQQ,

所以4cl1面BRD,又。耳u面BlDlD,

所以4cl_L同理48J_r>4，又48n4cl=4,4區(qū)4G<=面4BG，

所以。耳，面48G，當點P在線段上時，有

故有無窮多個點p,使得4尸，尾。，c正確；

對于D：由選項c證明。4，面48cl同理可證明28上面4DC］,

過平面外一點有且只有一條直線與已知直線垂直，

當且僅當點尸在B點位置時，有平面4CQ,

所以存在唯一一點尸，使得RPJ■平面4G。，D正確.

故選：ACD.

【典例2］（23-24高三下?上海黃浦?月考）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面N3C。為矩形，平面尸40,平

ffiABCD,PA±PD,PA=PD,E為/。的中點.

B

（1）求證：PELBC；

（2）在線段PC上是否存在點使得。M〃平面尸即？請說明理由

【答案】（1）證明見解析；（2）存在M為PC中點時，OW7/平面PE2,理由見解析

【解析】（1）因為=為40中點，所以尸￡1/。，

又因為平面尸4D_L平面48cD,平面RIDc平面48。=/。，P￡u平面尸4D,

所以PE_L平面48co,

又BCu平面/BCD,因此PE_L8C.

(2)存在M為尸C中點時，DM7/平面尸班，理由如下：

取尸8中點為尸，連接DM,FM,

B

因為〃■為PC中點，,EM//8C,^.FM=-BC.

2

在矩形A8C。中，￡為AD中點，所以ED//BC,B.ED=-BC.

2

所以ED//FM,且￡。=百欣，

所以四邊形EEWD為平行四邊形，因此。M〃EF,

又因為EFu面PEBQMa面PEB,所以DA〃/面PE8.

【典例3](23-24高三下?浙江紹興?月考)如圖，已知三棱臺NBC-48G的體積為拽，平面平

面8CC4，V/8C是以3為直角頂點的等腰直角三角形，且/5=2441=24烏=28烏，

⑴證明：8c，平面

(2)求點3到面NCCH的距離；

(3)在線段CC；上是否存在點尸，使得二面角尸-/B-C的大小為?，若存在，求出W的長，若不存在，請

說明理由.

【答案】(1)證明見解析；(2)2?；(3)存在，。F=竽

【解析】(1)連接/片,

在三棱臺ABC-43G中，ABIIA,BX；

AB=244]=24月=2BB[,四邊形ABB{A,為等腰梯形且ZABBr=NBA4=600,

設(shè)AB=2x,則BBl=x.

22

由余弦定理得：AB-=AB+BB；-TAB-BBXcos60°=3x,

2

AB=4B；+BB；,：.AB,1BBX-

■：平面ABBXAX1平面BCQBi,平面ABB&A平面BCC.B,=BBX,ABXu平面ABBX\,

.??/4，平面BCC4,又BCu平面8CG4，

A/8C是以3為直角頂點的等腰直角三角形，,

AB^AB^A,/氏/可￡=平面/844，8CL平面.

(2)由棱臺性質(zhì)知：延長說,84，CC1交于一點p,

__8_87百2百.

一^P-ABC_yABC-A^C^一]X晝一---

BC_L平面ABBXAX,即BC_L平面PAB,

.-.BC即為三棱錐P-ABC中，點C到平面PAB的距離，

由(1)中所設(shè)：AB=BC=2x,NP4B=NPBA=60°,

.△PAB為等邊三角形,PA=PB=AB=2x,

011八、2門cq332r3.,

^P-ABC=^S*PAB，BC=-x—x(2吊x2x=~—至=~~—，--x-1；

AB=BC=PA=PB=2,：.AC=PC=26,

???S.c=；x2xJ(2亞

設(shè)所求點B到平面/CG4的距離為d,即為點B到面P/C的距離,

'WTBC=%-尸"，：[S.PAC，d=^~d=2,，解得：d=—^--

即點B到平面/CG4的距離為其H.

7

(3)?.?BC_L平面ABB/，BCu平面48C,，平面48C_1_平面尸48,

???平面ABCA平面PAB=AB

，取48中點N,在正中，PNL48,.?.尸N,平面43C,

又PNu平面PNC,：.平面P