貴州省遵義市2024-2025學(xué)年高二年級上冊12月考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

貴州省遵義市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.以下關(guān)于復(fù)數(shù)z=的四個命題中，錯誤的是（）

A.匕|=1

B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

C.復(fù)數(shù)z的共粗復(fù)數(shù)2=芋

4

D.復(fù)數(shù)z的虛部為-《

2.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線/的斜率為0,則直線/的傾斜角為（）

兀71

A.兀B.—C.—D.0

24

3.命題“VXER,3^GN,使得〃We'”的否定是（）

A.VXGR,GN,使得〃〉e"B.3XGR,GN,使得〃>e“

C.3XGR,GN,使得D.VXGR,X/wGN,使得

4.如圖，這是正四棱臺被截去一個三棱錐后所留下的幾何體，其中45=44=4,44=2,

則該幾何體的體積為（）

.26V1426V15

A.---------RC.26V15D.26V14

33

5.過點(diǎn)尸（-2,4）且以直線2尤+3了+1=0的方向向量為法向量的直線方程為（）

A.—2y+14=0B.3%-2）—8=0

C.2x+3y-S=0D.2x+3y+14=0

6.經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角是直線x-2y+l=0的傾斜角的2倍的直線方程為（）

A.x=—1B.4x—3y+7=0C.x—y+2=0D.>=1

試卷第1頁，共4頁

7.已知點(diǎn)A為圓G：/+/-83；+12=0上的動點(diǎn)，點(diǎn)3為圓C°：/+了2_8尤+2了+8=0上

的動點(diǎn)，下列說法正確的有（）

4

A.兩個圓心所在直線的斜率為-g

B.兩圓恰有3條公切線

C.兩圓公共弦所在直線的方程為4x-5y+2=0

D.以目的最小值為歷-5

8.已知函數(shù)y=的定義域?yàn)镽,當(dāng)x產(chǎn)乙時，〃網(wǎng)）-）、2）<3,貝u

X1~X2

/（2xf-/'（2）-6x+9<0的解集為（）

A.（-<?,3）B.（1,+℃）C.11-.+00ID.|-,+°°I

二、多選題

9.已知函數(shù)〃x）=VJsin0x-cos0x（0>O）的最小正周期為兀，則以下命題正確的有（）

A.CD=2

B.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于直線苫=-*對稱

6

C.將函數(shù)[（X）的圖象向右平移￡個單位長度，得到的圖象關(guān)于了軸對稱

D.若方程/（%）=：在（0,iT）上有兩個不等實(shí)數(shù)根七,馬，貝Ijcos（%+%）=g

10.已知相、"、/是三條不同的直線，。、尸是兩個不同的平面，下列選項正確的有（）

A.若/〃a,lu§,aA/?=m,則〃//

B.若/_1〃？，lln,mua,〃ua,貝!!/_La

C.若mua,nu（3,則〃z_L〃

D.若/與a不垂直，則/垂直于a內(nèi)無數(shù)條直線

11.定義域?yàn)椴穦尤片0｝的函數(shù)I。）對任意的非零實(shí)數(shù)x,7都滿足/'3）=〃x）+〃y）.當(dāng)

0<x<l時，〃x）<0.下列結(jié)論正確的是（）

A./（x）=lg|x|B.〃x）滿足/]1=/（工）-73

試卷第2頁，共4頁

c./(-l)=0D./(x)在(-鞏0)上單調(diào)遞增

三、填空題

12.已知向量1=(3,2),^=(-1,2),c=(4,l),若住+的，?-窗)，則左的值為.

13.如圖，在四面體O-/8C中，OA=OB=OC=3,ZAOC=NBOC=ZAOB=60°,

點(diǎn)M,N分別在0/,3c上，且。M=2跖1,BN=2NC,則跖V=.

14.如圖，在三棱錐尸一中，P4=PB=PC=2,AB=BC=C，ABIBC,E為PB

的中點(diǎn)，過￡作平面a,則平面。截三棱錐尸-/3C外接球所得截面面積的最小值為一.

四、解答題

15.已知直線/經(jīng)過直線2x-3y+8=0和無+了-1=0的交點(diǎn)，且與直線3x-2y+18=0垂直，

若直線機(jī)與直線/關(guān)于點(diǎn)(-1,1)對稱，求直線小的方程.

16.2021年9月24日，中國輕工業(yè)聯(lián)合會、中國樂器協(xié)會授予正安縣“吉他之都”稱號.遵義

市某中學(xué)的同學(xué)們利用暑假到正安參加社會實(shí)踐活動,對縣城20至50歲的市民是否會彈吉

他進(jìn)行調(diào)查.若會彈吉他，則稱為“吉他達(dá)人”，否則稱為“非吉他達(dá)人”.同學(xué)們隨機(jī)抽取2800

人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)“吉他達(dá)人”有1000人，進(jìn)一步對“吉他達(dá)人”各年齡段人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)

計后，得到了各年齡段“吉他達(dá)人”人數(shù)的頻率分布直方圖：

試卷第3頁，共4頁

⑵若從年齡在［20,30)的“吉他達(dá)人”中采用分層抽樣法抽取5人參加“吉他音樂節(jié)”表演，再

從這5人中隨機(jī)選取2人作為領(lǐng)隊，求2位領(lǐng)隊來自同一組的概率.

17.在V/8C中，角A,B,C的對邊分別為b,c,且滿足bco5+^=“+c.

⑴求B;

⑵若6=2,求V/2C面積的最大值.

18.已知￡(0刀)，尸(-2,0)是圓”的一條直徑的兩個端點(diǎn)，p為圓/上任意一點(diǎn)，直線

x+y-2=0分別與x軸、歹軸交于A,8兩點(diǎn).角茅的終邊與單位圓/+丁=1交于點(diǎn)C.

⑴求圓M在點(diǎn)C處的切線方程；

⑵求AR4B面積的最大值；

(3)求上(+|尸8『的取值范圍.

19.如圖，在四棱錐尸-4BC。中，PN_L平面P8C,AB=2DC=4,8。=2也，ABLBC,

DC//AB.

⑴證明：平面48CD/平面P48.

JT

⑵若ZABP=y,求點(diǎn)C到平面PAD的距離.

(3)求滿足題設(shè)條件的所有幾何體中，PD與平面ABCD所成角的正弦值的最大值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CDBAABDCABCAD

題號11

答案BC

1.C

【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法計算出Z,然后逐項判斷即可.

、55（3-4i）34.

【詳解】z=3+4i=（3+4i）（3-4i）------1

55

B：z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第四象限，故正確；

C：因?yàn)閦=34所以z-=3：+414,故錯誤；

344

D：因?yàn)閦所以虛部為-《，故正確；

故選：C.

2.D

【分析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系可得答案.

【詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線/的斜率為0,則直線/的傾斜角為0.

故選：D.

3.B

【分析】修改量詞，否定結(jié)論，可得結(jié)果.

【詳解】修改量詞否定結(jié)論可得：“*eR,VneN,使得〃>e“，

故選：B.

4.A

【分析】由正四棱臺的性質(zhì)，可求得正四棱臺的高，從而可得正四棱臺的體積.補(bǔ)全圖中幾

何體可知截去的三棱錐的底面為三角形4呂5,高為正四棱臺的高4￡，從而可得截去的三

棱錐的體積.兩者做差即可得到題目中幾何體的體積.

答案第1頁，共11頁

因?yàn)镹8=/4=4,44=2,根據(jù)正四棱臺性質(zhì)，其高為

M0=A[E=JAA：_AE2=_(A0_A[M)=J16-(2A6、=石，

則該正四棱臺的體積為『=g(S上+S下+JFJ7)/z=((介164-J4x161顯=283".

又由圖可知截去三棱錐底面積為S.4B,q=；x2x2=2,

所以三棱錐體積為gs3G4E=gx2x排=2^,

即所求幾何體體積為28巫-即=竺巫.

333

故選：A

5.A

【分析】根據(jù)題意設(shè)所求直線為3x-2y+/=0,由點(diǎn)在直線上求參數(shù)，即可得方程.

【詳解】由題設(shè)，所求直線與2x+3y+l=0垂直，可設(shè)所求直線為3x-2y+加=0,

又尸(-2,4)在3x-2y+/n=0上，貝13x(-2)-2x4+優(yōu)=0,得加=14,

所以，所求直線為3x-2y+14=0.

故選：A

6.B

【分析】先根據(jù)傾斜角的關(guān)系求解出直線的斜率，然后可得直線的點(diǎn)斜式方程，化為一般式

方程即可.

【詳解】設(shè)所求直線的傾斜角為直線x-2y+1=0的傾斜角為"，

所以tan￡=：,tana=tan2/3=2tanf=g,

21-tanp3

4

所以直線的方程為＞T=](x+l),即為4x-3y+7=0,

故選：B.

7.D

【分析】根據(jù)已知寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑，圓心坐標(biāo)求斜率判斷A；由圓心距與

答案第2頁，共11頁

半徑和差關(guān)系判斷圓的位置關(guān)系判斷B、C；由兩圓上點(diǎn)的距離最小為匕。2-5+7，）判斷

D.

【詳解】由￡"+3-4）2=4,則G（0,4）,半徑為八=2,

由。2：（工一4）2+（了+1）2=9,則C2（4,-l）,半徑為々=3,

4+15

所以華。萬骨二一“A錯；

|GC2|=d>八+4，即兩圓外離，有4條公切線，B、C錯；

1/8京=?6|-&+々）=d-5,D對.

故選：D

8.C

【分析】根據(jù)條件分析出g（x）=/（x）-3x的單調(diào)性，然后將不等式變形為g（2x-l）<g（2）,

結(jié)合單調(diào)性可求不等式解集.

[詳解]因?yàn)楫?dāng)?shù)?%時，"*）一""）<3,即-[/））-3x?]<0,

%]一%2%一

所以g（無）=/（無）-3x在R上單調(diào)遞減，

因?yàn)?（2尤_1）_/（2）_6苫+9<00/（2尤_1）_3（2尤_1）</（2）_3乂2,

所以g（2x-l）<g（2）,所以2x-l>2,解得x>g,所以不等式解集為（I，

故選：C.

9.ABC

【分析】A：先根據(jù)輔助角公式化簡/'（x）,再根據(jù)周期公式可求。；B：計算的值，

根據(jù)是否為最值作出判斷；C：將/（X）解析式中的x替換為可得結(jié)果；D：作出

6

y=/（x）,y=a的圖象，根據(jù)對稱性求得西+迎的值，則COS（X|+尤2）的值可知.

【詳解】A：/（x）=gsin（ar-cos<iK=2sin1K-3，因?yàn)?=兀，所以。=7=2,故正

確；

B：因?yàn)椋?胃=2sin2義1m_[=-2,即為最小值，所以/⑺的圖象關(guān)于直線x=-￡

答案第3頁，共11頁

對稱，故正確;

C：7'(X)的圖象向右平移m個單位長度可得

7=2sin2^x-=2sin(2x-W=-2cos2x,

顯然y=-2cos2x為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于V軸對稱，故正確;

當(dāng)左=0時，x=~f當(dāng)左=1時，x=—,

36

由圖象可知，y=/(x)，v=；的交點(diǎn)關(guān)于直線x=g對稱，

所以七三=三，所以%+%=,，所以cos?+X2)=-；,故錯誤；

故選：ABC.

10.AD

【分析】利用線面平行的性質(zhì)定理可判斷A選項；根據(jù)線面垂直的判定定理可判斷B選項;

根據(jù)已知條件判斷線線位置關(guān)系，可判斷C選項；根據(jù)空間線面位置關(guān)系可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，因?yàn)?//a,/u「，a{\p=m,由線面平行的性質(zhì)定理可得〃加，

A對；

對于B選項，因?yàn)?_L%,l±n,mua,“ua,由于m、〃不一定相交，貝!]/與a不一定

垂直，B錯；

對于C選項，a10,mua，nu°,則相、〃的位置關(guān)系不確定，C錯；

對于D選項，若/與a不垂直，則平面a內(nèi)與/在&內(nèi)的射影垂直的直線，

垂直于直線/,這樣的直線有無數(shù)條，D對.

答案第4頁，共11頁

故選：AD.

11.BC

【分析】A根據(jù)充分必要性說明；B利用題設(shè)條件證=/（；2）=/（勾，即可判斷；

C令x=y=l、x=〉=T即可判斷；D先說明奇偶性，再利用單調(diào)性定義及題設(shè)條件證明

（0,包）的單調(diào)性，即說明（-巴0）上單調(diào)性.

【詳解】由/（x）=lg|x|,易知/（x）定義域?yàn)椴?片。｝,滿足/3）=〃x）+〃y）且0<x<l

時/（x）<0,必要性成立，

但滿足題設(shè)要求的函數(shù)不一定是/（無）=囿刃，A錯；

由《￡|+/（y）=/（jj）=/（勾，則B對；

令X=y=l,則=+==

令x=y=-l,則/（l）=/（_l）+/（_l）n/（-l）=0,C對，

令尸T，則〃-尤）=/（尤）+/（-1）=〃尤），定義域?yàn)椋?0｝,即為偶函數(shù)，

令王>%>0,貝！1/（尤J-/（尤2）=/（尤J-/（強(qiáng),為）=/（再）-/（強(qiáng)）-/（占）=-/（強(qiáng)），

不再再

由0〈逗<1,貝1/區(qū)）>/（%），即/（X）在（0,包）上遞增，故（-8,0）上遞減，D錯；

X1

故選：BC

12.--

6

【分析】應(yīng)用向量線性關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算及垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)值.

【詳解】由題設(shè)。+左。=（3+他2+左）,5-2“=（-7,-2）,又（。+后c）_L（B-2〃），

所以僅+左勾?（？-E）=-7x（3+%）-2x（2+無）=0,貝！J301+25=0=左二—石.

故答案為：一二

6

13.V5

—.1—■2—?2—.

【分析】由空間向量加減數(shù)乘的幾何意義得及加=§。3+孑。。-產(chǎn)，再應(yīng)用空間向量數(shù)量

積的運(yùn)算律求礪的模長.

【詳解】由

答案第5頁，共11頁

__1___________________2__?__?2__2__?__?

MN=MA+AB+BN=-OAk+OB-OAk+^BC=OB--0A+-QC^-OB')

3333

=-OB+-OC--OA,

333

所以

|^|^(1^+2^_2^)2=4-2+：l—2+4-2+4——_4——8——

333999999

=4+1+4+2-2-4=5,

所以|而|=A/L

故答案為：出

14.兀

【分析】先求得三棱錐PTBC外接球半徑,進(jìn)而求得平面夕截三棱錐尸-/3C外接球所得

截面面積的最小值.

【詳解】取/C中點(diǎn)/，連接打'，班?

由=后，AB1.BC,可得/C=2,N歹=8尸=1,

又PA=PC=2,貝I］尸/_L/C,尸尸=G，

又尸2=2,BF=1,則

JiBFC\AC=F,BF,ACABC,則尸尸1.面48C,

又F為YABC外心,則三棱錐尸-N3C外接球球心O在直線PF上，

延長P尸交球。于P,連接8P,

^BF^PF-PF，設(shè)球。半徑為R,則仔=百.(2及-V5),

解之得，R二組,則OP=^8,

33

又E為P8的中點(diǎn)，則尸8,

OE=^OP2-PE2=j孚-f=*

則平面a截三棱錐尸-/BC外接球所得截面面積的最小時

即為以P8為直徑的圓的面積，該圓面積為兀?尸￡2=兀

答案第6頁，共11頁

D

故答案為：兀

15.2x+3y+2=0

【分析】先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)垂直關(guān)系求出直線/的方程，然后采用相關(guān)點(diǎn)法求解出直線

m的方程.

[2x-3y+8=0[x=-\/、

【詳解】因?yàn)閈，所以.，所以交點(diǎn)是7,2,

[x+y—l=n0['=2

設(shè)直線/的方程為2x+3y+m=0,代入則機(jī)=T,所以/:2x+3廠4=0,

因?yàn)橹本€加與直線/關(guān)于點(diǎn)（-1,1）對稱，設(shè)直線〃,上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）,

（x,y）關(guān)于（T1）的對稱點(diǎn)為（-2-尤,2-田，且（-2-尤,2-用在直線/上，

所以2（_2_x）+3（2_y）_4=0,即2x+3y+2=0,

所以直線機(jī)的方程為2x+3y+2=0.

16.（1）31.5

2

⑵M

【分析】（1）由平均數(shù)的計算公式即可求解；

（2）結(jié)合組合數(shù)，由古典概型計算公式即可求解.

【詳解】（1）由題意可得：

22.5x0.2+27.5x0.3+32.5x0.2+37.5x0.15+42.5x0.1+47.5x0.05=31.5

平均數(shù)為31.5

（2）由[20,25）,[25,30）的頻率為0.2,03可得兩組人數(shù)比為2：3,

故5人中，來自[20,25）,[25,30）的人數(shù)分別為2和3,

答案第7頁，共11頁

C1+C|_2

所以從這5人中隨機(jī)選取2人作為領(lǐng)隊，求2位領(lǐng)隊來自同一組的概率為

C；5'

2

故2位領(lǐng)隊來自同一組的概率為（.

17.（嗚

⑵百

【分析】（1）通過正弦定理進(jìn)行邊化角，再結(jié)合兩角和差的正弦公式公式以及輔助角公式可

求解出3的值;

（2）先通過余弦定理結(jié)合基本不等式求解出m的最大值，然后根據(jù)面積公式可求V/8C面

積的最大值.

【詳解】（1）因?yàn)閎cosZ+^^siib4=a+c,所以sinBcosA+V3sinBsmA=sin4+sinC，

所以sinBcos/+V5sinBsin/=sin/+sin（所以由sinBsinZ=sin4+sin4cosB，

因?yàn)?￡（0,兀），所以sin/>0,所以VJsinB-cosB=1,

所以2sin2-巳）1,所以sin8.

2

因?yàn)?eJ￡兀571

，-所以B—所以

66~oo3

（2）因?yàn)閎=2,所以/=/+/一2QCCOSB=a?+。2一qc=4,

所以/+H=4+ac>lac，所以“c<4,

所以50.=工碇5皿3=必m<百，當(dāng)且僅當(dāng)。=c=2時取等號,

△HOC24"

所以V4BC面積的最大值為G.

18.⑴x+島-1=0；

⑵3+0;

（3）[16-4V5,16+4>/5].

【分析】⑴根據(jù)題設(shè)有圓M：（x+l）2+y2=i、C（-；,g），則噎=石，進(jìn)而可得切線斜

率，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出切線方程；

（2）要使APHB面積的最大，只需圓上點(diǎn)到直線x+y-2=0距離最大，結(jié)合點(diǎn)線距離公式、

三角形面積公式求最大面積；

（3）若。是的中點(diǎn)，則疝+施=2而，且。（1』），再由而=由+標(biāo)，9=麗+疝，

答案第8頁，共11頁

應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求目標(biāo)式的范圍.

【詳解】(1)由題設(shè)，M(TO)且圓W的半徑為1,則圓M:(x+1)2+/=1,

又C(cos?,sin?),即顯然在圓初上，貝!UCM=T—=6,

3322—L+l

2

所以圓M在點(diǎn)C處的切線的斜率為-，，所求切線為尸g=-，(x+g),

整理得x+島-1=0.

由題設(shè)，^(2,0),5(0,2),則|42卜2行,

33

M至!Jx+y—2=0的反巨離4=，貝UP至Ux+y—2=0最大星巨離為+1，

72正

所以人尸48面積的最大值為gx2行x弓+1)=3+后；

(3)設(shè)Z＞是N8的中點(diǎn)，則疝+礪=2應(yīng)力，且。(1」)，故|DM|=6,

［?.■??__I—>?2-------2-------?2

由尸PA=PM+MA，&PM=1,MA=9,MB=5,

，匚［、］--?2--------*2-------?2--------?-------(,-----*1-------?2------?2-------?------?

所以9=PM+MB+2PM-MB，PA=PM+MA1PMMA，

所以P/+PB=2PM+MA+MB+2PM-(MA+MB)=\6+4PM-MD，

對于西？?而5，當(dāng)PM,MD同向共線時最大，反向共線時最小，

所以由?詬e［-6,石］,

綜上，|尸/「+盧同屋［16-46,16+4后］.

19.(1)證明見解析；

⑵等

3

答案第9頁，共11頁

⑶*

【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)有尸8C,根據(jù)線面、面面垂直的判定定理證結(jié)論；

（2）構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求點(diǎn)面距離；

（3）同⑵構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令OP=ae（0,2]且?二?"0'，及/ODP是PD與

[OA+OB=4

OP

面/BCD所成角的平面角，確定。，尸的坐標(biāo)，結(jié)合sin/C）0P=訴求最大值即可.

【詳解】（1）由PZ_L平面尸8C,BCu平面RBC,則尸/_L3C,又4B工BC,

由尸N都在面尸內(nèi)，則3C,面