廣東省潮州市2023-2024學年高三年級上冊期末教學質(zhì)量檢測 數(shù)學試卷

廣東省潮州市2023-2024學年高三上學期期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學

姓名：班級：考號：

題號——四總分

評分

一、單項選擇題(本題共8道小題，每小題只有一個選項正確，每小題5分，共40分)

1.設(shè)集合M={%|%(久—2)<0},N={-1,0,1,2,3},則MClN=()

A.1,0,1}B.1,3}

C.{1}D.{3}

2.已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z=圣”對應(yīng)的點在復平面的虛軸上，則實數(shù)a=()

2+i

A.-|B.|C.6D.-6

3.已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2且面積為兀的扇形，則這個圓錐的底面半徑為()

A.1B.JC.1D.2

4L

4.命題3],/—。>0，，為假命題的一個充分不必要條件是()

A.a>9B.a<9C.a>10D.a<10

5.已知單位向量房B滿足恒+加=百口-瓦，貝皈在3方向上的投影向量為()

A.gbB._abC.bD.—b

6.若函數(shù)/(%)=+E%在(0,2)上有極值，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.[2,|]B.(2,|]C.[2,+8)D.(2,+8)

7.已知雙曲線C：鳥—瑪=l(a>0,b>0)的左焦點為F,M、N,P是雙曲線C上的點，其中線段MN的中

點恰為坐標原點0,且點M在第一象限，若沛=3而，^OFM=^OMF,則雙曲線C的離心率為()

8.已知函數(shù)/'(%)=sin(2x+0)(0<(p<兀)滿足/(久)<|/(^)|,若。</<久2<兀且/'(/)=/(%2)=-|?則

sin(%2-％i)的值為()

A.YB.|C.ID.i

5545

二'多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分，每小題有多個選項正確，每小題全部選對

得5分，部分選對得2分，有選錯得。分)

9.下列說法中正確的是()

A.某射擊運動員在一次訓練中10次射擊成績(單位：環(huán))如下：6,5,7,9,6,8,9,9,7,5,則這

1

組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為8

B.若隨機變量X?3(100,p),且E(X)=20,則。(X)=16

C.若隨機變量X?N(〃，(T2),且P(X>4)=P(X<-2)=p,則P(—2WXW1)=^—p

D.對一組樣本數(shù)據(jù)(久i，%),(x2,y2),(xn,%)進行分析，由此得到的回歸方程為？=fee+@,則

至少有一個數(shù)據(jù)點在回歸直線上

10.已知a=log34,b=I，c=log45,則()

A.c<aB.b<cC.a<bD.c<b<a

11.設(shè)過點M(2,0)的直線與圓C：(久一4)2+y2=16相交于A,B兩點，若點P(0,4),貝-刀+麗|的值可

能為()

A.8B.8V2C.12D.12V2

12.如圖，已知正方體ABC。-AiBiGA頂點處有一質(zhì)點Q,點Q每次會隨機地沿一條棱向相鄰的某個頂點

移動，且向每個頂點移動的概率相同.從一個頂點沿一條棱移動到相鄰頂點稱為移動一次.若質(zhì)點Q的初始

位置位于點A處，記點Q移動n次后仍在底面ABCD上的概率為Pn,則下列說法正確的是()

A-P2=|

=

B.Pn+1+I

c.點Q移動4次后恰好位于點Cl的概率為0

D.點Q移動10次后仍在底面ABCD上的概率為；(1)10+1

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.將編號為1,2,3,4的四個小球全部放入甲、乙兩個盒子內(nèi)，若每個盒子不空，則不同的方法總數(shù)有

種.(用數(shù)字作答)

14.O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：『=4%的焦點，P為C上一點，若|PF|=4|,則APOF的面積

為.

15.設(shè)等差數(shù)列｛時｝的前n項和為Sn,且Sio=O,S15=25,^bn=n-Sn,則數(shù)列｛%｝中最小項的值

為.

2

x—a,%v0

16.設(shè)函數(shù)f(%)=一，已知直線y=t與函數(shù)y=y（x）的圖象交于A、B兩點，且|4B|的最小值

Inx,%>0

為e2（e為自然對數(shù)的底），貝必=.

四'解答題（本題共6道小題，第17題10分，第18-22題每小題12分，共70分）

71

17.公比為q的等比數(shù)列｛&J的前n項和Sn=2+a.

（1）求a與q的值；

,,.111

（2）若bn=log?an,記數(shù)列｛"｝的前?1項和為7\，求證：T^+/+—卜.+】<2?

18.2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南門古夜市正式開業(yè)了，首期共有70個攤位，集聚了潮州各

式美食!南門古夜市的開業(yè)，推動潮州菜產(chǎn)業(yè)發(fā)展，是潮州美食產(chǎn)業(yè)的又一里程碑.為了解游客對潮州美食的

滿意度，隨機對100名游客進行問卷調(diào)查（滿分100分），這100名游客的評分分別落在區(qū)間[50,60）,

[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]內(nèi)，統(tǒng)計結(jié)果如頻率分布直方圖所示.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名游客評分的平均值（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點值為代

表）；

（2）為了進一步了解游客對潮州美食的評價，采用分層抽樣的方法從滿意度評分位于分組[50,60）,

[60,70）,[80,90）的游客中抽取10人，再從中任選3人進行調(diào)查，求抽到滿意度評分位于[80,90）的人數(shù)

f的分布列和數(shù)學期望.

19.在矩形中，AB=4,AD=2（如圖1）,將△4CD沿2C折起到△AC%的位置，使得點小在平面△

ABC上的射影E在AB邊上，連結(jié)BDi（如圖2）.

3

D

A

圖1圖2

(1)證明：ADr1BC；

(2)過直線0述的平面a與BC平行，求平面a與平面AC%夾角的余弦值.

20.在△力BC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2acosB=2c-b.

(1)求角4的大?。?/p>

(2)若D為線段BC延長線上一點，且BA1AD,BD=3CD,求tanZ力CD.

21.已知函數(shù)/'(久)=x(lnx+a)+6,曲線y=/(%)在點(1,f(l))處的切線為2久一y—1=0.

(1)求a,b的值；

(2)若對任意的久e(1,+oo),f(%)2m(無一1)恒成立，求正整數(shù)m的最大值.

22.設(shè)圓％2+y2+2%-15=0的圓心為4直線/過點B(l,0)且與K軸不重合，［交圓4于C,D兩點，過B作

AC的平行線交/。于點E.

(1)證明：|瓦4|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

(2)設(shè)點E的軌跡為曲線J,直線［交Ci于M,N兩點，過B且與/垂直的直線與圓2交于P,Q兩點，求四

邊形MPNQ面積的取值范圍.

答案解析部分

L【答案】C

【解析】【解答】解：因為集合”={刈%(％-2)<0}={久|0<尤<2},N={-1,0,1,2,3},則MCN=

{1}.

故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合一元二次不等式求解方法得出集合M,再結(jié)合交集的運算法則得出集合M和集合

N的交集.

2.【答案】D

2

【解析】【解答】解：因為z=密=(爰用二?=6—3i+2'-山=6+a+(")i=§+￡線心

2+i(2+。(2-。4-r555

(6+a_°

所以，復數(shù)z=4巖對應(yīng)的點(半，/衛(wèi))在復平面的虛軸上，所以，二二一，

2+i55Za—3n

(a=—6

則，實數(shù)a=6

故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合復數(shù)的乘除法運算法則和復數(shù)的幾何意義得出復數(shù)Z=舞對應(yīng)的點的坐標，再結(jié)

合復數(shù)z=舞對應(yīng)的點在復平面的虛軸上判斷出復數(shù)為純虛數(shù)，進而結(jié)合純虛數(shù)的定義得出實數(shù)a的值.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：因為圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2且面積為兀的扇形，設(shè)扇形的弧長為1,扇形的半徑r

為2,

由扇形面積公式得出5扇=g/r=x2=1=兀，設(shè)圓錐底面半徑為r',又因為1=2兀廠'=兀，

則這個圓錐的底面半徑為今

故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合扇形的面積公式得出扇形的弧長，再利用圓的周長與圓錐側(cè)面對應(yīng)的扇形的弧長

的關(guān)系式，進而得出圓錐底面圓的半徑的長.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：因為命題F久G[1,3],x2-a>0”為假命題，

所以，命題3],/—a<0”為真命題，所以，(/一a/axW°，

即9—a〈0,可得a29,所以，命題FKC[1,3],/—。>o”為假命題的一個充分不必要條件

6

對應(yīng)的集合是[9,+8)的真子集，所以，只有選項C中a210符合題意.

故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合全稱命題與特稱命題真假性相反的關(guān)系，進而得出命題，久€[1,3],x2-a<0"

為真命題，再利用不等式恒成立問題求解方法，所以，(久2-。"狽30,再結(jié)合二次函數(shù)的圖象求最值的方法

得出實數(shù)a的取值范圍，再利用充分條件和必要條件的判斷方法，進而找出集合[9,+8)的真子集，從而找出

正確的選項.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：因為單位向量1石滿足口+瓦=舊口一瓦，所以向+訴=3而一&2

所以'|a+b/=(a+b)=a2+2a-h+h2?3|a—b\2=3(a—bj=3a2—6a-b+3b2>

_.2—->—>2__..2_?->―>2__>i_

所以，a—4a,b+b=|a|-4a-b+b=0,則。,6=2,貝皈在b方向上的投影向量為

故答案為：A.

【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積求向量的模的公式得出：工的值，再結(jié)合數(shù)量積求投影向量的方法得出五在

不方向上的投影向量.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：因為函數(shù)/(久)=#—a久+lnx,所以，/⑺=%—a+詈三戶”(0,2),

令g(x)="—ajc+l,得出g(0)=l，根據(jù)函數(shù)f(x)在(0,2)上取得極值，則在(0,2)存在x使得(⑺=0,

27

即g(x)=l,由于函數(shù)g(x)對稱處的值為=0—ax?+l=—}+L

函數(shù)g(x)要存在零點且g(0)=1>0,根據(jù)零點存在性定理，g<0,即a>2,當a>2時，則號>1,

若多C(0,2)且a>2,即2<a<4,則在(0,2)必存在一點使得g(x)=0,即f(x)在(0,2)上有極值；

若aN4,即對稱軸位于區(qū)間(0,2)右側(cè)，即g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，要函數(shù)g(x)在(0,2)上至少有一點為

零點，

由于g(0)=1>0則要g⑵=4-2a+1=5-2a<0,即a>|

所以，在當a24時，函數(shù)g(x)在(0,2)有零點恒成立，綜上所述，當a>2時，函數(shù)f(x)在(0,2)有極值.

故答案為：D.

7

【分析】利用導數(shù)求極值點的方法和二次函數(shù)的圖象的對稱性以及零點存在性定理，從而分類討論得出實數(shù)a

的取值范圍.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：設(shè)雙曲線C的右焦點為廣，連接PF',MF',NF'如圖所示：

因為NOFM=NOMF,所以，\0M\=\0F\=\0F'\,所以，MF'1MF,

又因為O為MN的中點，所以，四邊形MFNF'為矩形，設(shè)|NF|=K,

貝!J|PF|=2x,\PN\=3%，所以,\NF'\=2a+x,\PF'\=2a+2x,

因為|PN|2+\NF'\2=|P/'|2,所以,9x2+(2a+%)2=(2a+2x)2,

解得/=|a,又因為師|2+|出|2=四|2,所以，押+號。2=*2,

得出烏=景，所以，雙曲線C的離心率為e—二里.

。乙va3

故答案為：B.

【分析】利用已知條件易證四邊形MFNF'為矩形，設(shè)|NF|=x,再結(jié)合雙曲線的定義和直角三角形中的勾股定

理，進而得出a,c的關(guān)系式，再利用雙曲線的離心率公式變形得出雙曲線C的離心率的值.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：因為函數(shù)/(久)=sin(2支+0)(0＜0(兀)滿足〃尢)W|鹿)|,所以，/雋)=±1,

所以2x著+0=1+k兀,keZ,又因為0＜0＜兀，所以9=看,得出/(%)=sin(2%+1),

因為。＜/＜久2＜兀且/(%1)=/(久2)=—1，所以，曰＜2%i+5＜竽＜2X2+5＜片生，

所以cos(2久1+=—耳，cos(2久2+=9，

COS[2(X2-xx)]=cos[(2X2+1)-(2%i+1)]=(-1)+(一|)x1)=-,,

因為0＜久2—〈兀，則sin(%2-%i)的值為p-。網(wǎng)2y2-"1)]=4

\25

故答案為：D.

【分析】由"%)W|f(今|得出函數(shù)在％時取最值，得出函數(shù)的解析式，再由三角恒等變換計算sin(X2-勺)

的值.

9.【答案】B,C

8

【解析】【解答】解：對于A,某射擊運動員在一次訓練中10次射擊成績(單位：環(huán))如下：

6,5,7,9,6,8,9,9,7,5,再從小到大排列，即5,5,6,6,7,7,8,9,9,9,

則10X70%=7,則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為第7個數(shù)和第8個數(shù)的平均數(shù)，

則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為竽=8.5,所以A錯；

對于B,因為隨機變量X?B(100,p),且E(X)=20,則100p=20,則p=蓋=當，

則。(X)=100p(l-p)=100xjx1=16,所以B對；

對于C,因為隨機變量X?NQ,a2),且P(X>4)=P(X<—2)=p,則(z=與2=1,

則P(—2MX<4)=1—2p,

111

則P(—2MXW1)=P(1MXW4)=/(一2WXW4)=](1—2p)=寺一p,所以C對；

對于D,對一組樣本數(shù)據(jù)(當，yD，(%2,y2),(xn,%)進行分析，由此得到的回歸方程為y=B久+右，

可能沒有一個數(shù)據(jù)點在回歸直線上，所以D錯.

故答案為：BC.

【分析】利用已知條件結(jié)合百分位數(shù)求解方法、二項分布的期望和方差求解公式、正態(tài)分布對應(yīng)的曲線的對

稱性求概率的方法、回歸方程與樣本數(shù)據(jù)的位置關(guān)系，進而找出說法正確的選項.

10.【答案】A,C

.4

c

【解析】【解答】解：因為a=logs4，b=-=log333=log3V3^=log3V81/~】og45，

又因為43=64,(V81)3=81,所以4?=64V(弼=81，所以4<遮T，

則a=log34<log3V81=b,所以C對；

又因為b=/=log443=log40=]og4Vl苑53=125,(V256)=256,

31

所以5，=125<(V256)=256，所以5<七256,貝Jc=log45<log4V256=b,所以B錯；

因為a<b,c<b,所以D錯；

a—c=log34-log45=-log45=1\朋;。845,因為匾3>0,log45>0,

103105

所以，10g43.10g45<(§4+§4^=(log,5)<2_=1,所以a—c>0,所以c<a,所以A對.

故答案為：AC.

【分析】利用已知條件結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和均值不等式求最值的方法，進而比較出a,b,c的大小，從而

找出正確的選項.

n.【答案】A,B,C

9

【解析】【解答】解：由題意可知圓心C(4,0),半徑r為4,設(shè)AB的中點。(久,田，則1CD,

則靛-CD=0,又因為/=(%-2,y),CD=(久—4/),所以(％-2)(久一4)+)72=0；

所以，點D的軌跡方程為圓E：(久—3)2+y2=1,圓心E(3,0),半徑為1,

所以，|PD|的最大值為|尸身+1=V32+42+1=6,最小值為|PE|-1=V32+42-1=4,

因為血+誦=2叵卜所以，應(yīng)+而|e[8,12]>所以同+而|的值可能為8,8vLi2。

故答案為：ABC.

【分析】利用中點坐標求出AB的中點D的軌跡方程為圓心為E(3,0),半徑為1的圓，從而得出|PD|的最大

值和最小值，再結(jié)旬易+而|=2]西得出畫+畫的取值范圍，從而得出同+畫可能的值。

12.【答案】A,C,D

【解析】【解答】在正方體中，每一個頂點由3個相鄰頂點，其中兩個在同一底面，所以當點Q在下底面時，

隨機移動一次仍在下底面的概率為多在上底面時，隨機移動一次回到下底面的概率為全所以P2=,x,+

ixi=|,A符合題意，PM.Pn+hl—PQB不符合題意，點Q由點A移動到點Ci處最少

J。JJJJ。

需要3次，任意折返都需要2次移動，所以移動4次后不可能到達點Ci，C符合題意，由于pn+i=gpn+g=

p—=n

n+lII(P*_,且P]=\nP]_:=I，所以Pn_3=得X=>Pn=^(1)+-所以Pio=

D符合題意.

故答案為：ACD.

【分析】利用已知條件結(jié)合獨立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，進而得出點Q移動兩次后

仍在底面ABCD上的概率；利用已知條件結(jié)合歸納推理的方法，進而推出Pn+i=9n+熱點Q由點A移動

到點的處最少需要3次，任意折返都需要2次移動，所以移動4次后不可能到達點J；由于pn+]=^p.+

}=>Pn+l—4=/(Pa—》且Pl=,=Pl—/=。所以Pn=；(["+會再結(jié)合代入法得出點Q移動1。次后

仍在底面ABCD上的概率，進而找出說法正確的選項。

13.【答案】14

【解析】【解答】解：由題意，每個盒子有兩種放法：一個盒子放1個，另一個盒子放3個；

一個盒子放2個，另一個盒子放2個。

一個盒子放1個，另一個盒子放3個有酸及=8種放法；

10

一個盒子放2個，另一個盒子放2個有"=6種放法;

則不同的方法總數(shù)有8+6=14種放法。

故答案為：14.

【分析】利用已知條件結(jié)合組合數(shù)和排列數(shù)公式，再結(jié)合平均分組求解放法和分類加法計數(shù)原理，進而得出

不同的方法總數(shù)。

14.【答案】V3

【解析】【解答】解：因為O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：)/2=4%的焦點，所以，F(xiàn)(1,O),

因為P為C上一點，設(shè)p(3,a),因為|PF|=4,所以，(+1=4,所以，a=±2遮，

所以，P(3,2⑹班(3,-2⑹,由拋物線的圖象的對稱性，則APOF的面積為SAPOF=%|X\0F\=1X2V3X

1=V3.

故答案為：V3.

【分析】利用已知條件結(jié)合拋物線的標準方程得出焦點F坐標，再由點P在拋物線上設(shè)出點P的坐標，再利

用兩點距離公式得出點P的坐標，從而由拋物線的圖象的對稱性和三角形的面積公式得出三角形△POF的面

積.

15.【答案】-49

【解析】【解答】解：因為等差數(shù)列的前幾項和為%,且Si°=0,Si5=25,

lOaiH--5d=2al+9d=0=—3

設(shè)公差為d,

15x14H--

15al+產(chǎn)d=3%+21d=5a-3

則等差數(shù)列｛a九｝的前n項和S九=71al+膽弓')d=^n2—學力

3

因為勾=幾0,所以，bn=nSn=^n-nEN*,

令y=1x3—學光2,%eN*，貝Uy，=x2—冬%=%(%—竽)，%eN*,

當y=%(%—豹>0時，則％之7/eN*，函數(shù)單調(diào)遞增，

當y'=%(%—岑)<0時，則0<%<7且xEN*，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以，函數(shù)y=^%3—學％2,%eN*在X=7時取得最小值，

則數(shù)列｛跖｝中最小項的值為g=27?-學x7?=-49.

故答案為：-49.

11

【分析】利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式建立方程組得出首項和公差的值，再利用等差數(shù)列的前n

項和公式得出等差數(shù)列的前n項和和bn=LS?,進而得出數(shù)列｛0｝的通項公式，再利用構(gòu)造法和導數(shù)求函

數(shù)的最值的方法得出數(shù)列｛0｝中最小項的值.

16.【答案】Id

x—a,XV0

【解析】【解答】解：作出函數(shù)/(%)=-的圖象如圖所示:

Inx,%>0

設(shè)4(久1，%),8(久2，、2)，K1<%2,則久1-a=t,lnx2=t,t<-a,

l

所以，久1=a+匕牝=e。所以，\AB\-x2—x-^=e—t—a,

令g(t)=el-t-a,t<-a,則g'(t)=ef-1,

a2

當aNO時，g'(t)〈O,g(t)在(一8,-a］上單調(diào)遞減，g^t)min=g(-a)=e~=e,即a=-2(舍),

當a<0時，g'(t)單調(diào)遞增且g'(0)=0,所以，g(t)在(一8,0］上單調(diào)遞減，在(0,-a］上單調(diào)遞增，

所以g(t)M譏=g(0)=1-a=e?,所以，a=1-e?.

故答案為：1七2.

f

【分析】先設(shè)4(久1，%),8(%2，了2)，久1<%則久1-a=t,lnx2=t,t<-a,即=a+t,x2=e,\AB\=x2-x1=

/-t-a,構(gòu)造函數(shù)g(t)=/-t-a,t<-a,再利用求導的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而得出函數(shù)的最值，再

結(jié)合已知條件得出a的值。

檢查意見：少知識點，利用導數(shù)研究單調(diào)性等

17.【答案】(1)解：VSn=2八+0

工當n=1時，/=Si=2+a；

n-1

當n>2時，Sn_i=2+a,

所以斯=Sn—Sn-1=2"—2-1=2"T，

2+a,n=l

所以冊=

2nT,n>2

???a2=2,%=4,

12

2

又數(shù)列為等比數(shù)列，則q=^=1=2，

a22

T7_a2—2

又q=可=用，

2+a=1,解得a=-1；

（2）解：由（1）可得冊=2幾T,

rl

所以0=log2an=log22t=n-1,

）

Tn=瓦+%+…+b九=0+1+…+（7i—1=（2—

i211

???當n22時，五=而二叮=2（口一兀），

111111

■'>^+T；+-+T^=2［Tx2+23<3+-+nx（n+l）］

111111

=2（1-4+4-4+-+--^7）=2（1—士）<2.

'223nn+17'n+17

【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列求和公式結(jié)合等比數(shù)列公式求出a的值；

（2）根據(jù)（1）得出數(shù)列等式，從而得出“等式；從而得出數(shù)列求和公式，從而得出;列式之和的范圍。

18.【答案】（1）解：根據(jù)頻率分布直方圖得：

%=(55x0.01+65x0.02+75x0.045+85x0.02+95x0.005)x10=74

（2）解：由于［50,60）,［60,70）和［80,90）的頻率之比為:1：2：2,

故抽取的10人中［50,60）,［60,70）和［80,90）分別為：2人，4人，4人，隨機變量f的取值可以為0、1、

2、3,

P(e=0)=-^=1,P(f=l)=%=[P(f=2)=卡=磊，P(f=3)=#=白，6的分布

L10L10L10L10

列為:

0123

1131

p621030

11316

E(C)=0XN+1X7Y+2X彳k+3X/=E

【解析】【分析】（I）利用已知條件結(jié)合頻率分布直方圖求平均數(shù)公式得出這100名游客評分的平均值;

（2）利用已知條件結(jié)合分層抽樣的方法得出抽取的10人中［50,60）,［60,70）和［80,90）的人數(shù)，進而得出

隨機變量f可能的取值，再結(jié)合組合數(shù)公式古典概型求概率公式得出隨機變量，的分布列，再根據(jù)隨機變量的

分布列求數(shù)學期望公式得出隨機變量，的數(shù)學期望.

19.【答案】（1）證明：由題意知：。速1平面力BC,BCc平面ABC,所以DiElBC

XBC1AB,ABc平面MB,%Eu平面且力BCiDiE=E

13

所以BC1平面DrAB.

又皿u平面CiAB,所以仍1BC

(2)解：過E作EF〃BC交AC于凡連結(jié)D,F

由于EF//BC,BCsz平面D]EF,EFc平面DrEF

所以BC〃平面DiEF.

故平面D,EF即為平面a

建立如圖所示空間直角坐標系如圖所示：

由(l)D^1BC,又DiAlDiC,BCGZ)iC=C,BC,DXCc平面BCD「

所以小AJ.平面BC%,ABU平面BCD〉所以。遇J.。聲，

22

則在AABi中可得，BDI=IAB-ADr=2V3,%E=坐&=8，

2

BE=JB/-DrE=3

則2(0,4,0),C(2,0,0),。式0,3,b)，

■.AC=(2,-4,0),麗=(0,-1,V3),BA=(0,4,0)

由于AB_LBC,EF||BC,故AB1EF.

又AB1D]E,EFua,ca,D,EAEF=E.

因此481a,故瓦5是。的一個法向量

設(shè)面ACD,的一個法向量v=(%,y,z)

v-AC^O2%—4y=0l―

由=，-y+Oz=0'取"⑹3,遍)

y-AD^=0

12

設(shè)平面a與平面ACD,夾角的。，則cos。=I,,德J=

4-V36+9+3-4

故所求平面a與平面ACD,夾角的余弦值為好

4

【解析】【分析】(1)由題意知：。止1平面4BC,再利用線面垂直的定義得出線線垂直，即DiElBC,再

利用BC14B結(jié)合線面垂直判定定理得出BCL平面DXAB,再根據(jù)線面垂直的定義證出線線垂直，從而證

出AD11BCo

14

（2）過E作EF〃BC交AC于F,連結(jié)D,F,再利用線線平行證出線面平行，則BC//平面DiEF,故平

面DEF即為平面a,從而建立空間直角坐標系，由（I）DMIBC和1以C結(jié)合線面垂直的判定定理，所

以。遇1平面再利用線面垂直的定義證出線線垂直，所以DiALDiB,在AABi中結(jié)合勾股定理和直

角三角形的面積公式得出BD「D±E,BE的長，從而得出點的坐標和向量的坐標，再利用1

BC,EF\\BC,故AB1EF,再結(jié)合力B_L￡）/和線面垂直的判定定理，因此力B1a,故瓦5是a的一個法向

量，再由數(shù)量積為。兩向量垂直的等價關(guān)系和數(shù)量積的坐標表示，從而得出平面ACD的一個法向量，再由

數(shù)量積求向量夾角余弦值公式得出平面a與平面ACD的夾角的余弦值。

20.【答案】（1）解：在AABC中，由已知條件及正弦定理可得2sinAcosB=2sinC-sinB

2sinAcosB=2sin（A+B）-sinB

2sinAcosB=2sinAcosB+2cosAsin8-sinB

2cosAsinB=sinB

因為sinBW0,所以cos力=

因為力是△力BC的內(nèi)角，所以力=掾

另解：因為2acos3=2c-b,由余弦定理有2a.次+浮-b=2c-b

2ac

整理得b2+c2—a2=be,

2c2a2

由余弦定理得，cosX=b+-=I

2bc2

因為4是AABC的內(nèi)角，所以4=與

（2）解：設(shè)^ACB=3

CDAC

在^",。中，sin專一sin（8-5y①

一—BCAC

在△4C3中，-②

〉1113oin[c/?3）

Qsin（6i+g）

②,sin（e-.）2

與sin8+亨cos。總

空sin。-；cos82

分子、分母除以cos0后可解得tan。=3A/3,:.tanZ-ACD=tan（7r—0）=—3A/3

【解析】【分析】（1）利用兩種方法求解.

15

方法一：在△ABC中，由已知條件及正弦定理和三角形內(nèi)角和為180。的性質(zhì)，再結(jié)合兩角和的正弦公式和三

角形中角A的取值范圍，進而得出角A的值；

方法二：利用2acosB=2c-b結(jié)合余弦定理得b2+c2-a2=be，再由余弦定理和三角形中角A的取值范

圍，進而得出角A的值.

(2)設(shè)AACB=3,在AACO中結(jié)合(1)中求出的角A的值和三角形內(nèi)角和為180。的性質(zhì)，再利用正弦定

CDAC

=①，在中由正弦定理得出g^()再由作商法和兩角和的正弦

理得出sinj-sinCe-g),AACB—g=sin(+2,

公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得出角。的正切值，再根據(jù)兩角互補和誘導公式得出tan乙4CD的值.

21.【答案】(1)解：由/(久)=x(lnx+a)+b得：f(x)=lnx+a+1>

由切線方程可知：f(1)=2—1=1已

???f(1)=a+1=2,/(l)=a+b=1，

解得：a=l,b=0

(2)解：由⑴知/(%)=x(lnx+1),則％e(1,+oo)時，/(%)>-1)恒成立

等價于Xe(1,+8)時，mW*；1)恒成立

令則g0)="

令八(%)=%-Inx-2,貝!J/i(%)=1-

.-?當久e(1,+00)時，h(%)>0，則八0)單調(diào)遞增：似3)=1-ln3<0,以4)=2-21n2>0

???3%0E(3，4),使得九(%。)=0

當％e(1,%o)時，g(%)<o；xe(x0,+8)時，g(%)>o

x0(lnx0+1)

*<,<9(%)min=0(、0)=~4

/i(%0)=x0—ln%0—2=0,lnx0=x0—2

%o(%0-2+1)

???gMmin=g(%0)=e(3,4)

%o一1

m<x0&(3,4),即正整數(shù)m的最大值為3

【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合導數(shù)的幾何意義得出切線的斜率，再利用代入法得出切點的坐標，再

結(jié)合點斜式方程得出曲線在切點處的切線方程，進而得出a,b的值；

(2)由(1)知/(%)=久(Inx+1),則當％C(1,+oo)時，/(%)>m(x-1)恒成立等價于當％e(1,+oo)

時，<雙-葉1)恒成立，再利用構(gòu)造法，令g(%)=%>i，再結(jié)合求導的方法判斷函數(shù)的單調(diào)

mx—1