廣東省廣州市奧林匹克中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)/共1頁(yè)廣州奧林匹克中學(xué)高二數(shù)學(xué)12月月考試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)求斜率，再結(jié)合斜率和傾斜角的關(guān)系求出傾斜角即可.【詳解】直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則的斜率為，設(shè)的傾斜角為，,所以.故選：C.2.直線與圓的位置關(guān)系為（）A.相離 B.相切 C.相交 D.無(wú)法確定【答案】A【解析】【分析】求圓心到直線的距離與半徑比較即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】由題意知，圓心，半徑，所以圓心到直線的距離，故圓與直線相離.故選：A.3.如圖，在三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)乘及加、減運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意，.故選：B4.已知空間三點(diǎn)、、，則以、為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A. B.7 C. D.【答案】D【解析】【分析】由點(diǎn)、、，求得及，再利用三角形面積公式求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn),,，所以，，，則，所以，所以以,為鄰邊的平行四邊形的面積為，故選：D5.直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，且，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由對(duì)稱性設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用橫坐標(biāo)之積求出坐標(biāo)，代入雙曲線方程求出a，進(jìn)一步求出離心率.【詳解】由A，B兩點(diǎn)在直線上，設(shè)，由對(duì)稱性可知，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，由A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為，得，解得，所以，代入雙曲線方程得，解得，所以，所以離心率為.故選：C.6.將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.是等邊三角形C.點(diǎn)與平面的距離為 D.與所成的角為【答案】C【解析】【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，證明平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)直二面角可得，利用勾股定理求出即可判斷B；以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點(diǎn)到面的距離即可判斷C；利用向量法求線線夾角即可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)的中點(diǎn)為，則，且，平面，可得平面，又因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由A的分析知即為二面角的平面角，故，即，可知，則，所以是等邊三角形，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)CD：以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，所以點(diǎn)與平面的距離，故C錯(cuò)誤；又因?yàn)?，且與所成的角取值范圍為，可知與所成的角的余弦值為，所以與所成的角為，故D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．利用空間向量求空間角一般步驟（1）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．（2）求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出相關(guān)向量的坐標(biāo)．（3）結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算．（4）轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．2．利用空間向量求點(diǎn)到平面距離的方法如圖，設(shè)A為平面內(nèi)的一點(diǎn)，B為平面外的一點(diǎn)，為平面α的法向量，則B到平面α的距離.7.已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且與拋物線交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，，根據(jù)拋物線的定義以及三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可得答案.【詳解】當(dāng)在第一象限時(shí)，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn)，所以為三角形的中位線，即，所以，又根據(jù)拋物線的定義，所以，所以在直角三角形中，，所以，此時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)在第四象限時(shí)，，故選：D.8.高8m和4m的兩根旗桿筆直地豎立在水平地面上，且相距6m，則地面上觀察兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡為（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】A【解析】【分析】如圖，設(shè)高8m和4m的兩根旗桿分別為，觀測(cè)點(diǎn)為點(diǎn)，則，再在平面中，以點(diǎn)的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而可求出點(diǎn)的軌跡方程，即可得解.【詳解】如圖，設(shè)高8m和4m的兩根旗桿分別為，觀測(cè)點(diǎn)為點(diǎn)，則，故，所以，所以，如圖，在平面中，以點(diǎn)的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)Px,y，則，化簡(jiǎn)得，為圓，所以地面上觀察兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡為圓.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫(xiě)出方程；（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.圓和圓的交點(diǎn)為，，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（）A.直線的方程為B.線段的中垂線方程為C.D.點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的最大值為9【答案】AB【解析】【分析】將兩圓的方程作差可得A正確；由圓的一般方程變成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心，再由線段的中垂線經(jīng)過(guò)和的圓心可得B正確；由幾何法求出弦長(zhǎng)可得C錯(cuò)誤；由最大距離等于兩半徑之和加圓心距可得D錯(cuò)誤；【詳解】對(duì)于A，將兩圓的方程作差，可得，即直線的方程為，A正確.對(duì)于B，圓，圓，圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，，線段的中垂線經(jīng)過(guò)和的圓心，故線段的中垂線方程為，故B正確.對(duì)于C，圓的圓心到直線的距離為，故，C錯(cuò)誤.對(duì)于D，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的最大值為，D錯(cuò)誤.故選：AB.10.下列結(jié)論正確的是（）A.若直線與直線平行，則它們的距離為B.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為C.原點(diǎn)到直線的距離的最大值為D.直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為【答案】BC【解析】【分析】由題意利用兩條直線平行的性質(zhì)求得的值，再利用兩條平行直線間的距離公式，計(jì)算求得結(jié)果判斷A；利用對(duì)稱知識(shí)求出對(duì)稱點(diǎn)判斷選項(xiàng)B；求出直線系經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式求解最大值即可判斷C；求解三角形的面積判斷D．【詳解】對(duì)于A，直線與直線平行，顯然，所以，且，解得，故兩條平行直線即為直線與直線，則它們之間的距離為，所以A不正確；對(duì)于B，假設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，，即點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故B正確；對(duì)于C，由，得，由，得，故直線過(guò)定點(diǎn)，所以原點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故C正確；對(duì)于D，令，得，令，得，所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，故D不正確.故選：BC．11.如圖，，為雙曲線的左右焦點(diǎn)，，為該雙曲線的兩條漸近線，到一條漸近線的距離為，過(guò)的直線與雙曲線左右兩支分別交于點(diǎn)，，．則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.的內(nèi)切圓半徑是 D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求解判斷A；根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合勾股定理求解判斷B；根據(jù)曲線的弦長(zhǎng)公式和雙曲線定義以及直角三角形內(nèi)切圓半徑公式求解判斷C；在直角三角形中，利用角的正切定義即可判斷D.【詳解】由可知，F(xiàn)1?c,0，，不妨設(shè)到漸近線的距離為2，即，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；所以，設(shè)，，，又，所以，解得，即，，選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，且圓的方程為，結(jié)合已知條件，不妨設(shè)在第二象限，設(shè)Mx1,y1，由，解得，即，又，所以，直線的方程為，設(shè)Nx2,由，消元整理得：，所以，，所以，所以，，因，所以的內(nèi)切圓半徑為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由，所以在直角中，，故選項(xiàng)D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在雙曲線結(jié)合幾何關(guān)系解題的問(wèn)題中，若涉及到直線與雙曲線的公共點(diǎn)，需要及時(shí)寫(xiě)出其與雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差，即定義表達(dá)式，再與其他已知條件結(jié)合，轉(zhuǎn)變?yōu)榻馊切位蚯笙议L(zhǎng)等問(wèn)題求解；直角三角形內(nèi)切圓的直徑，等于三角形兩直角邊的和減去斜邊.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______．【答案】或【解析】【分析】利用斜率是否存在進(jìn)行討論分析，再由斜率之積為列方程求參數(shù).【詳解】當(dāng)時(shí)，直線化為：，直線化為，此時(shí)兩直線垂直，滿足題意；當(dāng)時(shí)，直線化為：，直線化為，此時(shí)兩直線不垂直，不滿足題意；當(dāng)且時(shí)，直線的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)閮芍本€垂直，所以，解得，綜上可得：實(shí)數(shù)的值為或，故答案為:或.13.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水面下降0.5米后，水面寬______米．【答案】【解析】【分析】先建立直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)代入拋物線方程求得，得到拋物線方程，再把代入拋物線方程求得進(jìn)而得到答案．【詳解】如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，將代入，得，，代入，得，故水面寬為．故答案為：14.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別是，，下頂點(diǎn)為點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理與橢圓性質(zhì)可得，從而可結(jié)合橢圓定義得到的值，即可得，，根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓與、相切于點(diǎn)，，由切線長(zhǎng)定理可得，，，又，則，故，由橢圓定義可知，即，故，又，則，故，設(shè)，則，，則，則有，解得，所以的長(zhǎng)為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，且在圓上.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與圓C交于點(diǎn)A，B，求面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程.【答案】（1）；（2），或.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，圓心在直線，得到，再由在圓上，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到過(guò)定點(diǎn)，求得，結(jié)合，當(dāng)時(shí)，面積最大，求得面積的最大值，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程求得的值，即可求解.小問(wèn)1詳解】解：由圓關(guān)于直線對(duì)稱，即圓心在直線，滿足，即圓，又因在圓上，所以，解得，所以圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：由，可得，聯(lián)立方程組，解得，即直線過(guò)定點(diǎn)，又由由（1）圓心為，可得，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，面積最大，此時(shí)為等腰直角三角形，面積最大值為，其中為圓的半徑，此時(shí)點(diǎn)C到直線l的距離，，所以可以取到，所以，解得或，故所求直線l的方程為或.16.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，其中，，為棱上一動(dòng)點(diǎn)．（1）若為中點(diǎn)，求證：平面；（2）若是棱上靠近的三等分點(diǎn)，求直線和平面夾角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理可得長(zhǎng)度，即可根據(jù)勾股定理求證，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及判定，即可求解，（2）根據(jù)為中點(diǎn)時(shí)平面，即可根據(jù)余弦定理求解是棱上靠近的三等分點(diǎn)時(shí)的長(zhǎng)度，即可根據(jù)銳角三角函數(shù)求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以余弦定理可得，所以，即，又平面，平面，故，平面，故平面，又平面，?是中點(diǎn)，故，又平面，故平面.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，為中點(diǎn)時(shí)，平面，此時(shí)，所以當(dāng)是棱上靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，是直線和平面的夾角，且，所以由余弦定理可得，所以直線和平面夾角正弦值為.17.如圖，是過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的弦，M是的中點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線，為垂足，點(diǎn)N坐標(biāo)為.（1）求拋物線的方程；（2）求的面積（O為坐標(biāo)系原點(diǎn)）.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）由已知得準(zhǔn)線方程為：，由此可求得拋物線的方程；（2）設(shè)，代入拋物線的方程作差得，再由M是的中點(diǎn)，求得，由此求得直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立可求得弦長(zhǎng)AB，由三角形的面積公式可求得答案.【小問(wèn)1詳解】解：點(diǎn)在準(zhǔn)線上，所以準(zhǔn)線方程為：，則，解得，所以拋物線的方程為：；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，由在拋物線上，所以，則，又，所以點(diǎn)M縱坐標(biāo)為是的中點(diǎn)，所以，所以，即，又知焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，則直線的方程為：，聯(lián)立拋物線的方程，得，解得或，所以，所以.18.如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，對(duì)的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成角的正弦值；（3）設(shè)點(diǎn)是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)線段的長(zhǎng)最小時(shí)，求直線與直線所成角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，證明，然后得線面垂直，再得面面垂直；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角；（3）由向量的數(shù)量積為0，確定的軌跡，再由最小值確定其位置，得其坐標(biāo)，然后由空間向量法求線面角．【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連結(jié)，由已知得，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是以為腰的等腰三角形，則，故,故平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，即，取，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得，所以，因?yàn)?，故平面與平面所成角的正弦值為.【小問(wèn)3詳解】點(diǎn)是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)且，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，當(dāng)線段的長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)在與圓的交點(diǎn)處，此時(shí)，，設(shè)直線與直線所成角為，所以，所以直線與直線所成角得余弦值為.19.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，且橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)且不平行于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為.（1）求標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：為定值；（3）軸上是否存在點(diǎn)，使得為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（