廣東省深圳市東北師范大學(xué)深圳附屬學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

第1頁/共1頁2024—2025學(xué)年上學(xué)期（數(shù)學(xué)）高（二）年級(jí)期中考試考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分注意：將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．1.已知直線過，兩點(diǎn)，且，則直線傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用斜率公式求得直線的斜率，結(jié)合，求得，得到，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€過，兩點(diǎn)，可得，又因?yàn)?，所以，可得，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所以，所以直線的傾斜角為.故選：A.2.“”是“直線和直線平行”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】A【解析】【分析】分別當(dāng)時(shí)，判斷兩直線的位置關(guān)系和當(dāng)兩直線平行且不重合時(shí)，求的范圍．【詳解】當(dāng)時(shí)，兩直線分別為：，，兩直線斜率相等，則平行且不重合．若兩直線平行且不重合，則或，綜上所述，是兩直線平行的充分不必要條件．故選：A3.已知橢圓C上任意一點(diǎn)都滿足關(guān)系式，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的定義及兩點(diǎn)距離公式計(jì)算即可.【詳解】由題設(shè)可知，橢圓C的焦點(diǎn)為，橢圓C上任意一點(diǎn)Px0,故，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C4.已知橢圓：的離心率為，則（）A. B.或 C.8或2 D.8【答案】C【解析】【分析】分焦點(diǎn)在軸和軸上兩種情況，由離心率得到方程，求出或.【詳解】橢圓：的離心率為，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得.故選：C.5.經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是（）A.8 B.9 C.10 D.20【答案】D【解析】【分析】為焦點(diǎn)三角形，周長(zhǎng)等于兩個(gè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，再根據(jù)橢圓方程，即可求出的周長(zhǎng)．【詳解】為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，的周長(zhǎng)為．故選：D．6.已知圓，圓，則這兩圓的公共弦長(zhǎng)為（）A. B. C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】由兩圓方程求出兩圓公共弦所在直線方程，再與圓聯(lián)立求出相交弦的弦長(zhǎng)即可.【詳解】由圓，圓，兩式相減得相交弦所在直線方程：.由圓可得圓，所以圓心、半徑.所以圓心到直線距離，所以相交弦長(zhǎng)為.故選：C7.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在為直徑的圓上，即，根據(jù)得到離心率范圍.【詳解】，故在為直徑的圓上，即，圓在橢圓內(nèi)部，故，，故.故選：B.8.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，若點(diǎn)，點(diǎn)滿足，且，則的最小值為（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】由得，，問題轉(zhuǎn)化為求，結(jié)合圖象可知當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，有最小值，計(jì)算，得到.【詳解】橢圓中，.如圖，由得，∴，∴當(dāng)取最小值時(shí)，最小.由題意得，點(diǎn)A為橢圓右焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，，∴.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，若選對(duì)部分得部分分，選錯(cuò)不得分，共計(jì)18分．9.以下四個(gè)命題中正確是（）A.若空間向量、滿足，則與夾角為銳角B.若空間向量，，則在上的投影向量為C.點(diǎn)為平面上一點(diǎn)，為平面外一點(diǎn)，且，則D.任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底【答案】BC【解析】【分析】利用空間向量數(shù)量積的定義可判斷A選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判斷B選項(xiàng)；利用共面向量的基本定理以及空間向量基本定理可判斷C選項(xiàng)；利用空間向量基底的概念可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若空間向量、滿足，則與夾角為銳角或，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若空間向量，，則在上的投影向量為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)為平面上一點(diǎn)，為平面外一點(diǎn)，則、、共面，設(shè)，其中、，則，所以，，又因?yàn)?，則，即，解得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，但不共線的三個(gè)向量可能共面，D錯(cuò).故選：BC.10.已知空間向量，且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)條件，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得，再利用模長(zhǎng)的計(jì)算公式，可判斷選項(xiàng)A的正誤；利用空間向量平行的坐標(biāo)表示，可求得，可判斷選項(xiàng)B的正誤；利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，可求得，即可判斷選項(xiàng)C的正誤；利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示，即可求得，從而判斷出選項(xiàng)D正確.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)，因?yàn)?，則，所以，解得，所以，則，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，，，所以，得到，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，，所以，又，則，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，，則，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD.11.已知橢圓分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（）A.橢圓離心率為B.C.若，則的面積為D.最大值為【答案】BCD【解析】【分析】由橢圓方程得到的值，根據(jù)離心率的定義可判斷A，根據(jù)橢圓的定義可判斷B，根據(jù)勾股定理和橢圓的定義可得到，從而由三角形面積公式可判斷C，由對(duì)勾函數(shù)可判斷D.【詳解】由橢圓方程可知，，，，所以橢圓的離心率，故A錯(cuò)誤；由橢圓定義知，故B正確；又，因?yàn)?，所以，，解得：，所以的面積為，故C正確；因?yàn)?，即，設(shè)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分．12.經(jīng)過點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍的直線的方程是______.【答案】和；【解析】【分析】根據(jù)直線過原點(diǎn)和不經(jīng)過原點(diǎn)兩種情況，即可由待定系數(shù)的方法求解.【詳解】若直線經(jīng)過原點(diǎn)，則設(shè)直線方程為，將代入可得，若直線不經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，將代入可得，所以直線方程為，即，故答案為：和；13.求圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最大值_________．【答案】【解析】【分析】先求得圓心和半徑，再求得圓心到直線的距離，由此距離加半徑為最大值求解.【詳解】圓可化為，其圓心為，半徑為1，圓心到直線的距離，所以圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為.故答案為：.14.已知直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為_____【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件及直線與圓相切的充要條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】由可得，整理可得，所以，曲線表示圓在軸的上半部分，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，結(jié)合圖形可知，，則，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，，結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn).因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知點(diǎn)和直線.（1）求過點(diǎn)且與直線垂直的直線的一般方程；（2）求與直線平行且與之間的距離為的直線的一般方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用兩直線垂直的直線斜率，代入點(diǎn)斜式后化為一般式方程即可；（2）利用平行設(shè)出直線方程，利用兩平行線間的距離求解即可.【小問1詳解】直線的斜率為，所以過點(diǎn)且與直線垂直的直線的斜率為，故所求方程為，即；【小問2詳解】設(shè)與直線平行的直線方程為，則，即，解得或，所以所求直線的方程為或.16.已知圓C：，點(diǎn)，點(diǎn)．（1）過點(diǎn)P作圓C的切線l，求出l的方程；（2）設(shè)A為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，G為三角形APQ的重心，求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程．【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）分切線的斜率不存在和切線的斜率存在兩種情況求解即可；（2）設(shè)，，結(jié)合重心的性質(zhì)可得，進(jìn)而結(jié)合A為圓C上的動(dòng)點(diǎn)求解即可.【小問1詳解】由C：，則圓心，半徑，當(dāng)切線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，符合題意；當(dāng)切線l的斜率存在時(shí),則設(shè)切線l的方程為，即，所以，解得，此時(shí)切線l的方程為，即.綜上所述，切線l的方程為或.小問2詳解】設(shè)，，因?yàn)?，，G為三角形APQ的重心，所以，即，由A為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，得，則，整理得，即動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程為．17.如圖，在三棱柱中，平面，已知，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理確定，根據(jù)線面垂直得到，得到平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，確定各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算兩個(gè)平面的法向量，再根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【小問1詳解】中，，即，滿足，故，平面，平面，故，又，平面，故平面；【小問2詳解】如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，平面，故平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，，，則，取得到，平面與平面夾角的平面角為銳角，故余弦值為.18.如圖，在四棱錐中，，，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)線線垂直先證平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，利用向量法求解即可．【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以．小?詳解】因?yàn)?，所以，則．由（1）可知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．可知，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量n1=則即令，解得，，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得令，解得，故，所以，即，整理，得，解得或（舍去）．故．19已知圓過，，三點(diǎn)．（1）求圓的方程；（2）求圓與圓：的公共弦長(zhǎng)；（3）已知，P為圓上任意一點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)N（異于點(diǎn)M），使得為定值？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在定點(diǎn)【解析】【分析】（1）設(shè)圓方程為，代入已知三點(diǎn)組成方程組，解出即可得到圓的方程；（2）聯(lián)立圓與圓的兩方程相減得到公共弦的方程，求出圓心到公共弦的距離，再利用勾股定理，即可求得公共弦長(zhǎng)；（3）假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)，設(shè)Px,y，，利用兩點(diǎn)距離公式可得，由P滿足圓方程，可得，即存在定點(diǎn)使得為定值.【小問1詳解】設(shè)圓方程為，因?yàn)閳A過，，三點(diǎn)，則，解得：,所以圓方程為.【小問2詳解】圓方程化為一般方程為：，聯(lián)立圓與圓兩圓方程得：，兩式相減得公共弦的方程：，