解直角三角形模型之新定義模型（原卷版）

專題23解直角三角形模型之新定義模型

解直角三角形的新定義模型，是體現(xiàn)選拔功能的試題中對(duì)初高中知識(shí)銜接的考查。高中數(shù)學(xué)為這類試

題的命制提供了廣闊的空間背景，命題者將高中數(shù)學(xué)的一些概念、定理、法則、公式等初中化（用初中數(shù)

學(xué)知識(shí)內(nèi)容包裝、初中試題命制技術(shù)設(shè)置）處理，命制出具有高中數(shù)學(xué)背景味道的試題。這類試題往往對(duì)

學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力要求較高，能有效檢驗(yàn)學(xué)生是否具備進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的潛能，所以平時(shí)教學(xué)挖掘這

方面解題技能及功效尤為重要。恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建模型可以拓寬解題思路，優(yōu)化解題過程，豐富解題內(nèi)涵。

【知識(shí)儲(chǔ)備】

模型1、新定義模型

此類模型主要包含高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)和解三角形的相關(guān)定理（公式），而這些定理（公式）也

可利用初中數(shù)學(xué)知識(shí)證明。

若無特殊說明，一般認(rèn)為△48C的3個(gè)角//、NB、ZC,分別對(duì)應(yīng)邊a、b、c；

1）正弦定理：如圖1,-^―==2R（其中R是三角形外接圓的半徑）。

sinAsinBsinC

c1=a1+b2-labcosC.

3）正弦面積公式：如圖2,5=—absmC=—bcsmA=—acsmB.

A222

4）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sz/e+00/8=1,勿〃。=豈"。

cosO

5）和（差）、二倍角角公式:

sin{a±〃）=sinacos/3±cosasinP;sin2a=Isinacosa.

cos（a±笈）=cosacos/3+sinasin/3;cosla=cos2a-sin2a=2cos1a-1=1-2sin2a.

/,八、tana±tan/3_2tana

tan(a±/3)=-----------tan2a=----------

'\+tanatan/3\-tana

例1.（2022?湖南?中考真題）閱讀下列材料：

在A48c中，44、E>B、NC所對(duì)的邊分別為。、b、c,求證：，一=〃—

sinAsinB

證明：如圖1,過點(diǎn)。作CD,48于點(diǎn)。，貝IJ：

在RtABCD中，CD=as\nB；在RtAACD中，CD=bsin4

a_b

asinB=bsinA

sinAsinB

c

碇；⑵為了辦好湖南

省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境.如圖3,規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知

44=67。，N8=53。，/C=80米，求這片區(qū)域的面積.（結(jié)果保留根號(hào).參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.8,

sin67°~0.9)

例2.（2022?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題）閱讀材料余弦定理是描述三角形中三邊長(zhǎng)度與一個(gè)角余弦值關(guān)系的

數(shù)學(xué)定理，運(yùn)用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者己知三邊求角的問題.余弦定理是這

樣描述的：在A43C中，乙4、乙B、NC所對(duì)的邊分別為°、b、c,則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊

的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍.

用公式可描述為：a2=b2-\-c2-2bccosA；b2=a2~\-c2-laccosB；c2=a2~\~b2-2abcosC

現(xiàn)已知在A48C中，AB=3,NC=4,乙4=60。，則3C=

例3.（2022?山東青島??？级＃﹩栴}提出：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積.

問題探究：為了解決上述問題，我們先由特殊到一般來進(jìn)行探究.

探究一：如圖L在。中，ZABC=90°,AC=b,BC=a,NC=Na,求的面積.

在中，ZABC=90°,sina=AB=b?sina.=^BC?AB=-a?Z）sina.

A.C22

探究二：如圖2,“8C中，AB=AC=b,BC=a,ZB=2a,求小BC的面積（用含a、b、a代數(shù)式

表示），寫出探究過程.

探究三：如圖3,中，AB-b,BC=a,Z.B=Z.a,求“3C的面積（用a、b、a表示）寫出探究

過程.

問題解決：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：（用文字?jǐn)⑹觯?

問題應(yīng)用：如圖4,已知平行四邊形/BCD中，AB=b,BC=a,NB=a,求平行四邊形4BCD的面積

（用。、b、a表示）寫出解題過程.

問題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結(jié)論直接寫出任意四邊形的面積（用。、b、c、d、a、尸表

不），其中=BC—c,CD=d,AD—a,AA=a,/-C=[3.

例4.(2023春?四川瀘州?八年級(jí)?？计谥?平面幾何圖形的許多問題，如：長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積、角度等問

題，最后都轉(zhuǎn)化到三角形中解決.古人對(duì)任意形狀的三角形，探究出若已知三邊，便可以求出其面積.具

體如下：設(shè)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為。、b、c,P=^a+b+c),則有下列面積公式：

S=dP(P—a)(P—bXP—c)(海倫公式)；外2](秦九韶公式).

⑴一個(gè)三角形邊長(zhǎng)依次是5、6、7,利用兩個(gè)公式，可以求出這個(gè)三角形的面積；

⑵學(xué)完勾股定理以后，已知任意形狀的三角形的三邊長(zhǎng)也可以求出其面積.如圖，在中，AB=15,

BC=14,NC=13,求“8C的面積和3c邊上得高的長(zhǎng).

例5.(2023?北京市?九年級(jí)校考期末)關(guān)于三角函數(shù)有如下公式：sin(a+p)=sinacos[3+cosasinp,sin

(a-P)=sinacos[3-cosasinP；cos(a+0)=cosacos[3-sinasin[3,cos(a-P)=cosacosP+sinasinP；tan

(a+p)ta：a+叱(i-tanatanP^O),合理利用這些公式可以將一些角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為特殊角的

三角函數(shù)來求值，如sin90=sin(30°+60°)=sin30°cos600+cos30°sin60°=1X-+—x—=1,利用上述公

2222

式計(jì)算下列三角函數(shù)①sinl05°=巫史，②tanl05°=-2-g,③sinl5°=近二,④cos90°=0,其

44

中正確的個(gè)數(shù)有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

例6.(2023年四川省廣元市中考真題數(shù)學(xué)試題)"一縷清風(fēng)銀葉轉(zhuǎn)"，某市20臺(tái)風(fēng)機(jī)依次矗立在云遮霧繞的

山脊之上，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)能就能轉(zhuǎn)換成電能，造福千家萬戶.某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組，為測(cè)量風(fēng)葉的長(zhǎng)

度進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量.如圖，三片風(fēng)葉兩兩所成的角為120。，當(dāng)其中一片風(fēng)葉與塔干。。疊合時(shí)，在與塔

底。水平距離為60米的E處，測(cè)得塔頂部O的仰角NOEO=45。，風(fēng)葉O/的視角NOE/=30。.

(1)已知a,￡兩角和的余弦公式為：cos(a+0=cosacos尸-sinasin尸，請(qǐng)利用公式計(jì)算cos75。；

(2)求風(fēng)葉04的長(zhǎng)度.

例7.（2023?四川宜賓,校考三模）通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊

長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類似的，可以在等腰三角形中建立邊角

之間的聯(lián)系.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（sad）.如果“8C中，AB=AC,

那么頂角/的正對(duì)記作sacU,這時(shí)sa（M=*=繪.容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互

腰AB

3

唯一確定的.根據(jù)上述角的正對(duì)定義，填空：如果的正弦函數(shù)值為），那么sad/的值為.

例8.（2022春?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料:

在學(xué)習(xí)完銳角三角函數(shù)后，老師提出一個(gè)這樣的問題：如圖1,在RM/3C中,

ZACB=90°,AB=\,ZA=a,求sin2a(用含sina,cosa的式子表示).

聰明的小雯同學(xué)是這樣考慮的：如圖2,取N2的中點(diǎn)。，連接OC,過點(diǎn)C作于點(diǎn)。，則

NCOB=2a,然后利用銳角三角函數(shù)在RM/BC中表示出在MA/C。中表示出CD,則可以求出

..CDsina-ACsina?cosa

sin2a=-----=-------------=2sina?cosa

OC￡]_

22

閱讀以上內(nèi)容，回答下列問題：在RL45C中，ZC=90°,AB=l.

(1)如圖3,若3。=；,貝!Jsina=_,sin2a=：

（2）請(qǐng)你參考閱讀材料中的推導(dǎo)思路，求出tan2a的表達(dá)式（用含sin%cos1的式子表示）.

例9.（2022?重慶??？家荒＃┎牧弦唬鹤C明：sin2a+cos2a=1-

證明：如圖，作的。二乙用在射線4C上任意取一點(diǎn)。（異于點(diǎn)4）,過點(diǎn)。作。EL45,垂足為E.

2>￡2

■.■DE1AB于點(diǎn)E：.sinABAC=—,cos,ABAC=—sinABAC=^T,cosABAC=

ADADAD2AD2

???在RtAADE中,DE2+AE-=AD-：.sin2ABAC+cos2ABAC=+=""+*==1

AD-AD2AD2AD2

???乙BAC=乙asin2a+cos2a-\-

材料二：學(xué)習(xí)了三角函數(shù)之后，我們知道，在直角三角形中，知道了一個(gè)直角三角形的兩條邊的長(zhǎng)或知道

直角三角形的一條邊的長(zhǎng)及其一個(gè)銳角的度數(shù)，我們可以求出這個(gè)直角三角形其它邊的長(zhǎng)度和其它角的度

數(shù)；由"SAS"定理可知，如果一個(gè)三角形的兩條邊的長(zhǎng)度及其這兩條邊的夾角的度數(shù)知道了，那么這個(gè)三角

形的第三條邊一定可以求出來.

應(yīng)用以上材料，完成下列問題：⑴如圖，在A45c中，AC=4,BC=6,zC=60°,求的長(zhǎng).

⑵在（1）題圖中，如果BC-a,乙C=a,你能用Q,6和COSQ表示48的長(zhǎng)度嗎？如果可以，寫出推

導(dǎo)過程；如果不可以，說明理由.

例10.(2023春?湖北?九年級(jí)專題練習(xí))在初中，我們學(xué)習(xí)過銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數(shù)，

即在圖1所示的直角三角形43C,//是銳角，那么sin/=44的對(duì)邊+斜邊，cos/=//的鄰邊+斜邊，

1211/=44的對(duì)邊+//的鄰邊.為了研究需要，我們?cè)購(gòu)牧硪粋€(gè)角度來規(guī)定一個(gè)角的三角函數(shù)的意義：設(shè)

有一個(gè)角a,我們以它的頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，以它的始邊作為x軸的正半軸。x,建立直角坐標(biāo)系(圖2),在角a

的終邊上任取一點(diǎn)尸，它的橫坐標(biāo)是x,縱坐標(biāo)是y,點(diǎn)P和原點(diǎn)(0,0)的距離為，=6+j??？偸钦?,

然后把角a的三角函數(shù)規(guī)定為sina=-,cosa=土，tana=上.我們知道，圖1的四個(gè)比值的大小與角N

rrx

的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無關(guān)，同樣圖2中四個(gè)比值的大小也僅與角a的大小有關(guān)，而與點(diǎn)尸

在角a的終邊位置無關(guān).比較圖1與圖2,可以看出一個(gè)角的三角函數(shù)的意義的兩種規(guī)定實(shí)際上是一樣的,

根據(jù)第二種定義回答下列問題：

(1)若90。＜夕＜180。，則角a的三角函數(shù)值sina、cosa,tana,其中取正值的是:

⑵若角a的終邊與直線＞=2x重合，則sina+cosa的值；

⑶若角a是鈍角，其終邊上一點(diǎn)尸(x,2),且cosa=；x,求tana的值；

(4)若0°＜a＜90°,則sina+cosa的取值范圍是.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.(2023秋?廣東東莞?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長(zhǎng)度與一個(gè)角余弦值

關(guān)系的數(shù)學(xué)定理，運(yùn)用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題.余弦定

理是這樣描述的：在中，NA、/B、/C所對(duì)的邊分別為0、6、c,則三角形中任意一邊的平方等

于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍.用公式可描述為：

a2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2—2accosB;c2=a2+b2-2abcosC；現(xiàn)已知在中，AB=2,

BC=4,ZA=60°,則/C的長(zhǎng)為()

A.2拒B.V13+1C.V13-1D.3也

2.(2020?四川廣元市?中考真題)規(guī)定：

sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,cos(x+=cosxcosj-sinxsiny給出以下四個(gè)結(jié)論：(1)

sin(-30°)=-1；(2)cos2x=cos2x-sin2x;(3)cos(x-j)=cosxcosj+sinxsinj；(4)

cosl5°=避二也其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

4

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.(2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題)我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給

雄』守一的邊

出了這樣的一個(gè)結(jié)論：三邊分別為。、6、c的。BC的面積為工

a、b、c所對(duì)的角分別是乙4、乙B、L.C,則BC=；a6sinC=g

Z/acsinB=-bcsinA.下列結(jié)論中正確的是

2

()

._a2+b2-c2巾-c1「門a2+b2-c2a+b2-c2

A.cosC=---------BD.cosC=-----------C.cosC=---------D.cosC=---------

2ab2ab2ac2bc

4.(2023?安徽滁州??？级?已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、C,求其面積問題.中外數(shù)學(xué)家曾經(jīng)進(jìn)行

過深入研究，古希臘的幾何學(xué)家海倫給出求其面積的海倫公式S-jM。a)(pb)(pc),其中p-,；

我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式,若

一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5,6,7,則其面積是（）

A.6^6B.6^/15C.D.

22

5.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考二模）一般地，當(dāng)a、B為任意角時(shí)，tan（a+p）與tan（a-P）的值可以用下面的

1一3

tancr±tan/7，…tan45-tan30______3_3-G

公式求得：tan（a±P）--------例如：tanl5°=tan(45°-30°)

1+tancr?tan"1+tan45-tan30i,iv63+百

1i1X

3

(3-V3)2

=2-石.請(qǐng)根據(jù)以上材料，求得tan75。的值為

=(3+司(3-司

6.（2023?河北石家莊?九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題.

sin230°+cos230°=___；

sin245°+cos245°=___；

sin260°+cos260°=___；

觀察上述等式，猜想：對(duì)任意銳角4都有siM4+cos24=_.

7.（2023秋?山東濟(jì)南?九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義一種運(yùn)算：sin（a+4）=sinacos/7+cosasinQ,

sin(a—Q)=sinacos尸—cosasin尸.例如：當(dāng)儀=60。，,=45。時(shí),

sin（6。。-45。）=%*^*三，則sm75。的值為一

8.（2023?湖南婁底?統(tǒng)考一模）同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式:

sin(a—力)=sinacos0-cosasin,，sin(a+/)=sinacos/?+cosasin/?,

cos(a-4)=cosacos/+sinasin/3,cos(a+尸)=cosacos/一sinasin4.例：

sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=.若己知銳角a滿足條件sina=g,則

sinla=.

9.(2022嘿龍江綏化?統(tǒng)考中考真題)定義一種運(yùn)算；sin(?+/?)=sinacosj3+cos6Zsin/?,

sin(cr-/?)=sinacos/?-coscrsin/7.例如：當(dāng)a=45°,尸=30°時(shí)，sin(45°+30°)=

V2y/3y/21V6+^2Mil?1<06/1/古必

——x——十——x—=-----------，則sml50的值為______.

10.（2023?四川成都?成都外國(guó)語學(xué)校?？家荒＃┯^察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題

AF）

在銳角△ABC中，NA、NB、NC的對(duì)邊分別是a、b、c,過A作AD1BC于D（如圖（1））,則sinB=-^-,即

hrCClcih

AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,BP———=,，同理有：.=—~———>所以

SIILDsinCsmCSIIL4SIIL4SIIW

a_b_c

siih4sinBsinC

即：在一個(gè)銳角三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素（至少有一

條邊），運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素.

根據(jù)上述材料，完成下列各題.

圖（1）圖（2）圖（3）

(1)如圖(2),aABC中，ZB=45°,ZC=75°,BC=60,貝”NA=_；AC=:

（2）某次巡邏中，如圖（3）,我漁政船在C處測(cè)得釣魚島A在我漁政船的北偏西30。的方向上，隨后以40

海里/時(shí)的速度按北偏東30。的方向航行，半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得釣魚島A在的北偏西75。的方向上,

求此時(shí)漁政船距釣魚島A的距離AB.

11.（2023春?山東濟(jì)寧?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義：在A42C中，若4B=c,AC=b,BC=a,則存在余弦

定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2ac-cosB,c2=a2+b2-2ab-cosC,即三角形一邊的平方等于

另兩邊的平方和減去這兩邊與這兩邊夾角的余弦的積的2倍.

例如：在圖1中，AC2=AB2+BC2-2AB-5C-cos5=42+（372V-2x4x3>/2cos45°=10,：.AC^V10

請(qǐng)你利用余弦定理解答下列問題：⑴應(yīng)用新知：在圖2中，①若。=2,6=3,NC=60。，則。=；

②若°=26，b=2亞,c=V6+V2,求口；

⑵遷移發(fā)散：如圖3,某客輪在/處看港口。在客輪的北偏東50。方向上，在/處看燈塔2在客輪的北偏

西30。方向距離2G海里處，客輪由N處向正北方向航行到C處時(shí)，再看港口。在客輪的南偏東80。距離6

海里處，求此時(shí)C處到燈塔B的距離.

北

12.（2023?廣東云浮?統(tǒng)考一模）如圖①，在R3ABC中，以下是小亮探究一j與一二之間關(guān)系的方法:

sinZsm5

a.babab

?sinA-,sinB—,??c—,c—,.—，

ccsin/sinBsinAsinB

bc

根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識(shí).在圖②的銳角4ABC中，探究一j'sm"、smC之間的關(guān)系,并寫出探究

sinZ

過程.

BB

二:/\

AbCAbC

圖①圖②

13.（2023?山東?一模）小明學(xué)完了“銳角三角函數(shù)”的相關(guān)知識(shí)后,通過研究發(fā)現(xiàn)：如圖1,在MA48c中,

=4=2.通過上網(wǎng)查閱資料，他又知

如果Z_C=90,Z^4=30,BC=a=l,AC=b=下,,AB=c=2,那么.=

sin4sin/?

"s沅9。。=1”，因此他得至『,在含3。。角的直角二角形中,存在著房"癮=荒的關(guān)系

A

BaCBaCBaCBC

圖1圖2圖3圖4

這個(gè)關(guān)系對(duì)于一般三角形還適用嗎？為此他做了如下的探究:

（1）如圖2,在比A42C中，ZC=9O°,BC=a,AC=b,AB=c,請(qǐng)判斷此時(shí)"號(hào)二上二七”的關(guān)系是否成

smAsinBsmC

立？答：.

（2）完成上述探究后，他又想“對(duì)于任意的銳角A48C,上述關(guān)系還成立嗎？"因此他又繼續(xù)進(jìn)行了如下的

探究：

如圖3,在銳角A42C中，BC=a,AC=b,AB=c,過點(diǎn)C作CDL42于。，設(shè)

???在RtAADC和RtABDC中，^ADC=ABDC=90°,

■'-sinA-,sinB=.

ab

??~;=______________,~;=_____________.

sinAsinB

a_b

sinAsinB

hCnhc

同理，過點(diǎn)工作NH12C于可證二二=一^二一7=一^=一下

sin8sinCsin/sm5smC

請(qǐng)將上面的過程補(bǔ)充完整.（3）運(yùn)用上面結(jié)論解答下列問題：

①如圖4,在八43。中，如果乙4=75。，4=60。，AB=6,求/C的長(zhǎng).

②在ZUB。中，如果必=30°,48=26，4c=2,那么A48C內(nèi)切圓的半徑為

14.（2023?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)階段練習(xí)）閱讀材料：關(guān)于三角函數(shù)還有如下的公式:

/,c、tana±tanB

sin（a土方）=sinacosp±cosasinp■tan（a±⑶=----------------

1±tana-tan0

利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值

tan45°-tan30°

例:tan15°=tan（450-30。）==2—V3

1+tan45°-tan30°

根據(jù)以上閱讀材料，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)墓?/p>