遼寧省沈陽(yáng)市東北某中學(xué)2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年度東北育才學(xué)校高中部高三第三次模擬考試

數(shù)學(xué)科試卷

答題時(shí)間：120分鐘滿分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中項(xiàng)是符合題

目要求的.

1,設(shè)集合人｛（l，2），（2，l）｝,8=｛（"）|x-y=l｝,則加8=（）

A.｛2,1｝B.｛（2,1）｝C.｛（1,2）｝D.｛1,2｝

【答案】B

【解析】

【分析】將集合A中的元素代入集合3,驗(yàn)證/C8的元素即可.

【詳解】集合中元素為點(diǎn)，故排除A,D；

當(dāng)x=l,了=2時(shí)，x-y=-l,故（1,2）任NcB,故C錯(cuò)誤；

當(dāng)x=2,y=l時(shí)，x-V=1,故（2,l）eNc8,故B正確.

故選：B

2.已知條件夕：1<1,條件4：丁—2x20,則0是^的（）

x

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】由題意分別求出條件夕國(guó)的充要條件，然后根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

1,1-x八fx（l-x）<0,.

【詳解】由題意夕：-=——=<\或x<0,q:/—2x20=x22或

xx［xw0'

x<0,

若x=0,則條件一2x20成立，但條件P：1不成立，

X

若％=1,則條件夕：［（1成立，但條件［：/一2x20不成立，

x

因此夕是9的既不充分也不必要條件.

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故選：D.

3.已知向量￡=(0,4),3=(—3,—3),則￡在B上的投影向量的坐標(biāo)是()

B.（2,2）

C.（0,-3）D.（0,3）

【答案】B

【解析】

【詳解】根據(jù)投影向量的定義，結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【分析】在上的投影向量為際@可\=9

ZB|2b=--b=（2,2）,

WI|可一（-3）2+（-3）

故選：B

4.已知數(shù)列｛4｝,%=2,%=0,且a,.=a0+2?(—1)”,則數(shù)列｛%｝的前2024項(xiàng)之和為(

A.1012B.2022C.2024D.4048

【答案】C

【解析】

【分析】對(duì)〃進(jìn)行分類討論，利用分組求和法求得正確答案.

【詳解】當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),a“+2=an-2,4+2-an=-2,

所以數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項(xiàng)成首項(xiàng)為2,公差為-2的等差數(shù)列.

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，an+2=an+2,an+2-an=2,

所以數(shù)列｛%,｝的偶數(shù)項(xiàng)成首項(xiàng)為0,公差為2的等差數(shù)列.

所以前2024項(xiàng)和為：

故選：C

5.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/(x)=/(2—x),當(dāng)xe[0,l]時(shí)，/(x)=x.函數(shù)

g(x)=e*"(—l<x<3),則/(x)與g(x)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

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【解析】

【分析】首先根據(jù)題干條件確定抽象函數(shù)/(X)的對(duì)稱性和周期性，然后根據(jù)/(X)的性質(zhì)及g(x)的解析

式畫出/(X)與g(x)在(-1,3)的圖像，觀察圖像，結(jié)合函數(shù)對(duì)稱性求解所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和.

【詳解】由/(x)=/(2-x),可知函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

又???/(x)為偶函數(shù)，?,?〃x)=〃2-x)=〃x+2),故函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，且周期7=2,

g(x)=11(-1<X<3),g(x)的圖像也關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

當(dāng)時(shí)，/(x)=2-x,g(x)=el~x,=2-x-eix,(1<x<2),

則h\x)=-1+e1<0,即函數(shù)〃(x)在[1,2]為減函數(shù)，

又-1)=0,即〃(x)W0,即函數(shù)/㈤，g(x)的圖像在(1,2)無(wú)交點(diǎn),

則函數(shù)/(x),g(x)在(-1,3)上的圖像如圖所示，

-1O123x

可知兩個(gè)圖像有3個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)在直線x=l上，另外兩個(gè)關(guān)于直線x=l對(duì)稱，則三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和

為3.

故選：A

6.已知函數(shù)/(%)=5m2?+35也0%-；(0€口),工€1t.若/(X)在區(qū)間(0,兀)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則。的取

值范圍是()

L11「八1]「11]「311

A.0,-B.0,-C.——D.——

I4」14」L44「L44」

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角恒等變換公式以及正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)求解.

A/2.

【詳解】f(x)=sin——+—SHIGX——=—smcox——coscox=——smcox—

22

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因?yàn)?（X）在區(qū)間（0,兀）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，

兀1

所以師——<0,解得OVgV—；

44

兀（7T7C1

若/<0,因?yàn)?、￡?,兀），所以GX—a￡[初1-“一彳J,

因?yàn)?（X）在區(qū)間（0,兀）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，

一兀3

所以CDTI---2—71，解得---V0<0;

44

r3r

綜上，a>E,

_44

故選:D.

7.已知二面角a—/—〃的平面角為民Ce/,￡）e/,Z5'/,A8與平面廠所成

兀S]

角為彳.記ANCD的面積為E，△BCD的面積為星，則U的取值范圍為（）

3?2

【答案】A

【解析】

2兀

【分析】作出二面角的平面角以及與平面〃所成角，并表示出/氏4E=3--，，結(jié)合三角形面積公式

以及正弦定理表示出色=在="——1——，結(jié)合。范圍確定sin/BZE范圍，即可求得答案.

S2BE2sinNBAE

【詳解】作/￡LCD,垂足為￡,連接BE,

因?yàn)榧碅5LCZ),NEnZ8=4/E,Z8u平面/￡8,

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故CO_L平面4E5,5￡u平面故

又CDu0,故平面AEB_L0,平面AEBC/3=BE,

jr

則25在/內(nèi)的射影在BE上，則/ABE為與平面/所成角,即ZABE=§,

由于/E1CD,CDLBE,故//班為二面角a—/的平面角，即NZE5=80<。<3,

E_3AExCD

$2-BExCDBE

2

AEBEAB

在4BE中,

sinZABEsinZBAEsinZAEB

則AE_sin/ABE1

、標(biāo)-sin/BAE2sinZBAE

TTjrzjr

而0<9<—,則NB/￡=7i------0=——e,

233

(；H，

貝(JNBAEG/.sin/BAEG

,AEsinZABE731F^3

故----=-------------=------------------e——,73

BEsinZBAE2sinABAE2

故選：C

8.已知。=2+gln2/=l+2°2,c=2Li,貝i]()

A.a<b<cB,b<a<c

C.c<b<aD.a<c<b

【答案】D

【解析】

【分析】利用作差法比較大小以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及最值的關(guān)系比較大小求解.

【詳解】因?yàn)?—°=1+2。2_21」=(2?！?2—2.2。」+1=(2?！埂?〉0,所以6>c；

c-a=211-^2+|ln2^=2x201-2-ln20-2=2(20l-l-ln201),

1Y—1

設(shè)函數(shù)/(x)=x—l—Inx,/(x)=l——=-----,

xx

所以xe(0,1)時(shí),f\x)<0,函數(shù)〃x)單調(diào)遞減，

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xe(l,+oo)時(shí)，f\x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

所以/(x)2/⑴=0,而2°」71，

所以/(2°」)=2°」—1—山2°」〉0,所以c>。，

所以a<c<b,

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知直線/：機(jī)x+y-1-2機(jī)=0與圓。：f+「=/有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)人，8,則|()

A.直線/過(guò)定點(diǎn)(2,1)B.當(dāng)r=4時(shí)，線段45長(zhǎng)的最小值為2而

C.半徑廠的取值范圍是(0,右］D,當(dāng)r=4時(shí)，礪有最小值為-16

【答案】ABD

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)直線為機(jī)(x-2)+(y-1)=0,進(jìn)而可判定A正確:利用弦長(zhǎng)公式，求得的最小值，可判

定B正確；根據(jù)直線/與圓。有總有兩個(gè)公共點(diǎn)，可得點(diǎn)“(2,1)在圓。內(nèi)部，可判定C不正確；結(jié)合向

量的數(shù)量積的公式，以及直線與圓的位置關(guān)系，可判定D正確.

【詳解】由直線/：加工十歹一1-2加=0,可化為加(％—2)+(歹—1)=0,

由方程組,八，解得x=2j=l,即直線/過(guò)定點(diǎn)“(2,1),所以A正確；

J-l=0

當(dāng)r=4時(shí)，圓。的方程為/+/=16,可得圓心。(0,0),

則|。河|=V5,可得線段AB長(zhǎng)的最小值為2“_|。叫2=2V1T，所以B正確；

因?yàn)橹本€/與圓。有總有兩個(gè)公共點(diǎn)，可得點(diǎn)“(2,1)在圓。內(nèi)部，

所以22+12</,解得。<廠<石，所以C不正確；

當(dāng)r=4時(shí)，圓。的方程為一+/=16,

則OAOB="LWCOSNZOB=16COS/ZO5,

當(dāng)直線/過(guò)圓心。(0,0),止匕時(shí)/2。8=兀，可得cosNZ08的最小值-1,

所以區(qū),礪有最小值為T6,所以D正確.

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故選：ABD.

10.已知等比數(shù)則｛%｝的公比為q（q〉0）,前“項(xiàng)積為北，若《〉北〉（，則（）

A.0<^<1B.q>1

C.幾>1>幾D.見(jiàn)〉1〉幾

【答案】AC

【解析】

【分析】利用數(shù)列的基本性質(zhì)可得出出>1，0<a7ag<1,求出鄉(xiāng)的取值范圍，可判斷AB選項(xiàng)利用等比

數(shù)列的性質(zhì)可判斷CD選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)閿?shù)列等比數(shù)則｛%｝的公比為q（q〉0）且《〉丹〉與，則

+2+i+4+55

T6=2a3a4a5。6=a^q'=a^q'>0,

所以,%=黃〉1，。7a8=黃<1,

1

又因?yàn)閍7a8=。羽〉0，貝J0<a7a&<1<a；，所以，a7>1>a8>0,從而％〉0,

故對(duì)任意的〃eN*，a?=%q"T>0,由％〉%=〉0可得0<9<1，A對(duì)B錯(cuò)；

工3=用4…43=斕〉1,幾=…。14=（。7。8）7<1，即0〉1〉刀4，C對(duì)D錯(cuò).

故選：AC.

11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體48C?！?81GA中，點(diǎn)P滿足而=限+戶函,其中

2e[0,1],//e[0,1]，則（）

A,當(dāng)之=〃=1時(shí)，BP±AR

16

B.當(dāng)7=〃=3,時(shí)，點(diǎn)尸到平面NR。的距離為

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C,當(dāng)4+〃=l時(shí)，。10//平面

D.當(dāng)％+〃=；時(shí)，三棱錐的體積恒為*

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，確定各選項(xiàng)下點(diǎn)尸的位置，根據(jù)線線關(guān)系判斷A；根據(jù)線面平行確定點(diǎn)

到平面的距離來(lái)判斷B；由面面平行的性質(zhì)得線面平行來(lái)判斷C；利用等體積轉(zhuǎn)換法確定三棱錐的體積可

判斷D.

【詳解】對(duì)于A,

4D\

O

BC

當(dāng)4=〃=1時(shí)，此時(shí)點(diǎn)尸與點(diǎn)G重合，由正方體性質(zhì)可得BQ，B]C,A〔BJ/AB//CD,A〔B[=CD,

所以四邊形4片8為平行四邊形，從而用C//4D,

又因?yàn)樗约?尸故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)2=時(shí)，此時(shí)點(diǎn)尸為51c的中點(diǎn)，

BC

由A選項(xiàng)分析可知用C//4。，81cz平面4AD,4。匚平面480,

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所以及C//平面48。，從而得點(diǎn)尸到平面48。的距離等于點(diǎn)C到平面48。的距離，設(shè)為d,

因?yàn)槿忮F4-8C。與三棱錐c-4AD是同一個(gè)三棱錐，且△4AD為邊長(zhǎng)為行的等邊三角形,

所以〃刁6=七一4助，從而得』xLxlxlxl='義立x(J^Yxd，解得]=也，故B錯(cuò)誤；

3234、/3

對(duì)于C,

當(dāng)人〃=1時(shí)，此時(shí)P,C,用三點(diǎn)共線，

由B選項(xiàng)分析可知4c//平面AXBD,同理可證BXD{H平面AXBD,

又因?yàn)閡平面5cn，BCcBQi=B],片04口u平面，

所以平面BCn"平面，又〃Pu平面gen，從而得〃P//平面48。，故C正確;

對(duì)于D,

當(dāng)4+〃=；時(shí)，點(diǎn)尸在△ABC中與51c平行的中位線“N上，即MN//4C,

由B選項(xiàng)分析可知用C//平面48。，且MNu平面48。，

所以施V//平面48。，從而點(diǎn)尸到平面的距離為定值，為點(diǎn)C到平面4臺(tái)。的距離的一半，即

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乙=@

26

底面為邊長(zhǎng)為0的等邊三角形，所以S"A、BD=；X而必與=存則尸-48。的體積為

1V3V3

V=—X-------X-------=—,故D正確.

32612

故選：ACD.

12.定義在[0,+e)的函數(shù)/(x)滿足/(x+6)=/(x),且〃x)=F1.Vxe(O,3]

[sinTix,2<x<3

都有〃6-x)+〃x)=0,若方程/(x)=a(aeR)的解構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列{x“},則下列說(shuō)法中正確的

是()

A./(2023)^0

B.若數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，則公差為6

C.若2(X]+%)=西工2+3，則0<a<ln2

］n

D,若-l<a<ln—.則工(%._2+13”1)=6/+〃

2T

【答案】BD

【解析】

【分析】對(duì)于A,根據(jù)題意結(jié)合周期性運(yùn)算求解；對(duì)于B,根據(jù)題意結(jié)合圖象分析判斷；對(duì)于C,整理可

得|111(2-玉)|=111(2-%)|，結(jié)合圖象分析判斷；對(duì)于D,根據(jù)圖象結(jié)合對(duì)稱性分析可得數(shù)列

｛上"2一》3,一1｝是以首項(xiàng)為7,公差為12的等差數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列知識(shí)運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)閂xe(O,3］都有〃6-x)+/(x)=O,所以/(x)關(guān)于(3,0)對(duì)稱,

令x=3,則/(3)+/(3)=0,即/(3)=0.

因?yàn)槎x在［0,+動(dòng)的函數(shù)/(x)滿足/(x+6)=/(x),

所以/(x)的周期為6,作出函數(shù)/(x)在［0,6)內(nèi)的圖象如圖：

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對(duì)于A,/(2023)=/(6x337+1)=/(I)=0,故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,由圖象可知：若數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，則ae(-*-l)U(l,+s),

此時(shí)>=與V=。在［0,6)內(nèi)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

因?yàn)?(x)周期是6,即x.+i-當(dāng)=6,即數(shù)列｛%｝的公差為6,故B正確.

對(duì)于C若2(占+%)=占%2+3，即(2-xJ(2-X2)=1,

可得ln［(2-xJ(2-X2)］=ln(2—xJ+ln(2_X2)=0,貝巾n(2—xj=砥?！?),

即7=與V=。在［0,2)內(nèi)有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，

結(jié)合圖象可得0<a4ln2,故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,若—l<a<lng=—ln2,則7=/(x)與7=。在［0,6)內(nèi)有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，且芭+》2=7,

—XX=

因?yàn)?(X+6)=/(x),貝U(為+1—“31+2)—(%3”2—%3，-1)=+6)—(馬-1+｛3i-2~3i-l),

數(shù)列｛退”2-七一｝是以首項(xiàng)為7,公差為12的等差數(shù)列，

可得》3"2-“31T=7+12(〃-1)=12〃-5,

、〃(7+12〃—5)〃(12〃+2)9

2(%—2+/一)=------%------=----------=6〃’+及，故D正確.

/=122

故選：BD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：應(yīng)用函數(shù)思想確定方程解的個(gè)數(shù)的兩種方法：(1)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)

數(shù)問(wèn)題、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)建不等式(方程)求解；(2)分離參數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題求解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若復(fù)數(shù)z滿足(3+4i)z=2+i(i為虛數(shù)單位)，則目=.

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【答案】—

5

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)模的公式即可得到答案.

（）（）

【詳解】由題意得”一2+i=*2+和i3-毫4i=10=-5i=2歹19.,

則目=2

5

故答案為:

14.已知且tan=3cos2。,則sin2a=

【答案】---

3

【解析】

sin（--a）

【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得一4——二3sin（g-2。），再利用二倍角公式化

cos。、）2

jr|

簡(jiǎn)得出2cos2（二—1）=：,即可求得答案.

43

\sin(>)兀

兀

【詳解】由tana-3cos2。得----------=3cos2a=3sin(——2a),

1cos(￡—o)2

sin(--a)

r4,?/兀、/兀、

即----------=6sm(——a)cos(——a),

cos。-a)44

由于口故7:1713兀71

4-],()),-ae,則sin(——a)w0,

44'T4

1//兀、1

--------------=6cos(——a)口c2/兀、I

故/兀、4，即2cos(—cc)——,

cos(--a)43

][2

則l+cos(四-2a)=—，即l+sin2a=—,即sin2tz=——,

2333

故答案為：

3

15.已知曲線/(%)=&與曲線g(x)=alnx(aeA)相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，則。=

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p

【答案】-

2

【解析】

【分析】可先設(shè)交點(diǎn)為尸(與,為)，利用利用兩函數(shù)在該點(diǎn)處的函數(shù)值和切線斜率相同列方程，可求。的

值.

【詳解】易知：必有。>0.

=QIn/

設(shè)兩曲線的交點(diǎn)為尸(%,%),/'(%)=17=，g'(x)=-(x>0),由題意：<1_a,

““x2[x~-IT

2

兩式相除得：2x0=x0lnx0,?1?x0>0,.-.lnx0=2=>x0=e.

代入，=alnxo得：e=2a

解得a=；.

故答案為：—

2

16.四棱錐尸-48CD的底面/BCD是平行四邊形，點(diǎn)￡、尸分別為尸C、的中點(diǎn)，平面8EF將四棱錐

尸-4BCD分成兩部分的體積分別為匕，匕且滿足匕〉匕，則?=.

7

【答案】y

【解析】

【分析】利用椎體的體積公式求解.

如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G,連接GE交尸。于點(diǎn)"，

因?yàn)榈酌?8C。為平行四邊形，所以與AHB全等,

且△EDG與ABCG相似，相似比為

設(shè)的面積為S,則四邊形BCD廠的面積為3S,

第13頁(yè)/共24頁(yè)

設(shè)點(diǎn)尸到底面ABCD的距離為h,

則*…1x3SxV，

又因?yàn)椤隇槭珻的中點(diǎn),所以/尸”--^C-DFM=/G-DFM,

所以嚓一.6=：5、1%=55%=3/_..,所以/=^-Sh,

32618

所以匕=—MECBFD=—E-BCDF_1~七一DFM二,S'，

157

所以匕=腺一小8—%=-x4Sxh--Sh=-Sh,

所以

7

故答案為：一.

5

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.

17.已知直線4：(m+2)x+叼-6=0和直線?2：mx+v-3=0,其中機(jī)為實(shí)數(shù).

(1)若乙上乙，求〃?的值；

(2)若點(diǎn)尸(1,2加)在直線，2上，直線/過(guò)P點(diǎn)，且在x軸上的截距與在〉軸上的截距互為相反數(shù)，求直

線/的方程.

【答案】(1)加=一3或0

(2)2x-y=0或x-y+1=0.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)垂直得到方程，求出加的值；

(2)將尸(1,2m)代入4中，解得加=1,設(shè)直線/的方程，根據(jù)兩截距相等得到方程，求出左=2或左=1,

得到直線I的方程.

【小問(wèn)1詳解】

由題意得加(加+2)+優(yōu)=0,解得機(jī)=-3或0；

【小問(wèn)2詳解】

由尸(1,2加)在直線4上，得機(jī)+2機(jī)—3=0,解得加=1,可得尸(1,2),

顯然直線I的斜率一定存在且不為0,設(shè)直線I的方程為歹-2=左(》-1),

第14頁(yè)/共24頁(yè)

k-2

令x=0,可得歹二2—左，再令>=0,可得％=----,

k

所以^k——2=一（2—左），解得左=2或左=1,

k

所以直線/的方程為y_2=2（x_l）或y_2=x—l,

即2%-y=0或％-歹+1=0.

4s、

18.在AASC中，角4民。的對(duì)邊分別為。也CQ/BC的面積為S,已知---=<2cos5+abcosA.

tanB

（1）求角5；

q

（2）若b=3,z\4BC的周長(zhǎng)為/,求7的最大值.

77

【答案】18.-

3

19.—

4

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等變換即可求解；

（2）由余弦定理及三角形的面積公式得/=*（a+c-3），再由基本不等式進(jìn)行求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

4s,

因?yàn)?----=acos5+4/6cos^4,

tan5

1

6rrI4x-acsin6cosB

---------------------=才cosB+abcosA'

sin8

即2ccosB=acosB+bcosA,

由正弦定理，得2sinCeos8=sinAcos5+sin5cosA=sin（4+B）,

因?yàn)?+5=萬(wàn)一。，

所以2sinCcosg=sinC,

因?yàn)??！辏?,乃），所以sinCwO,所以cos5=；,

又8e（O,句，所以8=0.

【小問(wèn)2詳解】

第15頁(yè)/共24頁(yè)

由余弦定理，得/=/+/-2QCCOS5，即9=42+02-ac，

-4[--

所以9=(a+c)2—3ac,即ac=—(a+c)2-9,

3__

因?yàn)镾=工acsinB=——ac，/=a+c+3,

24

所以S_Mac_G[(a+c『-9一

I4(a+c+3)12(a+c+3)

所以;=*g+c—3?

又(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào))，

4

所以9=(a+cf—3ac>―；。)(當(dāng)且僅當(dāng)。=c=3時(shí)取等號(hào))，

所以Q+CK6(當(dāng)且僅當(dāng)a-c-3時(shí)取等號(hào))，

所以￡=Yl(a+C—3)<X(6-3)=—(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3時(shí)取等號(hào))，

q河

即2的最大值為之.

I4

19.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體N8CD-￡74汨中，點(diǎn)M是正方體的中心，將四棱錐8CGF繞直

線CG逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0<a<兀)后，得到四棱錐—B'CGF'.

JT

(1)若a=_,求證：平面MCG//平面"5'廣；

2

(2)是否存在a,使得直線四戶'，平面M3C?若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)不存在a,理由見(jiàn)解析

第16頁(yè)/共24頁(yè)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)面面平行的判定定理即可證明結(jié)論；

(2)假設(shè)存在a,使得直線四戶'J.平面建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面平面

cosa-sina=0

的法向量，則求出而它的坐標(biāo)，由而百而可得＜cosa+sina=4,此方程組無(wú)解，即可得出結(jié)

1=2

論.

【小問(wèn)1詳解】

7T

證明：若“二—,則平面。CG"、平面CBR'G為同一個(gè)平面，

2

故W是8族'的中位線，MWMM'//GF',MM'==HF'=GF'.

2

因?yàn)镸M'/1GF',MM'=GF',所以平面四邊形〃M尸'G是平行四邊形，所以MG//MF'.

又MGa平面u平面MB'E',所以MG//平面"5’產(chǎn)

同理//平面8'M戶'，且MGu平面MCG,〃Cu平面MCG,MGnMC=M,

所以，平面MCG//平面產(chǎn).

【小問(wèn)2詳解】

假設(shè)存在a,使得直線四戶',平面M3C.

以C為原點(diǎn)，分別以無(wú)，灰，而為x/，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,0,0),8(2,0,0),M(l,-l,l),故屈=(2,0,0),9=(1,—1,1).

一m-CB=0

設(shè)機(jī)=(x,y,z)是平面的法向量，貝葉__,

"m-CM=0

2x=0一

所以《八，取y=l，得利=(0,1,1)是平面MBC的一個(gè)法向量，

-v+z=0

第17頁(yè)/共24頁(yè)

取CG中點(diǎn)P,BF中點(diǎn)、Q，連接尸。,PAT,

則PM1CG,PQ1CG,PM'工CG.

于是ZMPM'是二面角M-CG-M'的平面角，NMPQ是二面角M-CG-Q的平面角，

7T

ZQPM'是二面角。-CG-M，的平面角，于是ZMPM'=a,ZMPQ=

所以=且CG，平面=

故0cos[a—J5sin[a—,同理P'Qcosaasina,2),

所以河戶'=2cosa—V^cos[a—：；2sina—Visin[a—,

因?yàn)?cosa-Ccos[a—=2cosa-0cosacos：-V^sinasin：=cosa-sina,

2sina-V2sina--\=2sina-V2sintzcos-4-A/2cosasin—=cosa+sina,

I4)44

所以Af戶'=(cosa-sintz,cosa+sina,l).

若直線“嚴(yán)，平面M3C,百是平面的一個(gè)法向量，則雙干/忌.

cosa-sina=0

即存在XeR,使得而冒=如「貝卜cosa+sina=4,此方程組無(wú)解，

1=2

所以，不存在a,使得直線MT'，平面MBC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛是否存在a,使得直線四戶'！,平面，明確點(diǎn)線面的位置關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系

后，關(guān)鍵點(diǎn)在于確定M戶'=2cosa一行cos[a—；：2sina—J^sin]a—￡：1,并結(jié)合三角恒等變換

化簡(jiǎn)，從而結(jié)合向量的共線的坐標(biāo)表示，判斷結(jié)論.

第18頁(yè)/共24頁(yè)

20.設(shè)數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S"，已知q=l,S“+1-2S“=l(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

4Q

(2)若數(shù)列也｝滿足”-------f-----n，數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和為&V〃eN*,都有

(%+1T八%+2

?4

m——m〈T,求加的取值范圍.

3

【答案】(1)勺=21

【解析】

【分析】(1)首先可以根據(jù)已知得到4+2=24+i(〃eN*),其次注意到%=2%,結(jié)合等比數(shù)列的定義

即可求解.

(2)由⑴可知4=2”T,先將數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)得a=2x彳二-十二，從而可求得其

12—12—1J

44

前〃項(xiàng)和為北，若V〃eN*，都有病—§機(jī)<&則只需機(jī)2—§加<(北)皿，研究7；的單調(diào)性即可得到

其最小值，從而解不等式即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

一方面：因?yàn)镾"+1_2s〃=l(〃eN*),所以S〃+2—2S〃M=S,+「2S〃=l(,eN*),

所以S"+2—S〃+1=2(S〃+1—Sj(〃eN*),即4+2=2%+i(〃eN*)；

另一方面：又〃=1時(shí)，有S2—2S]=1,即％—〃]=1,且4=1,

所以此時(shí)生=2%；

結(jié)合以上兩方面以及等比數(shù)列的概念可知數(shù)列｛%｝是首先為q=1,公比為4=2的等比數(shù)列，

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=1x2〃T=2"T.

【小問(wèn)2詳解】

由⑴可知見(jiàn)=2"T,

八_也_2x2"(11)

又由題意"=(%T(-2-1)=(2?-1)(2"+1-1)(―一行I)

第19頁(yè)/共24頁(yè)

數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為

11111f,1

"(21—122-122-123-12"—12n+1-lJI2,,+1-1

44

又V〃CN*，都有機(jī)2-1機(jī)＜&故只需機(jī)J§機(jī)(⑵心，

而乃=2加-1關(guān)于〃單調(diào)遞增，

所以力=不」關(guān)于〃單調(diào)遞減，%=北=2x1-其二關(guān)于"單調(diào)遞增，

2-112-1J

所以當(dāng)〃=1時(shí)，有（（需=7；=2x[l—￡j=g,

44（2V2

因此加2——m＜（^），即加+—（加一2）＜0,解得——＜掰＜2,

3min3\3y3

綜上所述：切的取值范圍為1-g,2；

71

21.在梯形/8C￡（中，AB//CD,NBAD=—,25=2ND=2C￡＞=4,尸為48的中點(diǎn)，線段NC與

3

￡＞尸交于。點(diǎn)（如圖1）.將小。沿NC折起到△/CO位置，使得平面。平面8ZC（如圖2）.

D'

圖1圖2

（1）求二面角8。'—。的余弦值；

（2）線段尸。'上是否存在點(diǎn)°,使得CQ與平面BCD'所成角的正弦值為逅？若存在，求出筆的值;

一8PD'

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）叵

7

PQ1

（2）存在,=

PD'~3

【解析】

第20頁(yè)/共24頁(yè)

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解;

(2)設(shè)網(wǎng)=/LP￡)'(OV4Vl),表示出面，利用向量的夾角公式代入列式，即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

7T

因?yàn)樵谔菪?8CZ)中，ABI/CD,AB=2AD=2CD=4,NBAD=—,尸為48的中點(diǎn)，所以,

3

CD!/PB,CD=PB,

所以是正三角形，四邊形。尸8C為菱形，

可得ZC18C,ACLDP,

而平面DZC,平面氏4C,平面力ZCc平面"4C=/C,

￡>’0u平面￡>'ZC，DOLAC，

二Z)'O_L平面8ZC,所以04,OP,0Z)'兩兩互相垂直,

如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,0P,分別為x,7，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則N(e,0,0),C(-Ao,o),5(-73,2,0),￡>(0,0,1),尸(0,1,0),

.-.I5T=(-73,0,1),=(-273,2,oj,~BB=(V3,-2,1),CD'=(AO,1),

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為加=(x15VpzJ,則

m-AD'=Q-A/SXJ+Z]=0

即《令X]=1,貝I]必=Z]=G,

m-AB=0-2\/3X1+2%—0

m=(1,百,W),

設(shè)平面CBD'的一個(gè)法向量為〃=(》2，%，22)，則

n-BD'=0V3x-2V+z=0i-

即《廠?99，令％2=1，則%=0，z2=-V3,

n-CD'=0

V3X2+Z2=0

n-(1,0,一百卜

三1x1+>/3x0+V3xA/3

m||n|Jl+3+3xJl+3

所以二面角A-BD-C的余弦值為—

7

第21頁(yè)/共24頁(yè)

【小問(wèn)2詳解】

線段。力上存在點(diǎn)Q,使得CQ與平面BCD所成角的正弦值為逅.

8

設(shè)網(wǎng)=/1函(0VXV1),因?yàn)槎?(百,1,0),P~B=(0,-1,1),所以

CQ=CP+PQ=CP+APB=

設(shè)CQ與平面5c所成角為8，則sin0=|cos^C2,。卜百(1_4)

國(guó)“2也%—24+48

即3萬(wàn)—7/1+2=0，解得2=g,

所以線段0?！洗嬖邳c(diǎn)。，且孕=,，使得C。與平面5。萬(wàn)所成角的正弦