人教版八年級數(shù)學(xué)上冊 第十三章 軸對稱（易錯與壓軸專練）（解析版）

第十三章軸對稱（易錯與壓軸專練）

目錄

易錯專練..................................................................................1

【易錯一求等腰三角形的周長時忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯】.........................1

【易錯二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r沒有分類討論產(chǎn)生易錯】........................3

【易錯三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯】..............................5

【易錯四三角形的形狀不明時與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯】....................7

壓軸專練..................................................................................11

【題型一等腰三角形中底邊有中點時，連中線】.............................................11

【題型二等腰三角形中底邊無中點時，作高線】..............................................18

【題型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】......................................24

【題型四共頂點的等邊三角形問題】........................................................29

【題型五共頂點的等腰直角三角形問題】....................................................33

【題型六共頂點的一般等腰三角形問題】....................................................39

易錯專練

【易錯一求等腰三角形的周長時忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯】

例題：已知AABC是等腰三角形，如果它的兩條邊的長分別為8cm和女m,則它的周長為cm.

【答案】19

【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)?shù)妊切蔚难L為3cm,底邊長為8cm時；②當(dāng)?shù)妊切蔚难L為8cm,

底邊長為3cm時，利用三角形的三邊關(guān)系分別求解，即可得到答案.

【詳解】解:①當(dāng)?shù)妊切蔚难L為3cm,底邊長為8cm時，

3+3=6<8,

二不能構(gòu)成三角形；

②當(dāng)?shù)妊切蔚难L為8cm,底邊長為3cm時，

?,-3+8=11>8,

???能構(gòu)成三角形，

AABC的周長為3+8+8=19cm；

綜上所述，AABC的周長為19cm

故答案為：19.

【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，解題關(guān)鍵是掌握三角形任意兩邊之和大于第

三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

【變式訓(xùn)練】

1.若AABC的三邊長分別為10-°,7,6,當(dāng)為等腰三角形時，則。的值為.

【答案】3或4##4或3

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分兩種情況：當(dāng)10-。=6時，當(dāng)10-。=7時，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系檢驗

即可.

【詳解】解：：AABC為等腰三角形，

.?.當(dāng)10—。=6時，

解得。=4,

...三邊長為6,6,7

6+6>7,

符合三角形三邊的條件，

當(dāng)10-。=7時，

解得0=3,

.,.三邊長為7,7,6

V6+7>7,

符合三角形三邊的條件，

二。的值為4和3.

故答案為：4和3.

【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的定義（兩邊相等的三角形），靈活運用所學(xué)知識求解

是解決本題的關(guān)鍵.

2.用一條長為28cm的細(xì)繩圍成一個等腰三角形，已知這個等腰三角形一邊長是另一邊長的1.5倍，則它的

底邊長為cm.

【答案】12或7

【分析】可設(shè)一邊為*m,則另一邊為1.5xcm,然后分x為腰和底兩種情況，表示出周長，解出無，再利用

三角形三邊關(guān)系進(jìn)行驗證即可.

【詳解】解：設(shè)一邊為xcm,則另一邊為L5xcm,

①當(dāng)長為xcm的邊為腰時，此時三角形的三邊長分別為xcm、xcm、1.5xcm,

由題意可歹！J方程：x+x+L5x=28,

解得x=8,

此時三角形的三邊長分別為：8cm、8cm和12cm,滿足三角形三邊之間的關(guān)系，符合題意；

②當(dāng)長為xcm的邊為底時，此時三角形的三邊長分別為：xcm、1.SACHI>1.5xcm,

由題意可歹（J方程：%+1.5x+1.5x=28,

解得：x=7,

此時三角形的三邊長分別為：7cm、10.5cm、10.5cm,滿足三角形的三邊之間的關(guān)系，符合題意；

?*.這個三角形的底邊長為12cm或7cm.

故答案為：12或7.

【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系，分情況討論且進(jìn)行三邊驗證是解題的關(guān)鍵.

【易錯二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r沒有分類討論產(chǎn)生易錯】

例題：等腰三角形的一個角的度數(shù)是36。，則它的底角的度數(shù)是.

【答案】36。或72°

【分析】分36。的角是是底角和頂角的情況分析，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：當(dāng)36。的角是底角時，則底角為36。，

當(dāng)36°的角是頂角時，則底角為：（180。-36°）=72°,

故答案為：36。或72。.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.等腰三角形的一個角比另一個角的2倍少20。，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)是.

【答案】44?；?0?；?40。

【分析】設(shè)另一個角是x,表示出一個角是2x-20。，然后分①尤是頂角，2x-20。是底角，②尤是底角，2x-20°

是頂角，③尤與2%-20。都是底角根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。與等腰三角形兩底角相等列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)另一個角是x,表示出一個角是2x-20。，

①1是頂角，2%-20。是底角時，x+2（2x—20°）=180°,

解得x=44。，

所以，頂角是44。；

②了是底角，2%-20。是頂角時，2x+（2x—20°）—180°,

解得x=50。,

所以，頂角是2x50°-20°=80°；

③x與2龍-20°都是底角時，x=2x-20°,

解得x=20°,

所以，頂角是180°-20°x2=140°；

綜上所述，這個等腰三角形的頂角度數(shù)是44?；?0?；?40。.

故答案為：44。或80?；?40。.

【點睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，難點在于分情況討論，特別是

這兩個角都是底角的情況容易漏掉而導(dǎo)致出錯.

2.在AABC中，AB=AC,的。=100。，點。在邊BC上（不與8、C重合），連接AO,若人45￡＞是等腰

三角形，則的度數(shù)為.

【答案】80。或110。

【分析】在AABC中，^AB=AC,ZS4c=100。，得到NB=NC=（180。-100。）+2=40°,再本艮據(jù)AABD

是等腰三角形及三角形外角公式分類討論即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，

在AABC中，

VAB=AC,ZBAC=100°,

O

：.ZJB=ZC=(180-100°)H-2=40°,

若AABD是等腰三角形，

①當(dāng)=時，

ZB=ZBAD=40°,

ZADC=ZB+ZBAD=80°,

②當(dāng)BA=BD時，

ZBAD=ZBDA,

ABAD=(180°-40°)+2=70°,

ZADC=ZB+ZBAD=110°,

綜上所述80?；?10。.

【點睛】本題考查利用等腰三角形性質(zhì)求角度及三角形內(nèi)外角關(guān)系，解題關(guān)鍵是分析出犯的腰.

【易錯三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯】

例題：已知中，NC=90。，AC=3,BC=4,若AASC沿射線BC方向平移機(jī)個單位得到ADEF,

頂點A,B,C分別與頂點D,E,尸對應(yīng)，若以點A,D,E為頂點的三角形是等腰三角形，則根的值是.

【答案】=25或5或8

8

【分析】%AD=DE,AE=AD=m,/場=DE三種情況進(jìn)行討論求解即可.

【詳解】解：：NC=90。，AC=3,BC=4,

AB=A/32+42=5>

△ABC沿射線8C方向平移m個單位得到JDEF,

AD=BE=CF=m,DE=AB=5,DF=AC=3,EF=BC=4,

點A,D,E為頂點的三角形是等腰三角形時，分三種情況

①當(dāng)?shù)亩r：如圖，此時加=5；

②當(dāng)AE=AD=〃?時：如圖,

在RtAACE中，AE2=AC2+CE2,即：=9+(4—

25

解得：m=—；

O

③當(dāng)時，如圖:

止匕時A￡=A3,

ZACB=90°,

??.BC=CE=4,

m=BE=BC+CE=8；

25

綜上：m=—,5或8；

o

25

故答案為：9或5或8.

o

【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì).根據(jù)題意，準(zhǔn)確的畫圖，利用數(shù)形結(jié)合和

分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=12,D、E分別是邊BC、AB上的動點?將△班見沿直

線。E翻折，使點6的對應(yīng)點g恰好落在邊AC上?若△AEB'是等腰三角形，則的長是.

【答案】6或6夜-6或。

【分析】分三種情況討論：當(dāng)AB'=￡B'時，△AEB'是等腰三角形；當(dāng)=，時，△A￡B'是等腰三角形；

當(dāng)初="￡時，是等腰三角形，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計算，即可得到CB'

的值.

【詳解】解：?.?NC=90。，ZA=30°,AB=6=n,

:.ZB=60°,BC=6,

分三種情況討論：

①如圖所示，當(dāng)點。與點C重合時，NB=NCB'E=60°,

vZA=30°,

:.ZAEB'=30°,

:.ZA=ZAEB',

:.AB'=EB',即△?!￡笈是等腰三角形,

此時，CB'=BC=6；

②如圖所示，當(dāng)=時，夕是等腰三角形,

:.ZAB'E=75°,

由折疊可得，ZDB'E=ZABC=60°,

:.ZDB'C=45°,

又；“=90°,

:.^DCB'是等腰直角三角形，

^CB'=x=DC,貝|BD=6—x=DB',

?.?RtADCB'中，x2+x2=(6-x)2,

解得與=6^^—6,%=—6j^—6(舍去)，

:.CB'=6s/2-6;

③如圖所示，當(dāng)點8,與點C重合時，ZB=ZDCE=60°,

:.ZEB'A=3Q°=ZA,

:.AE=B'E,即△A￡&是等腰三角形，

此時CB'=O,

綜上所述，當(dāng)△?'是等腰三角形時，CB'的值是6或6后-6或0.

故答案為：6或60-6或0.

【點睛】本題主要考查了折疊問題，等腰三角形的性質(zhì)，解一元二次方程以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決

問題的關(guān)鍵是依據(jù)△曲'是等腰三角形，畫出圖形進(jìn)行分類討論，解題時注意方程思想的運用.

【易錯四三角形的形狀不明時與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯】

例題：等腰三角形一腰上的中線把三角形周長分為15和12兩部分，則此三角形的底邊長為（）

A.7B.11C.7或11D.無法確定

【答案】C

【分析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)AD=DC=x,BC=y,然后分兩種情況列出方程組求解，再根據(jù)三角形的

三邊關(guān)系判斷即可求解.

【詳解】解：如圖所示，

根據(jù)等腰三角形的定義和三角形中線的性質(zhì)得：AD=DC=^-AC=^-AB.

22

可設(shè)AD=DC=%,BC=y,

AB=2x.

fx+2x=15fx+2x=12

由題意得：或,

[y+x=112O[y+x=1C5

,[x=5n[x=4

解得：7或

[y=7[y=ii

當(dāng)1r時，即此時等腰三角形的三邊為10,10,7,

[y=7

?.?10+7>10,符合三角形的三邊關(guān)系，

此情況成立；

（尤=4

當(dāng)「時，即此時等腰三角形的三邊為8,8,11,

17=11

?.-8+8>11,符合三角形的三邊關(guān)系，

此情況成立.

綜上可知這個等腰三角形的底邊長是7或11.

故選：C.

【點睛】本題考查三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，三角形中線的性質(zhì).利用分類討論的思想是解題

關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45。，那么這個三角形的頂角為（）

A.45°B.90°C.135°D.135°或45°

【答案】D

【分析】分三角形是銳角三角形時，利用直角三角形兩銳角互余求解；三角形是鈍角三角形時，利用三角

形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解.

【詳解】如圖1，三角形是銳角三角時，

頂角ZA=90°—45°=45°；

,/ZACD=45°,

...頂角ABAC=45°+90°=135°,

綜上所述，頂角等于45?；?35。.

故選：D.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀.

2.在AABC中，AB=AC,8是AB邊上的高，ZACD=30°,則ZB=.

【答案】60°或30。/30。或60°

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出-4的度數(shù)然后再求出的度數(shù)；

【詳解】如圖，當(dāng)8在AABC內(nèi)時

-.?CD1AB

.-.ZA=90°-ZACD=60°

vAB=AC

ZB=ZC=60°

-,-CDLAB

ABAC=90°+ZACD=120°

vAB=AC

【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形的角平分線、中線和高；三角形內(nèi)角和定理及推論此題

難度不大，屬于中等題；

3.在"RC中，AB=AC,AC上的中線8。把三角形的周長分成24和30兩部分，則底邊2C的長為.

【答案】22或14

【分析】分兩種情況：AB+AD=24；AB+AD=30,可得AB的長，再由另一部周長即可求得底邊3c的

長.

【詳解】解：由題意得：AD=CD

:.AB=AC^2AD；

當(dāng)AB+4)=24時，

即2AD+AD=24,

:.AD=8,

BC+CD=30,

.'.BC=30-CD=30-8=22；

當(dāng)AB+AD=30時，

即2AD+AD=30,

.-.AD=10,

?/BC+CD=24,

.?.BC=24-CD=24-10=14；

綜上，底邊的長為22或14；

故答案為：22或14.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，中線的含義，涉及分類討論.

壓軸專練

【題型一等腰三角形中底邊有中點時，連中線】

例題：已知，在AABC中，NACB=90。，AC=BC,點M是A3的中點，作/DME=90。，使得射線“。與

射線ME分別交射線AC,CB于點、D,E.

（1）如圖1,當(dāng)點。在線段AC上時，線段與線段ME1的數(shù)量關(guān)系是；

（2）如圖2,當(dāng)點。在線段AC的延長線上時，用等式表示線段CD,CE和3c之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

【答案】（1）A/D=ME；

Q）CE=CD+BC,理由見解析.

【分析】（1）連接CM,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得。0=MB,/4。/=々，根據(jù)/次位=90?？赏茖?dǎo)

ZCMD=ZBME,進(jìn)而證明△CMD四△BME,即可得到線段與線段ME的數(shù)量關(guān)系；

（2）連接CM,利用（1）中的證明思路，再次證明△CMD/證得CD=BE,即可利用等量代換

得到CE=CD+3C.

【詳解】（1）解：連接CM,

VZACB=90°fAC=BC,點M是AB的中點

：.CM=AM=MB,且CM平分/ACS,ZA=ZB=45°

ZACM=ZBCM=45°=ZB,NCMB=90。,

XVZZ)ME=90°

:.ZCMB-ZCME=ZDME-ZCME

：.ZCMD=ZBME

；?ACMDmABME(ASA)

：-MD=ME.

(2)CE=CD+BC,理由如下：

連接CM,

由(1)可知：CM=BM,ZACM=ZABC=45°,ZCMD=ZBME

：.ZDCM=ZEBM=135°

在ACMD和^BME中,

ZCMD=ZBME

<CM=BM

ZDCM=ZEBM

：?ACMD沿LBME(ASA)

:.CD=BE

?:CE=BC+BE

：.CE=CD+BC.

【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解決問

題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖1,在RtZXABC中，ZC=90°,AC=BC,點尸是斜邊A2的中點，點。，E分別在邊AC,3c上,

連接若PD_LPE.

⑴求證：PD=PE-,

（2）若點。，E分別在邊AC,CB的延長線上，如圖2,其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？并加以證明；

（3）在（1）或（2）的條件下，△P3E是否能成為等腰三角形？若能，請直接寫出NPEB的度數(shù)（不用說理）；

若不能，請說明理由.

【答案】（1）見解析

（2）成立，見解析

（3）能成為等腰三角形，此時ZPEB的度數(shù)為22.5?；?7.5。或90°或45°

【分析】（1）連接尸C,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NDCP=45。=NB,從而得到CP=3P,再由PD，PE,

可得NDPC=NEPB,可證得△DPC/,即可求證；

（2）連接尸C,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NECP=45o=N4BC=NA=NACP,從而得到CP=AP,

再由：Pr>_LPE,CP_LAB,可得ZAPD=NCPE,可證得△APD絲△0>￡r,即可；

（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分四種情況討論，即可求解.

【詳解】（1）明：連接PC,

,/ZACB=90°,AC=BC,

ZA=ZB=45°,

??,尸為斜邊AB的中點,

???CPLAB,

：.ZDCP=45°=ZB,

：?CP=BP,

PDLPE,

:./DPC+NCPE=/CPE+/EPB=90°,

???ZDPC=ZEPB9

在△。尸。和AEPB中,

/DCP=/B

<PC=PB,

ZDPC=ZEPB

：.ADPC^AEPB(ASA),

:.PD=PE；

(2)解：PD=PE仍成立,理由如下：

連接CP,

???ZC=90°,AC=BCf

：.ZA=ZABC=45°,

TP為斜邊AB的中點，

CP±AB,

：.ZECP=45°=ZABC=ZA=ZACP,

：.CP=AP,

又???PD±PE,CP±AB,

:?NDPE=NCPA=90。,

：.ZDPE+ZCPD=ZCPA+Z.CPD,

ZAPD=ZCPE9

在和△CPE中,

ZPAD=ZPCE

<PC=PA,

ZAPD=/CPE

：.AAPD名Z\C尸￡(ASA),

PD=PE；

(3)解：班能成為等腰三角形，

①當(dāng)班1二成，點E在C6的延長線上時，則N￡=NBPE,

又?:NE+NBPE=NABC=45。,

：.NPEB=22.5。；

②當(dāng)郎=族，點E在CB上時，則NP硬=N5尸石=g（180?！?5。）=67.5。；

③當(dāng)EP=EB時，則N5=N5尸￡=45。,

JZPEB=180°-ZB-Z.BPE=90°；

④當(dāng)中=依，點￡和。重合,

：.ZPEB=ZB=45°；

綜上所述，△P3E能成為等腰三角形，NPEB的度數(shù)為22.5?；?7.5?；?0?；?5。.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，全

等三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

2.在Rt^ABC中，AC=BC,ZACB=90°,點。為A3的中點.

(1)若NEO產(chǎn)=90。，兩邊分別交AC,BC于E,尸兩點.

①如圖1,當(dāng)點E,尸分別在邊AC和8C上時，求證：OE=OF-

②如圖2,當(dāng)點E,尸分別在AC和CB的延長線上時，連接收，若。石=6,則凡￡。尸=.

(2)如圖3,若NEC4=45。，兩邊分別交邊AC于E,交8C的延長線于E連接屈F,若CF=3,EF=5,試

求AE的長.

【答案】(1)①見解析；②18

(2)2

【分析】(1)①由“ASA”可證zMOE四△<%>下,可得OE=O尸；

②由“ASA”可證ACOEgABO尸，可得06=0尸=6,即可求解；

(2)由“ASA”可證ACOB絲AAOH,可得CF=AH=3,OF=OH,由“SAS”可證AEO尸絲AEOH,可得

EF=EH=5,即可求解.

【詳解】(1)①證明：如圖1,連接OC,

C

F

E

AOB

圖1

VAC=BC,ZACB=9Q°,

???N=NB=45。.

??,點。為A5的中點，

???ZAOC=ZEOF=90°,

???AAOC和EOC是等腰直角三角形,

???AO=CO=BO,

：.ZAOE=ZCOF,

：.^AOE^COF(ASA),

OE=OF；

②解：如圖2,連接OC,

同理可證：AO=CO=BO,ZABC=ZACO=45°,

：.ZOCE=ZOBF=135°,

???ZAOC=ZEOF=9Q°,

：.ZCOE=ZBOF,

：.ACOE、BOF(ASA),

：.OE=OF=6,

S^EOF=18,

故答案為：18；

(2)解：如圖3,連接CO,過點。作交C4的延長線于點H,

VAC=BC,NACB=90。，點。為AN的中點，

AO=CO=BO,ZAOC=ZFOH=90°,ABAC=ABCO=45°,

.ACOF=AAOH/OCF=ZOAH=135。，

ACOF^AAOH(ASA),

CF=AH=3,OF=OH,

?.,/EOF=45°,ZFOH=90°,

???ZEOF=ZEOH=45。,

又?.?OF=OH,EO=EO,

：.小EOF%EOH(SAS),

：.EF=EH=5,

：..AE=EH-AH=2.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形

是解題的關(guān)鍵.

【題型二等腰三角形中底邊無中點時，作高線】

例題：如圖，已知點。、E在△A3C的邊5C上，AB=AC,AD=AE.

(1)求證：BD=CE；

(2)若AD=BD=DE=CE,求NA4E的度數(shù).

【答案】(1)見解析；

(2)90°.

【分析】(1)作于點尸，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到3E=CRDF=EF,相減后即可得到

正確的結(jié)論.

(2)根據(jù)等邊三角形的判定得到AAOE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及角

的和差關(guān)系即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，過點A作AFLBC于足

BDFEC

"：AB=AC,AD=AE.

:.BF=CF,DF=EF,

：.BD=CE.

(2)解：'JAD^DE^AE,

△ADE是等邊三角形，

ZDAE^ZADE^60°.

"：AD=BD,

：.ZDAB^ZDBA.

：.ZDAB=-ZADE^?>00.

2

ZBAE=ZBAD+ZDAE=90°.

【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì),

等腰三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，AADB與△BC4均為等腰三角形，AD=AB^CB,且NABC=90。，E為03延長線上一點，

NDAB=2NEAC.

⑴若ZEAC=20。，求ZCBE的度數(shù)；

(2)求證：AEA.EC；

(3)^BE=a,AE=b,CE=c,求AABC的面積(用含。，b,c的式子表小).

【答案】(1)20。

(2)見解析

1,1

(3)—crH—be

22

【分析】(1)先，是等腰三角形性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理求出ND=NDB4=70。，即可由

/CBE=180°-NDBA—ZABC求解；

(2)過點A作AF1DE于點F,過點C作CGLOE于點G,證明△BAF=△CBG(AAS),得出AF=3G,

BF=CG,進(jìn)而求得NA￡F=NACB=45。，/CEG=ZAEF=45。,即可得出NAEC=90。，從而得出結(jié)論;

(3)由(2)可知CG=3尸，AF=EF,從而有CG=BF=EF-BE=AF-BE,再根據(jù)

S^ABC=$4謝+S^AELS^BEC，則有5AABC=5BE?AF+—AE-EC--BE-CG

=^BE(AF-CG)+^AEEC=^BEBE+^AEECf即可求角軋

【詳解】(1)解：VZJE4C=20°,ZDAB=2/EAC,

：.ZBAD=4Q°,

AD=AB,

：.ZD=/DBA=I(180°-ZBAD)=g(180?！?0。)=70°,

又丁ZABC=90°,

：.ZCBE=180°-70°-90°=20°.

(2)證明：過點A作”1龐于點尸，過點。作CGLOE于點G,

JZAFB=ZABC=ZCGB=90°,

又?「AD=AB=CBf

：.ABAC=ZACB=45°,ZFAB=-ZDAB=ZCAE,

2

ZFAB+ZFBA=ZFBA+ZCBG=90°,

:.ZFAB=ZCBG=ZCAE,

ZBAF=ZCBG

：.在/和KBG中，＜NAFB=ZCGB,

AB=BC

：.ABAF學(xué)ACBG(AAS),

AAF=BG,BF=CG,

NCBG=NCAE,

設(shè)A石、BC交于點O,則NAEF=180?！狽CBG—NBQE

ZACB=180?！猌CAE-ZAOC

又/BOE=ZAOC,

：.ZAEF=ZACB=45°,

:?AF=EF=BG,BF=CG,

：?BF=EG=CG,

：.ZCEG=ZAEF=45°f

：.ZAEC=90°,

：.AE.LEC.

(3)解：由(2)可知CG=5尸，AF=EF,

：.CG=BF=EF—BE=AF—BE,

?S/\ABC=SNEB+^AA￡C-^^BEC，

:?S^ABC=^BEAF+^AEEC-^BECG.

=-BE(AF-CG]+-AEEC=-BEBE+-AEEC=-a2+-bc.

2v722222

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，三角形外角性質(zhì),

全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積，屬三角形綜合題目，難度適中.

2.已知在AABC中，AB=AC,且NBAC=a.作△ACD,使得AC=CD.

(1)如圖1,若/ACD與/B4C互余，則N0C5=(用含。的代數(shù)式表示);

(2)如圖2,若/ACD與—BAC互補(bǔ)，過點C作CHJ_AD于點H,求證：CH=；BC；

⑶若由AABC與AACD的面積相等，則/4CD與/BAC滿足什么關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論數(shù).

【答案】⑴9；

(2)見解析；

(3)/ACD與NBAC相等或互補(bǔ)

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形兩底角相等得/AC3=90。-ga,根據(jù)，ACD與/54C互余得

ZACD=90?！猘,由ZBCD=ZACB-ZACD即可求出ZDCB的度數(shù)；

(2)作AE_L8C,根據(jù)AAS證明△AECZAAHC,則CH=CE,由等腰三角形三線合一可得CE=ggC,因

止匕。/=12C’問題得證；

(3)由^ABC與AACD的面積相等得高相等.情況①：作DE1AC于E,BFJ.AC于F，根據(jù)HL可得ADEC0

NBFA,則可得/ACD=-54C；情況②:AACD是鈍角三角形，作3GLAC于G,作DN垂直于AC的延

長線于N,根據(jù)應(yīng)可得AABG之△CDN,則可得N54C=NOOV,由于4XW與/ACD互補(bǔ)，因此/R4C

與/4券互補(bǔ).

【詳解】(1)解：:△ABC中，AB=AC,且NBAC=a,

ZACB=ZABC=1(180°-a)=90。一；a

ZACD+ZBAC=90°

ZACD=90°-Z.BAC=90°-a

ZBCD=ZACB-ZACD

=(90°-1a)-(90°-a)

如圖，過A點作AE_L8C于E點,

??,AABC中，AB^AC,AE±BC,

ZAEC=9Q°,EC=-BC,

2

AACD中C4=CD,J_AD,

ZAHC=90°,ZACH=ZDCH=-ZACD,

2

ZAEC=ZAHC,

AB=AC,ZBAC=a,

NACB=ZB=1(180°-ABAC)

=^(180°-(z)

=90°--a

2

ZACD+Z&4C=180°

ZACD=180°-ABAC=180°-?

ZACH=gZACZ)=g(180。-a)=90。-ga

ZACB^ZACH.

在AACE和AACH中，ZAEC=ZAHC,ZACB=ZACH,AC=AC,

：.AACE^AACH(AAS),

：.CH=CE,

：.CH=-BC.

2

①如圖，作OE1AC于E,3尸人AC于尸，

,//RC與AACD的面積相等，

，DE=BF,

XVZDEC=ZBFA=9Q°,DC=AB

ADEOBFA(HL)

：.ZDCE=ZBAF

即/AC。=々AC

A

②如圖，作BGLAC于G,作。N垂直于AC的延長線于N.

則/3G4="NC=90。.

VAB^AC,AC^CD,

：.AB=CD,

AABC與AACD的面積相等，

BG=DN.

：.AABGgMDN.

：.NBAG=/DCN.

ZACD+ZDCN=180°,

：.ZACD+ABAC=180°,

綜上，/ACD與/BAC相等或互補(bǔ).

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，同底等高的兩個三角形面積相等,

綜合能力較強(qiáng)，有一定難度.熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

【題型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】

方法點撥：如圖，AABC中，AD

平分NBAC,ADJ_BC,由“ASA”

易得△ABD里△ACD，從而得

AB=AC,BD=CD.即一邊上的高與這邊所對的角平

分線重合，易得這個三角形是等腰三角形.

例題：如圖，在AABC中，AD平分/54C,E是BC的中點，過點E作FG_LAD交AD的延長線于//,交

A3于尸，交AC的延長線于G.

求證：

⑴AF=AG；

⑵BF=CG.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)ASA證明會A4HG,即可得出AF=AG；

（2）過點C作CM〃回交FG于點"，由四可得NAF"=NG,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

ZCMG=ZAFH,可得NQWG=NG,進(jìn)而得出。0=CG,再根據(jù)據(jù)ASA證明△班尸也△CEM,得出

BF=CM,等量代換即可得到防=CG.

【詳解】（1）證明：TAD平分/BAC,

：.ZFAH=ZGAH,

「FG1AH,

：.ZAHF=ZAHG=90°,

ZFAH=NGAH

在△AHF和△AHG中，\AH=AH,

ZAHF=ZAHG

：.^AHF^AAWG(ASA),

：.AF=AG；

(2)證明：過點C作CM〃回交FG于點M,

,?AAHF"JHG,

???ZAFH=ZGf

*：CM//AB,

：.ZCMG=ZAFH,

：.ZCMG=ZG,

:,CM=CG,

???E是3C的中點,

BE=CE,

'：CM//AB,

：.ZB=ZECM,

ZB=ZECM

在ABEF和ACEM中，＜BE=CE

ZBEF=NCEM

：.ABEF%CEM(ASA),

BF=CM,

：.BF=CG.

【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊，平行線的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理、

性質(zhì)定理及作出合適的輔助線是解此題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖：

圖4

(1)【問題情境】

利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1,0P平分NMON.點A為上一點，過點A作AC，OP,

垂足為C,延長AC交ON于點8,可根據(jù)證明△AOCHBOC,則AO=BO,AC=(即點C為AB

的中點).

⑵【類比解答】

如圖2,在AABC中，。平分/ACB,A￡，CD于E,若NK4c=63。，4=37。，通過上述構(gòu)造全等的

辦法，可求得NZME=.

(3)【拓展延伸】

如圖3,AASC中，AB=AC,ABAC^90°,8平分NACB,BELCD,垂足E在。的延長線上，試探

究班和CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(4)【實際應(yīng)用】

如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中AC邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)

行水稻試驗，故進(jìn)行如下操作：①用量角器取NACB的角平分線8；②過點A作ADJLCD于D已知

3c=13,AC=10,URC面積為20,則劃出的AACD的面積是多少？請直接寫出答案.

【答案】⑴ASA

(2)26°

(3)B￡=1C￡>,證明見解析

(4)AACD的面積是詈

【分析】(1)ffiAAOC^ABOC(ASA),得AO=BO,AC=BC即可；

(2)延長AE交BC于點R由問題情境可知，AC=FC,再由等腰三角形的性質(zhì)得=4c=63。，

然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(3)拓展延伸延長BE、C4交于點R證人鉆尸四△ACD(ASA),得BF=CD,再由問題情境可知，

BE=FE=~BF,即可得出結(jié)論；

(4)實際應(yīng)用延長AD交BC于E,由問題情境可知，AD=ED,EC=AC=1。，則S/8=￡ECD，再由三

角形面積關(guān)系得S，ACE=TS.C=*，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：平分NMON,

ZAOC=NBOC,

'：AC±OP,

：.ZACO=ZBCO,

*：OC=OC,

：.AAOC^ABOC(ASA),

AAO=BO,AC=BC,

故答案為：ASA；

(2)解：如圖2,延長A石交3c于點R

???ZEFC=ZEAC=63°,

丁NEFC=NB+NDAE,

：.ZDAE=ZEFC-ZB=63°-37°=26°,

故答案為：26°；

圖3

如圖3,延長跖、C4交于點死

貝INR4F=180。一NBAC=90。，

■:BELCD,

：.ZBED=90°=ZBAC,

■:ZBDC=ZABF+/BED=ZACD+NBAC,

：.ZABF=ZACD,

XVAB=AC,

AAABF^AACD(ASA),

:.BF=CD,

由問題情境可知，BE=FE=：BF,

：.BE=-CD；

2

(4)解：如圖4,延長AD交8C于E,

圖4

由問題情境可知，AD=ED,EC=AC=10,

?q―q

,?°AACD一°AECD，

=2°，

,q_10_200

?,、AACE-石-]3，

.Q_lc-122

D

,?DAACD_2AACE-]3，

答：△ACD的面積是詈.

【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性

質(zhì)、角平分線定義以及三角形面積等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等

是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

【題型四共頂點的等邊三角形問題】

跑翹窗呼如圖，△ABC和ACDE為等邊三角形，則:

根據(jù)SAS可得△ACD&ABCE,/AOB=60°,△MCN

為等邊三角形.

ABACEAcAIc

EJ

例題：如圖所示，AABC和AAOE都是等邊三角形，且點2、4E在同一直線上，連接交AC于

連接CE交4。于N,連接MN.

D

/^\

BE

A

⑴求證：BD=CE-

(2)求證：bABM^AACN；

(3)求證：AAMN是等邊三角形.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)由已知條件等邊三角形，可知AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,進(jìn)一步求證/BAD=NC4E,

從而△A8￡>g^ACE(SAS),所以BD=CE.

(2)由(1)知△A3。絲△ACE,得NABM=NCAN,由點8、A、E共線，得/。4"=60。=/氏4。，進(jìn)一步求證

△ABM^AACN(ASA).

(3)由AABM四△ACN,得AM=AN,而NC/W=60。，所以△AMN是等邊三角形.

【詳解】⑴:△ABC和△ADE都是等邊三角形，

：.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

：.ZBAD=ZCAE.

AB=AC

在△ABD和△ACE中，ZBAD=ZCAE

AD=AE

AABD^AACE(SAS),

：.BD=CE.

(2)由(1)知△AB。絲△ACE,

ZABM=ZACN.

；點B、A、E在同一直線上，且/B4C=/ZME=60。，

二ZCAN=6Q°=ZBAC.

ZBAM=KAN

在AABM和AACN中，\AB=AC

ZABM=ZACN

：.AABM^AACMASA).

(3)由(2)知△ABM取ZkACN,

：.AM=AN,

ZCAN=60°,

△AMN是等邊三角形.

【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形判定和性質(zhì)；將等邊三角形的條件轉(zhuǎn)化為相

等線段和等角，選擇合適的方法判定三角形全等是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，點C為線段A3上一點，△D4C、AECB都是等邊三角形，AE.DC交于點DB、EC交于

點N,DB、AE交于點尸，連接下列說法正確的個數(shù)有個.

①)MN〃AB；②/DPM=60°；③ZDAP=NPEC；④AACM9ADCN；⑤若/￡)跳：=30°,則NAEB=90。.

【答案】①②③④⑤

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC=CD,BC=CE,ZACD=ZBCE=60°,得到ZACE=NBCE,

NZXE=60。，根據(jù)平行線的判定定理得到AD〃CE,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NZMP=NPEC,故③正確；

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到=根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到皿>M=ZACM=60。，故②正確，推

出△ACM/故④正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CM=CW,得到ACMN是等邊三角形，求得

ZCMN=60°,根據(jù)平行線的判定定理得到M7V〃AB,故①正確；根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到NAEB=90。.故

⑤正確.

【詳解】解：???△ZMC、AECB都是等邊三角形，

:.AC^CD,BC=CE,ZACD=NBCE=60°,

:.ZADC=ZDCE=GO0,

.-.ZACE=ZBCD,NDCE=60°,

:.AD//CE,

:.ZDAP=ZPEC,故③正確；

在aACE與"CD中，

AC=CD

<NACE=ZBCD,

CE=CB

AACE^ABCD(SAS),

:.NCAE=NCDB,

?;NPMD=ZAMC,

:.ZDPM=ZACM=600,故②正確，

在ZXACM與ADCN中，

ZCAM=NCDN

<ACCD,

ZACM=NDCN=60°

:.AACMMQCN,故④正確；

CM=CN,

.?.△CWN是等邊三角形，

:.ZCMN=60°,

:.ZCMN=ZACD,

:.MN//AB,故①正確；

?;NDBE=30°,ZBPE=ZAPD=60°,

:.ZAEB=90°.故⑤正確；

故答案為：①②③④⑤.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握全等三角形

的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，C為線段AE上一動點（不與點A,E重合），在AE同側(cè)分別作等邊AABC和等邊ACDE,AD與BE

交于點。，AD與BC交于點P,3E與CD交于點。，連結(jié)PQ.

（2）ACP。為等邊三角形；

【答案】（1）見解析；

（2）見解析.

【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可知AC=3C,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,從而可求出

ZACD=NBCE,即可利用“SAS”證明△ADC絲ABEC,即得出AD=BE；

(2)由等邊三角形的性質(zhì)可知NACB=NDCE=60。，AC=BC,即可求證NAC尸=N3CQ=60。.再根據(jù)

△ADC四△班C可得出NC4P=NC3Q,利用“ASA”證明△APC之△BQC,據(jù)此即可證明結(jié)論成立.

【詳解】(1)證明：。和△CD￡都是等邊三角形，

AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

???ZACD=ZACB+/BCD,/BCE=ZDCE+/BCD,

:,NACD=NBCE,

AC=BC

：.<ZACD=NBCE,

CD=CE

AADC之ABEC(SAS),

.,.AD=BE；

(2)證明：?「△ABC和△(%)￡是等邊三角形，

.\ZACB=ZDCE=60°,AC=BC,

：.ZBCQ=180。—ZACP-ZECD=60°,

???ZACP=ZBCQ=60°.

???△ADC/

.??ZCAP=ZCBQ.

ZCAP=ZCBQ

:.\AC=BC

ZACP=ZBCQ

：.AAPC絲△BQC(ASA).

/.CP=CQ,

又：ZPCQ=6Q0,

???ACPQ為等邊三角形.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握全等三角形的判定條件是解題

關(guān)鍵.

【題型五共頂點的等腰直角三角形問題】

方法點撥'如圖，△ABC和△DCE均為等腰直角三

角形，則根據(jù)SAS可得

例題：如圖，AABC和△￡>(?￡都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°.

圖1圖2備用圖

(1)【猜想上如圖1,點E在BC上，點。在AC上，線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是

(2)【探究】：把△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接A￡),BE,(1)中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；

(3)【拓展】：把ADCE繞點C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AC=5,CE=26，當(dāng)A,E,。三點在同一直線上

時，則AE的長是.

【答案】(1)3E=AD,BELAD

(2)成立，理由見解析

(3)>/21+2^>/21-2

【分析】(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AC=3C,EC=OC,再作差，得出3E=AD,再用NACB=90。，

即可得出結(jié)論;

(2)先由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)得出/3CE=NAC￡>,進(jìn)而判斷出VBCE絲VACD(SAS),得出郎=AD,

ZCAD=ZCBE,AC與