線段、射線、直線重難點題型直線（16大題型）（解析版）

專題19線段、射線、直線重難點題型專訓(xùn)（16大題型）

旨【題型目錄】

題型一直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別

題型二畫出直線、射線、線段

題型三點與線的位置關(guān)系

題型四直線、線段、射線的數(shù)量問題

題型五直線相交的交點個數(shù)問題

題型六線段的應(yīng)用

題型七兩點確定一條直線

題型八尺規(guī)作圖（作線段）

題型九線段的和與差問題

題型十線段中點的有關(guān)計算

題型十一線段n等分點的有關(guān)計算

題型十二線段之間的數(shù)量關(guān)系

題型十三與線段有關(guān)的動點問題

題型十四兩點之間線段最短

題型十五兩點間的距離

題型十六最短路徑問題

【知識梳理】

知識點一：線段、射線、直線

1.直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系

類別、\直線射線

圖形AB'AB1ABS

①表示兩端點的兩

①兩個大寫字母；兩個大寫字母，表示

表示方法個大寫字母;②一個

②一個小寫字母端熹的字母在前

小寫字母

端點個數(shù)無1個2個

延伸性向兩方無限延伸向一方無限延伸不可延伸

性質(zhì)兩點確定一條JL段兩點之間，政段最短

度-不可以不可以可以

作圖敘述過4、8作直線48以4為端點作射線48連接48

2.基本性質(zhì)

（1）直線的性質(zhì):兩點確定一條直線.（2）線段的性質(zhì):兩點之間，線段最短.

要點詮釋：

①本知識點可用來解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個木條，只要兩個釘子就可以了，因為如果

把木條看作一條直線，那么兩點可確定一條直線.

②連接兩點間的線段的長度，叫做兩點間的距離.

3.畫一條線段等于已知線段

(1)度量法：可用直尺先量出線段的長度，再畫一條等于這個長度的線段.

(2)用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=a,如下圖：

4.線段的比較與運算

(1)線段的比較：

比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.

(2)線段的和與差:

如下圖，有AB+BC=AC,或AC=a+b；AD=AB-BD?

aAaBbc

bADB

(3)線段的中點：

把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點.如下圖，有：AM=MB=-AB

2

9-------O---------?

AMB

要點詮釋：

①線段中點的等價表述：如上圖，點M在線段上，且有幺〃=!48,則點M為線段AB的中點.

2

②除線段的中點(即二等分點)外，類似的還有線段的三等分點、四等分點等.如下圖，點此N,P均為線

段AB的四等分點.

?????

AMNPB

AM=MN=NP=PB=-AB

4

1經(jīng)典題型一直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別】

i.下列說法正確的個數(shù)為()

①直線上有三個點A、B、C,若線段A8=28C,則點C是線段48的中點;

②兩點之間線段的長度叫做兩點間的距離;

③兩點之間的所有連線中，線段最短；

④射線48和射線8/表示同一條射線.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)線段中點的定義，兩點間距離，線段的性質(zhì)，射線的性質(zhì)，逐一進行判斷即可得到答案.

【詳解】解：①當點C在線段的延長線上時，點C不是線段43的中點，不符合題意；

②兩點之間線段的長度叫做兩點間的距離，符合題意；

③兩點之間的所有連線中，線段最短，符合題意：

④射線48和射線A4不表示同一條射線，不符合題意，

綜上分析可知，說法正確的個數(shù)為2,故B正確.

故選：B.

【點睛】本題考查了線段中點的定義，兩點間距離，線段的性質(zhì)，射線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解

題關(guān)鍵.

2.下列說法正確的是（）

A.直線比射線長B.射線。4就是射線/O

C.延長線段48就是延長線段9D.射線只有一個端點

【答案】D

【分析】根據(jù)直線、射線、線段的定義以及表示方法，分別對選項進行判斷即可.

【詳解】解：A.直線與射線不能比較長短，本選項錯誤，故不符合題意；

B.射線04和射線不是同一條射線，本選項錯誤，故不符合題意；

C.延長線段45就是反向延長線段A4,本選項錯誤，故不符合題意；

D.射線只有一個端點，本選項正確，故符合題意，

故選：D.

【點睛】本題考查了直線、射線、線段的定義以及表示方法，解題的關(guān)鍵是掌握直線、射線、線段的定義

以及表示方法.

3.通過畫圖嘗試，我們發(fā)現(xiàn)了如下的規(guī)律：若在直線上有10個不同的點，則此圖中共有一條線段.

圖形直線上點的個數(shù)共有線段條數(shù)

1_________121

m.n?

J1f33

m.mn

J?cfl46

111_________________1_________________1

ARCDE510

【答案】45

【分析】根據(jù)規(guī)律列式計算即可.

【詳解】解：由圖可知：2個點時：1=1,

3個點時：3=2+1,

4個點時：6=3+2+1,

5個點時：10=4+3+2+1,

10個點時：線段數(shù)=9+8+7+6+5+4+3+2+1=45.

故答案為：45.

【點睛】本題考查直線、射線、線段以及圖形的規(guī)律，掌握“直線上點的個數(shù)''與"共有線段的條數(shù)”的變化規(guī)

律是正確解答的關(guān)鍵.

4.如圖，觀察圖形后，小明得出下列結(jié)論：①直線AB與直線BA是同一條直線；②射線AC與射線AD

是同一條射線③AC+BOAB;④三條直線兩兩相交時，一定有三個交點.其中正確的結(jié)論有（填

【答案】①②③

【分析】根據(jù)直線、射線、線段的表示方法以及兩點之間線段最短進行判斷即可.

【詳解】①直線AB和直線BA是同一條直線，正確；

②射線AC和射線AD是同一條射線，都是以A為端點，同一方向的射線，正確;

③由“兩點之間線段最短”知，AC+BOAB,故此說法正確；

④三條直線兩兩相交時，一定有三個交點，錯誤，也可能只有一個交點，

故答案為①②③.

【點睛】本題考查了直線、射線、線段的表示方法以及線段的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，如果直線/上依次有3個點/、B、C,那么

~ABC-1

（1）在直線/上共有多少射線？多少條線段？

（2）在直線/上增加一個點，共增加了多少條射線？多少條線段？

（3）如果在直線/上增加到"個點，則共有多少條射線？多少條線段？

【答案】（1）6,3；（2）2,3；（3）\n（?-1）條.

【分析】（1）一個直線上的每一個點對應(yīng)兩條射線，可求出射線的條數(shù)，分別以/、8為起點可查找出線段

的條數(shù).

（2）根據(jù)分析（1）可得出答案.

（3）根據(jù)（1）（2）可得出增加一個點后增加的射線條數(shù)及線段條數(shù)，由特殊到一般總結(jié)即可得出答案.

【詳解】解：（1）以4B,C為端點的射線各自有2條，因而共有射線6條，

線段有：AB,AC,BC,共有線段3條.

（2）由分析得：增加一個點增加2條射線，增加3條線段.

（3）由分析（1）可得共有2〃條射線，線段的總條數(shù)是:條.

4【經(jīng)典題型二畫出直線、射線、線段】

1.已知平面上B,C三點，過每兩點畫一條直線，那么直線的條數(shù)有（）

A.3條B.1條C.1條或3條D.0條

【答案】C

【分析】根據(jù)/、2、C三點的不同位置分類討論即可得出結(jié)果.

【詳解】解：當/、B,C三點在同一直線上時，如圖1所示，過每兩點畫一條直線，只能畫1條直線，

ABC

圖1

當/、2、。三點不在同一直線上時，如圖2所示，過每兩點畫一條直線，可以畫3條直線,

c

A

圖2\

故選：C.

【點睛】本題主要考查了直線，利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

2.下列說法正確的是（）

A.直線和直線A4表示同一條直線B.過一點P只能作一條直線

C.射線和射線A4表示同一條射線D.射線。比直線6短

【答案】A

【分析】根據(jù)直線和射線的表示方法，和過一點可以做無數(shù)條直線，依次判斷/、C、B,再利用射線與直

線不能進行長短的比較判斷。即可.

【詳解】解：A、直線可以用兩個大寫字母來表示，且直線沒有方向，所以48和8/是表示同一條直線；

故A正確.

B、過一點尸可以作無數(shù)條直線；故B錯誤.

C、射線和射線切，端點不同，方向相反，故射線42和射線A4表示不同的射線；故C錯誤.

D、射線和直線不能進行長短的比較：故D錯誤.

故選：A.

【點睛】本題考查了直線，射線的表示方法以及射線和直線的性質(zhì)，關(guān)鍵是要能夠區(qū)分直線與射線的不同

點.

3.如圖，點C為直線外一點，作射線4C,連接2C.則圖中共含有射線條.

【答案】6

【分析】根據(jù)射線的定義進行判斷，即可得到射線的條數(shù).

【詳解】由圖可得，圖中共含有射線6條：以A為端點的射線有3條，以B為端點的射線有2條，以C為

端點的射線有1條.

故答案為6.

【點睛】本題需要考查了射線的概念，解題時注意：射線只有一個端點，向一個方向無限延伸.

4.如圖，已知線段a,6,根據(jù)下列步驟，依次畫圖

b

OBCADP

①作出射線。尸；

②在射線。上依次截取OB=BC==a；

③在線段。。上截取=b

則長為3a-6的線段是

【答案】CD/DCDA/ADOA/AO

【分析】利用基本作圖畫出對應(yīng)的幾何圖形，即可得出答案.

【詳解】①作出射線。尸；

②在射線OP上依次截取OB=BC=CD=a-.

③在線段DO上截取DA=b.

則長為3a-6的線段是CM.

故答案為：CD-DA；OA.

【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基

本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

5.按要求解題：

/就*B*

M

W

(1)/,B,M,N四點如圖所示，讀下列語句，按要求作出圖形(不寫作法)：

①連接AB;

②在線段AB的延長線上取點C,使BC=2AB；

③連接/N,BM,它們相交于點尸；

⑵在（1）題圖中，若48=3cm,。為48的中點，E為/C的中點，求。E的長.

【答案】（1）見解析

（2）DE=3cm

【分析】（1）根據(jù)題意，作出對應(yīng)的線段和點即可；

（2）根據(jù)題意求得線段/C、AE、的長度，由圖形可得?！?4。，即可求解.

vAB=3cm,BC=2AB,

/.BC-6cm,

AC=AB+BC-9cm,

又???。為的中點，E為/C的中點，

1319

AD=—AB=—cm,AE=—AC=—cm,

2222

??.DE=AE-AD=3cm.

【點睛】本題考查了線段的作圖方法和線段中點的性質(zhì)，線段的和差的計算，解題的關(guān)鍵是掌握線段的作

圖方法以及有關(guān)線段中點的性質(zhì).

41經(jīng)典題型三點與線的位置關(guān)系】

1.若線段/尸,8尸滿足4P+3尸>43,則關(guān)于尸點的位置，下列說法正確的是（）

A.P點一定在直線48上B.P點一定在直線N8外

C.P點一定在線段上D.P點一定在線段48外

【答案】D

【分析】根據(jù)P點在線段AB上時，AP+BP=AB,進行判斷即可.

【詳解】解：A,P點在線段AB上時，AP+BP=AB,此時點P在直線AB上，故錯誤；

B.尸點在線段AB延長線上時，AP+BP>AB,故錯誤；

C.尸點在線段AB上時，AP+BP=AB,故錯誤；

D.尸點在線段AB上時，AP+BP=AB,P點一定在線段48外時，AP+BP>AB,故正確；

故選：D.

【點睛】本題考查了點和直線、線段的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是抓住當尸點在線段AB上時，AP+BP=AB這

一結(jié)論，進行判斷.

2.根據(jù)下圖，下列說法中不正確的是（）

A.圖①中直線/經(jīng)過點AB.圖②中直線。，b相交于點A

C.圖③中點C在線段4B上D.圖④中射線與線段4B有公共點

【答案】C

【分析】根據(jù)點和直線的位置關(guān)系、射線和線段的延伸性、直線與直線相交的表示方法等知識點對每一項

進行分析，即可得出答案.

【詳解】解：A、圖①中直線1經(jīng)過點A,正確;

B、圖②中直線a、b相交于點A,正確；

C、圖③中點C在線段AB外，故本選項錯誤；

D、圖④中射線CD與線段AB有公共點，正確;

故選：c.

【點睛】本題考查直線、射線、線段，解題關(guān)鍵是熟練掌握點和直線的位置關(guān)系，射線和線段的延伸性,

直線與直線相交的表示方法等.

3.如圖，完成下列填空：

⑴直線a經(jīng)過點—，點—,但不經(jīng)過點—，點—；

(2)點B在直線―上，在直線一外；

⑶點A既在直線—上，又在直線—上.

【答案】(1)A；C；B;D；(2)b；a；(3)a；b.

【分析】根據(jù)點與直線的位置關(guān)系回答即可.

【詳解】⑴直線a經(jīng)過點A,點C,但不經(jīng)過點B,點D；

(2)點B在直線b上，在直線a外；

⑶點A既在直線a上，又在直線b上.

故答案為(1)A；C；B；D;(2)b；a；(3)a；b.

【點睛】本題主要考查了點與直線的位置關(guān)系：點在直線上，點在直線外.

4.下列說法正確的是—(只填序號)

①畫射線。/=3cm

②線段48和線段8/不是同一條線段

③點A和直線。的位置關(guān)系有兩種

④三條直線兩兩相交一定有三個交點

⑤到線段兩個端點距離相等的點叫做線段的中點.

【答案】③

【分析】根據(jù)射線、直線、線段和直線與點的位置關(guān)系逐個判斷即可

【詳解】解：①射線的長度無法度量，故①錯誤；

②線段43和線段比4是同一條線段，故②錯誤；

③點A和直線。的位置關(guān)系有點在直線上和點在直線外兩種，故③正確；

④三條直線兩兩相交最多有三個交點，故④錯誤；

⑤線段上到線段兩個端點距離相等的點叫做線段的中點，故⑤錯誤.

故答案為：③.

【點睛】本題考查了線段、直線、射線和點和直線的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是明確相關(guān)性質(zhì)，準確進行判

斷.

5.點/,B,C,。的位置如圖所示，按下列語句畫出圖形：

A.

?D

B?

?C

(1)畫直線AB,直線CD,它們相交于點E；

(2)連接NC,連接2。，它們相交于點。；

(3)畫射線AD,射線8C,它們相交于點尸；

(4)作一點尸，使點尸既在直線上又在直線CD上.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

(4)見解析

【分析】(1)連接CD,畫出直線42,直線CD,交點記為E即可；

(2)連接NC、BD,交點記為。即可；

(3)連接2。、BC,畫出射線射線BC,交點記為廠即可；

(4)根據(jù)點尸既在直線4B上又在直線CD上，得出點尸即是直線48與的交點￡即可.

【詳解】(1)如下圖，連接48、CD,畫出直線4B,直線CD,交點記為E.

(2)如下圖，連接NC、BD,交點記為0.

交點記為尸.

(4)如下圖，點P既在直線48上又在直線CD上，故點P即是直線22與CD的交點E.

【點睛】本題考查了直線、射線、線段、交點的作圖，理解題意作圖是解題的關(guān)鍵.

31經(jīng)典題型四直線、線段、射線的數(shù)量問題】

1.平面上有3個點，并且這3個點不在同一直線上，經(jīng)過每兩點畫一條直線，則共可以畫()條直

線.

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】根據(jù)兩點確定一條直線，則通過畫圖發(fā)現(xiàn)每個點都可以和其他2個點畫一條直線，共可以畫3x(3-1)

(條)直線，排除重合的條數(shù)，即可求得結(jié)果.

3義(3—1)

【詳解】解：可以畫的直線條數(shù)為=3.

2

故選：A.

【點睛】本題主要考查了兩點確定一條直線，讀懂題意，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

2.已知平面上有A,B,C,D,￡五點，現(xiàn)經(jīng)過任意兩點畫一條線段，則最多可畫（）條不同的線

段.

A.5B.10C.15D.20

【答案】B

【分析】把"=5代入四二9,根據(jù)點的個數(shù)確定線段的條數(shù)即可.

2

I【詳解】解：如圖

依題意，把〃=5代入*），

則5x（：T=]0（條）,

故選：B.

【點睛】當直線/上有，個點時，共有2"條射線，小2D條線段；過同一平面上任意三點不在同一直線上

的〃個點中的兩點畫線段,可以畫〃（7）條線段.

3.如圖，有x條直線，丁條射線，z條線段，貝產(chǎn)+y-z

A

BC\

【答案】4

【分析】根據(jù)直線，射線，線段的定義得到小八z的值，再代入解答即可.

【詳解】如圖：

A

X-1,

,??射線有6條(NRCP,CE,CD,BE,BD),

■■.y=6,

線段有3條(NB,/C,8C),

???z=3,

x+_y-z=l+6-3=4.

故答案為：4.

【點睛】本題考查了直線，射線，線段，熟記定義是解題的關(guān)鍵.

4.某高鐵線路為往返于/市和E市，全長106千米，全線共設(shè)/、B、C、D、E五個車站，任意兩站之間

的距離都不相等，高鐵集團要為乘客準備種車票，有種票價.

【答案】2010

【分析】先求出線段的條數(shù)，再計算票價和車票的種數(shù).

【詳解】解：根據(jù)線段的定義：可知圖中共有線段有AC,AD,AE,BC、BD、BE、CD、CE、

DE共10條，

ABCDE

?????

所以有10種不同的票價；

因車票需要考慮方向性，如，fC”與“Cf票價相同，但車票不同，故需要準備20種車票.

故答案為：20；10.

【點睛】本題考查線段的定義，要求學(xué)生準確應(yīng)用；學(xué)會查找線段的條數(shù).

5.如圖，線段/3=10cm,C是線段N8上一點，8C=6cm,〃■是42的中點，N是NC的中點

I????

ANCMB

(1)圖中共有一條線段

(2)求線段的長

【答案】(1)10

(2)M?V=3cm

【分析】（1）根據(jù)線段有兩個端點，寫出所有線段后計算個數(shù);

（2）由"是A8中點可得長度，求出/C的長，由N是NC中點知NN=；/C=2cm,進而可得MN

長.

【詳解】（1）圖中的線段有/N、AC、AM,AB、NC、NM、NB、CM、CB、MB這10條.

故答案為：10；

（2）vAB=10cm,A/"是45的中點，

AM=—AB=5cm.

2

,/AB=10cm,BC=6cm,

AC=AB-BC=4cm,

又,：N是AC的中點，

.-.AN=-AC=2cm-,

2

:.MN=AM-AN=3cm.

【點睛】本題考查了兩點間的距離：連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離.數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)

鍵.

【經(jīng)典題型五直線相交的交點個數(shù)問題】

1.如圖，在同一平面內(nèi)，兩條直線相交，有1個交點；三條直線相交，最多有3個交點；四條直線相交,

最多有6個交點；….照此規(guī)律，當最多的交點個數(shù)為45個時，相交的直線是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)兩條直線相交，有1個交點；三條直線相交，最多有1+2=3個交點；四條直線相交，最多有

1+2+3=6個交點；得出"條直線相交有1+2+3+…+〃-1個交點.

【詳解】解：???兩條直線相交，有1個交點；

三條直線相交，最多有1+2=3個交點；

四條直線相交，最多有1+2+3=6個交點；

〃條直線相交，最多有1+2+3+…+〃一1=（"-）（"一"1）=心印個交點.

22

???當最多的交點個數(shù)為45個時，即45=也二0,

2

/.77（H-1）=90,

v9x10=90,

?=10,故C正確.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了直線交點個數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形，找出規(guī)律，〃條直線相交最多有

2.已知2條直線最多有2*僅T）=1個交點,3條直線最多有3x（3一1=3個交點,4條直線最多有

22

4x（4T）=6個交點,…由此猜想，8條直線最多有個交點（）

2

A.16B.28C.32D.40

【答案】B

【分析】利用給出的交點個數(shù)，推導(dǎo)出規(guī)律，再將8代入計算即可.

【詳解】解：???2條直線最多有2義（2-1）=1個交點,

2

3條直線最多有？*（3-1）=3個交點,

2

4條直線最多有-1）=6個交點,

2

???〃條直線最多有皿二D個交點，

2

小8x（87），人、

;.”=8時，」——L=_——1=28（個），

22

??.8條直線最多有28個交點.

故選：B.

【點睛】本題考查直線的交點個數(shù)，也就是數(shù)字規(guī)律題，解題的關(guān)鍵是找到數(shù)字規(guī)律，把特殊值代入求

值.

3.平面內(nèi)兩兩相交的6條直線，其交點個數(shù)最少為一個，最多為一個，〃條直線兩兩相交的直線最多

有個交點.

n(n

【答案】115

2

【分析】根據(jù)相交直線的交點找出相應(yīng)規(guī)律求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：6條直線相交于一點時交點最少，此時交點為1個；

7x1

若平面內(nèi)有相交的2條直線，則最多有1個交點；（即：1=；-=1）；

若平面內(nèi)有兩兩相交的3條直線，則最多有3個交點；（即：1+2=；—=3）；

4x3

若平面內(nèi)有兩兩相交的4條直線，則最多有6個交點；（即：1+2+3=丁=6）；

5x4

若平面內(nèi)有兩兩相交的5條直線，則最多有10個交點；（即：1+2+3+4=丁=10）；

6x5

則平面內(nèi)兩兩相交的6條直線，其交點個數(shù)最多有15個交點；（即1+2+3+4+5=;一=15）；

若平面內(nèi)有〃條直線兩兩相交，則最多有處二。個交點；

2

故答案為：1,15,由二D.

2

【點睛】題目主要考查直線交點問題及規(guī)律探索，找出相應(yīng)規(guī)律是解題關(guān)鍵.

4.平面內(nèi)有兩兩相交的4條直線，如果最多有加個交點，最少有〃個交點，那么〃?-〃=.

【答案】5

【分析】根據(jù)題意，畫圖分類討論，分別解出見”的值，代入即可求解.

①4條直線經(jīng)過同一點，有一個交點；

②3條直線經(jīng)過同一點，被第4條直線所截，有4個交點；

③4條直線不經(jīng)過同一點，有6個交點.

平面內(nèi)兩兩相交的4條直線，最多有6個交點，最少有1個交點；

m=6,n=\,

m-n=5.

故答案為：5.

【點睛】本題主要考查直線的位置關(guān)系與有理數(shù)的運算的綜合，掌握同一平面內(nèi)多條直線的位置關(guān)系，畫

圖分析，分類討論，有理數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵.

5.按要求完成作圖及作答：

圖2

⑴如圖1,請用適當?shù)恼Z句表述點M與直線/的關(guān)系：_；

(2)如圖1,畫射線PM；

(3)如圖1,畫直線

(4)如圖2,平面內(nèi)三條直線交于N、B、C三點，將平面最多分成7個不同的區(qū)域，點M、N是平面內(nèi)另外

兩點，若分別過點河、N各作一條直線，則新增的兩條直線使得平面內(nèi)最多新增一個不同的區(qū)域.

【答案】⑴點M在直線/外

(2)見解析

(3)見解析

(4)9

【分析】(1)根據(jù)點與直線的關(guān)系即可填空；

(2)根據(jù)射線的定義即可畫射線PM；

(3)根據(jù)直線的定義即可畫直線

(4)根據(jù)題意畫出圖形即可得平面內(nèi)最多新增的不同的區(qū)域.

【詳解】(1)解：點M與直線/的關(guān)系：M在直線/外；

故答案為：M在直線/外；

(2)解：如圖1,射線即為所求；

(3)解：如圖1,直線0M即為所求;

（4）解：如圖，新增的兩條直線使得平面內(nèi)最多新增9個不同的區(qū)域.

故答案為：9.

【點睛】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線，相交線，解決本題的關(guān)鍵是

掌握直線的性質(zhì).

’5【經(jīng)典題型六線段的應(yīng)用】

1.如圖1是一種壁掛式折疊凳完全開啟時，與完全閉合時的狀態(tài)，圖2是完全開啟狀態(tài)的側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖,

外框?qū)?5與CD相等，具體數(shù)據(jù)如圖2所示，則外框?qū)挒椋ǎ?/p>

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【答案】A

【分析】根據(jù)圖2給出的信息進行計算即可.

【詳解】解：由題意可知，折疊凳的內(nèi)層長為37cm,即2C=37cm,

又?：AB=CD,

AD-BC43-37

AB==3cm,

22

.?.外框?qū)挒?cm,

故選：A.

【點睛】本題考查了線段和與差的應(yīng)用，弄清圖中線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.如圖1,線段0P表示一條拉直的細線，A、B兩點在線段OP上，且OA：AP=1：2,OB：BP=2：

7.若先固定A點，將0A折向AP,使得OA重疊在AP上；如圖2,再從圖2的B點及與B點重疊處一

起剪開，使得細線分成三段，則此三段細線由小到大的長度比是（）

A.1:1:2B.2:2:5C.2:3:4D.2:3:5

【答案】B

【分析】根據(jù)題意設(shè)的長度為2a,則8尸的長度為加，。尸的長度為9a,從而根據(jù)比值可以得到圖一中

各線段的長，根據(jù)題意可以求出折疊后，再剪開各線段的長度，從而可以求得三段細線由小到大的長度比,

本題得以解決.

【詳解】解：設(shè)。的長度為2a,則2P的長度為7a,。尸的長度為9a,

'：OA：AP=L2,

.,.OA=3a,AP—6a,

又：先固定A點，將OA折向AP,使得OA重疊在AP上，如圖2,再從圖2的3點及與3點重迭處一起

剪開，使得細線分成三段，

I

t

基

。

X圖2

...這三段從小到大的長度分別是：2a、2a、5a,

此三段細線由小到大的長度比為：2a：2a：5a=2：2：5,

故選：B.

【點睛】本題考查比較線段的長短，解題的關(guān)鍵是理解題意，求出各線段的長度.

3.工作流水線上順次排列5個工作臺/、B、C、D、E,一只工具箱應(yīng)該放在_______處，工作臺上操作機

器的人取工具所走的路程最短？如果工作臺由5個改為/、B、C、D、E、F,6個，那么工具箱應(yīng)該放

在______________________,操作機器的人取工具所走的路程之和最短？

【答案】CC與。之間

【分析】假設(shè)工具箱分別設(shè)置在A、B、C、D、E的位置，根據(jù)圖示求出設(shè)置在以上位置時工人經(jīng)過的總路

程，然后進行比較即可;再根據(jù)題意及圖示，分工具箱的安放位置在4與8之間，在8與C之間，在C與

O之間，在。與E之間，在E與尸之間進行討論.

【詳解】解：如圖，

?????

ABCDE

??,若放在/點，則總路程

若放在2點，則總路程=/8+BC+8〃+5E=NB+N8+2/3+3N3=7/8；

若放在C點，貝?。菘偮烦?ZC+8C+CO+CE=24B+4B+48+24B=6/5；

若放在。點，貝I］總^^=DE+CD+BD+AD=AB+AB+2AB+?＞AB=1AB；

若放在E點，則總^^=DE+CE+BE+AE=AB+?.AB+3AB+4AB=1OAB,

二將工具箱放在C處，才能使工作臺上操作機器的人取工具所走的路程最短.

如果工作臺由5個改為6個，如圖，

?---?---?----?---?---?

ABCDEF

位置在4與B之間：拿到工具的距離和＞AF+BC+BD+BE；

位置在3與C之間：拿到工具的距離和＞AF+BC+CD+CE；

位置在C與。之間：拿到工具的距離和=/P+8E+CD；

位置在D與E之間：拿到工具的距離和〉/萬+BE+CD；

位置在E與F之間：拿到工具的距離和＞AF+BE+CE；

將工具箱放在C與。之間，能使6個操作機器的人取工具所走的路程之和最短.

【點睛】本題考查的是兩點間的距離，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵.

4.如圖1,一款暗插銷由外殼開關(guān)CD,鎖芯DE三部分組成，其工作原理如圖2,開關(guān)。。繞固定點

O轉(zhuǎn)動,由連接點。帶動鎖芯。E移動.圖3為插銷開啟狀態(tài)，此時連接點。在線段上，如，位置.開關(guān)

繞點。順時針旋轉(zhuǎn)180。后得到G。?，鎖芯彈回至位置（點2與點馬重合），此時插銷閉合如圖4.

已知CD=74mm,AD2-ACt=50mm,貝!|BE】=mm.

【答案】24

【分析】結(jié)合圖形得出當點。在。的右側(cè)時，即2位置時，3與點E的距離為8耳，當點。在。的左側(cè)時,

即3位置時，2與點￡重合，即與位置，得出8&=。2+。3=2。2,再由圖形中線段間的關(guān)系得出

。=OC]+OD2=OD2+5Q+OD2=74mm,即可求解.

【詳解】解：由圖3得，當點。在。的右側(cè)時，即。位置時，2與點E的距離為臺耳，

由圖4得，當點。在。的左側(cè)時，即2位置時，2與點E重合，即/位置，

BE、=OD[+OD2=2OD2,

AD2-ACX=50mm,

（AO-OD2）-（AO-OCl）=50mm,

OQ-OD2=50mm,

OCX=OD2+50,

vCD^OC+OD^OCX+ODX,

：.CD=OC{+OD2=OD2+50+OD2=74mm,

2OD2=24mm,

BEX-24mm,

故答案為：24.

【點睛】題目主要考查線段間的數(shù)量關(guān)系，理解題意，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵.

5.觀察圖形，并回答下列問題：

4BC51

（1）圖中共有幾條線段？說明你分析這個問題的具體思路；

（2）請你用上面的思路來解決“十五個同學(xué)聚會每個人都與其他人握一次手，共握了多少次”這個問題；

（3）十五個同學(xué)聚會，每個人都送給其他人一張名片呢，共送了幾張？

【答案】（1）10條，見解析；

⑵共握了105次;

⑶共送了210張.

【分析】（1）根據(jù)線段的概念，分別得到以A、B、C、。為端點，且不重復(fù)的線段，相加即可得到答案;

（2）將人演化成點，根據(jù)（1）結(jié)論，即可得到答案；

（3）十五個同學(xué)聚會，每個人都送給其他人一張名片，即每個人都送了14次，據(jù)此即可得到答案.

【詳解】（1）解：圖中共有10條線段，分析思路如下：

以A為端點的線段有：AB、AC,AD、AE,共4條；

以3為端點，且與前面不重復(fù)的線段有：BC、BD、BE,共3條；

以C為端點，且與前面不重復(fù)的線段有：CD、CE,共2條；

以。為端點，且與前面不重復(fù)的線段有：DE,共1條；

答：圖中共有4+3+2+1=10條線段；

（2）解：將人演化成點，根據(jù)（1）結(jié)論可知，

握手的次數(shù)為：14+13+12+…+3+2+1=105,

答：十五個同學(xué)聚會每個人都與其他人握一次手，共握了105次；

（3）解：十五個同學(xué)聚會，每個人都送給其他人一張名片，即每個人都送了14次，

15x14=210,

答：十五個同學(xué)聚會，每個人都送給其他人一張名片呢，共送了210張.

【點睛】本題考查了線段的計數(shù)，線段計數(shù)時注意分類討論，做到不遺漏，不重復(fù)，理解（3）互送的區(qū)

別.

41經(jīng)典題型七兩點確定一條直線】

i.下列說法錯誤的是（）

A.直線48和直線A4表示同一條直線B.過一點能作無數(shù)條直線

C.射線和射線8/表示不同射線D.射線比直線短

【答案】D

【分析】題目主要考查直線和射線的區(qū)別，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識點是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：A、直線和直線仍表示同一條直線，選項正確，不符合題意；

B、過一點能作無數(shù)條直線，選項正確，不符合題意；

C、射線48和射線A4表示不同射線，選項正確，不符合題意；

D、射線、直線都是無限長的，不能比較長短，選項錯誤，符合題意.

故選：D.

2.下列生活、生產(chǎn)現(xiàn)象：

①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；

②植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；

③從/地到3地架設(shè)電線，盡可能沿直線架設(shè)；

④把彎曲的公路改直，就能縮短路程.

其中可用“兩點確定一條直線”來解釋的現(xiàn)象有（）

A.①②B.①②③C.②④D.③④

【答案】A

【分析】根據(jù)“兩點確定一條直線”可直接進行排除選項.

【詳解】①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上，符合題意；

②植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線，符合題意；

③從A地到8地架設(shè)電線，總是盡可能沿若直線42架設(shè)，符合“兩點之間，線段最短”，故不符合題意；

④把彎曲的公路改直，就能縮知路程，符合“兩點之間，線段最短”，故不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題主要考查直線的概念，熟練掌握直線的相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.

3.下列生活、生產(chǎn)現(xiàn)象：①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；②筑路公司修建一條隧道縮短了甲、乙

兩地的路程③建筑工人在砌墻時，時常在兩個墻角分別立一根標志桿，在兩根標志桿之間拉一根繩子@

從/地到5地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段43架設(shè).其中能用基本事實，兩點之間，線段最短”來解釋的

現(xiàn)象有.

【答案】②④

【分析】直接利用線段公理以及直線公理分別分析得出答案.

【詳解】解:①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上，利用的是“兩點確定一條直線"，故①不合題意；

②筑路公司修建一條隧道縮短了甲、乙兩地的路程，可用“兩點之間線段最短”來解釋，故②符合題意；

③建筑工人在砌墻時，時常在兩個墻角分別立一根標志桿，在兩根標志桿之間拉一根繩子，利用的是“兩點

確定一條直線”，故③不合題意；

④從/地到3地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段N3架設(shè)，可用“兩點之間線段最短”來解釋，故符合④題

思；

故答案為：②④.

【點睛】此題主要考查了線段公理和直線公理，解題關(guān)鍵是正確掌握線段公理：兩點之間，線段最短；直

線公理：兩點確定一條直線.

4.在下列生活、生產(chǎn)現(xiàn)象中：可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋的是（填序號）.

①用兩顆釘子就可以把木條固定在墻上；②把筆尖看成一個點，當這個點運動時便得到一條線；③把彎曲

的公路改直，就能縮短路程；④植樹時，只要栽下兩棵樹，就可以把同一行樹栽在同一條直線上.

【答案】①④/④①

【分析】直接利用直線的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)分析求解即可.

【詳解】解：①用兩顆釘子就可以把木條固定在墻上，可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋；

②把筆尖看成一個點，當這個點運動時便得到一條線，可以用基本事實“無數(shù)個點組成線''來解釋；

③把彎曲的公路改直，就能縮短路程，可以用基本事實“兩點之間線段最短”來解釋；

④植樹時，只要栽下兩棵樹，就可以把同一行樹栽在同一條直線上，可以用基本事實“兩點確定一條直線”

來解釋；

綜上可得：①④可以用“兩點確定一條直線”來解釋，

故答案為：①④.

【點睛】此題主要考查了直線的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

5.畫圖題：

.5

'A

(1)按下列要求，運用無刻度直尺或圓規(guī)畫圖，保留痕跡.

①畫射線48;

②連接8C;

③反向延長至。，使得BD=BC；

④在直線/上確定點E,使得4&+CE最小；

(2)請你判斷下列兩個生活情景所蘊含的數(shù)學(xué)道理.

如圖，從/地到2地有4條道路，除它們外能否再修一條從/地到2地的最短道路？如果能，請你聯(lián)系所

學(xué)知識，在圖上畫出最短路線，理由是；

情景二：

同學(xué)們做體操時，為了保證一隊同學(xué)站成一條直線，先讓兩個同學(xué)站好不動，其他同學(xué)依次往后站，要求

目視前方只能看到各自前面的那個同學(xué)，其道理是.

【答案】（1）①見解析②見解析③見解析④見解析

（2）圖見解析，兩點之間線段最短；兩點確定一條直線

【分析】（1）根據(jù)射線、線段、兩點之間線段最短即可解決問題;

（2）利用兩點之間線段最短和兩點確定一條直線即可解決問題.

【詳解】（1）解：①射線N3,如圖所示；

②線段8C,如圖所示；

③線段8。如圖所示；

④點￡即為所求；

（2）解：情景一：兩點之間線段最短;

如圖：線段即為所求;

情景二：兩點確定一條直線.

【點睛】本題考查線段、射線的含義，以及兩點之間線段最短和兩點確定一條直線，解題的關(guān)鍵是掌握其

定義與性質(zhì).

-31經(jīng)典題型八尺規(guī)作圖（作線段）】

1.如圖所示，已知線段。，b,c（a>b+c）,求作線段N8,使N8=a-Uc.下面利用尺規(guī)作圖正確的

是（）

a

b

C

CDB

A./LB.

H-H-M5C

BCD

-41---(-H---MD.M

【答案】D

【分析】根據(jù)圖形觀察分析得出.

【詳解】A、錯誤，圖中/B=a+6+c；

B、錯誤，圖中AB=a+b—c?,

C、錯誤，圖中AB=a—c；

D、正確，

故選：D

【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確作一條線段等于已知的線段的方法.

2.下列說法不正確的是（）

A.畫一條5c加長的線段B.射線N8與射線A4是同一條射線

C.兩點確定一條直線D.兩點之間線段最短

【答案】B

【分析】根據(jù)線段是有長度的性質(zhì)，可以畫定長線段；根據(jù)端點相同，且延伸方向相同的射線是同一條射

線進行判斷；根據(jù)直線的性質(zhì)，線段的性質(zhì)分別判斷即可.

【詳解】解：???線段是有長度的，

二畫一條5c加長的線段，是正確的，

??.A不符合題意；

???射線與射線A4端點不同，是不同的兩條條射線；

???射線與射線氏4是同一條射線，是錯誤的，

.?.B符合題意；

???兩點確定一條直線，

??.C正確，不符合題意；

???兩點之間線段最短，

；.D正確，不符合題意；

故選:B.

【點睛】本題考查了線段、射線、直線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三線的性質(zhì).

3.如圖，在RtZUBC中，￡）8=90°,AB=4,BC=2.

（1）08c的面積等于；

（2）點P,。分別是邊/C,48上的動點，連接出,PQ.當尸8+尸。取得最小值時，請在如圖所示的矩

形區(qū)域內(nèi)，用無刻度的直尺和圓規(guī)，畫出點尸和點。，并簡要說明點P和點。的位置是如何找到的（保留作

圖痕跡，不要求證明）.

【答案】4見解析

【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式即可求解；

（2）以C為圓心，CA長為半徑畫弧，與BC交于點Q,作NC的角平分線交于尸點即可求解.

【詳解】解：（1）的面積等于1/8X/C=[X4X2=4,

22

故答案為：4；

（2）如圖，以點3為圓心，8c長為半徑畫弧，與ZC交于點?；

分別以P，C為圓心，8C長