數(shù)學分析第十四章課件傅里葉級數(shù)知識分享

第十四章Fourier級數(shù)兩類重要的函數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)三角級數(shù)問題三角級數(shù)收斂？表示的函數(shù)給定函數(shù)能否用三角級數(shù)表示研究函數(shù)滿足什么條件，可以展開成三角級數(shù)若可以展開，展開式是什么形式？一、三角函數(shù)系的正交性§14.1三角級數(shù)與Fourier級數(shù)1、三角函數(shù)系：（正交系）定理14.1三角函數(shù)系中任意兩個不同的函數(shù)的乘積，在區(qū)間上的積分為0，即：設(shè)在絕對可積記為

2）常數(shù)項寫成是為了與的表達式統(tǒng)一說明：1）上式不能寫成等號定義14.1若在有界，則表示可積若在無界，則表示絕對可積稱為的傅立葉級數(shù)。例1，求其傅立葉級數(shù)。解：由于為奇函數(shù)知，看P118圖

例2解：看P118圖由于f(x)為奇函數(shù)知，，求其傅立葉級數(shù)。例3，求其傅立葉級數(shù)。解：看P118圖例4，求其傅立葉級數(shù)。看P118圖解：看P119圖由于f(x)為偶函數(shù)知，

f(x)可展開成它的Fourier級數(shù)的條件：即上式劃“等號”的條件按函數(shù)項級數(shù)收斂的定義，考察Fourier級數(shù)的部分和：方法：給出部分的一個表達式§14.2

Fourier級數(shù)的收斂性設(shè)記把：

代入上式，得:

稱為Dirichlet積分在上述積分中，令t=u–x

得在（1）中取得:先看是否逐點收斂？，即取其中綜上：Fourier級數(shù)在使以下的極限式成立：當上式成立時，的Fourier級數(shù)在點收斂于S是否收斂,歸結(jié)為：能否取到適當?shù)腟，將（*）分成兩部分后一積分的處理用下面：引理1若在絕對可積，則若以為周期。且在絕對可積，則的Fourier系數(shù)，當時趨向于0，即推論：若以為周期，在絕對可積，則的Fourier級數(shù)在點的收斂與發(fā)散，只與函數(shù)在附點的值有關(guān)證明：定理14.2不妨設(shè)由Riemam引理知所以：的fourier級數(shù)在是收斂與發(fā)散當時收斂與發(fā)散當時的收斂的與發(fā)散在的性質(zhì)進一步可以證明：當時，的收斂情況相同：敘述的事實現(xiàn)在給出fourier級數(shù)收斂性判別法：積分收斂與發(fā)散性與（Dini判別法）若能取到合適的S使函數(shù)滿足：在某個絕對可積，即存在,的fourier級數(shù)在點收斂于S,即設(shè)以為周期，在絕對可積，定理14.3則下面討論S的選?。河幸韵聝煞N常見情況：在連續(xù)，取S=則這時只要右邊兩項在絕對可積，就有的fourier級數(shù),注意到:由比較判別法，要在絕對可積，只需趨于0的速度足夠快即可，這就是Th14.4.（1）收斂到（2）在是第一類間斷或可去間斷，即存在，取類似（1）的討論：只需

足夠快便有的級數(shù)在點收斂到

定理14.4（Lipschitz判別法）P127若以為周期，在絕對可積，且滿足階的Lipschitz條件，即存在與常數(shù),使得則的級數(shù)在點收斂到推論1且在點可導，或存在,則的級數(shù)在點收斂到上面的討論推廣到在是第一類間斷點或可去間斷點的情形在逐段可微：P128：1.每個小開區(qū)間可導2.存在3.廣義左右微商存在，即逐段光華綜合：得：若以為周期，在絕對可積，P128若在逐段可微，則的級數(shù)

為的連續(xù)點為的不連續(xù)點。級數(shù)同理在點收斂到同一數(shù)。點的收斂情況：點：說一下：在定理14.5（P116例2）：

看P130圖（P115例1）

例1例2看P131圖例3求其展開式。解：1）.畫圖系數(shù)。為偶函數(shù)，2）.求

3）.

4）.由于函數(shù)處處連續(xù)，逐段可微，故在上式中取得：

例4.（P117例4）求其傅立葉級數(shù).解：由于函數(shù)處處連續(xù)，逐段可微，故例5

.(P134)求其傅立葉級數(shù)。解：由于函數(shù)處處連續(xù)，逐段可微，故P136（逐項積分）在除有限個可去間斷點定理14.6或第一類間斷點外是連續(xù)的，且，則設(shè)以為周期，在絕對可積。做變換，則是以其中：這就是周期為的函數(shù)的Fourier級數(shù)。為周期的函數(shù)，用前面的討論得：§14.3任意區(qū)間上的Fourier級數(shù)上面的方法：的函數(shù)以周期為另外的方法：沿用研究周期為展開的方法。在（或任意長度為的區(qū)間）是正交的。的函數(shù)。易證：以周期為的函數(shù)的Fourier一般一個函數(shù)只給出了有限區(qū)間一個周期函數(shù)，那么能否考慮它的Fourier展開呢？可以,只要把函數(shù)按周期延拓到整個數(shù)軸即可，下面兩個常用（有用）的延拓方法。上的定義不能說它是例：不妨設(shè)定義。給出定義使為偶函數(shù)，再把按為周期沿拓到整個數(shù)軸，這時：

一．偶延拓：為的連續(xù)點為的間斷點二．奇延拓：定義使為奇函數(shù)，再把按為周期沿拓到整個數(shù)軸，這時：

給出為的連續(xù)點為的間斷點例1.

將函數(shù)按余弦展開。解:根據(jù)偶延拓計算傅立葉系數(shù)因此例2.將函數(shù)按正弦展開。根據(jù)奇延拓計算傅立葉系數(shù)解:因此內(nèi)容小結(jié)1.周期為2

的函數(shù)的傅里葉級數(shù)及收斂定理其中注意:若

為間斷點,則級數(shù)收斂于2.周期為2

的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)奇函數(shù)正弦級數(shù)偶函數(shù)余弦級數(shù)3.在[0,]上函數(shù)的傅里葉展開法作奇周期延拓,展開為正弦級數(shù)作偶周期延拓,展開為余弦級數(shù)習題1.設(shè)

f(x)

是周期為2

的周期函數(shù),它在上的表達式為解:

先求傅里葉系數(shù)將f(x)

展成傅里葉級數(shù).2.上的表達式為將f(x)

展成傅里葉級數(shù).解:

設(shè)

f(x)

是周期為2

的周期函數(shù),它在說明:

當時,級數(shù)收斂于3.

將函數(shù)則解:

將f(x)延拓成以展成傅里葉2

為周期的函數(shù)F(x),利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和.當x=0

時,f(0)=0,得說明:4.

設(shè)的表達式為f(x)＝x,將f(x)

展成傅里葉級數(shù).是周期為2

的周期函數(shù),它在解:

若不計周期為2

的奇函數(shù),因此n＝1根據(jù)收斂定理可得f(x)

的正弦級數(shù):級數(shù)的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)

的情況見右圖.n＝55.將周期函數(shù)展成傅里葉級數(shù),其中E為正常數(shù).解:是周期為2

的補充題1.

將函數(shù)展成余弦級數(shù).解:

先求正弦級數(shù).去掉端點,將f(x)

作奇周期延拓,作偶周期延拓,對2.

設(shè)又設(shè)求當?shù)谋磉_式.解:

由題設(shè)可知