《電磁場(chǎng)與電磁波》課件-第4章 時(shí)變電磁場(chǎng)

4.1法拉第電磁感應(yīng)定律4.2位移電流4.3麥克斯韋方程組4.4時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件4.5時(shí)變電磁場(chǎng)的能量與能流4.6正弦電磁場(chǎng)4.7波動(dòng)方程4.8時(shí)變電磁場(chǎng)的位函數(shù)4.1法拉第電磁感應(yīng)定律英國(guó)科學(xué)家法拉第在1831年發(fā)現(xiàn)了時(shí)變電場(chǎng)和磁場(chǎng)間的這一深刻聯(lián)系,即時(shí)變磁場(chǎng)產(chǎn)生時(shí)變電場(chǎng)?如果在磁場(chǎng)中有導(dǎo)線構(gòu)成的閉合回路L,當(dāng)穿過(guò)由L所限定的曲面S的磁通發(fā)生變化時(shí),回路中就要產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),從而引起感應(yīng)電流?法拉第定律給出了感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與磁通時(shí)變率之間的正比關(guān)系?感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的實(shí)際方向可由楞次定律說(shuō)明:感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在導(dǎo)電回路中引起的感應(yīng)電流的方向是使它所產(chǎn)生的磁場(chǎng)阻止回路中磁通的變化?法拉第定律和楞次定律的結(jié)合就是法拉第電磁感應(yīng)定律,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為其中:E為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì);Φ為穿過(guò)曲面S與L交鏈的磁通,磁通Φ的正方向與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E的正方向成右手螺旋關(guān)系,如圖4.1.1所示?此外,當(dāng)回路線圈不止一匝時(shí),式(4.1.1)中的Φ是全磁通(亦稱磁鏈Ψ)?例如,一個(gè)N匝線圈,可以把它看成是由N個(gè)一匝線圈串聯(lián)而成的,其感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為如果定義非保守感應(yīng)電場(chǎng)Ek沿閉合路徑L的積分為L(zhǎng)中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),那么式(4.1.1)可改寫(xiě)成如果空間同時(shí)還存在由靜止電荷產(chǎn)生的保守電場(chǎng)(即靜電場(chǎng))Ec,則總電場(chǎng)E為兩者之和,即E=Ec+Ek?但是所以式(4.1.3)也可改寫(xiě)成由于式(4.1.5)中沒(méi)有包含回路本身的特性,所以可將式(4.1.5)中的L看成是任意閉合路徑,而不一定是導(dǎo)電回路?式(4.1.5)就是推廣了的法拉第電磁感應(yīng)定律,它是用場(chǎng)量表示的法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式,適用于所有情況?引起與閉合回路交鏈的磁通發(fā)生變化的原因可以是磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間的變化,也可以是閉合回路L自身的運(yùn)動(dòng)(即大小?形狀?位置的變化)?首先考慮靜止回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)?所謂靜止回路,是指回路相對(duì)于磁場(chǎng)沒(méi)有機(jī)械運(yùn)動(dòng),只是磁場(chǎng)隨時(shí)間發(fā)生變化,于是式(4.1.5)變?yōu)槔檬噶克雇锌怂苟ɡ?式(4.1.6)可寫(xiě)成式(4.1.7)對(duì)任意面積均成立,所以式(4.1.8)是法拉第電磁感應(yīng)定律的微分形式,它表明隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)將激發(fā)電場(chǎng)?時(shí)變電場(chǎng)是一有旋場(chǎng),隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)是該時(shí)變電場(chǎng)的源?通常稱該電場(chǎng)為感應(yīng)電場(chǎng),以區(qū)別于由靜止電荷產(chǎn)生的庫(kù)侖場(chǎng)?感應(yīng)電場(chǎng)是旋渦場(chǎng),而庫(kù)侖場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng),即保守場(chǎng)?接著考察運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)?不失一般性,設(shè)回路相對(duì)磁場(chǎng)有機(jī)械運(yùn)動(dòng),且磁感應(yīng)強(qiáng)度也隨時(shí)間變化?設(shè)回路L以速度υ在Δt時(shí)間內(nèi)從La的位置移動(dòng)到Lb的位置,L由La的位置運(yùn)動(dòng)到Lb的位置時(shí)掃過(guò)的體積V的側(cè)面積是Sc,如圖4.1.2所示?穿過(guò)該回路的磁通量的變化率為若把靜磁場(chǎng)中的磁通連續(xù)性原理∮B·dS=0推廣到時(shí)變場(chǎng),那么在t+Δt時(shí)刻通過(guò)封閉面S=Sa+Sb+Sc的磁通量為零,因此將B(t+Δt)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù),即從而由于側(cè)面積Sc上的面積元dS=dl×vΔt,所以當(dāng)Δt→0時(shí)將式(4.1.12)?式(4.1.13)?式(4.1.14)代入式(4.1.10),求得的高次項(xiàng)?因此,L由La的位置運(yùn)動(dòng)到Lb的位置時(shí),穿過(guò)該回路的磁通量的時(shí)變率為這樣運(yùn)動(dòng)回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可表示為式(4.1.17)表明運(yùn)動(dòng)回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)由兩部分組成:一部分是由時(shí)變磁場(chǎng)引起的電動(dòng)勢(shì)(稱為感生電動(dòng)勢(shì));另一部分是由回路運(yùn)動(dòng)引起的電動(dòng)勢(shì)(稱為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì))?式(4.1.17)可改寫(xiě)為設(shè)靜止觀察者所看到的電場(chǎng)強(qiáng)度為E,那么E=E′-v×B?因此,運(yùn)動(dòng)回路中

或式(4.1.19)和式(4.1.20)分別是法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式和微分形式?至此我們已經(jīng)知道電場(chǎng)的源有兩種:靜止電荷和時(shí)變磁場(chǎng)?

4.2位移電流法拉第證實(shí)的電荷守恒定律在任何時(shí)刻都成立?電荷守恒定律的數(shù)學(xué)描述就是電流連續(xù)性方程式(4.2.1)表明:每單位時(shí)間內(nèi)流出包圍體積V的閉合面S的電荷量等于S面內(nèi)每單位時(shí)間所減少的電荷量

利用散度定理(也稱高斯公式)，即將式(4.2.1)用體積分表示,對(duì)靜止體積有式(4.2.3)對(duì)任意體積V均成立,故有式(4.2.4)是電流連續(xù)性方程的微分形式?靜態(tài)場(chǎng)中安培環(huán)路定理的積分形式和微分形式分別為此外,對(duì)于任意矢量A,其旋度的散度恒為零,即因此,對(duì)式(4.2.5b)兩邊取散度,得比較式(4.2.4)和式(4.2.7)可見(jiàn),前者和后者相矛盾?麥克斯韋首先注意到了這一矛盾,于1862年提出位移電流的概念,并認(rèn)為位移電流和電荷恒速運(yùn)動(dòng)形成的電流以同一方式激發(fā)磁場(chǎng)?也就是把?ρ/?t加到式(4.2.7)的右邊等式中,即這樣式(4.2.8)與式(4.2.4)就相容了?在承認(rèn)也適用時(shí)變場(chǎng)的前提下,有由式(4.2.10)可得式(4.2.11)與式(4.2.5b)的不同之處是引入了因子

,它的量綱是(C/m2)/s=A/m2,即此因子具有電流密度的量綱,故稱之為位移電流密度,以符號(hào)Jd表示,即由于,所以位移電流式(4.2.14)說(shuō)明,在一般介質(zhì)中位移電流由兩部分構(gòu)成:一部分是由電場(chǎng)隨時(shí)間的變化所引起的,它在真空中同樣存在,它并不代表任何形式的電荷運(yùn)動(dòng),只是在產(chǎn)生磁效應(yīng)方面和一般意義上的電流等效;另一部分是由極化強(qiáng)度的變化所引起的,稱為極化電流,它代表束縛于原子中的電荷運(yùn)動(dòng)?式(4.2.11)的重要意義在于,除傳導(dǎo)電流外,時(shí)變電場(chǎng)也激發(fā)磁場(chǎng),它稱為安培麥克斯韋全電流定律(推廣的安培環(huán)路定理)?對(duì)式(4.2.11)應(yīng)用斯托克斯定律,便得到其積分形式它表明磁場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合路徑的積分等于該路徑所包圍曲面上的全電流?位移電流的引入擴(kuò)大了電流的概念?平常所說(shuō)的電流是電荷做有規(guī)則的運(yùn)動(dòng)形成的?在導(dǎo)體中,它就是自由電子的定向運(yùn)動(dòng)形成的傳導(dǎo)電流?設(shè)導(dǎo)電介質(zhì)的電導(dǎo)率為σ(S/m),其傳導(dǎo)電流密度就是Jc=σE;在真空或氣體中,帶電粒子的定向運(yùn)動(dòng)也形成電流,稱為運(yùn)流電流?設(shè)電荷的運(yùn)動(dòng)速度為v,其運(yùn)流電流密度為Jv=ρv?位移電流并不代表電荷的運(yùn)動(dòng),這與傳導(dǎo)電流及運(yùn)流電流不同?傳導(dǎo)電流?運(yùn)流電流和位移電流之和稱為全電流,即可見(jiàn)式(4.2.11)中的J應(yīng)包括Jc和Jv?但是,Jc和Jv分別存在于不同介質(zhì)中?對(duì)于固態(tài)導(dǎo)電介質(zhì)(σ≠0),此時(shí)只有傳導(dǎo)電流,沒(méi)有運(yùn)流電流,所以J=Jc,Jv=0?對(duì)于式(4.2.11)取散度知因而,對(duì)任意封閉曲面S有即式(4.2.19)表明:穿過(guò)任意封閉面的各類電流之和為零,這就是全電流連續(xù)性原理?將其應(yīng)用于只有傳導(dǎo)電流的回路中,可知節(jié)點(diǎn)處傳導(dǎo)電流的代數(shù)和為零?這就是基爾霍夫電流定律:

?圖4.2.1所示的電路直觀地說(shuō)明了位移電流的概念以及全電流連續(xù)性原理,電容器C通過(guò)導(dǎo)線連接到交流電源Us(t),設(shè)顯然導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流電容器極板上有電荷Q=CUs,C為電容器的電容量?對(duì)于平行板電容器,電容C=εA/d,其中A為極板面積,d為兩平板間距,ε為兩平行極板間填充介質(zhì)的介電常數(shù),Us為電容器兩極板間的電壓?Q隨時(shí)間的變化率即極板上的電流為這里假定導(dǎo)線的電導(dǎo)率σ很大(如理想導(dǎo)體),這樣導(dǎo)線上的電壓降可以忽略,極板兩端的電壓等于源電壓?由源?導(dǎo)線?電容器構(gòu)成的電流回路,其上通過(guò)的電流應(yīng)連續(xù),導(dǎo)線中的電流要等于極板上的電流Iq,那么電容器中的電流是什么呢?位移電流的引入可解釋回路電流連續(xù)性的問(wèn)題?兩極板上加電壓Us后,在電容器空間所產(chǎn)生的電場(chǎng)為E的大小為Us/d,方向在ay方向,總的位移電流Id為因?yàn)閐S方向?yàn)闃O板法線方向,故dS=aydS,C為平行板電容器的電容,顯然這個(gè)電流Id與極板上的電流Iq剛好相等?

4.3麥克斯韋方程組4.3.1麥克斯韋方程組依據(jù)前兩節(jié)的分析結(jié)果,現(xiàn)在可以寫(xiě)出描述宏觀電磁場(chǎng)現(xiàn)象基本特性的一組微分方程及其名稱:稱其為麥克斯韋方程組的微分形式?它們建立在庫(kù)侖?安培?法拉第所提供的實(shí)驗(yàn)事實(shí)和麥克斯韋假設(shè)的位移電流概念的基礎(chǔ)上,也把任何時(shí)刻在空間任意一點(diǎn)上的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的時(shí)空關(guān)系與同一時(shí)空點(diǎn)的場(chǎng)源聯(lián)系在一起?方程組(4.3.1)所對(duì)應(yīng)的積分形式是由麥克斯韋方程組可見(jiàn): (1)麥克斯韋方程(4.3.1a)和(4.3.2a)是修正后的安培環(huán)路定理,表明電流和時(shí)變電場(chǎng)能激發(fā)磁場(chǎng)?麥克斯韋方程(4.3.1b)和(4.3.2b)是法拉第電磁感應(yīng)定律,表明時(shí)變磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)這一重要事實(shí)?這兩個(gè)方程是麥克斯韋方程組的核心,說(shuō)明時(shí)變電場(chǎng)和時(shí)變磁場(chǎng)互相激發(fā),時(shí)變電磁場(chǎng)可以脫離場(chǎng)源獨(dú)立存在,在空間形成電磁波?麥克斯韋導(dǎo)出了電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程,并發(fā)現(xiàn)這種電磁波的傳播速度與已測(cè)出的光速是一樣的?他進(jìn)而推斷,光也是一種電磁波,并預(yù)言可能存在與可見(jiàn)光不同的其他電磁波?(2)麥克斯韋方程(4.3.1c)和(4.3.2c)表示磁通連續(xù)性,即空間的磁力線既沒(méi)有起點(diǎn)也沒(méi)有終點(diǎn)?從物理意義上說(shuō),是空間不存在自由磁荷的結(jié)果,或者嚴(yán)格地說(shuō)在人類研究所達(dá)到的領(lǐng)域中至今還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)自由磁荷?麥克斯韋方程(4.3.1d)和(4.3.2d)是電場(chǎng)的高斯定理,現(xiàn)在它對(duì)時(shí)變電荷與靜止電荷都成立?它表明電場(chǎng)是有通量源的場(chǎng)?(3)時(shí)變場(chǎng)中電場(chǎng)的散度和旋度都不為零,所以電力線起始于正電荷,終止于負(fù)電荷,而磁場(chǎng)的散度恒為零,旋度不為零,所以磁力線是與電流交鏈的閉合曲線,并且磁力線與電力線兩者還互相交鏈?但是,在遠(yuǎn)離場(chǎng)源的無(wú)源區(qū)域中,電場(chǎng)和磁場(chǎng)的散度都為零,這時(shí)電力線和磁力線將自行閉合?相互交鏈,在空間形成電磁波?(4)一般情況下,時(shí)變電磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量和場(chǎng)源既是空間坐標(biāo)的函數(shù),又是時(shí)間的函數(shù)?若場(chǎng)矢量不隨時(shí)間變化,那么方程組(4.3.1)和(4.3.2)退化為靜態(tài)場(chǎng)方程組?(5)在線性介質(zhì)中,麥克斯韋方程組是線性方程組,可以應(yīng)用疊加原理?應(yīng)該指出,麥克斯韋方程組中的4個(gè)方程并不都是獨(dú)立的?如對(duì)方程(4.3.1b)兩邊取散度,有由于式(4.3.3)左邊恒等于零,所以如果假設(shè)過(guò)去或?qū)?lái)某一時(shí)刻，

在空間每一點(diǎn)上都為零，則

在任何時(shí)刻處處為零，所以即方程(4.3.1c),因此只能認(rèn)為有3個(gè)獨(dú)立的方程,即方程(4.3.1a)?方程(4.3.1b)和方程(4.3.1d)?同理,如果對(duì)方程(4.3.1a)兩邊取散度,代入方程(4.3.1d),則可導(dǎo)出這就是電流連續(xù)性方程,由此可見(jiàn)電流連續(xù)性方程包含在麥克斯韋方程組中,并且可以認(rèn)為麥克斯韋方程組中的2個(gè)旋度方程(4.3.1a)和(4.3.1b)以及電流連續(xù)性方程是一組獨(dú)立方程?由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出電流連續(xù)性方程,一方面表明麥克斯韋方程組的普遍性廣泛到電荷守恒定律也被包含在內(nèi);另一方面也表明場(chǎng)源J和ρ是不完全獨(dú)立的,隨意給定的J和ρ有可能導(dǎo)致麥克斯韋方程組內(nèi)部矛盾而無(wú)解?因此,在實(shí)際的工程問(wèn)題中,尤其是無(wú)初值的時(shí)諧場(chǎng)情況,常在給定場(chǎng)源J條件下求解電磁場(chǎng),如正弦波的輻射問(wèn)題?反過(guò)來(lái),只給定場(chǎng)源ρ則不行,因?yàn)榻o定場(chǎng)源ρ用電流連續(xù)性方程只能確定

,而依據(jù)矢量場(chǎng)唯一性定理,僅知道J的散度并不能唯一確定J,因此也不能唯一地解出電磁場(chǎng)?4.3.2麥克斯韋方程組的輔助方程—本構(gòu)關(guān)系麥克斯韋方程(4.3.1a)~(4.3.1d)中,沒(méi)有限定E?D?B和H之間的關(guān)系,稱為非限定形式?但是,麥克斯韋方程中有E?D?B?H?J5個(gè)矢量和1個(gè)標(biāo)量ρ,每個(gè)矢量各有3個(gè)分量,也就是說(shuō)總共有16個(gè)標(biāo)量,而獨(dú)立的標(biāo)量方程只有7個(gè)?因此,僅由方程 (4.3.1a)~(4.3.1d)還不能完全確定4個(gè)場(chǎng)矢量E?D?B和H,還需要知道E?D?B和H之間的關(guān)系?為求解這一組方程,我們必須另外再提供9個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量方程?這9個(gè)標(biāo)量方程用于描述電磁介質(zhì)與場(chǎng)矢量之間的本構(gòu)關(guān)系,它們作為輔助方程與麥克斯韋方程一起構(gòu)成一個(gè)自身一致的方程組?一般而言,表征介質(zhì)宏觀電磁特性的本構(gòu)關(guān)系為對(duì)于各向同性的線性介質(zhì),式(4.3.7)可以寫(xiě)成其中,ε?μ?σ是描述介質(zhì)宏觀電磁特性的一組參數(shù),分別稱為介質(zhì)的介電常量?磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率?在真空或空氣中,ε=ε0?μ=μ0?σ=0?σ=0的介質(zhì)稱為理想介質(zhì),σ→∞的介質(zhì)稱為理想導(dǎo)體,σ介于兩者之間的介質(zhì)統(tǒng)稱為導(dǎo)電介質(zhì)?若介質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)大小無(wú)關(guān),則該介質(zhì)稱為線性介質(zhì);若介質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)方向無(wú)關(guān),則該介質(zhì)稱為各向同性介質(zhì);若介質(zhì)參數(shù)與位置無(wú)關(guān),則該介質(zhì)稱為均勻介質(zhì);若介質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)的頻率無(wú)關(guān),則該介質(zhì)稱為非色散介質(zhì),否則稱為色散介質(zhì)?此外,稱線性?均勻?各向同性的介質(zhì)為簡(jiǎn)單介質(zhì)?結(jié)合介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系,我們可以將麥克斯韋方程組寫(xiě)成僅含有兩個(gè)矢量場(chǎng)(如E和H)的形式?如在簡(jiǎn)單介質(zhì)中,有這個(gè)包含本構(gòu)關(guān)系在內(nèi)的方程組稱為限定形式的麥克斯韋方程組?麥克斯韋方程組和本構(gòu)關(guān)系在求解電磁場(chǎng)問(wèn)題中的作用極為重要,因?yàn)樗鼈兂浞值孛枥L了電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律?一般地,給定了場(chǎng)源J和ρ,以及初始條件,結(jié)合相應(yīng)的邊界條件,用麥克斯韋方程組和本構(gòu)關(guān)系就可以確定電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律?4.3.3洛倫茲力麥克斯韋方程組說(shuō)明了場(chǎng)源J和ρ如何激發(fā)電磁場(chǎng),即電磁場(chǎng)如何受電流和電荷的作用?然而,在實(shí)際的電磁場(chǎng)問(wèn)題中,電流密度J和電荷密度ρ往往不能事先給定,它們受到電磁場(chǎng)的反作用,因此還需要另外的基本方程來(lái)描述這種反作用?這個(gè)基本方程就是洛倫茲力公式?電荷(運(yùn)動(dòng)或靜止)激發(fā)電磁場(chǎng),電磁場(chǎng)反過(guò)來(lái)對(duì)電荷有作用力?當(dāng)空間同時(shí)存在電場(chǎng)和磁場(chǎng)時(shí),以恒速v運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷q所受的力為如果電荷是連續(xù)分布的,其密度為ρ,則電荷系統(tǒng)所受的電磁場(chǎng)力密度為式(4.3.11)稱為洛倫茲力公式?4.3.4麥克斯韋方程組的完備性電磁體系的運(yùn)動(dòng)方程形式為若在給定初始條件和邊界條件下,體系的電磁運(yùn)動(dòng)規(guī)律完全由上述方程組唯一確定,則可以說(shuō)此方程組是完備的?現(xiàn)在,只討論真空中麥克斯韋方程組的完備性,采用反證法來(lái)證明?設(shè)在給定初始條件和邊界條件下,麥克斯韋方程組存在兩組不等價(jià)的解,分別記為E′?B′和E″?B″?顯然,兩組解都滿足同一體系的麥克斯韋方程組,即因?yàn)槭峭粋€(gè)電磁體系,所以兩個(gè)方程組中的ρ?J都是相同的?此外,兩個(gè)方程組的解都滿足同樣的初始條件和邊界條件,即t=0時(shí)在媒質(zhì)邊界面上令E=E′-E″和B=B′-B″,把式(4.3.13)和式(4.3.14)相減,得對(duì)應(yīng)新方程組(4.3.17)的初始條件和邊界條件可由式(4.3.15)和式(4.3.16)直接獲得因此,E和B是滿足齊次方程?齊次邊界條件?齊次初始條件的解;或者說(shuō),E和B對(duì)應(yīng)的電磁體系是無(wú)源?無(wú)初始擾動(dòng)?邊界值恒為零的體系?對(duì)這樣一個(gè)體系計(jì)算如下積分:電磁體系的邊界不隨時(shí)間改變,所以利用方程組(4.3.17),上述積分可寫(xiě)為在邊界面上,由式(4.3.18)知E=0和B=0,可見(jiàn)I=0,因此再由式(4.3.18)可知,t=0時(shí)E(r,0)=B(r,0)=0,所以式(4.3.21)可寫(xiě)為上式中的被積函數(shù)恒正,所以可見(jiàn)所設(shè)的兩組解是同解,完備性得證?

4.4時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件麥克斯韋方程的微分形式只適用于場(chǎng)矢量的各個(gè)分量處處可微的區(qū)域?實(shí)際問(wèn)題所涉及的場(chǎng)域中,往往有幾種不同的介質(zhì)?介質(zhì)分界面兩側(cè),各介質(zhì)的電磁參數(shù)不同?分界面上有束縛面電荷?面電流,還可能有自由面電荷?面電流?在這些面電荷?面電流的影響下,場(chǎng)矢量越過(guò)分界面時(shí)可能不連續(xù),這時(shí)必須用邊界條件來(lái)確定分界面上電磁場(chǎng)的特性?邊界條件是描述場(chǎng)矢量越過(guò)分界面時(shí)場(chǎng)量變化規(guī)律的一組場(chǎng)方程,它是將麥克斯韋方程的積分形式應(yīng)用于介質(zhì)的分界面,當(dāng)方程中各種積分區(qū)域無(wú)限縮小且趨于分界面上的一個(gè)點(diǎn)時(shí),所得方程的極限形式?取兩種相鄰媒質(zhì)分界面的任一橫截面,如圖4.4.1所示?設(shè)n是分界面上任意點(diǎn)處的法向單位矢量;F表示該點(diǎn)的某一場(chǎng)矢量(如D,B,…),它可以分解為沿n方向和垂直n方向的兩個(gè)分量?因?yàn)槭噶亢愕仁剿?.4.1一般情況法向分量的邊界條件可由麥克斯韋方程(4.3.1c)和(4.3.1d)導(dǎo)出?參看圖4.4.1,設(shè)n自介質(zhì)1指向介質(zhì)2?在分界面上取一個(gè)很小的且截面為ΔS?高為h的扁圓柱體封閉面,圓柱體上?下底面分別位于分界面兩側(cè)且緊切分界面(h→0)?將式(4.3.1d)用于此圓柱體,計(jì)算穿出圓柱體表面的電通量時(shí),考慮到ΔS很小,可以認(rèn)為底面上的電位移矢量是均勻的,并以D1?D2分別表示介質(zhì)1及介質(zhì)2中圓柱體底面上的電位移矢量;同時(shí),因?yàn)閔→0,而電位移矢量D有限,所以圓柱體側(cè)面上的積分可以不計(jì),從而得如果分界面的薄層內(nèi)有自由電荷,則圓柱面內(nèi)包圍的總電荷為由上面兩式,得電位移矢量的法向分量的矢量形式的邊界條件或者標(biāo)量形式的邊界條件若分界面上沒(méi)有自由面電荷,則有然而D=εE,所以綜上可見(jiàn),如果分界面上有自由面電荷,那么電位移矢量D的法向分量Dn越過(guò)分界面時(shí)不連續(xù),有一等于面電荷密度ρs的突變?如ρs=0,則法向分量Dn連續(xù);但是,分界面兩側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的法向分量En不連續(xù)?同理,將式

用于圖4.4.1的圓柱體,計(jì)算穿過(guò)圓柱體封閉面的磁通量,可以得到磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量的法向分量的矢量形式的邊界條件或者標(biāo)量形式的邊界條件由于B=μH,所以綜上可見(jiàn),越過(guò)分界面時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量的法向分量Bn連續(xù),磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的法向分量Hn不連續(xù)?切向分量的邊界條件可由麥克斯韋方程 (4.3.1a)和(4.3.1b)導(dǎo)出?取相鄰介質(zhì)的任一截面,如圖4.4.2所示?在分界面上取一無(wú)限小的矩形回路,其寬度為Δl,上?下兩底邊分別位于分界面兩側(cè)并且均緊切于分界面,側(cè)邊長(zhǎng)度h→0?設(shè)n(由介質(zhì)1指向介質(zhì)2)?l分別是Δl中點(diǎn)處分界面的法向單位矢量和切向單位矢量,b是垂直于n且與矩形回路成右手螺旋關(guān)系的單位矢量,三者的關(guān)系為將麥克斯韋方程用于圖4.4.2所示的矩形回路?因h→0,分界面處磁場(chǎng)強(qiáng)度H有限,則H在回路側(cè)邊上的積分可以不計(jì);同時(shí)因Δl很小,所以因?yàn)?/p>

有限,而h→0,所以如果分界面的薄層內(nèi)有自由電流,則在回路所圍的面積上有綜合式(4.4.12)~式(4.4.14),得b是任意單位矢量,且n×H與Js共面(均切于分界面),所以依據(jù)式(4.4.2),式(4.4.16a)可以寫(xiě)成式(4.4.16a)的標(biāo)量形式為如果分界面處沒(méi)有自由面電流,那么由式（４．４．１７）可得綜上可見(jiàn):如果分界面處有自由面電流,那么越過(guò)分界面時(shí),磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量不連續(xù),否則磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù);但是磁感應(yīng)強(qiáng)度的切向分量不連續(xù)?同理,將麥克斯韋方程(4.3.1b)用于圖4.4.2,可得電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量的邊界條件的矢量形式和標(biāo)量形式:由式(4.4.19b)可得綜上可見(jiàn):電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量越過(guò)分界面時(shí)連續(xù);電位移的切向分量越過(guò)分界面時(shí)不連續(xù)?必須指出,對(duì)于無(wú)初值的時(shí)諧場(chǎng),從切向分量的邊界條件和邊界上的電流連續(xù)性方程可以導(dǎo)出法向分量的邊界條件,從這個(gè)意義上說(shuō),分界面上的邊界條件不是獨(dú)立的?可以證明,在無(wú)初值的時(shí)諧場(chǎng)情況下,只要電場(chǎng)和磁場(chǎng)強(qiáng)度切向分量的邊界條件滿足式(4.4.16a)和式(4.4.19a),磁感應(yīng)強(qiáng)度和電位移法向分量的邊界條件(4.4.8a)和(4.4.5a)必然成立?上面列出的一般形式的時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件中,自由面電流密度和自由面電荷密度滿足邊界上的電流連續(xù)性方程4.4.2兩種特殊情況下面討論兩種重要的特殊情況:兩種理想介質(zhì)的邊界;理想介質(zhì)和理想導(dǎo)體的邊界?理想介質(zhì)是指σ=0的情況,即無(wú)歐姆損耗的簡(jiǎn)單介質(zhì)?在兩種理想介質(zhì)的分界面上沒(méi)有自由面電流和自由面電荷存在,即Js=0,ρ=0,從而得相應(yīng)的邊界條件如下:矢量形式的邊界條件為相應(yīng)的標(biāo)量形式的邊界條件為理想導(dǎo)體是指σ→∞,所以在理想導(dǎo)體內(nèi)部不存在電場(chǎng)?此外,在時(shí)變條件下,理想導(dǎo)體內(nèi)部也不存在磁場(chǎng)?故在時(shí)變條件下,理想導(dǎo)體內(nèi)部不存在電磁場(chǎng),即所有場(chǎng)量為零?設(shè)n是理想導(dǎo)體的外法向矢量,E?H?D?B為理想導(dǎo)體外部的電磁場(chǎng),那么理想導(dǎo)體表面的邊界條件為由此可見(jiàn):電力線垂直理想導(dǎo)體表面;磁力線平行于理想導(dǎo)體表面?

4.5

時(shí)變電磁場(chǎng)的能量與能流電磁場(chǎng)是一種物質(zhì),并且具有能量?例如,人們?nèi)粘Ｉ钪惺褂玫奈⒉t正是利用微波所攜帶的能量給食品加熱的?赫茲的輻射實(shí)驗(yàn)證明了電磁場(chǎng)是能量的攜帶者?時(shí)變電場(chǎng)?磁場(chǎng)都要隨時(shí)間變化,空間各點(diǎn)的電場(chǎng)能量密度?磁場(chǎng)能量密度也要隨時(shí)間變化?所以,電磁能量按一定的分布形式儲(chǔ)存于空間,并隨著電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)變化在空間傳輸,形成電磁能流?表達(dá)時(shí)變電磁場(chǎng)中能量守恒與轉(zhuǎn)換關(guān)系的定理稱為坡印亭定理,該定理由英國(guó)物理學(xué)家坡印亭在1884年最初提出,它可由麥克斯韋方程直接導(dǎo)出?假設(shè)電磁場(chǎng)存在于一有耗的導(dǎo)電介質(zhì)中,介質(zhì)的電導(dǎo)率為σ,電場(chǎng)會(huì)在此有耗導(dǎo)電介質(zhì)中引起傳導(dǎo)電流J=σE?根據(jù)焦耳定律,在體積V內(nèi)由傳導(dǎo)電流引起的功率損耗是這部分功率損耗表示轉(zhuǎn)化為焦耳熱能的能量損失?由能量守恒定律可知,體積V內(nèi)電磁能量必有一相應(yīng)的減少,或者體積V外有相應(yīng)的能量補(bǔ)充以達(dá)到能量平衡?為了定量描述這一能量平衡關(guān)系,我們進(jìn)行如下推導(dǎo)?由麥克斯韋方程(4.3.1a)得將其代入式(4.5.1)得利用矢量恒等式及麥克斯韋方程(4.3.1b)得將其代入式(4.5.2)得利用散度定理上式可改寫(xiě)成這就是適合一般介質(zhì)的坡印亭定理?利用矢量函數(shù)求導(dǎo)公式:對(duì)各向同性的線性介質(zhì),有綜上可知同理將它們代入式(4.5.3),并設(shè)體積V的邊界對(duì)時(shí)間不變,則對(duì)時(shí)間的微分和對(duì)空間的積分可變換次序?所以,對(duì)于各向同性的線性介質(zhì),坡印亭定理表示如下:為了說(shuō)明式(4.5.4)的物理意義,我們首先假設(shè)儲(chǔ)存在時(shí)變電磁場(chǎng)中的電磁能量密度的表示形式和靜態(tài)場(chǎng)的相同,即ω=ωe+ωm,其中

為電場(chǎng)能量密度,

為磁場(chǎng)能量密度,它們的單位都是J/m3?另外,引入一個(gè)新矢量稱之為坡印亭矢量,單位是W/m2?據(jù)此坡印亭定理可以寫(xiě)成式(4.5.6)右邊第一項(xiàng)表示體積V中電磁能量隨時(shí)間的增加率,第二項(xiàng)表示體積V中的熱損耗功率(單位時(shí)間內(nèi)以熱能形式損耗在體積V中的能量);根據(jù)能量守恒定律,式(4.5.6)左邊一項(xiàng)必定代表單位時(shí)間內(nèi)穿過(guò)體積Ｖ的表面Ｓ流入體積Ｖ的電磁能量。因此，面積分表示單位時(shí)間內(nèi)流出包圍體積Ｖ的表面Ｓ的總電磁能量。由此可見(jiàn),坡印亭矢量S=E×H可解釋為通過(guò)S面上單位面積的電磁功率,在空間任意一點(diǎn)上,坡印亭矢量的方向表示該點(diǎn)功率流的方向,而其數(shù)值表示通過(guò)與能量流動(dòng)方向垂直的單位面積的功率,所以坡印亭矢量也稱為電磁功率流密度或能流密度矢量?需要指出,認(rèn)為坡印亭矢量代表電磁功率流密度的推斷并不嚴(yán)格,雖然坡印亭定理肯定了

具有確定的意義(流出封閉面的總能流),然而這并不等于在有電場(chǎng)和磁場(chǎng)的地方,S=E×H就一定代表該處有電磁能量的流動(dòng)?因?yàn)樵谄掠⊥ざɡ碇?真正表示空間任意一點(diǎn)能量密度變化的是

,而不是坡印亭矢量本身?在靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)情況下，由于電流Ｊ＝０以及

，所以坡印亭定理只剩一項(xiàng)

。由坡印亭定理可知，此式表示在場(chǎng)中任何一點(diǎn)，單位時(shí)間流出包圍體積Ｖ表面的總能量為零，即沒(méi)有電磁能量流動(dòng)。由此可見(jiàn)，在靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)情況下，Ｓ＝Ｅ×Ｈ并不代表電磁功率流密度。在恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng)情況下，，所以由坡印亭定理可知。因此，在恒定電流場(chǎng)中，Ｓ＝Ｅ×Ｈ可以代表通過(guò)單位面積的電磁功率流。它說(shuō)明，在無(wú)源區(qū)域內(nèi)，通過(guò)Ｓ面流入Ｖ內(nèi)的電磁功率等于Ｖ內(nèi)的損耗功率。在時(shí)變電磁場(chǎng)中，Ｓ＝Ｅ×Ｈ代表瞬時(shí)功率流密度，它通過(guò)任意截面積的面積分代表瞬時(shí)功率。

4.6正弦電磁場(chǎng)4.6.1正弦電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示法時(shí)變電磁場(chǎng)的任一坐標(biāo)分量隨時(shí)間作正弦變化時(shí),其振幅和初相也都是空間坐標(biāo)的函數(shù)?以電場(chǎng)強(qiáng)度為例,在直角坐標(biāo)系中其中電場(chǎng)強(qiáng)度的各個(gè)坐標(biāo)分量為與電路理論中的處理相似,利用復(fù)數(shù)或相量來(lái)描述正弦電磁場(chǎng)場(chǎng)量,可使數(shù)學(xué)運(yùn)算簡(jiǎn)化:對(duì)時(shí)變量t進(jìn)行降階(把微積分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程)減元(消去各項(xiàng)的共同時(shí)間因子ejωt)?例如:其中,

稱為復(fù)振幅,它僅是空間坐標(biāo)的函數(shù),與時(shí)間t完全無(wú)關(guān)?因?yàn)樗瑘?chǎng)量的初相位,故也稱為相量?Ex為實(shí)數(shù),而E·xm是復(fù)數(shù),但是只要將其乘以因子ejωt并且取實(shí)部便可得到前者?這樣,如下關(guān)系成立:因此,我們也把E·xm=Exm·ej?x稱為Ex(x,y,z,t)=Exm(x,y,z)cos[ωt+?x(x,y,z)]的復(fù)數(shù)形式?按照式(4.6.3),給定函數(shù)有唯一的復(fù)數(shù)E·xm=Exm·ej?x與之對(duì)應(yīng);反之亦然?由于所以,采用復(fù)數(shù)表示時(shí),正弦量對(duì)時(shí)間t的偏導(dǎo)數(shù)等價(jià)于該正弦量的復(fù)數(shù)形式乘以jω,即同理,電場(chǎng)強(qiáng)度矢量也可用復(fù)數(shù)表示為其中,E·=axE·xm+ayE·ym+azE·zm稱為電場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)振幅或復(fù)矢量,它只是空間坐標(biāo)的函數(shù),與時(shí)間t無(wú)關(guān)?這樣我們就把時(shí)間t和空間(x,y,z)的四維(x,y,z,t)矢量函數(shù)簡(jiǎn)化成了空間(x,y,z)的三維函數(shù),即相反,若要由場(chǎng)量的復(fù)數(shù)形式獲得其瞬時(shí)值,只要將其復(fù)振幅矢量乘以ejωt并取實(shí)部,便得到其相應(yīng)的瞬時(shí)值,即4.6.2麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式復(fù)數(shù)運(yùn)算中,對(duì)復(fù)數(shù)的微分和積分運(yùn)算是分別對(duì)其實(shí)部和虛部進(jìn)行的,并不改變其實(shí)部和虛部的性質(zhì),故其中,L是實(shí)線性算子,如

。因此考慮到復(fù)數(shù)運(yùn)算,有故對(duì)于t任意時(shí)同理可得式(4.3.1b)~式(4.3.1d)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)形式以及電流連續(xù)性方程的復(fù)數(shù)形式顯然,為了把瞬時(shí)值表示的麥克斯韋方程的微分形式寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式,只要把場(chǎng)量和場(chǎng)源的瞬時(shí)值換成對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)形式,把微分形式方程中

的換成jω即可?并且不難看出,當(dāng)用復(fù)數(shù)形式表示后,麥克斯韋方程中的場(chǎng)量和場(chǎng)源由四維(x,y,z,t)函數(shù)變成了三維(x,y,z)函數(shù),變量的維數(shù)減少了一個(gè),且偏微分方程(對(duì)時(shí)間t的偏微分)變成了代數(shù)方程,使問(wèn)題更便于求解?4.6.3復(fù)坡印亭矢量坡印亭矢量S(r,t)=E(r,t)×H(r,t)表示瞬時(shí)電磁功率流密度,它沒(méi)有指定電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化的方式?對(duì)于正弦電磁場(chǎng),電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的每一坐標(biāo)分量都隨時(shí)間作周期性的簡(jiǎn)諧變化?這時(shí),每一點(diǎn)處的瞬時(shí)電磁功率流密度的時(shí)間平均值更具有實(shí)際意義?對(duì)正弦電磁場(chǎng),將場(chǎng)矢量用復(fù)數(shù)表示為從而坡印亭矢量瞬時(shí)值可寫(xiě)成它在一個(gè)周期T=2π/ω內(nèi)的平均值為其中S(r)稱為復(fù)坡印亭矢量,它與時(shí)間t無(wú)關(guān),表示復(fù)功率流密度,其實(shí)部為平均功率流密度 (有功功率流密度),虛部為無(wú)功功率流密度?特別需要注意的是,式(4.6.20)中的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度是復(fù)振幅值而不是有效值;E*?H*是E?H的共軛復(fù)數(shù)?Sav稱為平均能流密度矢量或平均坡印亭矢量?類似地,可得到電場(chǎng)能量密度?磁場(chǎng)能量密度和導(dǎo)電損耗功率密度的表示式為上面各式中,右邊第一項(xiàng)是各對(duì)應(yīng)量的時(shí)間平均值,它們都僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)?單位體積中電場(chǎng)和磁場(chǎng)儲(chǔ)能?導(dǎo)電損耗功率密度在一周期T內(nèi)的時(shí)間平均值為4.6.4復(fù)介電常量與復(fù)磁導(dǎo)率介質(zhì)在電磁場(chǎng)作用下呈現(xiàn)三種狀態(tài)—極化?磁化和傳導(dǎo),它們可用一組宏觀電磁參數(shù)表征,即介電常量?磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率?在靜態(tài)場(chǎng)中這些參數(shù)都是實(shí)常數(shù);而在時(shí)變電磁場(chǎng)作用下,反映介質(zhì)電磁特性的宏觀參數(shù)與場(chǎng)的時(shí)間變化率有關(guān),對(duì)正弦電磁場(chǎng)即與頻率有關(guān)?研究表明:一般情況下(特別在高頻場(chǎng)作用下),描述介質(zhì)色散特性的宏觀參數(shù)為復(fù)數(shù),其實(shí)部和虛部都是頻率的函數(shù),且虛部總是大于零的正數(shù),即其中,εc?μc分別稱為復(fù)介電常量和復(fù)磁導(dǎo)率?必須指出,金屬導(dǎo)體的電導(dǎo)率在直到紅外線的整個(gè)射頻范圍內(nèi)均可看作實(shí)數(shù),且與頻率無(wú)關(guān)?這些復(fù)數(shù)宏觀電磁參數(shù)表明:同一介質(zhì)在不同頻率的場(chǎng)作用下,可以呈現(xiàn)不同的介質(zhì)特性?下面討論介質(zhì)的復(fù)數(shù)電磁參數(shù)的虛部所反映的能量損耗?電導(dǎo)率σ≠0的介質(zhì),電磁波的電場(chǎng)在其中產(chǎn)生的傳導(dǎo)電流密度為Jc=σE,從而引起功率損耗,使電磁波的幅度衰減,其單位體積的導(dǎo)電功率損耗時(shí)間平均值為其中,Em為振幅值?如僅考慮介質(zhì)中復(fù)介電常量εc=ε′-jε″的虛部所反映的能量損耗,則介質(zhì)中位移電流密度為其中,與E同相的位移電流分量也引起功率損耗?介質(zhì)單位體積極化功率損耗的時(shí)間平均值可以表示為由式(4.6.31)可見(jiàn),單位體積的極化損耗功率與ε″(ω)成正比;同樣,μ″(ω)反映介質(zhì)的磁化損耗,且與磁化功率成正比?復(fù)介電常量和復(fù)磁導(dǎo)率的輻角稱為損耗角,分別用δε和δμ表示,且把稱為損耗角正切?由給定頻率上的損耗角正切的大小,可以說(shuō)明介質(zhì)在該頻率上的損耗大小?對(duì)于具有復(fù)介電常量的導(dǎo)電介質(zhì),考慮到傳導(dǎo)電流J=σE,式(4.3.1a)變?yōu)槭?4.6.33)表明:導(dǎo)電介質(zhì)中的傳導(dǎo)電流和位移電流可以用一個(gè)等效的位移電流代替;導(dǎo)電介質(zhì)的電導(dǎo)率和介電常量的總效應(yīng)可以用一個(gè)等效復(fù)介電常量表示,即式(4.6.34)表明:ε″與σ/ω的能量損耗作用等效?引入等效復(fù)介電常量的概念后,電導(dǎo)率變成等效復(fù)介電常量的虛數(shù)部分,因此可以把導(dǎo)體也視為一種等效的有耗電介質(zhì)?引入復(fù)介電常量和復(fù)磁導(dǎo)率后,有耗介質(zhì)和理想介質(zhì)中的麥克斯韋方程組在形式上就完全相同了,因此可以采用同一種方法分析有耗介質(zhì)和理想介質(zhì)中的電磁波特性,只需用εc和μc分別代替理想介質(zhì)情況下的ε和μ?4.6.5復(fù)坡印亭定理下面來(lái)研究場(chǎng)量用復(fù)數(shù)表示時(shí)坡印亭定理的表示式:復(fù)坡印亭定理?利用矢量恒等式:可知將式(4.6.15a)和式(4.6.15b)代入式(4.6.35)得整理上式有這個(gè)公式表示了作為點(diǎn)函數(shù)的功率密度關(guān)系?對(duì)其兩端取體積分,并應(yīng)用散度定理得這就是用復(fù)矢量表示的坡印亭定理,稱為復(fù)坡印亭定理?設(shè)宏觀電磁參數(shù)σ為實(shí)數(shù),磁導(dǎo)率和介電常量為復(fù)數(shù),則有將以上各式代入式(4.6.36)得4.6.6時(shí)變電磁場(chǎng)的唯一性定理時(shí)變電磁場(chǎng)解的唯一性定理可表述如下:對(duì)于t>0的所有時(shí)刻,由曲面S所圍成的閉合域V內(nèi)的電磁場(chǎng)是由V內(nèi)的電磁場(chǎng)E?H在t=0時(shí)刻的初始值,以及t≥0時(shí)刻邊界面S上的切向電場(chǎng)或者切向磁場(chǎng)所唯一確定的?證明時(shí)變電磁場(chǎng)的唯一性定理的方法,同靜態(tài)場(chǎng)的唯一性定理的證明方法一樣,仍采用反證法,即設(shè)兩組解E1?H1和E2?H2都是體積V中滿足麥克斯韋方程組和邊界條件的解,在t=0時(shí)刻它們?cè)赩內(nèi)所有點(diǎn)上都相等,但在t>0的所有時(shí)刻它們不相等?設(shè)介質(zhì)是線性介質(zhì),則麥克斯韋方程組也是線性的?根據(jù)麥克斯韋方程組的線性性質(zhì),這兩組解的差ΔE=E2-E1?ΔH=H2-H1也必定是麥克斯韋方程組的解?對(duì)于這組差值解,應(yīng)用坡印亭定理,有因?yàn)樵谶吔缑妫由希妶?chǎng)的切向分量或者磁場(chǎng)的切向分量已經(jīng)給定，所以電場(chǎng)ΔＥ的切向分量或者磁場(chǎng)ΔＨ的切向分量必為零，即故必有所以ΔＥ×ΔＨ在邊界面Ｓ上的法向分量為零，即應(yīng)用坡印亭定理所得表示式左端的積分為零。因此式(4.6.40)的右端總是小于或等于零的,而左端代表能量的積分在t>0的所有時(shí)刻只能大于或等于零?這樣上面的等式要成立,只能是等式兩邊都為零,也就是差值解ΔE=E2-E1,ΔH=H2-H1在t≥0時(shí)刻恒為零,這就意味著區(qū)域V內(nèi)的電磁場(chǎng)E?H只有唯一的一組解,即不可能有兩組不同的解,定理得證?必須注意,時(shí)變電磁場(chǎng)唯一性定理的條件,只是給定電場(chǎng)E或者磁場(chǎng)H在邊界面上的切向分量?這就是說(shuō),對(duì)于一個(gè)被閉合面S包圍的區(qū)域V,如果閉合面S上電場(chǎng)E的切向分量給定,或者閉合面S上磁場(chǎng)H的切向分量給定,或者閉合面S上一部分區(qū)域給定電場(chǎng)E的切向分量,其余區(qū)域給定磁場(chǎng)H的切向分量,那么在區(qū)域V內(nèi)的電磁場(chǎng)E?H是唯一確定的?另一方面,為了能由麥克斯韋方程組解出時(shí)變電磁場(chǎng),一般需要同時(shí)應(yīng)用邊界面上的電場(chǎng)E切向分量和磁場(chǎng)H切向分量邊界條件?因此,對(duì)于時(shí)變電磁場(chǎng),只要滿足邊界條件就必能保證解的唯一性?

4.7波動(dòng)方程電磁波的存在是麥克斯韋方程組的一個(gè)重要結(jié)果?1865年,麥克斯韋從它的方程組出發(fā)推導(dǎo)出了波動(dòng)方程,并得到了電磁波速度的一般表示式,由此預(yù)言電磁波的存在及電磁波與光波的同一性?1887年,赫茲用實(shí)驗(yàn)方法產(chǎn)生和檢測(cè)了電磁波?下面我們由麥克斯韋方程組導(dǎo)出波動(dòng)方程?考慮介質(zhì)均勻?線性?各向同性,且研究的區(qū)域?yàn)闊o(wú)源(J=0,ρ=0),無(wú)導(dǎo)電損耗(σ=0)的情況,這時(shí)麥克斯韋方程組為對(duì)式（4.7.1b）兩邊取旋度，并利用矢量恒等式得將式(4.7.1a)和式(4.7.1d)代入上式,得整理后有類似地，可推導(dǎo)出式(4.7.2)和式(4.7.3)是E和H滿足的無(wú)源空間的瞬時(shí)值矢量齊次波動(dòng)方程?其中2為矢量拉普拉斯算符?無(wú)源?無(wú)耗區(qū)域中的E或H可以通過(guò)解式(4.7.2)或式(4.7.3)得到?求解這類矢量方程有兩種方法:一種是直接尋求滿足該矢量方程的解;另一種是設(shè)法將矢量方程分解為標(biāo)量方程,通過(guò)求解標(biāo)量方程來(lái)得到矢量函數(shù)的解?例如,在直角坐標(biāo)系中,由E的矢量波動(dòng)方程可以得到三個(gè)標(biāo)量波動(dòng)方程:但要注意,只有在直角坐標(biāo)系中才能得到每個(gè)方程中只含有一個(gè)未知函數(shù)的三個(gè)標(biāo)量波動(dòng)方程?在其他正交曲線坐標(biāo)系中,矢量波動(dòng)方程分解得到的三個(gè)標(biāo)量波動(dòng)方程都具有復(fù)雜的形式?對(duì)于正弦電磁場(chǎng),可由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程導(dǎo)出復(fù)數(shù)形式的波動(dòng)方程其中式(4.7.5)和式(4.7.6)分別是E和H滿足的無(wú)源?無(wú)耗空間的復(fù)矢量波動(dòng)方程,又稱為矢量齊次亥姆霍茲方程?必須指出,式(4.7.5)和式(4.7.6)的解還需要滿足散度為零的條件,即必須滿足如果介質(zhì)是有耗的,即介電常量和磁導(dǎo)率是復(fù)數(shù),則k也