小學(xué)奧數(shù)抽屜原理

抽屜原理

一、知識(shí)點(diǎn)介紹

抽屜原理有時(shí)也被稱為鴿籠原理，它由德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確提出來(lái)并用來(lái)證明一些數(shù)論中

的問(wèn)題，因此，也被稱為狄利克雷原則.抽屜原理是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要而又基本的數(shù)學(xué)原理，利用它可

以解決很多有趣的問(wèn)題，并且常常能夠起到令人驚奇的作用.許多看起來(lái)相當(dāng)復(fù)雜，甚至無(wú)從下手的問(wèn)題，

在利用抽屜原則后，能很快使問(wèn)題得到解決.

二、抽屜原理的定義

（1）舉例

桌上有十個(gè)蘋果，要把這十個(gè)蘋果放到九個(gè)抽屜里，無(wú)論怎樣放，有的抽屜可以放一個(gè)，有的可以放

兩個(gè)，有的可以放五個(gè)，但最終我們會(huì)發(fā)現(xiàn)至少我們可以找到一個(gè)抽屜里面至少放兩個(gè)蘋果。

（2）定義

一般情況下，把n+1或多于n+1個(gè)蘋果放到n個(gè)抽屜里，其中必定至少有一個(gè)抽屜里至少有兩個(gè)蘋

果。我們稱這種現(xiàn)象為抽屜原理。

三、抽屜原理的解題方案

（一）、利用公式進(jìn)行解題

蘋果+抽屜=商……余數(shù)

余數(shù)：（1）余數(shù)=1,結(jié)論：至少有（商+1）個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里

（2）余數(shù)=x（lx（〃-1）），結(jié)論：至少有（商+1）個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里

（3）余數(shù)=0,結(jié)論：至少有“商”個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里

（二）、利用最值原理解題

將題目中沒(méi)有闡明的量進(jìn)行極限討論，將復(fù)雜的題目變得非常簡(jiǎn)單，也就是常說(shuō)的極限思想“任我意”

方法、特殊值方法.

os??

一、直接用公式進(jìn)行解題

（1）求結(jié)論

【例1】6只鴿子要飛進(jìn)5個(gè)籠子，每個(gè)籠子里都必須有1只，一定有一個(gè)籠子里有2只鴿子.對(duì)嗎?

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】1星【題型】解答

【解析】6只鴿子要飛進(jìn)5個(gè)籠子，如果每個(gè)籠子裝1只，這樣還剩下1只鴿子.這只鴿子可以任意飛進(jìn)其

中的一個(gè)籠子，這樣至少有一個(gè)籠子里有2只鴿子.所以這句話是正確的.

利用剛剛學(xué)習(xí)過(guò)的抽屜原理來(lái)解釋這個(gè)問(wèn)題，把鴿籠看作“抽屜”，把鴿子看作“蘋果”，

6+5=11,1+1=2（只）把6個(gè)蘋果放到5個(gè)抽屜中，每個(gè)抽屜中都要有1個(gè)蘋果，那么肯

定有一個(gè)抽屜中有兩個(gè)蘋果，也就是一定有一個(gè)籠子里有2只鴿子.

【答案】對(duì)

【鞏固】教室里有5名學(xué)生正在做作業(yè)，現(xiàn)在只有數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、語(yǔ)文、地理四科作業(yè)試說(shuō)明：這5名學(xué)

生中，至少有兩個(gè)人在做同一科作業(yè).

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】1星【題型】解答

【解析】略.

【答案】將5名學(xué)生看作5個(gè)蘋果將數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、語(yǔ)文、地理作業(yè)各看成一個(gè)抽屜，共4個(gè)抽屜由抽屜

原理，一定存在一個(gè)抽屜，在這個(gè)抽屜里至少有2個(gè)蘋果.即至少有兩名學(xué)生在做同一科的作業(yè)

【例2】向陽(yáng)小學(xué)有730個(gè)學(xué)生，何：至少有幾個(gè)學(xué)生的生日是同一天？

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】略.

【答案】一年最多有366天，可看做366個(gè)抽屜，730個(gè)學(xué)生看做730個(gè)革果.因?yàn)?30+366=1364,

所以，至少有1+1=2（個(gè)）學(xué)生的生日是同一天

【鞏固】人的頭發(fā)平均有12萬(wàn)根，如果最多不超過(guò)20萬(wàn)根，那么13億中國(guó)人中至少有—人的頭發(fā)的

【關(guān)鍵詞】2009年，第7屆，希望杯，4年級(jí)，1試

【解析】這是一道抽屜原理的題目，毋以要先分清荒什么是抽屜，什么是羊果。此題中的抽屜是人的頭發(fā):

有20萬(wàn)個(gè)，中國(guó)的人數(shù)是蘋果：13億人，所以至少應(yīng)有：1300000000+200000=6500（人）。

【答案】650人

［例3］四個(gè)連續(xù)的自然數(shù)分別被3除后，必有兩個(gè)余數(shù)相同，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】略.

【答案】想一想，不同的自然數(shù)被3除的余數(shù)有幾類？在這道題中，把什么當(dāng)作抽屜呢？

把這四個(gè)連續(xù)的自然數(shù)分別除以3,其余數(shù)不外乎是0,1,2,把這3個(gè)不同的余數(shù)當(dāng)作3個(gè)“抽

屜“，把這4個(gè)連續(xù)的自然數(shù)按照被3除的余數(shù)，分別放入對(duì)應(yīng)的3個(gè)“抽屜”中，根據(jù)抽屜原理，

至少有兩個(gè)自然數(shù)在同一個(gè)抽屜里，也就是說(shuō)，至少有兩個(gè)自然數(shù)除以3的余數(shù)相同

【鞏固】在任意的四個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差能被3整除？

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】因?yàn)槿魏握麛?shù)除以3,其余數(shù)只可能是0,1,2三種情形.我們將余數(shù)的這三種情形看成是三個(gè)

“抽屜一個(gè)整數(shù)除以3的余數(shù)屬于哪種情形，就將此整數(shù)放在那個(gè)“抽屜”里.將四個(gè)自然數(shù)放入

三個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜里放了不止一個(gè)數(shù)，也就是說(shuō)至少有兩個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)相同（需要對(duì)

學(xué)生利用余數(shù)性質(zhì)進(jìn)行解釋：為什么余數(shù)相同，則差就能被整除）.這兩個(gè)數(shù)的差必能被3整除

（2）求抽屜

【例4］把十只小兔放進(jìn)至多幾個(gè)籠子里，才能保證至少有一個(gè)籠里有兩只或兩只以上的小兔？

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】要想保證至少有一個(gè)籠里有兩只或兩只以上的小兔，把小兔子當(dāng)作“物品”，把“籠子”當(dāng)作“抽屜”，

根據(jù)抽屜原理，要把10只小鬼放進(jìn)10-1=9個(gè)籠里，才能保證至少有一個(gè)籠里有兩只或兩只以上

的小兔.

【答案】9

【鞏固】袋中有外形安全一樣的紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各10個(gè)，每個(gè)小朋友只能從中摸出1個(gè)小球，

至少有個(gè)小朋友摸球，才能保證一定有兩個(gè)人摸的球顏色一樣.

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】2007年，第5屆，走美杯，3年級(jí)，初賽

【解析】本題屬于抽屜原理中構(gòu)造抽屜解決問(wèn)題，每個(gè)小朋友從中摸一個(gè)小球，小球的顏色可能為紅、黃、

藍(lán)三種情況，故為三個(gè)抽屜，若想保證一定有兩個(gè)人摸的球顏色一樣，必須有（2-l）x3+l=4（個(gè)）

小朋友。

【答案】4

【例5】把125本書分給五⑵班的學(xué)生，如果其中至少有一個(gè)人分到至少4本書，那么，這個(gè)班最多有

多少人？

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】本題需要求抽屜的數(shù)量，需要反用抽屜原理和最“壞”情況的結(jié)合，最壞的情況是只有1個(gè)人分到

4本書，而其他同學(xué)都只分到3本書，則（125-4）+3=401,因此這個(gè)班最多有：40+1=41（人）（處

理余數(shù)很關(guān)鍵，如果有42人則不能保證至少有一個(gè)人分到4本書）.

【答案】41

【鞏固】某次選拔考試，共有1123名同學(xué)參加，小明說(shuō)：“至少有10名同學(xué)來(lái)自同一個(gè)學(xué)校.”如果他的

說(shuō)法是正確的，那么最多有多少個(gè)學(xué)校參加了這次入學(xué)考試？

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】本題需要求抽屜的數(shù)量，反用抽屜原理和最“壞”情況的結(jié)合，最壞的情況是只有10個(gè)同學(xué)來(lái)自

同一個(gè)學(xué)校，而其他學(xué)校都只有9名同學(xué)參加，則（1123-10）+9=1236,因此最多有：

123+1=124個(gè)學(xué)校（處理余數(shù)很關(guān)鍵，如果有125個(gè)學(xué)校則不能保證至少有10名同學(xué)來(lái)自同一個(gè)

學(xué)校）

【答案】124

（3）求蘋果

［例6］班上有50名小朋友，老師至少拿幾本書，隨意分給小朋友，才能保證至少有一個(gè)小朋友能得到

不少于兩本書？

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】把50名小朋友當(dāng)作50個(gè)“抽屜”，書作為物品.把書放在50個(gè)抽屜中，要想保證至少有一個(gè)抽屜

中有兩本書，根據(jù)抽屜原理，書的數(shù)目必須大于50,而大于50的最小整數(shù)是50+1=51,所以至

少要拿51本書.

【答案】51本書

【鞏固】班上有28名小朋友，老師至少拿幾本書，隨意分給小朋友，才能保證至少有一個(gè)小朋友能得到

不少于兩本書？

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】老師至少拿29本書，隨意分給小朋友，才能保證至少有一個(gè)小朋友能得到不少于兩本書.

【答案】29本書

［例7］一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽出了10道選擇題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為：基礎(chǔ)分10分，每道題答對(duì)得3分，答錯(cuò)扣1分,

不答不得分。問(wèn)：要保證至少有4人得分相同，至少需要多少人參加競(jìng)賽？

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】由題目條件這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的得分可以從10-10=0分到10+3x10=40分，但注意到39、38、35這3

個(gè)分?jǐn)?shù)是不可能得到的，要保證至少有4人得分相同，至少需要3x（41-3）+1=115人.

【答案】115人

【鞏固】一次測(cè)驗(yàn)共有10道問(wèn)答題，每題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：回答完全正確，得5分；回答不完全正確，得

3分，回答完全錯(cuò)誤或不回答，得0分.至少一人參加這次測(cè)驗(yàn)，才能保證至少有3人得得分

相同.

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】（第十屆《小數(shù)報(bào)》數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽）

【解析】根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)可知，最高得分為50分，最低得分為。分，在。?50分之間，1分，2分，4分，7

分，47分，49分不可能出現(xiàn).共有51-6=45（種）不同得分.根據(jù)抽屜原理，至少有45x2+1=91

（人）參賽，才能保證至少有3人得分相同.

【答案】3

二、構(gòu)造抽屜

【例8］學(xué)校里買來(lái)數(shù)學(xué)、英語(yǔ)兩類課外讀物若干本，規(guī)定每位同學(xué)可以借閱其中兩本，現(xiàn)有4位小朋

友前來(lái)借閱，每人都借了2本.請(qǐng)問(wèn)，你能保證，他們之中至少有兩人借閱的圖書屬于同一種

嗎？

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】略.

【答案】每個(gè)小朋友都借2本有三種可能：數(shù)數(shù)，英英，數(shù)英.第4個(gè)小朋友無(wú)論借什么書，都可能是這

三種情況中的一種，這樣就有兩個(gè)同學(xué)借的是同一類書，所以可以保證，至少有2位小朋友，他

們所借閱的兩本書屬于同類.

總結(jié)：此題如用簡(jiǎn)單乘法原理的話，有難度，因?yàn)樯婕暗胶?jiǎn)單加法原理，所以推薦使用列表法。

與之前不同的是，本題借閱的書只說(shuō)了兩本并沒(méi)說(shuō)其他要求，所以可以拿2本同樣的書

【鞏固】11名學(xué)生到老師家借書，老師的書房中有文學(xué)、科技、天文、歷史四類書，每名學(xué)生最多可借

兩本不同類的書，最少借一本.試說(shuō)明：必有兩個(gè)學(xué)生所借的書的類型相同

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】略.

【答案】設(shè)不同的類型書為A、B、C、D四種，若學(xué)生只借一本書，則不同的類型有A、B、C、D四

種；若學(xué)生借兩本不同類型的書，則不同的類型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種.共有10

種類型，把這10種類型看作10個(gè)“抽屜”，把11個(gè)學(xué)生看作11個(gè)“蘋果如果誰(shuí)借哪種類型的

書，就進(jìn)入哪個(gè)抽屜，由抽屜原理，至少有兩個(gè)學(xué)生，他們所借的書的類型相同

［例9］紅、藍(lán)兩種顏色將一個(gè)2x5方格圖中的小方格隨意涂色（見(jiàn)下圖），每個(gè)小方格涂一種顏色.是

否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？

第第第第第

一二三四五

列列列列列

藍(lán)

紅藍(lán)

紅

藍(lán)

藍(lán)紅

紅

果放

個(gè)蘋

將五

理，

屜原

據(jù)抽

”，根

“蘋果

五個(gè)

看成

方格

五列

”，把

“抽屜

四個(gè)

看成

情形

四種

面的

將上

這

，即

方格

兩列

占據(jù)

情形

一種

少有

是至

也就

果，

個(gè)蘋

于兩

不少

中有

抽屜

一個(gè)

少有

屜，至

個(gè)抽

入四

.

全相同

顏色完

中涂的

小方格

兩列的

】是

【答案

，其

涂色

如何

不論

同），

不相

顏色

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小格

的三

一列

.（每

藍(lán)色

色或

、黃

紅色

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方格

個(gè)小

每一

】將

【鞏固

多有6

，最

不同

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涂色

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這些