2025屆湖南省岳陽市臨湘市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省岳陽市臨湘市2025屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，則，解得，則，所以.故選：A2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，.故選：A.3.已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】依題意是空間不過同一點(diǎn)的三條直線，當(dāng)在同一平面時，可能，故不能得出兩兩相交.當(dāng)兩兩相交時，設(shè)，根據(jù)公理可知確定一個平面，而，根據(jù)公理可知，直線即，所以在同一平面.綜上所述，“在同一平面”是“兩兩相交”的必要不充分條件.故選：B4.已知直線和直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，解得或．若，則直線，直線，可知；若，則直線，直線，可知，綜上所述：或．所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A5.如圖，已知等腰中，，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，則的值（）A.為定值 B.不為定值，有最大值C.為定值10 D.不為定值，有最小值10【答案】C【解析】如圖，記的中點(diǎn)為，由題可知，，，，所以.故選：C.6.已知數(shù)列中，，若，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】在數(shù)列中，由，得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，則，即，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.則，即，由，得，所以.故選：B7.在ΔABC中，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線與、所在的直線分別交于點(diǎn)、，若，，則的最小值為A. B. C. D.【答案】B【解析】如下圖所示：，即，，，，，，，、、三點(diǎn)共線，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為，故選：B.8.已知函數(shù)，，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，，∴，令，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，∴，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；∴，∴的最小值為，故選：B.二、多選題（共4小題，每小題5分，共20分）9.設(shè)函數(shù)，則（）A.當(dāng)時，有三個零點(diǎn)B.當(dāng)時，無極值點(diǎn)C.，使在上是減函數(shù)D.圖象對稱中心的橫坐標(biāo)不變【答案】BD【解析】對于A，當(dāng)時，，求導(dǎo)得，令得或，由，得或，由，得，于是在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，因此最多有一個零點(diǎn)，A錯誤；對于B，，當(dāng)時，，即恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，B正確；對于C，要使在R上是減函數(shù)，則恒成立，而不等式的解集不可能為R，C錯誤；對于D，由，得圖象對稱中心坐標(biāo)為，D正確.故選：BD10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的有（）A.B.上單調(diào)遞減C.的表達(dá)式可以寫成D.若關(guān)于的方程在0,m上有且只有4個實(shí)數(shù)根，則【答案】ABD【解析】由函數(shù)圖象可知，，因?yàn)樵?，附近單調(diào)遞增，所以，，，又因?yàn)?，所以，，所以，A說法正確；當(dāng)時，，所以由在單調(diào)遞減可知在上單調(diào)遞減，B說法正確；因?yàn)?，所以C說法錯誤；令得，解得或，方程在0,m上有且只有4個實(shí)數(shù)根，從小到大依次為，而第5個實(shí)數(shù)根為，所以，D說法正確；故選：ABD11.冒泡排序是一種計算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的較簡單的排序算法，其基本思想是：通過對待排序序列從左往右，依次對相鄰兩個元素比較大小，若，則交換兩個數(shù)的位置，使值較大的元素逐漸從左移向右，就如水底下的氣泡一樣逐漸向上冒，重復(fù)以上過程直到序列中所有數(shù)都是按照從小到大排列為止.例如：對于序列進(jìn)行冒泡排序，首先比較，需要交換1次位置，得到新序列，然后比較，無需交換位置，最后比較，又需要交換1次位置，得到新序列最終完成了冒泡排序，同樣地，序列需要依次交換完成冒泡排序.因此，和均是交換2次的序列.現(xiàn)在對任一個包含個不等實(shí)數(shù)的序列進(jìn)行冒泡排序，設(shè)在冒泡排序中序列需要交換的最大次數(shù)為，只需要交換1次的序列個數(shù)為，只需要交換2次的序列個數(shù)為，則（）A.序列是需要交換3次的序列 B.C. D.【答案】BCD【解析】對A，序列，比較，無需交換位置，比較，需要交換1次位置，得到新序列，比較，無需交換位置，最后比較，需要交換1次位置，得到新序列，完成冒泡排序，共需要交換2次，故A錯誤；對B，不妨設(shè)序列的n個元素為，交換次數(shù)最多的序列為，將元素n冒泡到最右側(cè)，需交換次次，將元素n-1冒泡到最右側(cè)，需交換次次，，故共需要，即最大交換次數(shù)，故B正確；對C，只要交換1次的序列是將中的任意相鄰兩個數(shù)字調(diào)換位置的序列，故有個這樣的序列，即，故C正確；對D，當(dāng)n個元素的序列順序確定后，將元素n+1添加進(jìn)原序列，使得新序列（共n+1個元素）交換次數(shù)也是2，則元素n+1在新序列的位置只能是最后三個位置，若元素n+1在新序列的最后一個位置，則不會增加交換次數(shù)，故原序列交換次數(shù)為2（這樣的序列有個），若元素n+1在新序列的倒數(shù)第二個位置，則會增加1次交換，故原序列交換次數(shù)為1（這樣的序列有個），若元素n+1在新序列的倒數(shù)第三個位置，則會增加2次交換，故原序列交換次數(shù)為0（這樣的序列有1個），因此，，所以，顯然，所以，故D正確.故選：BCD.12.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且為非常數(shù)函數(shù)，，為奇函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，且，故A正確；由，兩邊求導(dǎo)，得，即.由的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，得，因此，故B正確；因?yàn)闉楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，即，所以，即，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以.又，所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，，，所以是周期函數(shù)，4為它的一個周期，所以，故錯誤；由，得.又，所以3，所以，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.已知復(fù)數(shù)滿足，則______.【答案】【解析】由題意：.所以.故答案為：14.已知橢圓：，過左焦點(diǎn)作直線與圓：相切于點(diǎn)，與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，且，則橢圓離心率為______.【答案】【解析】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接，如下圖所示：由圓：可知圓心，半徑；顯然，且，因此可得，所以，可得；即可得，又易知；由余弦定理可得，解得，再由橢圓定義可得，即，因此離心率.故答案為：15.在中，，則的最大值為______.【答案】【解析】因?yàn)?，可得，所以，可得，由正弦定理得，又因?yàn)椋?，所以，則，因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，由，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以.故答案為：.16.英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計了高爾頓釘板來研究隨機(jī)現(xiàn)象.如圖是一個高爾頓釘板的設(shè)計圖，每一黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆釘子恰好位于下一層兩顆打子的正中間，小球每次下落，將隨機(jī)的向兩邊等概率的下落.數(shù)學(xué)課堂上，老師向?qū)W生們介紹了高爾頓釘板放學(xué)后，愛動腦的小明設(shè)計了一個不一樣的“高爾頓釘板”，它使小球在從釘板上一層的兩顆釘子之間落下后砸到下一層的釘子上時，向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.當(dāng)有大量的小球依次滾下時，最終都落入釘板下面的5個不同位置.若一個小球從正上方落下，經(jīng)過5層釘板最終落到4號位置的概率是______.【答案】【解析】因?yàn)橄蜃笙侣涞母怕蕿橄蛴蚁侣涞母怕实?倍，所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，則下落的過程中向左一次，向右三次才能最終落到4號位置，此時概率為：.故答案為：.四、解答題（共4小題，共70分）17.記內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若為等腰三角形且腰長為2，求的底邊長.解：（1），由正弦定理得：，∵，∵，（2）當(dāng)為頂角，則底邊，，當(dāng)為底角，則該三角形內(nèi)角分別為，，，則底邊為故的底邊長為或.18.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且．（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）求導(dǎo)得，令，則，，即：．（2）方法一，，①當(dāng)時，左邊右邊，不等式顯然成立．②當(dāng)時，令當(dāng)時，在上單調(diào)遞減③當(dāng)時，令，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．綜上：的取值范圍為．法二，令，，令，所以恒成立，在上遞增．①若，即對在單調(diào)遞減，，與矛盾，無解，舍去．②若，即，在上遞增.故．③若即：時，使得，，即：即：，故綜上．19.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，（）．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足：，．①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②是否存在正整數(shù)n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，請說明理由．（1）證明：由，得（），兩式相減，得，即（）．因?yàn)?，由，得，所以，所以對任意都成立，所以?shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2．（2）解：①由（1）知，，由，得，即，即，因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．所以，所以．②設(shè)，則，所以，兩式相減，得，所以．由，得，即．顯然當(dāng)時，上式成立，設(shè)（），即．因?yàn)椋詳?shù)列單調(diào)遞減，所以只有唯一解，所以存在唯一正整數(shù)，使得成立．20.維向量是平面向量和空間向量的推廣，對維向量，記，設(shè)集合.（1）求，；（2）（i）求中元素的個數(shù)；（ii）記，求使得成立最大正整數(shù).解：（1），當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，；，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，.（2）（i）設(shè)中元素的個數(shù)為，，，為偶數(shù)時，，且，，中的元素個數(shù)為.（ii）①當(dāng)時，；②當(dāng)時，；③當(dāng)時，；；要使得成立，其必要條件是當(dāng)時，，令，則，數(shù)列為遞增數(shù)列，又，，的解為；當(dāng)時，，即充分性成立；使得成立的最大正整數(shù).湖南省岳陽市臨湘市2025屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，則，解得，則，所以.故選：A2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，.故選：A.3.已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】依題意是空間不過同一點(diǎn)的三條直線，當(dāng)在同一平面時，可能，故不能得出兩兩相交.當(dāng)兩兩相交時，設(shè)，根據(jù)公理可知確定一個平面，而，根據(jù)公理可知，直線即，所以在同一平面.綜上所述，“在同一平面”是“兩兩相交”的必要不充分條件.故選：B4.已知直線和直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，解得或．若，則直線，直線，可知；若，則直線，直線，可知，綜上所述：或．所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A5.如圖，已知等腰中，，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，則的值（）A.為定值 B.不為定值，有最大值C.為定值10 D.不為定值，有最小值10【答案】C【解析】如圖，記的中點(diǎn)為，由題可知，，，，所以.故選：C.6.已知數(shù)列中，，若，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】在數(shù)列中，由，得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，則，即，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.則，即，由，得，所以.故選：B7.在ΔABC中，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線與、所在的直線分別交于點(diǎn)、，若，，則的最小值為A. B. C. D.【答案】B【解析】如下圖所示：，即，，，，，，，、、三點(diǎn)共線，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為，故選：B.8.已知函數(shù)，，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，，∴，令，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，∴，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；∴，∴的最小值為，故選：B.二、多選題（共4小題，每小題5分，共20分）9.設(shè)函數(shù)，則（）A.當(dāng)時，有三個零點(diǎn)B.當(dāng)時，無極值點(diǎn)C.，使在上是減函數(shù)D.圖象對稱中心的橫坐標(biāo)不變【答案】BD【解析】對于A，當(dāng)時，，求導(dǎo)得，令得或，由，得或，由，得，于是在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，因此最多有一個零點(diǎn)，A錯誤；對于B，，當(dāng)時，，即恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，B正確；對于C，要使在R上是減函數(shù)，則恒成立，而不等式的解集不可能為R，C錯誤；對于D，由，得圖象對稱中心坐標(biāo)為，D正確.故選：BD10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的有（）A.B.上單調(diào)遞減C.的表達(dá)式可以寫成D.若關(guān)于的方程在0,m上有且只有4個實(shí)數(shù)根，則【答案】ABD【解析】由函數(shù)圖象可知，，因?yàn)樵冢浇鼏握{(diào)遞增，所以，，，又因?yàn)椋?，，所以，A說法正確；當(dāng)時，，所以由在單調(diào)遞減可知在上單調(diào)遞減，B說法正確；因?yàn)?，所以C說法錯誤；令得，解得或，方程在0,m上有且只有4個實(shí)數(shù)根，從小到大依次為，而第5個實(shí)數(shù)根為，所以，D說法正確；故選：ABD11.冒泡排序是一種計算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的較簡單的排序算法，其基本思想是：通過對待排序序列從左往右，依次對相鄰兩個元素比較大小，若，則交換兩個數(shù)的位置，使值較大的元素逐漸從左移向右，就如水底下的氣泡一樣逐漸向上冒，重復(fù)以上過程直到序列中所有數(shù)都是按照從小到大排列為止.例如：對于序列進(jìn)行冒泡排序，首先比較，需要交換1次位置，得到新序列，然后比較，無需交換位置，最后比較，又需要交換1次位置，得到新序列最終完成了冒泡排序，同樣地，序列需要依次交換完成冒泡排序.因此，和均是交換2次的序列.現(xiàn)在對任一個包含個不等實(shí)數(shù)的序列進(jìn)行冒泡排序，設(shè)在冒泡排序中序列需要交換的最大次數(shù)為，只需要交換1次的序列個數(shù)為，只需要交換2次的序列個數(shù)為，則（）A.序列是需要交換3次的序列 B.C. D.【答案】BCD【解析】對A，序列，比較，無需交換位置，比較，需要交換1次位置，得到新序列，比較，無需交換位置，最后比較，需要交換1次位置，得到新序列，完成冒泡排序，共需要交換2次，故A錯誤；對B，不妨設(shè)序列的n個元素為，交換次數(shù)最多的序列為，將元素n冒泡到最右側(cè)，需交換次次，將元素n-1冒泡到最右側(cè)，需交換次次，，故共需要，即最大交換次數(shù)，故B正確；對C，只要交換1次的序列是將中的任意相鄰兩個數(shù)字調(diào)換位置的序列，故有個這樣的序列，即，故C正確；對D，當(dāng)n個元素的序列順序確定后，將元素n+1添加進(jìn)原序列，使得新序列（共n+1個元素）交換次數(shù)也是2，則元素n+1在新序列的位置只能是最后三個位置，若元素n+1在新序列的最后一個位置，則不會增加交換次數(shù)，故原序列交換次數(shù)為2（這樣的序列有個），若元素n+1在新序列的倒數(shù)第二個位置，則會增加1次交換，故原序列交換次數(shù)為1（這樣的序列有個），若元素n+1在新序列的倒數(shù)第三個位置，則會增加2次交換，故原序列交換次數(shù)為0（這樣的序列有1個），因此，，所以，顯然，所以，故D正確.故選：BCD.12.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且為非常數(shù)函數(shù)，，為奇函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，且，故A正確；由，兩邊求導(dǎo)，得，即.由的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，得，因此，故B正確；因?yàn)闉楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，即，所以，即，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以.又，所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，，，所以是周期函數(shù)，4為它的一個周期，所以，故錯誤；由，得.又，所以3，所以，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.已知復(fù)數(shù)滿足，則______.【答案】【解析】由題意：.所以.故答案為：14.已知橢圓：，過左焦點(diǎn)作直線與圓：相切于點(diǎn)，與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，且，則橢圓離心率為______.【答案】【解析】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接，如下圖所示：由圓：可知圓心，半徑；顯然，且，因此可得，所以，可得；即可得，又易知；由余弦定理可得，解得，再由橢圓定義可得，即，因此離心率.故答案為：15.在中，，則的最大值為______.【答案】【解析】因?yàn)椋傻?，所以，可得，由正弦定理得，又因?yàn)椋?，所以，則，因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，由，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以.故答案為：.16.英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計了高爾頓釘板來研究隨機(jī)現(xiàn)象.如圖是一個高爾頓釘板的設(shè)計圖，每一黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆釘子恰好位于下一層兩顆打子的正中間，小球每次下落，將隨機(jī)的向兩邊等概率的下落.數(shù)學(xué)課堂上，老師向?qū)W生們介紹了高爾頓釘板放學(xué)后，愛動腦的小明設(shè)計了一個不一樣的“高爾頓釘板”，它使小球在從釘板上一層的兩顆釘子之間落下后砸到下一層的釘子上時，向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.當(dāng)有大量的小球依次滾下時，最終都落入釘板下面的5個不同位置.若一個小球從正上方落下，經(jīng)過5層釘板最終落到4號位置的概率是______.【答案】【解析】因?yàn)橄蜃笙侣涞母怕蕿橄蛴蚁侣涞母怕实?倍，所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，則下落的過程中向左一次，向右三次才能最終落到4號位置，此時概率為：.故答案為：.四、解答題（共4小題，共70分）17.記內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若為等腰三角形且腰長為2，求的底邊長.解：（1），由正弦定理得：，∵，∵，（2）當(dāng)為頂角，則底邊，，當(dāng)為底角，則該三角形內(nèi)角分別為，，，則底邊為故的底邊長為或.18.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且．（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）求導(dǎo)得，