中考數(shù)學二輪復習壓軸大題突破訓練專題17 多函數(shù)綜合問題（解析版）

專題17多函數(shù)綜合問題多函數(shù)綜合題是指一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)的綜合，考查形式多樣，包括存在性問題、面積問題、線段和差的最值問題以及角度的問題。在解決此類問題，首先掌握各函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解決問題的前提。 （2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，經(jīng)過點的直線AB與y軸交于點．經(jīng)過原點O的拋物線交直線AB于點A，C，拋物線的頂點為D．(1)求拋物線的表達式；(2)M是線段AB上一點，N是拋物線上一點，當軸且時，求點M的坐標；(3)P是拋物線上一動點，Q是平面直角坐標系內(nèi)一點．是否存在以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；(2)求出直線AB的表達式為，設，，分當M在N點上方時，．和當M在N點下方時，，即可求出M的坐標；（3）畫出圖形，分AC是四邊形的邊和AC是四邊形的對角線，進行討論，利用勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、函數(shù)圖像的交點、平移等知識點進行解答即可得出答案．【答案】(1)(2)或或(3)存在，或或或【詳解】（1）解：∵拋物線過點，∴，解得，∴拋物線的表達式為．（2）設直線AB的解析式為：，∵直線AB經(jīng)過，，∴，∴，∴直線AB的表達式為．∵軸，可設，，其中．當M在N點上方時，．解得，（舍去）．∴．當M在N點下方時，．解得，．∴，．綜上所述，滿足條件的點M的坐標有三個，，．（3）存在．滿足條件的點Q的坐標有4個．，，，．理由如下：①如圖，若AC是四邊形的邊．當時，∴拋物線的對稱軸與直線AB相交于點．過點C，A分別作直線AB的垂線交拋物線于點，，∵，，∴，，．∵，∴．∴．∴點與點D重合．當時，四邊形是矩形．∵向右平移1個單位，向上平移1個單位得到．∴向右平移1個單位，向上平移1個單位得到．此時直線的解析式為．∵直線與平行且過點，∴直線的解析式為．∵點是直線與拋物線的交點，∴．解得，（舍去）．∴．當時，四邊形是矩形．∵向左平移3個單位，向上平移3個單位得到．∴向左平移3個單位，向上平移3個單位得到．②如圖，若AC是四邊形的對角線，當時．過點作軸，垂足為H，過點C作，垂足為K．可得，．∴．∴．∴．∵點P不與點A，C重合，∴和．∴．∴．∴如圖，滿足條件的點P有兩個．即，．當時，四邊形是矩形．∵向左平移個單位，向下平移個單位得到．∴向左平移個單位，向下平移個單位得到．當時，四邊形是矩形．∵向右平移個單位，向上平移個單位得到．∴向右平移個單位，向上平移個單位得到．綜上，滿足條件的點Q的坐標為或或或．本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，本題主要涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，點的平移等知識，根據(jù)題意畫出符合條件的圖形、進行分類討論是解題的關鍵．（2022·山西·中考真題）綜合與探究如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，設點P的橫坐標為m．過點P作直線軸于點D，作直線BC交PD于點E(1)求A，B，C三點的坐標，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達式；(2)當是以PE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標；(3)連接AC，過點P作直線，交y軸于點F，連接DF．試探究：在點P運動的過程中，是否存在點P，使得，若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．（1）令中y和x分別為0，即可求出A，B，C三點的坐標，利用待定系數(shù)法求直線BC的函數(shù)表達式；（2）過點C作于點G，易證四邊形CODG是矩形，推出，，，再證明，推出，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可以得出，則，由P點在拋物線上可得，聯(lián)立解出m，代入二次函數(shù)解析式即可求出點P的坐標；（3）分點F在y軸的負半軸上和點F在y軸的正半軸上兩種情況，畫出大致圖形，當時，，由（2）知，用含m的代數(shù)式分別表示出OF，列等式計算即可．【答案】(1)，點C的坐標為；(2)(3)存在；m的值為4或【詳解】（1）解：由得，當時，，∴點C的坐標為．當時，，解得．∵點A在點B的左側(cè)，∴點A，B的坐標分別為．設直線BC的函數(shù)表達式為，將，代入得，解得，∴直線BC的函數(shù)表達式為﹒（2）解：∵點P在第一象限拋物線上，橫坐標為m，且軸于點D，∴點P的坐標為，，∴．∵點B的坐標為，點C的坐標為，∴，．過點C作于點G，則．∵，∴四邊形CODG是矩形，∴，，．∴．∵，∴．∴，即，

∴．在中，∵，∴．∴，∴解得（舍去），∴．當時，﹒∴點P的坐標為．（3）解：存在；m的值為4或．分兩種情況，①當點F在y軸的負半軸上時，如下圖所示，過點P作直線軸于點H，∵過點P作直線，交y軸于點F，∴，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，由（2）知，．

根據(jù)勾股定理，在中，，在中，，當時，，∵，∴，∴，解得或，∵點P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，∴；②當點F在y軸的正半軸上時，如下圖所示，同理可得，，，，，∴∴，解得或，∵點P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，∴；綜上，m的值為4或本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知識點，第三問難度較大，需要分情況討論，畫出大致圖形，用含m的代數(shù)式表示出OF是解題的關鍵．（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點．(1)求反比例函數(shù)的表達式及點的坐標；(2)過點作直線，交反比例函數(shù)圖象于另一點，連接，當線段被軸分成長度比為的兩部分時，求的長；(3)我們把有兩個內(nèi)角是直角，且一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形稱為“完美箏形”．設是第三象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖象上一點，是平面內(nèi)一點，當四邊形是完美箏形時，求，兩點的坐標．(1)首先把點A的坐標代入，即可求得點A的坐標，再把點A的坐標代入，即可求得反比例函數(shù)的解析式，再利用方程組，即可求得點B的坐標；(2)設直線AC的解析式為y=kx+b，點C的坐標為，直線AC與y軸的交點為點D，把點A、C的坐標分別代入y=kx+b，可求得點D的坐標為，可求得AD、CD的長，再分兩種情況分別計算，即可分別求得；(3)方法一：如圖，過點作，交的另一支于點，過點作軸的平行線，過點作軸的垂線，交于點，作交于點，設交于點，根據(jù)，求得點的坐標，進而求得的解析式，設點D的坐標為(a，b)，根據(jù)定義以及在直線上，建立方程組，即可求得點的坐標．【答案】(1)反比例函數(shù)的表達式為，點的坐標為(2)或(3)，【詳解】（1）解：把點A的坐標代入，得，解得a=1，故點A的坐標為(1,4)，把點A的坐標代入，得k=4，故反比例函數(shù)的表達式為，，得，解得，，故點A的坐標為(1,4)，點的坐標為；（2）解：設直線AC的解析式為y=kx+b，點C的坐標為，直線AC與y軸的交點為點D，把點A、C的坐標分別代入y=kx+b，得，解得，故點D的坐標為，，，如圖：當AD:CD=1:2時，連接BC，得，得，得，解得或(舍去)，故或(舍去)，故此時點C的坐標為(-2,-2)，，如圖：當CD:AD=1:2時，連接BC，得，得，得，解得或(舍去)，故或(舍去)，故此時點C的坐標為，，綜上，BC的長為或；（3）解：如圖，過點作，交的另一支于點，過點作軸的平行線，過點作軸的垂線，交于點，作交于點，設交于點，如圖∵設，，則又即解得或（舍去）則點設直線的解析式為，將點，解得直線的解析式為設，根據(jù)題意，的中點在直線上，則∵則解得或（在直線上，舍去）．綜上所述，．本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式，平面直角坐標系中兩點間距離公式，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，采用分類討論的思想和待定系數(shù)法求解析式是解決本題的關鍵．1．（2022·廣東揭陽·揭陽市實驗中學?？寄M預測）如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，拋物線上一點D的橫坐標為．(1)求直線BD的解析式；(2)點E是線段BD上的動點，過點E作x軸的垂線交拋物線于點F，當折線EF+BE最大時，在對稱軸上找一點P，在y軸上找一點Q，連接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值；(3)如圖2，連接BC，把△OBC沿x軸翻折，翻折后的△OBC記為△OBC′，現(xiàn)將△OBC′沿著x軸平移，平移后△OBC′記為△O′B′C″，連接DO′、C″B，記C″B與x軸形成較小的夾角度數(shù)為α，當∠O′DB=α時，求出此時C″的坐標．【答案】(1)直線BD的解析式為(2)的最小值為(3)坐標為【思路分析】（1）先求出B、D兩點的坐標，再利用待定系數(shù)法計算，即可得出結(jié)論；（2）如圖3中，設交軸于，則，設，則，設與軸的交點為，則，根據(jù)題意，利用三角函數(shù)，得出，構建二次函數(shù)確定的值，求出點的坐標，如圖4中，作點關于軸的對稱點，于，連接，交對稱軸于，交軸于，當共線時，最小，最小值為，再根據(jù)勾股定理，計算即可得出結(jié)果；（3）如圖5中，作于，設，則，，，由，得出，列出方程，計算即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：令，則，解得：或，∴，，令，則，∴，當時，，∴點坐標，設直線解析式為，則有，解得，∴直線BD的解析式為；（2）解：如圖3中，設交軸于，則，設，則，設與軸的交點為，則，∴，，∴，∴，∴，∴時，的值最大，此時點坐標，如圖4中，作點關于軸的對稱點，于，連接，交對稱軸于，交軸于，∵、關于對稱軸對稱，∴，∵、關于軸對稱，∴，∴，∴當共線時，最小，最小值為，在中，．∴的最小值為；（3）解：如圖5中，作于，設，則，，，∵，，∴，∴，∴，∴，解得或（舍棄），∴坐標為．2．（2022·廣東廣州·廣東番禺中學?？既＃┮阎獟佄锞€．拋物線過點A（3，0），與y軸交于點B．直線AB與這條拋物線的對稱軸交于點P．(1)求拋物線的解析式及點B、C的坐標；(2)求直線AB的解析式和點P的坐標；(3)在第一象限內(nèi)的該拋物線有一點D（x．y），且S△ABD＝S△ABC，求點D的坐標．【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3，B（0，3），C（﹣1，0）(2)y＝﹣x+3，P的坐標為（1，2）(3)D（，）或（，）．【思路分析】（1）將點A（3，0）代入y＝﹣x2+2x+m可求得m的值，令x＝0，求得y的值，即可求得B的坐標；然后根據(jù)拋物線的對稱性求得對稱軸，進而確定點C的坐標；（2）先用待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式，把x＝1代入求得的直線解析式即可求得P的坐標；（3）過D點作DE⊥x軸，交直線AB與E，表示出DE，然后根據(jù)三角形面積公式得到關于x的方程，解方程求得x的值即可．【詳解】（1）解：∵拋物線y＝﹣x2+2x+m過點A（3，0），∴﹣9+6+m＝0，解得m＝3，∴拋物線為y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，則y＝3，∴B（0，3），∵對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴點A（3，0）關于對稱軸的對稱點為（﹣1，0），∴C（﹣1，0）．（2）解：設直線AB的解析式為y＝kx+b，把A（3，0），B（0，3）代入得，解得，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3，∵把x＝1代入y＝﹣x+3得，y＝2，∴P的坐標為（1，2）．（3）解：∵拋物線有一點D（x．y），∴D（x，﹣x2+2x+3），過D點作DE⊥x軸，交直線AB于E，∴E（x，﹣x+3），∵A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0），∴DE=﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+2x∴S△ABC＝（3+1）×3＝6，∴S△ABD＝S△ABC＝，∵S△ABD＝S△ADE+S△BDE，∴DE·（3-x）+DE·x=（﹣x2+3x）×3＝，解得x＝，∴y＝﹣x2+2x+3＝或∵在第一象限內(nèi)的該拋物線有一點D（x．y）∴D（，）或（，）．3．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考一模）定義：在平面直角坐標系中，點，，若，則稱點M，N互為正等距點，叫做點M，N的正等距．特別地，一個點與它本身互為正等距點，且正等距為0.例如，點，互為正等距點，兩點的正等距為3．在平面直角坐標系中，點A的坐標為．(1)判斷反比例函數(shù)的圖象上是否存在點A的正等距點？若存在，求出該點的坐標；若不存在，請說明理由；(2)若與點A的正等距等于4的點恰好落在直線上，求k的值；(3)若拋物線上存在點A的正等距點B，且點A，B的正等距不超過1，請直接寫出a的取值范圍．【答案】(1)存在，(2)或(3)或【思路分析】（1）根據(jù)正等距點的定義設所求點坐標為，代入反比例函數(shù)解析式計算即可；（2）與點的正等距等于4的點為或，代入函數(shù)解析式即可即可；（3）根據(jù)正等距點的定義設B點坐標為，代入函數(shù)解析式計算即可；【詳解】（1）解：存在∵設點A的正等距點坐標為代入得：，解得，．∵，∴．∴符合題意的點A的正等距點為；（2）由題意得，與點的正等距等于4的點為或若恰好落在直線上，代入得出5=6k+2，解得：；若恰好落在直線上，代入解得：；綜上，或．（3）∵點A的正等距點B∴設B點坐標為∵點A，B的正等距不超過1，∴∴把代入得，整理得：∴這個關于n的方程至少有一個解的范圍是∴∴設二次函數(shù)∴頂點在x軸下方，對稱軸當時，當時，∵關于n的方程至少有一個解的范圍是∴與x軸交點橫坐標至少有一個在當兩個交點都在時，，解得：當只有一個交點在時，如圖左邊交點在時此時，解得；如圖右邊交點在時此時，不等式組無解；綜上所述，或．4．（2022·江蘇鹽城·校聯(lián)考一模）學習了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，小明知道，將點P繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α，能得到一個新的點P′，經(jīng)過進一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當上述點P在某函數(shù)圖象上運動時，點P′也隨之運動，并且點P′的運動軌跡能形成一個新的圖形．試根據(jù)下列各題中所給的角度α的大小來解決相關問題．【初步感知】如圖1，設α＝90°，點P是一次函數(shù)y＝kx+b圖象上的動點，已知該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P1（1，2）．(1)點P1旋轉(zhuǎn)后，得到的點P1′的坐標為；(2)若點P′的運動軌跡經(jīng)過點P2′（1，1），求原一次函數(shù)的表達式．【深入感悟】(3)如圖2，設α＝45°，點P是反比例函數(shù)y＝（x>0且k>0）的圖象上的動點，當動點P′運動到直線y=上時，恰好有OP′=，求出k的值.【靈活運用】(4)如圖3，設α＝90°，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點P是二次函數(shù)圖象上的動點，過P′作直線AC的垂線段P′H，試探究P′H是否有最小值？若有，求出該最小值；若沒有，請說明理由．【答案】(1)（2，-1）(2)(3)k=8(4)P′H有最小值，是【思路分析】（1）過點P1作P1A⊥y軸于點A，過點P1′作P1′B⊥y軸于點B，連接OP1，OP1′，通過AAS證△AP1O≌△BOP1′，進而求點坐標；（2）運用待定系數(shù)法求解析式即可；（3）過點P′作P′C⊥x軸于點C，過點P作PE⊥y軸于點E，過作于過作軸，交于設則再利用等面積法與勾股定理列方程組求解的坐標即可；（4）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P′是在順時針旋轉(zhuǎn)90°的拋物線上運動，反之可將AC逆時針旋轉(zhuǎn)90°，當P到EF距離最短時，即P′H有最小值.【詳解】（1）解：過點P1作P1A⊥y軸于點A，過點P1′作P1′B⊥y軸于點B，連接OP1，OP1′∴∠P1AO=∠P1′BO=90°∵P1為（1，2）∴AO=2，AP1=1∵P1繞O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到P1′∴OP1=OP1′，∠P1OP1′=90°∵∠1+∠2=90°∠1+∠3=90°∴∠2=∠3∴△AP1O≌△BOP1′（AAS）∴AO=BP1′=2，OB=AP1=1∴P1′的坐標為（2，-1）故答案為：（2，-1）（2）解：∵P2′（1，1）∴由題意，得P′坐標為（-1，1）∵P1（1，2），P′（-1，1）在原一次函數(shù)圖象上∴解得∴原一次函數(shù)解析式為y=x+（3）解：過點P′作P′C⊥x軸于點C，過點P作PE⊥y軸于點E，過作于過作軸，交于設則∵∠POP′=45°，∵tan∠COP′=，而由勾股定理可得：，解得：經(jīng)檢驗：不符合題意，舍去，∴k=4×2=8（4）解：將AC逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到EF∵的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C∴點A坐標為（-4，0），點C坐標為（0，-2）則點E坐標為（2，0），點F坐標為（0，-4）設直線EF的解析式為y=mx+n則解得∴直線EF的解析式為y=2x-4令直線l：y=2x+a與拋物線只有一個交點則只有一個實數(shù)根∴∴（-1）2-4×（-4-2a）=0∴a=-∴直線l為y=2x-由平移性質(zhì)，可知直線l與直線EF水平距離為4-=過點M作MN⊥EF∴ME=∵k=2∴sin∠OEF=∴MN==即P′Hmin=5．（2021·浙江金華·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)圖象的頂點為C，其中，與x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點D．點M坐標為．（1）當時，拋物線經(jīng)過原點，求a的值．（2）當時，①若點M、點D、點C三點組成的三角形是直角三角形，求此時點D坐標．②設反比例函數(shù)與拋物線相交于點，當時，求m的取值范圍．【答案】（1）；（2）①，②或【思路分析】（1）把和原點代入，直接解方程即可，（2）①過C點作CN⊥y軸，首先表示出C,D的坐標，再利用相似構造方程解出m即可求出D的坐標，②求出交點，再根據(jù)交點的情況確定m取值范圍；【詳解】（1）當時，拋物線∵經(jīng)過原點∴得，解得：（2）①過C點作CN⊥y軸，；點，點∴點C在直線上，M(0，4)，過作軸于∵△MDC是直角三角形∴∠MCD=90°∴∠MCD=∠CND=∠CNM=90°∴∠CDM=∠MCN∴△CDN∽△MCN∴即，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的根，且符合題意，∴此時點D坐標為②∵，∴當P=2時，可得當P=4時，可得當拋物線經(jīng)過點時，，解得當拋物線經(jīng)過點時，解得當交點在拋物線對稱軸左邊時，即m＜2時，可得又∴當交點在拋物線對稱軸右邊時，即m＞2時，可得∴m的取值范圍為或6．（2021·河北·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于點A、點B，交雙曲線于點拋物線過點B，且與該雙曲線交于點D，點D的縱坐標為．（1）求雙曲線與拋物線的解析式．（2）若點P為該拋物線上一點，點Q為該雙曲線上一點，且P，Q兩點的縱坐標都為，求線段的長．（3）若點M沿直線從點A運動到點C，再沿雙曲線從點C運動到點D．過點M作軸，交拋物線于點N．設線段的長度為d，點M的橫坐標為m，直接寫出d的最大值，以及d隨m的增大而減小時m的取值范圍．【答案】（1），；（2）或；（3）的最大值是，，，時，隨的增大而減?。舅悸贩治觥浚?）根據(jù)直線解析式求出點、、的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，再求出點的坐標，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)拋物線和雙曲線解析式求出點、的坐標，然后根據(jù)平行于軸的直線上兩點間的距離的求法求解即可；（3）分點在、、上三種情況，根據(jù)直線、拋物線和雙曲線的解析式表示出，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性解答．【詳解】解：（1）令，則，解得，令，則，所以，點，，時，，所以，點，設雙曲線解析式為，則，解得，所以，雙曲線解析式為，點的縱坐標為，，解得，點，拋物線過點、，，解得，拋物線的解析式為；（2）當時，，整理得，，解得，，點的坐標為，或，，，解得，點的坐標為，或；（3）①點在上時，，，隨的增大而減小，②點在上時，，，時，有最大值為，時，隨的增大而減小，③點在上時，，，由圖可知，隨的增大而減小，綜上所述，的最大值是，，，時，隨的增大而減小．7．（2020·山東泰安·統(tǒng)考一模）四邊形的一條對角線將這個四邊形分成兩個三角形，如果這兩個三角形相似(不全等)，那么我們將這條對角線叫做這個四邊形的相似對角線．(1)如圖1，四邊形ABCD中，∠DAB＝100°，∠DCB＝130°，對角線AC平分∠DAB，求證：AC是四邊形ABCD的相似對角線；(2)如圖2，直線分別與x，y軸相交于A，B兩點，P為反比例函數(shù)y＝(k＜0)上的點，若AO是四邊形ABOP的相似對角線，求反比例函數(shù)的解析式；(3)如圖3，AC是四邊形ABCD的相似對角線，點C的坐標為(3，1)，AC∥x軸，∠BCA＝∠DCA＝30°，連接BD，△BCD的面積為．過A，C兩點的拋物線y＝ax2+bx+c(a＜0)與x軸交于E，F(xiàn)兩點，記|m|＝AC+1，若直線y＝mx與拋物線恰好有3個交點，求實數(shù)a的值．【答案】（1）見解析；（2）y＝﹣或y＝﹣或y＝﹣或y＝﹣；（3）a＝﹣或﹣．【思路分析】（1）如圖1，設∠ACD＝α，則∠ACB＝130°﹣α，則∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣（130°﹣α）＝α，即可求解；（2）分∠APO為直角、∠OAP為直角兩種情況，分別求解即可；（3）CH＝BC，則BH＝BC，△BCD的面積＝CD?BH＝CD×HB＝，故CD?BC＝4，而△BAC∽△ACD，故CD2＝BC?CD＝4，故CD＝2，則點A（1，1），則拋物線的表達式為：y＝ax2+（4a+3）x+3a+1，AC＝1，則m＝±3，故直線的表達式為：y＝±3x，直線y＝﹣3x與拋物線有兩個交點，而直線y＝mx與拋物線恰好有3個交點，則直線y＝3x與拋物線有一個交點，即可求解．【詳解】解：（1）如圖1，設∠ACD＝α，則∠ACB＝130°﹣α，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣（130°﹣α）＝α，在△ABC和△ACD中，∠B＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，∴△ABC∽△ACD，∴AC是四邊形ABCD的相似對角線；（2）①當∠APO為直角時，當∠OAP＝30°時，過點P作PH⊥x軸于點H，設OH＝x，則HP＝x，HA＝3x，則x+3x＝4，解得：x＝1，故點P（1，﹣），故k＝﹣；當∠AOP＝30°時，同理可得：k＝﹣3；②當∠OAP為直角時，當∠OPA＝30°時，點P（4，﹣4），k＝﹣16；當∠AOP＝30°時，OA＝AO，∠OAP＝∠AOB＝90°，∠AOP＝∠OAB＝30°∴△OAP≌△AOB，不符合相似對角線的定義，故舍去；綜上，反比例函數(shù)的表達式為：y＝﹣或y＝﹣或y＝﹣；（3）如圖3，過點B作BH⊥CD于點H，則∠CBH＝60°﹣∠BCD＝30°，故CH＝BC，則BH＝BC，△BCD的面積＝CD?BH＝CD×BC＝，故CD?BC＝4而△BAC∽△ACD，故CA2＝BC?CD＝4，故CA＝2，則點A（1，1），而點C（3，1），將點A、C的坐標代入拋物線表達式并解得：拋物線的表達式為：y＝ax2﹣4ax+3a+1，AC＝2，則m＝±3，故直線的表達式為：y＝±3x，直線y＝﹣3x與拋物線有兩個交點，而直線y＝mx與拋物線恰好有3個交點，則直線y＝3x與拋物線有一個交點，聯(lián)立直線y＝3x于拋物線的表達式并整理得：ax2﹣（4a+3）x+3a+1＝0，△＝（4a+3）2﹣4a（3a+1）＝0，解得：a＝﹣或﹣．8．（2022·湖南長沙·長沙市長郡雙語實驗中學校聯(lián)考二模）如果三角形的兩個內(nèi)角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“CJ三角形”．(1)判斷下列三角形是否為“CJ三角形”？如果是，請在對應（

）內(nèi)畫“√”，如果不是，請在對應（

）內(nèi)畫“×”；①其中有兩內(nèi)角分別為30°，60°的三角形（

）；②其中有兩內(nèi)角分別為50°，60°的三角形（

）；③其中有兩內(nèi)角分別為70°，100°的三角形（

）；(2)如圖1，點A在雙曲線（）上且橫坐標為1，點B（4，0），C為OB中點D為y軸負半軸上一點，若∠OAB=90°．①求k的值并求證：△ABC為“CJ三角形”；②若△OAB與△OBD相似，直接寫出D的坐標；(3)如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，E為BC邊上一點，BE＞CE且△ABE是“CJ三角形”，已知A（，0），記BE=t，過A，E作拋物線（），B在A右側(cè)，且在x軸上，點Q在拋物線上，使得tan∠ABQ=，若符合條件的Q點個數(shù)為3個，求拋物線的解析式．【答案】(1)①×，②×，③√(2)①，△ABC為兩底角均為30°的等腰三角形即為“CJ三角形”；②或；(3)【思路分析】（1）根據(jù)“CJ三角形”的定義，即可求解；（2）①連接AC，過點A作AP⊥BO于點P，可得OP=1，再由點B（4，0），C為OB中點可得AP垂直平分OC，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得點A，由①可得△OAC是等邊三角形，可得∠ACO=60°，再由“CJ三角形”的定義，即可求解；②根據(jù)題意得：∠BOD=∠OAB=90°，然后分兩種情況：當∠ABO=∠OBD時，當∠ABO=∠ODB時，即可求解；（3）分兩種情況討論：當時，可得，，不合題意，舍去；當AE是的平分線時，過點E作于F，則，可得點F與點O重合，從而得到點E（0，3），，根據(jù)符合條件的Q點個數(shù)為3個，可得當點Q在x軸下方時，直線BQ與拋物線只有一個交點，然后求出直線BQ的解析式為，拋物線解析式為，聯(lián)立可得方程有兩個相等的