中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)二次函數(shù)重難點(diǎn)練習(xí)專(zhuān)題13 二次函數(shù)與平行四邊形存在性問(wèn)題（原卷版）

專(zhuān)題13二次函數(shù)與平行四邊形存在性問(wèn)題解題點(diǎn)撥考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：（1）對(duì)應(yīng)邊平行且相等；（2）對(duì)角線(xiàn)互相平分．這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運(yùn)用在在坐標(biāo)系中：（1）對(duì)邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為：，可以理解為點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)A，點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D，移動(dòng)路徑完全相同．（2）對(duì)角線(xiàn)互相平分轉(zhuǎn)化為：，可以理解為AC的中點(diǎn)也是BD的中點(diǎn)．【小結(jié)】雖然由兩個(gè)性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實(shí)可以化為統(tǒng)一：，→．當(dāng)AC和BD為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，結(jié)果可簡(jiǎn)記為：（各個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫縱坐標(biāo)相加）以上是對(duì)于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問(wèn)題，此處當(dāng)有一問(wèn)：若坐標(biāo)系中的4個(gè)點(diǎn)A、B、C、D滿(mǎn)足“A+C=B+D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形？反例如下：之所以存在反例是因?yàn)椤八倪呅蜛BCD是平行四邊形”與“AC、BD中點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)”并不是完全等價(jià)的轉(zhuǎn)化，故存在反例．雖有反例，但并不影響運(yùn)用此結(jié)論解題，另外，還需注意對(duì)對(duì)角線(xiàn)的討論：（1）四邊形ABCD是平行四邊形：AC、BD一定是對(duì)角線(xiàn)．（2）以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)是四邊形是平行四邊形：對(duì)角線(xiàn)不確定需要分類(lèi)討論．直擊中考1．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），A兩點(diǎn)，且二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)是其對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，y軸上一點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點(diǎn)P，連結(jié)，，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．已知拋物線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，與軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線(xiàn)還經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)已知點(diǎn)在軸上，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱(chēng)軸與線(xiàn)段交于點(diǎn)E，垂直于x軸的動(dòng)直線(xiàn)l分別交拋物線(xiàn)和線(xiàn)段與點(diǎn)P和F，動(dòng)直線(xiàn)l在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)（不含對(duì)稱(chēng)軸）沿x軸正方向移動(dòng)到B點(diǎn)．(1)求出所在直線(xiàn)的表達(dá)式；(2)在動(dòng)直線(xiàn)l移動(dòng)的過(guò)程中，試求使四邊形為平行四邊形的點(diǎn)P的坐標(biāo)；4．（2021·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）連接，求直線(xiàn)的解析式；（3）請(qǐng)?jiān)趻佄锞€(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)，使的值最小，求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的最小值；（4）點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)，使得以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，．(1)求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線(xiàn)下方拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交軸于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線(xiàn)沿水平方向向左平移5個(gè)單位，點(diǎn)為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，為平移后的拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)．在平移后的拋物線(xiàn)上確定一點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫(xiě)出求解點(diǎn)的坐標(biāo)的其中一種情況的過(guò)程．6．（2022·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線(xiàn)y＝ax2+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．在線(xiàn)段CB上方的拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，作PFAB交BC于點(diǎn)F．(1)求拋物線(xiàn)和直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式，(2)當(dāng)△PEF的周長(zhǎng)為最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PEF的周長(zhǎng)．(3)若點(diǎn)G是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以C、B、G、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（2022·四川眉山·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點(diǎn)是第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值；(3)如圖2，若點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（2022·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)、點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值．(3)點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，作//交軸于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)，，與y軸相交于點(diǎn)C．(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；(2)如圖1，將直線(xiàn)BC間上平移，得到過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)MN．點(diǎn)D是直線(xiàn)MN上任意一點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)D在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l上時(shí)，連接CD，關(guān)x軸相交于點(diǎn)E，水線(xiàn)段OE的長(zhǎng)；②如圖2，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l上是否存在點(diǎn)F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)F與點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2022·四川資陽(yáng)·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且與x軸交于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，此時(shí)點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D．①連結(jié)，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，求m的值；②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線(xiàn)上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與y軸相交于點(diǎn)C．(1)求拋物線(xiàn)的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)M在直線(xiàn)上方的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)B，C不重合），求使面積最大時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)，并求最大面積；（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）(3)設(shè)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，要使以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）12．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第八十九中學(xué)校考期末）如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)．(1)求a，b，c的值；(2)在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上找出一點(diǎn)P，使的值最小，并求出此時(shí)的面積；(3)若點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．（2022秋·天津紅橋·九年級(jí)校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)E．(1)求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N，判斷是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)M、N，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？计谀┤鐖D1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，與x軸交于兩點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，連接，點(diǎn)P是線(xiàn)段上方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)將該拋物線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)得到新拋物線(xiàn)，點(diǎn)E是原拋物線(xiàn)y和新拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，F(xiàn)是原拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，G為新拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若以E、F、A、G為頂點(diǎn)的四邊形是是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)．15．（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)如圖1，連接，點(diǎn)為線(xiàn)段下方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交線(xiàn)段于點(diǎn)，連接，記的面積為，的面積為，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）問(wèn)的條件下，將拋物線(xiàn)沿射線(xiàn)方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)在原拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)為新拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，直接寫(xiě)出所有使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的過(guò)程寫(xiě)出來(lái)．16．（2022·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)與x軸另一個(gè)交點(diǎn)A．拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C，作直線(xiàn)AD．(1)①求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式②并直接寫(xiě)出直線(xiàn)AD的函數(shù)表達(dá)式．(2)點(diǎn)E是直線(xiàn)AD下方拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，連接BD，DE，的面積記為，的面積記為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)G為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，將拋物線(xiàn)圖象中x軸下方部分沿x軸向上翻折，與拋物線(xiàn)剩下部分組成新的曲線(xiàn)為，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，將曲線(xiàn)，沿y軸向下平移n個(gè)單位長(zhǎng)度（）．曲線(xiàn)與直線(xiàn)BC的公共點(diǎn)中，選兩個(gè)公共點(diǎn)作點(diǎn)P和點(diǎn)Q，若四邊形是平行四邊形，直接寫(xiě)出P的坐標(biāo)．17．（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交直線(xiàn)于點(diǎn)E．(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；(2)把上述拋物線(xiàn)沿它的對(duì)稱(chēng)軸向下平移，平移的距離為，在平移過(guò)程中，該拋物線(xiàn)與直線(xiàn)始終有交點(diǎn)，求h的最大值；(3)M是（1）中拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，N是直線(xiàn)上一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)D，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖像交軸于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線(xiàn)段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線(xiàn)段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（）．當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大？最大面積是多少？(3)已知是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，在直線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖．在平面直角坐標(biāo)系中．拋物線(xiàn)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．已知點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合）．過(guò)點(diǎn)E作軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，交于點(diǎn)F．(1)求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；(2)若，請(qǐng)求出m的值；(3)是否存在這樣的m，使得與相似？若存在，求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，點(diǎn)M是x軸