2024-2025學年新教材高中數(shù)學第四章指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.5增長速度的比較學案新人教B版必修第二冊

PAGE1-4．5增長速度的比較考點學習目標核心素養(yǎng)平均變更率了解平均變更率描述增長速度的概念數(shù)學抽象模型增長差異了解在實際生活中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型數(shù)學建模問題導學預習教材P38－P40的內(nèi)容，思索以下問題：1．平均變更率是如何定義的？2．如何用平均變更率描述增長速度？3．線性增長、指數(shù)增長、對數(shù)增長有什么關系？1．平均變更率我們已經(jīng)知道，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2](x1<x2時)或[x2，x1](x1>x2時)上的平均變更率為eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).也就是說，平均變更率實質(zhì)上是函數(shù)值的變更量與自變量的變更量之比，這也可以理解為：自變量每增加1個單位，函數(shù)值平均將增加eq\f(Δf,Δx)個單位．因此，可用平均變更率來比較函數(shù)值變更的快慢．2．幾類不同增長的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型一次函數(shù)模型y＝kx(k>0)的增長特點是直線上升，其增長速度不變．(2)指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長速度急劇，形象地稱為“爆炸式增長”．(3)對數(shù)函數(shù)模型對數(shù)函數(shù)模型y＝logax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩．(4)冪函數(shù)模型當x>0，n>1時，冪函數(shù)y＝xn是增函數(shù)，且當x>1時，n越大其函數(shù)值的增長速度就越快．推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)增長速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型．()(2)對隨意的x＞0，kx＞logax.()(3)對隨意的x＞0，ax＞logax.()(4)在指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型、一次函數(shù)模型中增長速度較慢的函數(shù)模型是對數(shù)函數(shù)模型．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√下列函數(shù)中隨x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝ex B．y＝lnxC．y＝3x D．y＝e－x答案：A函數(shù)f(x)＝eq\r(x)從0到2的平均變更率為()A.eq\f(\r(2),2) B．1C．0 D．2解析：選A.由題意可知，函數(shù)f(x)＝eq\r(x)從0到2的平均變更率為eq\f(f（2）－f（0）,2－0)＝eq\f(\r(2),2)，故選A.平均變更率的比較(1)在x＝1旁邊，取Δx＝0.3，在四個函數(shù)①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝eq\f(1,x)中，平均變更率最大的是()A．④ B．③C．② D．①(2)汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖像如圖所示，在時間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速率分別為v1，v2，v3，則三者的大小關系為________．【解析】(1)Δx＝0.3時，①y＝x在x＝1旁邊的平均變更率k1＝1；②y＝x2在x＝1旁邊的平均變更率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1旁邊的平均變更率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝eq\f(1,x)在x＝1旁邊的平均變更率k4＝－eq\f(1,1＋Δx)＝－eq\f(10,13).所以k3＞k2＞k1＞k4，故應選B.(2)v1＝eq\f(s（t1）－s（t0）,t1－t0)＝kOA，v2＝eq\f(s（t2）－s（t1）,t2－t1)＝kAB，v3＝eq\f(s（t3）－s（t2）,t3－t2)＝kBC，又因為kBC＞kAB＞kOA，所以v3＞v2＞v1.【答案】(1)B(2)v3＞v2＞v1eq\a\vs4\al()求平均變更率的主要步驟(1)求Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)求Δx＝x2－x1.(3)求平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).1．函數(shù)f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之間的平均變更率為k1，在x0－Δx到x0之間的平均變更率為k2，則k1，k2的大小關系是()A．k1＜k2 B．k1＞k2C．k1＝k2 D．無法確定解析：選D.k1＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝2x0＋Δx，k2＝eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,Δx)＝2x0－Δx，又Δx可正可負且不為零，所以k1，k2的大小關系不確定，選D.2.如圖顯示物體甲、乙在時間0到t1范圍內(nèi)，路程的變更狀況，下列說法正確的是________．①在0到t0范圍內(nèi)，甲的平均速率大于乙的平均速率；②在0到t0范圍內(nèi)，甲的平均速率小于乙的平均速率；③在t0到t1范圍內(nèi)，甲的平均速率大于乙的平均速率；④在t0到t1范圍內(nèi)，甲的平均速率小于乙的平均速率．解析：由圖像知，0～t0范圍：v甲＝v乙＝eq\f(s0,t0)；t0～t1范圍：v甲＝eq\f(s2－s0,t1－t0)，v乙＝eq\f(s1－s0,t1－t0).因為s2－s0＞s1－s0，t1－t0＞0，所以v甲＞v乙．所以③正確．答案：③函數(shù)模型增長差異的比較甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點動身向同一個方向運動，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)關于時間x(x≥0)的函數(shù)關系式分別為f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下結(jié)論：①當x＞1時，甲走在最前面；②當x＞1時，乙走在最前面；③當0＜x＜1時，丁走在最前面，當x＞1時，丁走在最終面；④丙不行能走在最前面，也不行能走在最終面；⑤假如它們始終運動下去，那么最終走在最前面的是甲．其中，正確結(jié)論的序號為________．【答案】③④⑤eq\a\vs4\al()常見的函數(shù)模型及增長特點(1)線性函數(shù)模型線性函數(shù)模型y＝kx＋b(k＞0)的增長特點是直線上升，其增長速度不變．(2)指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(a＞1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長速度急劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”．(3)對數(shù)函數(shù)模型對數(shù)函數(shù)模型y＝logax(a＞1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩．1．下列函數(shù)中，增長速度越來越慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x2 D．y＝6x解析：選B.D中一次函數(shù)的增長速度不變，A、C中函數(shù)的增長速度越來越快，只有B中對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢，符合題意．2.“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝”．如圖給出了紅豆生長時間t(月)與枝數(shù)y(枝)的關系圖，那么最適合擬合紅豆的枝數(shù)與生長時間的關系的函數(shù)是()A．指數(shù)函數(shù)y＝2tB．對數(shù)函數(shù)y＝log2tC．冪函數(shù)y＝t3D．二次函數(shù)y＝2t2解析：選A.依據(jù)已知所給的關系圖，視察得到圖像在第一象限，且從左到右圖像是上升的，并且增長速度越來越快，依據(jù)四個選項中函數(shù)的增長趨勢可得，用指數(shù)函數(shù)擬合最好，故選A.不同增長函數(shù)模型的圖像特征函數(shù)f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖像如圖所示．(1)指出圖中C1，C2分別對應哪一個函數(shù)；(2)比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖像交點為分界點，對f(x)，g(x)的大小進行比較)．【解】(1)由函數(shù)圖像特征及變更趨勢，知曲線C1對應的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，曲線C2對應的函數(shù)為f(x)＝lgx.(2)當x∈(0，x1)時，g(x)＞f(x)；當x∈(x1，x2)時，g(x)＜f(x)；當x∈(x2，＋∞)時，g(x)＞f(x)．g(x)呈直線增長，函數(shù)值變更是勻稱的，f(x)隨著x的增大而漸漸增大，其函數(shù)值變更得越來越慢．eq\a\vs4\al()由圖像推斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的方法依據(jù)圖像推斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)時，通常是視察函數(shù)圖像上升得快慢，即隨著自變量的增大，圖像最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖像趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)；圖像增長速度不變的是一次函數(shù)．1．以下是三個變量y1，y2，y3隨變量x變更的函數(shù)值表：x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011.58522.3222.5852.8073…其中關于x呈指數(shù)函數(shù)變更的函數(shù)是________．解析：從表格可以看出，三個變量y1，y2，y3都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y1的增長速度最快，畫出它們的圖像(圖略)，可知變量y1呈指數(shù)函數(shù)變更．答案：y12.為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比，藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關系式為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up12(t－a)(a為常數(shù))，如圖所示，依據(jù)圖中所供應的信息，回答下列問題：(1)從藥物釋放起先，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關系式為________．(2)據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進入教室，那么從藥物釋放起先，至少要經(jīng)過________小時后，學生才能回到教室．解析：(1)由圖像可知，當0≤t≤0.1時，y＝10t；當t＞0.1時，由1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up12(0.1－a)，得a＝0.1，則當t＞0.1時，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up12(t－\f(1,10)).故y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10t，0≤t≤\f(1,10)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))\s\up12(t－\f(1,10))，t＞\f(1,10))).(2)由題意可知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up12(t－\f(1,10))＜0.25，得t＞0.6.答案：(1)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10t，0≤t≤\f(1,10)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))\s\up12(t－\f(1,10))，t＞\f(1,10)))(2)0.61．函數(shù)y＝2x在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變更率為()A．x0＋Δx B．1＋ΔxC．2＋Δx D．2解析：選D.由題意，可得平均變更率eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\f(2（x0＋Δx）－2x0,Δx)＝2，故選D.2．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)上增長速度最快的是()A．y＝x2 B．y＝log2xC．y＝2x D．y＝2x答案：D3．在一次數(shù)學試驗中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02則x，y的函數(shù)關系與下列哪類函數(shù)最接近？(其中a，b為待定系數(shù))()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bxC．y＝ax2＋b D．y＝a＋eq\f(b,x)答案：B4．現(xiàn)測得(x，y)的兩組對應值分別為(1，2)，(2，5)，現(xiàn)有兩個待選模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又測得(x，y)的一組對應值為(3，10.2)，則應選用________作為函數(shù)模型．答案：甲[A基礎達標]1．函數(shù)y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均變更率是()A．2 B．2xC．2＋Δx D．2＋(Δx)2解析：選C.依題意，所求平均變更率為eq\f(（1＋Δx）2－12,Δx)＝2＋Δx，故選C.2．已知函數(shù)y＝f(x)＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝0.1時，Δy的值為()A．0.40 B．0.41C．0.43 D．0.44解析：選B.Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)＝(2.1)2＋1－(22＋1)＝0.41.故選B.3．小明騎車上學，起先時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛．與以上事務吻合得最好的圖像是()解析：選C.小明勻速運動時，所得圖像為一條直線，且距離學校越來越近，故解除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學校的距離不變，故解除D.后來為了趕時間加快速度行駛，故解除B.故選C.4．某學校開展探討性學習活動，某同學獲得一組試驗數(shù)據(jù)如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是()A．y＝2x－2 B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)C．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)解析：選D.法一：相鄰的自變量之差大約為1，相鄰的函數(shù)值之差大約為2.5，3.5，4.5，6，基本上是漸漸增加的，二次曲線擬合程度最好，故選D.法二：比較四個函數(shù)值的大小，可以采納特別值代入法．可取x＝4，經(jīng)檢驗易知選D.5．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖像大致是()解析：選D.設該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意知，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以y＝f(x)的圖像大致為D中圖像．6．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(1，＋∞)上增長較快的一個是________．解析：當x變大時，x比lnx增長要快，所以x2要比xlnx增長得快．答案：y＝x27.在某種金屬材料的耐高溫試驗中，溫度y(℃)隨著時間t(min)變更的狀況由計算機記錄后顯示的圖像如圖所示．現(xiàn)給出下列說法：①前5min溫度增加的速度越來越快；②前5min溫度增加的速度越來越慢；③5min以后溫度保持勻速增加；④5min以后溫度保持不變．其中正確的說法是________．解析：因為溫度y關于時間t的圖像是先凸后平，所以前5min每當t增加一個單位，相應的增量Δy越來越小，而5min后y關于t的增量保持為0，則②④正確．答案：②④8．生活閱歷告知我們，當水注入容器(設單位時間內(nèi)進水量相同)時，水的高度隨著時間的變更而變更，在下圖中請選擇與容器相匹配的圖像，A對應________；B對應________；C對應________；D對應________．解析：A容器下粗上細，水高度的變更先慢后快，故與(4)對應；B容器為球形，水高度變更為快—慢—快，應與(1)對應；C，D容器都是柱形的，水高度的變更速度都應是直線型，但C容器細，D容器粗，故水高度的變更為C容器快，與(3)對應，D容器慢，與(2)對應．答案：(4)(1)(3)(2)9．同一坐標系中，畫出函數(shù)y＝x＋5和y＝2x的圖像，并比較x＋5與2x的大?。猓阂罁?jù)函數(shù)y＝x＋5與y＝2x的圖像增長差異得：當x＜3時，x＋5＞2x，當x＝3時，x＋5＝2x，當x＞5時，x＋5＜2x.10．某國2024年至2024年國內(nèi)生產(chǎn)總值(單位：萬億元)如下表所示：年份2024202420242024x(年份代碼)0123生產(chǎn)總值y(萬億元)8.20678.94429.593310.2398(1)畫出函數(shù)圖像，猜想y與x之間的函數(shù)關系，近似地寫出一個函數(shù)關系式；(2)利用得出的關系式求生產(chǎn)總值，與表中實際生產(chǎn)總值比較；(3)利用關系式預料2033年該國的國內(nèi)生產(chǎn)總值．解：(1)畫出函數(shù)圖像，如圖所示．從函數(shù)的圖像可以看出，畫出的點近似地落在一條直線上，設所求的函數(shù)關系式為y＝kx＋b(k≠0)．把直線經(jīng)過的兩點(0，8.2067)和(3，10.2398)代入上式，解得k＝0.6777，b＝8.2067.所以函數(shù)關系式為y＝0.6777x＋8.2067.(2)由得到的函數(shù)關系式計算出2024年和2024年的國內(nèi)生產(chǎn)總值分別為0．6777×1＋8.2067＝8.8844(萬億元)，0．6777×2＋8.2067＝9.5621(萬億元)．與實際的生產(chǎn)總值相比，誤差不超過0.1萬億元．(3)2033年，即x＝17時，由(1)得y＝0.6777×17＋8.2067＝19.7276，即預料2033年該國的國內(nèi)生產(chǎn)總值約為19.7276萬億元．[B實力提升]11．在固定電壓差(電壓為常數(shù))的前提下，當電流通過圓柱形的電線時，其電流強度I與電線半徑r的三次方成正比，若已知電流通過半徑為4毫米的電線時，電流強度為320安，則電流通過半徑為3毫米的電線時，電流強度為()A．60安 B．240安C．75安 D．135安解析：選D.由已知，設比例常數(shù)為k，則I＝k·r3.由題意，當r＝4時，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝eq\f(320,64)＝5，所以I＝5r3.故當r＝3時，I＝5×33＝135(安)．故選D.12．某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來越嚴峻，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加數(shù)y(萬公頃)關于年數(shù)x(年)的函數(shù)關系較為近似的是()A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16x解析：選C.將x＝1，2，3，y＝0.2，0.4，0.76分別代入驗算．13．某品牌汽車的月產(chǎn)能y(萬輛)與月份x(3＜x≤12且x∈N)滿意關系式y(tǒng)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－3)＋b.現(xiàn)已知該品牌汽車今年4月、5月的產(chǎn)能分別為1萬輛和1.5萬輛，求該品牌汽車7月的產(chǎn)能為多少萬輛．解：由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b＝1，,\f(1,4)a＋b＝1.5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))則y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－4)＋2，當x＝7時，y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋2＝1.875.故該品牌汽車7月的產(chǎn)能為1.875萬輛．[C拓展探究]14．某鞋廠從今年1月份起先投產(chǎn)，并且前四個月的產(chǎn)量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件、1.37萬件．由于產(chǎn)品質(zhì)量好，款式受歡迎，前幾個月的產(chǎn)品銷售狀況良好．為了使推銷員在推銷產(chǎn)品時，接受訂單不至于過多或過少，須要估測以后幾個月的產(chǎn)量．以這四個月的產(chǎn)品數(shù)據(jù)為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x的關系，模擬函數(shù)有三個備選：①一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)，②二次函數(shù)g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)，③指數(shù)型函數(shù)m(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b＞0，b≠1)．廠里分析，產(chǎn)量的增加是由于