2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線與方程11.2橢圓的簡單性質(zhì)學(xué)案北師大版選修2-1

PAGE1-1.2橢圓的簡潔性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.駕馭橢圓的中心、頂點(diǎn)、長軸、短軸、離心率的概念，理解橢圓的范圍和對稱性．(重點(diǎn))eq\a\vs4\al(2).駕馭已知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)a，b，c，e的幾何意義及其相互關(guān)系．(重點(diǎn))eq\a\vs4\al(3.)用代數(shù)法探討曲線的幾何性質(zhì)，在嫻熟駕馭橢圓的幾何性質(zhì)的過程中，體會數(shù)形結(jié)合的思想．(難點(diǎn))橢圓的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)對稱性對稱軸x軸和y軸，對稱中心(0，0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a頂點(diǎn)A1(－a，0)、A2(a，0)，B1(0，－b)、B2(0，b)A1(0，－a)、A2(0，a)，B1(－b，0)、B2(b，0)軸長短軸長＝2b，長軸長＝2焦點(diǎn)F1(－c，0)、F2(c，0)F1(0，－c)、F2(0，c)焦距|F1F2|＝離心率e＝eq\f(c,a)(0＜e＜1)思索：(1)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上到中心和焦點(diǎn)距離最近和最遠(yuǎn)的點(diǎn)分別在什么位置？(2)如何推斷點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的位置關(guān)系？[提示](1)短軸端點(diǎn)B1和B2到中心O的距離最近為a－c；長軸端點(diǎn)A1和A2到中心O的距離最遠(yuǎn)為a＋c.(2)點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的位置關(guān)系：點(diǎn)P在橢圓上?eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1；點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部?eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＜1；點(diǎn)P在橢圓外部?eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＞1.1.推斷正誤(1)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的長軸長等于a. ()(2)橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為a－c. ()(3)橢圓的離心率e越小，橢圓越圓． ()[答案](1)×(2)√(3)√2．橢圓25x2＋9y2＝225的長軸長、短軸長、離心率依次是()A．5，3，eq\f(4,5) B．10，6，eq\f(4,5)C．5，3，eq\f(3,5) D．10，6，eq\f(3,5)B[變形eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1，∵焦點(diǎn)在y軸上，∴a＝5，b＝3，∴長軸長10，短軸長6，e＝eq\f(4,5).]3．焦點(diǎn)在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為4eq\r(5)，則橢圓的方程為()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,36)＝1C.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,4)＝1A[設(shè)橢圓方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝10,2c＝4\r(5),a2＝b2＋c2))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝4))，∴橢圓方程eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1.]4．若焦點(diǎn)在y軸上的橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的離心率為eq\f(1,2)，則m的值為________．eq\f(3,2)[∵焦點(diǎn)在y軸上，∴0<m<2，e＝eq\f(\r(2－m),\r(2))＝eq\f(1,2).解得m＝eq\f(3,2).]橢圓的幾何性質(zhì)【例1】(1)橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1與eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0＜k＜9)的()A．長軸長相等 B．短軸長相等C．離心率相等 D．焦距相等(2)已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1，則橢圓上的點(diǎn)P到橢圓中心|OP|的范圍為()A．[6，10] B．[6，8]C．[8，10] D．[16，20](1)D(2)C[(1)橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1中ceq\o\al(2,1)＝25－9＝16，橢圓eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1中ceq\o\al(2,2)＝25－k－(9－k)＝16，∴兩橢圓焦距相等．(2)設(shè)P(x0，y0)，則|OP|＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)).由橢圓的范圍，知|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，又∵P在橢圓上，∴eq\f(xeq\o\al(2,0),100)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),64)＝1，∴yeq\o\al(2,0)＝64－eq\f(16,25)xeq\o\al(2,0)，∴|OP|＝eq\r(\f(9,25)xeq\o\al(2,0)＋64.)∵0≤xeq\o\al(2,0)≤100，∴64≤eq\f(9,25)xeq\o\al(2,0)＋64≤100，∴8≤|OP|≤10.]用標(biāo)準(zhǔn)方程探討幾何性質(zhì)的步驟1．(1)已知點(diǎn)(x0，y0)在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上，則下列點(diǎn)中不肯定在橢圓上的點(diǎn)是()A．(－x0，y0) B．(x0，－y0)C．(－x0，－y0) D．(y0，x0)(2)求橢圓m2x2＋4m2y2＝1((1)D[由橢圓的對稱性可知，選項(xiàng)A，B，C中的點(diǎn)肯定在橢圓上．](2)橢圓的方程m2x2＋4m2y2＝1(eq\f(x2,\f(1,m2))＋eq\f(y2,\f(1,4m2))＝1.∵m2<4m2，∴eq\f(1,m2)>eq\f(1,4m2)，∴橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，并且長半軸長a＝eq\f(1,m)，短半軸長b＝eq\f(1,2m)，半焦距長c＝eq\f(\r(3),2m).∴橢圓的長軸長2a＝eq\f(2,m)，短軸長2b＝eq\f(1,m)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2m)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2m)，0))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2m)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2m))).離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\f(\r(3),2m),\f(1,m))＝eq\f(\r(3),2).由橢圓簡潔性質(zhì)求方程【例2】(1)已知橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，離心率為eq\f(1,3)，長軸長為12，則橢圓方程為()A.eq\f(x2,144)＋eq\f(y2,128)＝1或eq\f(x2,128)＋eq\f(y2,144)＝1B.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,32)＝1或eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,36)＝1D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,6)＝1或eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1(2)如圖所示，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，它在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)F與短軸兩個(gè)端點(diǎn)B1，B2的連線相互垂直，且這個(gè)焦點(diǎn)與較近的長軸的端點(diǎn)A的距離為eq\r(10)－eq\r(5)，求這個(gè)橢圓的方程．(1)C[由條件知a＝6，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故選C.](2)解：依題意，設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由橢圓的對稱性知|B1F|＝|B2F又B1F⊥B2F，∴△B1FB2∴|OB2|＝|OF|，即b＝c，|FA|＝eq\r(10)－eq\r(5)，即a－c＝eq\r(10)－eq\r(5)，且a2＝b2＋c2，將以上三式聯(lián)立，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝c,a－c＝\r(10)－\r(5)，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\r(10)，,b＝\r(5).))∴所求橢圓方程為eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,5)＝1.已知橢圓的幾何性質(zhì)，求其標(biāo)準(zhǔn)方程主要采納待定系數(shù)法，解題步驟為：(1)確定焦點(diǎn)所在的位置，以確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；(2)確立關(guān)于a，b，c的方程(組)，求出參數(shù)a，b，c；(3)寫出標(biāo)準(zhǔn)方程．提示：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，通常要分類探討．2．求滿意下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其離心率為eq\f(1,2)，焦距為8；(2)已知橢圓的離心率為e＝eq\f(2,3)，短軸長為8eq\r(5).[解](1)由題意知，2c＝8，c＝4∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝8，從而b2＝a2－c2＝48，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,48)＝1.(2)由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)得c＝eq\f(2,3)a，又2b＝8eq\r(5)，a2＝b2＋c2，所以a2＝144，b2＝80，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,144)＋eq\f(y2,80)＝1或eq\f(x2,80)＋eq\f(y2,144)＝1.求橢圓的離心率[探究問題]1．在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，用a，b如何表示離心率e?[提示]e＝eq\r(1－\f(b2,a2)).2．如何刻畫橢圓的扁平程度？橢圓的扁平程度與橢圓位置有關(guān)嗎？[提示](1)橢圓的離心率反映了焦點(diǎn)遠(yuǎn)離中心的程度，e的大小確定了橢圓的形態(tài)，反映了橢圓的圓扁程度．因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(1－e2)，因此，當(dāng)e越趨近于1時(shí)，eq\f(b,a)越接近于0，橢圓越扁；當(dāng)e越趨近于0時(shí)，eq\f(b,a)越接近于1，橢圓越接近于圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，c＝0，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2＋y2＝a2.所以e越大橢圓越扁，e越小橢圓越圓．(2)橢圓的扁平程度由離心率的大小確定，與橢圓的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸無關(guān)．【例3】(1)已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2是正三角形，則該橢圓的離心率為________．(2)如圖所示，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，A，B是橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且PF1⊥x軸，PF2∥AB，求此橢圓的離心率．[思路探究](1)利用正三角形的性質(zhì)及橢圓的定義建立a，c的關(guān)系；(2)可利用kPF2＝kAB以及a2＝c2＋b2來建立a，c的關(guān)系．eq\f(\r(3),3)[(1)不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，因?yàn)锳B⊥F1F2，且△ABF2為正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，則|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝eq\r(|AF2|2－|AF1|2)＝eq\r(3)x＝2c，再由橢圓的定義，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(\r(3)x,3x)＝eq\f(\r(3),3).](2)解：設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．則有F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，A(0，b)，B(a，0)，直線PF1的方程為x＝－c，代入方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得y＝±eq\f(b2,a)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a))).又PF2∥AB，∴kPF2＝kAB，∴eq\f(b2,－2ac)＝eq\f(－b,a)，即b＝2c.∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,5).∴e2＝eq\f(1,5)，即e＝eq\f(\r(5),5)，所以橢圓的離心率為eq\f(\r(5),5).1.(變條件)將本例(1)中條件“過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2是正三角形”改為“A為y軸上一點(diǎn)，且AF1的中點(diǎn)B恰好在橢圓上，若△AF1F2[解]如圖，連接BF2.因?yàn)椤鰽F1F2為正三角形，且B為線段AF1的中點(diǎn)，所以F2B⊥BF1，又因?yàn)椤螧F2F1＝30°，|F1F2|＝2c，所以|BF1|＝c，|BF2|＝eq\r(3)c依據(jù)橢圓定義得|BF1|＋|BF2|＝2a即c＋eq\r(3)c＝2a，所以eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1.所以橢圓的離心率為e＝eq\r(3)－1.2.(變條件)若本例(2)的條件“PF1⊥x軸，PF2∥AB”換為“|PF1|·|PF2|的最大值的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c2，3c2))”，求橢圓離心率的取值范圍．[解]∵P是橢圓上一點(diǎn)，∴|PF1|＋|PF2|＝2a∴2a＝|PF1|＋|PF2|≥2eq\r(|PF1|·|PF2|)，即|PF1|·|PF2|≤a2，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|時(shí)取等號．∴eq\f(1,2)c2≤a2≤3c2，∴eq\f(1,3)≤eq\f(c2,a2)≤2，∴eq\f(1,3)≤e2≤2.∵0＜e＜1，∴eq\f(\r(3),3)≤e＜1，∴橢圓離心率的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)).求橢圓離心率的值或取值范圍問題，先將已知條件轉(zhuǎn)化為a，b，c的方程或不等式，再求解．(1)若已知a，c可干脆代入e＝eq\f(c,a)求得；(2)若已知a，b，則運(yùn)用e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解；(3)若已知b，c，則求a，再利用(1)求解；(4)若已知a，b，c的關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程(不等式)求值(范圍)．(5)給出圖形的問題，先由圖形和條件找到a，b，c的關(guān)系，再列方程(不等式)求解．提示：由于a，b，c之間是平方關(guān)系，所以在求e時(shí)，經(jīng)常先平方再求解．1．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有兩個(gè)頂點(diǎn)在直線x＋2y＝2上，則此橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(±eq\r(3)，0) B．(0，±eq\r(3))C．(±eq\r(5)，0) D．(0，±eq\r(5))A[直線x＋2y＝2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(2，0)與(0，1)為橢圓的頂點(diǎn)，∴a＝2，b＝1，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(3).∴橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±eq\r(3)，0)．]2．已知橢圓C1：eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1，C2：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1，則()A．C1與C2頂點(diǎn)相同 B．C1與C2長軸長相同C．C1與C2短軸長相同 D．C1與C2焦距相等D[由兩個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±2eq\r(3)，0)，(0，±2)，長軸長為4eq\r(3)，短軸長為4，焦距為4eq\r(2)；C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±4，0)，(0，±2eq\r(2))，長軸長為8，短軸長為4eq\r(2)，焦距為4eq\r(2)，故選D.]3．(2024·全國卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1