生物統(tǒng)計學(xué)講稿

《生物統(tǒng)計學(xué)》

講稿

福建農(nóng)林大學(xué)林學(xué)院

緒論

學(xué)時數(shù)：1學(xué)時

(-)學(xué)時：1學(xué)時

(二)教學(xué)目的：

使學(xué)生掌握生物統(tǒng)計學(xué)研究的基本問題，生物統(tǒng)計的發(fā)展歷史，生物統(tǒng)計的

研究方法及其應(yīng)用與發(fā)展。

（三）教學(xué)進(jìn)程與內(nèi)容：

1.概率論與生物統(tǒng)計研究的對象

①必然現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象

②隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性

2.生物統(tǒng)計發(fā)展簡史

3.生物統(tǒng)計研究方法

①研究如何抽樣問題

②如何進(jìn)行整理、分析，進(jìn)而進(jìn)行估計推斷

4.生物統(tǒng)計的應(yīng)用與發(fā)展

（四）參考資料：

1.賈乃光等編著.數(shù)理統(tǒng)計（第四版）.中國林業(yè)出版社，2006

2.洪偉等.林業(yè)應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計.大連海運學(xué)院出版社，1988

3.畢慶雨.數(shù)理統(tǒng)計.中國林業(yè)出版社，1992

4.賈乃光.數(shù)理統(tǒng)計（第三版）.中國林業(yè)出版社，1993

5.洪偉.林業(yè)試驗設(shè)計技術(shù)與方法.北京科學(xué)技術(shù)出版社，1993

第一章隨機(jī)事件及其概率

隨機(jī)變量及其分布

學(xué)時數(shù)：21學(xué)時

§1-1隨機(jī)事件

（-）學(xué)時：1學(xué)時

（二）教學(xué)目的：

使學(xué)生掌握本學(xué)科最重要的概念之一一隨機(jī)事件，掌握事件的概念、事件之

間關(guān)系及事件的運算，掌握互斥事件完備群的概念。

（三）教學(xué)進(jìn)程與內(nèi)容：

1.隨機(jī)事件

①隨機(jī)事件：

定義:在某一隨機(jī)試驗中有可能出現(xiàn)、也可能不出現(xiàn)的事件被稱為隨機(jī)事件,

或簡稱為事件，用A、B、C等表示。

②必然事件、不可能事件與集合（舉例說明）：并給全集與子集的概念。

2.事件之間的關(guān)系及運算（以圖示進(jìn)行說明）

①包含關(guān)系：事件A包含事件B,記為AuB；或者事件B被事件A包含,

記為3uA。

②事件的相等A=B：若AuB且5uA,則稱A、B相等，記為A=B。

③事件的和（或并）A+B：事件A、B中至少一個發(fā)生的事件被稱為事件A、

B的和，記為A+B。引出交換律、結(jié)合律

④事件的積（或交）AB：事件A、B同時發(fā)生的事件被稱為A、B的積，

記為AB。引出分配律

⑤事件的差A(yù)-B：事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件被稱為A-Bo

⑥事件的補(bǔ)（或逆）A：事件A未發(fā)生也是一個事件，被稱為A的補(bǔ)或逆。

引出摩爾律

⑦事件的互斥（或互不相容）：若48=中，則稱A、B互斥或互不相容。

⑧互斥事件完備群：若Ai、A2…Ak兩兩互斥，且A1+A2+…+Ak=Q,則稱

Ai、A2…Ak為互斥事件完備群。

§1-2概率

（-）學(xué)時：5學(xué)時

（-）教學(xué)目的：

使學(xué)生掌握概率的定義、古典概型、概率的性質(zhì)、條件概率、乘法法測及事

件的獨立性等定義并能熟練地加以應(yīng)用，掌握全概率公式與逆概率公式。

（三）教學(xué)過程與內(nèi)容：

1.事件出現(xiàn)的頻率

設(shè)同一試驗被重復(fù)地做了n次，其中事件A出現(xiàn)了m次，則稱m?n為事件

A在此n次試驗中出現(xiàn)的頻率。

2.概率的定義

當(dāng)同一試驗重復(fù)進(jìn)行了n次，若事件A的頻率隨著n的增大而愈趨于穩(wěn)定地

在某一常數(shù)P的附近擺動時，則稱常數(shù)P為事件A的概率。

3.古典概型

若實驗結(jié)果是由有限個基本事件組成，可設(shè)有n個基本事件，而且每一基本

事件發(fā)生的概率相等，則事件A的概率為：

P(A)=有利于A的基本事件的個數(shù)/n

4.概率的性質(zhì)

(1)O<P(A)<1

(2)P(U)=1

(3)尸(。)=。

(4)概率的加法定理：

任給事件A、B有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)(重點)(給

出證明過程)。

(5)當(dāng)A、B為互斥事件時，P(A+B)=P(A)+P(B)

推論：若A-A2…A0為兩兩互斥，則

P(A1+A2+…+A“)=P(A,+P(A2)+-+P(An)

(6)P(X)=1-P(A)或P(A)=1-P(A)

5.條件概率、乘法法則及事件的獨立性

①條件概率的定義及其計算公式:

P(AB)

P(B/A)=

P⑷

P(AB)

P(A/B)=

P(B)

若P(A)=0或P(B)=0,規(guī)定P(AIB),規(guī)定P(AIB)=0

②概率乘法定理：(可由條件概率直接得到)

P(AB)=P(A)P(BIA)=P(B)P(AIB)

進(jìn)一步推廣p(A^-An)=p(A1)P(A2IA,)P(A3IAA)…P(A“1A島…％)

③事件的獨立性

i)定義1：若P(AIB)=P(A)或P(B|A)=P(B)稱A、B相互獨立。

ii)定義1'：若P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A、B相互獨立

iii)定義2：若定義&、A?…Ak這k個事件中的任一事件A都滿足。

P(Ai|AjD=P(AiIA,AJ2)=-=P(AiIAJIAJ2-AJk.1)=P(Ai)

其中jl、j2…jk-l為i除外的1、2-k中k-1個數(shù)的任意種排列，則稱A-A2-

Ak相互獨立

iv）推論：

①若A、B相互獨立，則才與B,X與豆，A與否相互獨立

kk

口4,）=口「如）

②若Al、A2-Ak（k22）相互獨立，則P（可>='

④舉例

6.全概率公式與逆概率公式

①互斥事件完備群：

若Ai、A2…Ak兩兩互斥，且A1+A2+…+Ak=Q,則稱A|、A2…Ak為互斥

事件完備群。

②全概率公式

設(shè)B］、B2…Bk為互斥事件完備群，則任給事件A有

P（A）=fp（Bj）P（A/Bj）

月（給出證明過程）

③逆概率公式（Bayes公式）

設(shè)Bi、B2…Bk為互斥事件完備群，且有P（A）>0

P?/A）=#2

則M

（給出證明過程，并說明與全概率公式間的聯(lián)系）

④舉例

（四）作業(yè)：P46：1、2、3、4、5、6、14、18題

§1-3隨機(jī)變量

（-）學(xué)時：3學(xué)時

（二）教學(xué)目的：

為了更深入研究隨機(jī)現(xiàn)象，要求學(xué)生掌握隨機(jī)變量概念，重點掌握一維隨機(jī)

變量的有關(guān)內(nèi)容，讓學(xué)生了解兒種常見的隨機(jī)變量類型及其有關(guān)函數(shù)。

（三）教學(xué)過程與內(nèi)容：

1、隨機(jī)變量的概念（從實際例子中引入隨機(jī)變量的概念）

定義：在一定條件下進(jìn)行試驗，如果所要觀察的試驗結(jié)果是某一變量或某一

組變量，并且該變量或該組變量小于任意一個特定值或小于某一組特征數(shù)值的概

率存在，則稱所觀察的試驗結(jié)果是隨機(jī)變量，當(dāng)試驗結(jié)果為一個變量時，稱為…

維隨機(jī)變量；當(dāng)所觀察的試驗結(jié)果是一組變量時，稱為多維隨機(jī)變量；當(dāng)所觀察

的試驗結(jié)果是一組變量時，稱為多維隨機(jī)變量。

說明：①隨機(jī)變量的特性：a)隨機(jī)性；b)統(tǒng)計規(guī)律性

②隨機(jī)變量與普通變量的聯(lián)系與區(qū)別

2、一維隨機(jī)變量及其概率分布

①分布函數(shù)的概念：

如果3表示隨機(jī)變量，x表示任一實數(shù)，則隨機(jī)變量6小于x的概率為x的

函數(shù)，記作F(x)=P(6〈x)稱F(x)為隨機(jī)變量6為概率分布函數(shù)。

②分布函數(shù)性質(zhì)：

a)F(x)是x的非減函數(shù)

b)F(-°°)=O；F(+°°)=l

c)F(x)函數(shù)至多有可列個間斷點，而在其間斷點上也是

右連續(xù)。

③隨機(jī)變量的類型及其性質(zhì)

i)離散性隨機(jī)變量的概念

ii)概率函數(shù)的性質(zhì)：

8

y=1

a)非負(fù)性：P(8=Xf)=P,20；b)歸一性：.

iii)連續(xù)型隨機(jī)變量的概念

iv)概率密度函數(shù)的性質(zhì)：

a)非負(fù)性：f(x)》O；b)連續(xù)性：fg連續(xù)；c)歸一性：=l

v)兩類隨機(jī)變量的區(qū)別

vi)舉例

(四)作業(yè)：P48：29-31題

§1-4一些常見的概率分布

(-)學(xué)時：4學(xué)時

(二)教學(xué)目的：

讓學(xué)生了解兒種常見的重要的概率分布，了解各種概率分布的概率函數(shù)或密

度函數(shù)，重點掌握正態(tài)分布的有關(guān)性質(zhì)、計算。

(三)教學(xué)過程與內(nèi)容：

1.離散型隨機(jī)變量的概率分布

①兩點分布(0-1分布)：P(6=1)=p；P(6=0)=q=(l-p)

②二項分布B(n,p)：P(6=k)=c-Pq(k=0,1,2-n)

③幾何分布G(p)：P(5=k)=pq(k=l,2…)

「k「n-k

-MJ/V-M

④超幾何分布H(n,M,N)：P(8=k)=Cv(k=0,1,2…，min(n.M))

⑤負(fù)二項分布NB(r,p)：p(8=k)=C3-iPZ'(k=0,1,2…)

Ake-2

⑥泊松分布P(入)：P(S=k)=k!(k=0,1,2…)

其中重點掌握B(n,p)、P(入)、H(n,M,N)、分布，對于其它分布舉例

說明

2.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

一--(a<x<b)

h-a

①均勻分布U(a,b)：0其它

，/、［及小(X>0)/,八、

f(x)={(x<0)(A>0)

②指數(shù)分布e(入)：1°

j-(Xi)2

,e2a~(-co<x<+8)

③正態(tài)分布N("，/)：、12g

i)f(x)圖象性質(zhì)

ii)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0.1)及其正態(tài)分布表的應(yīng)用

iii)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)變換

iv)一般正態(tài)分布的概率計算

-(lnx-M)2

2"一(x>0)

(0(xV°)

⑤Weibull分布：W(a,p,8)：

(-V-J)2

0(x<8)

⑥%2分布：%2出

⑦t分布：t(k)

⑧F分布F(k,.k2)

在連續(xù)型概率分布中，重點掌握正態(tài)分布的性質(zhì)、計算，對于每一種分布,

舉例說明它們在各個領(lǐng)域中的應(yīng)用。

3.有關(guān)正態(tài)分布及統(tǒng)計學(xué)三大分布的定理

(1)定理1若”則對任意的0及任意的d有

rj-c^+d~N(ca+d,c2h2)

2

(2)定理2若…&相互獨立，且有白~N(《也-)，則

(3)定理3若配多，…4相互獨立，且有芻~N(O,1),則

(4)定理4若1~/(￡),〃~力2肉),且〃相互獨立，則孑+〃~42(占+左2)

(5)定理5若41~72(匕)/2(&2)￡>%2。有〃=芻告2,且42力相互獨立,

則〃-/(匕一女2)

(6)定理6若4~N(O,1),〃~/(Z),且,〃相互獨立，則"折仄~世)

,2叫L~尸火，七)

(7)定理7若，~力(占)，〃~4(左2),且J力相互獨立,則〃/七

(四)作業(yè)：P48：34-35題；P49：54題

§1-5隨機(jī)變量的特征數(shù)

(-)學(xué)時：4學(xué)時

(二)教學(xué)目的：

使學(xué)生掌握隨機(jī)變量的幾種特征數(shù)，進(jìn)而對描述隨機(jī)變量有更深入的了解,

其中重點掌握隨機(jī)變量的期望與方差的有關(guān)概念、性質(zhì)。

(三)教學(xué)過程與內(nèi)容：

1.數(shù)學(xué)期望E&

_+8

XXjPi

①定義：離散型：E；=』

連續(xù)型：￡；=13(")公

②隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望：

__Zg(x,)p,

離散型：Er|=E[g(€)1=,=1

連續(xù)型：En=E[g(，)]」g3"x"

③舉例說明有關(guān)數(shù)學(xué)期望的計算

④性質(zhì)：i)Ec=c(c為常數(shù))

ii)E(；]±上)=E『+E-

可進(jìn)一步推廣到有限個。

iii)若11，；2相互獨立，則E(1?&1=E3?Ej

推論：a)E(cg)=cE；

b)E(『....")=E卜?E&2......E,卜(其中I1-；k相互獨

立)

2.方差(DE,b?E)與標(biāo)準(zhǔn)差(o)

6匕=E8-Eg)2Pi

①定義：離散型:1=1

連續(xù)型：bj=f（x—造）"（x）dx

②性質(zhì)：i）&=E"E+2

ii）cr2（c）=og為常數(shù)）

hi）cr2（c^）=c2a2^

iv）若；”一相互獨立，則/&±$）=。胃+/42

③舉例說明方差的計算及其性質(zhì)的作用

說明：方差與標(biāo)準(zhǔn)差的聯(lián)系與區(qū)別

3.協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

①定義：協(xié)方差Cov?L；2）=E[（『-Er）（2EH

pCov（^，7）

相關(guān)系數(shù)：“向屈

②性質(zhì)：i）若如,&2相互獨立，則Cov（『，;2）=0

ii）若C為常數(shù)，則Cov（；,0=0

iii）±&2）=/。+o■*2±2Cov（g]j2）=>b2c+c）=cr2g

iv）E&百2）=明塔2+。。喈虞）=。。哨與）=E（我2）-監(jiān)%

v）-14夕41

離散型：。。丫（骷2）=22為yjp廠明造2

<i=lJ=l

X

肉斗笆八十連續(xù)型：Cov（京2）=[xyf（xy）dxdy-E^E^2

③計算公式IJ-?工8

④舉例

女階矩：匕匕/。）=a（4-。）*]

<原點矩：.?匕=塔——期望

4、矩.[中心矩：4=仇《-"力——方差

5、眾數(shù)用。?）和分位數(shù)（中位數(shù)、四分位數(shù)）

6、常用統(tǒng)計分布表

（四）作業(yè)：P49：40、41、43、44、47

§1-6隨機(jī)變量序列的極限性質(zhì)

（-）學(xué)時：2學(xué)時

（-）教學(xué)目的：

讓學(xué)生重點掌握二項分布的兩個極限，包括其條件、結(jié)論及其在實際中的應(yīng)

用，對隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布作一般性了解。

（三）教學(xué)過程與內(nèi)容：

1、二次分布的兩個極限分布：（進(jìn)行證明）

①超兒何分布以二項分布為極限

定理1：若4~（'，加，〃），則當(dāng)N、M、N-M皆充分大，而M/N充分接近p時，有

W~B(〃，p)

②以正態(tài)分布為極限:

“近似

“百N（〃p,〃pq）

定理2：若隨機(jī)變量4sB（n,p）,當(dāng)n>50時，且np>5,nq>5時，-

③以泊松分布為極限:

定理3：若隨機(jī)變量。~B（n,p）,當(dāng)n>50時，月一p<0.1或q<0.1時

j近似p（即）（或p（〃夕））

—>

——「(4=np,p<0.1)

CRqi&

--------e~\A=np,q<0.1)

即(n-m)l

舉例說明這個定理的應(yīng)用，并對三種計算方法進(jìn)行比較。

（四）作業(yè)：P49：50、53

§1-7大數(shù)定律與中心極限定理

（-）學(xué)時：2學(xué)時

（二）教學(xué)目的：

向?qū)W生介紹數(shù)理統(tǒng)計的理論基礎(chǔ)——概率論的基本定理，從而對前面所學(xué)的

知識有了更深的理解。

（三）教學(xué)過程與內(nèi)容：

1、切貝謝夫不等式：

設(shè)自存在E&及/自，則任給自>0有

P（旨-%2”）拈=噬—庭|。=尸但—明<21—亳

給出證明過程并舉例加以給證及其應(yīng)用分析

2、大數(shù)定律：（給出證明）

①引理：若。，0…為隨機(jī)變量，6,4分別為。的期望與標(biāo)準(zhǔn)差,

limlim

司"J>J)=O

若%一°°囚=0,貝I」上—00

②切貝謝夫定理：

設(shè)備,0…為相互獨立的隨機(jī)變量，E。，若，為。、的期望與標(biāo)準(zhǔn)差，如果

1/1e

pfi(〃-oo)

d?c(c為常數(shù)，/=12...)則1“乙'”乙'

uni=l7

③貝努里定理：

設(shè)在?系列獨立進(jìn)行的試驗中，若每次試驗?zāi)呈录嗀出現(xiàn)的概率皆為P,在

lim、

1

n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)為m,則〃-87

④泊松定理：

設(shè)有一系列獨立進(jìn)行的試驗，在第i次試驗中，事件A出現(xiàn)的概率為P,，在

lim

n次試驗中，事件A出現(xiàn)m次，則〃-00

注：大數(shù)定律中的這些定理不僅要給出證明過程，而且要詳細(xì)說明每個定理的

意義。

3、中心極限定理：（不作證明）

定理：設(shè)X|,X2…Xn為相互獨立同分布的隨機(jī)變量系歹U,

n

Z巧-nu

zi=\___________

22

E(x,.)=M,CT(X,)=(T；令"Mb，設(shè)其分布函數(shù)為工（X）

lim

則…小=e2du

DO

第二章統(tǒng)計中的一些基本概念

學(xué)時數(shù)：2學(xué)時

（-）學(xué)時：2學(xué)時

（二）教學(xué)目的：

使學(xué)生掌握生物統(tǒng)計中的些基本概念，了解頻率分布的有關(guān)內(nèi)容。

（三）教學(xué)過程與內(nèi)容：

1、總體與樣本

①總體：研究對象的全體。

涉及：總體單元、總體單元劃分方法及總體類型

②標(biāo)志：說明總體單元在某一方面的特征而采用的名稱。

標(biāo)志值：總體單元為數(shù)量標(biāo)志所作出的回答。

③樣本：在全部總體單元中，按照預(yù)先設(shè)計的方法抽出一部分單元，所抽取的

這一部分單元稱為樣本。

④抽樣及抽樣類型

⑤等概抽樣方法

i）抽簽法；ii）隨機(jī)數(shù)法；iii）經(jīng)驗數(shù)據(jù)法

2、樣本特征數(shù)與統(tǒng)計量

①樣本特征數(shù)與統(tǒng)計量的概念

②總體特征數(shù)與樣本特征數(shù)的內(nèi)容（見對比表）并舉例說明其計算方法

3、頻率分布

①頻率分布定義

②方法

③樣本頻率分布

4、平均數(shù)與方差：簡便計算方法

①數(shù)據(jù)分組后的計算方法

②利用線性變換進(jìn)行計算

（四）作業(yè)：P734、10

附表：總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)對比表

特征數(shù)總體樣本

1N_r_n

平均數(shù)寸=—x凡或，，=E[r]

i=|

了=之N兄t=汽七

總量

/=1i=I

平方平均數(shù)又=恪:

$2」￡（七-寸

方差

標(biāo)準(zhǔn)差

勢月㈤及")2

%、n,=i

zY—X

極差R二r-maxmin

S

V=-

變動系數(shù)V,=i=-X

X"

卬=絲in

頻率w=-

Nn

第三章參數(shù)估計

學(xué)時數(shù)：8學(xué)時

§3-1概述

（-）學(xué)時：2學(xué)時

（-）教學(xué)目的：

使學(xué)生了解本章所要解決的基本問題及制定估計量的方法，判斷估計量好壞

的標(biāo)準(zhǔn)。

（三）教學(xué)過程與內(nèi)容：

1、參數(shù)估計的三個基本問題

①估計量的制定

②優(yōu)良性的判斷

③誤差限、可靠性及精度問題

2、估計量的確定

①矩估計法②極大似然估計法

3、估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)

①無偏性（漸近無偏性）：舉例

②一致性（擬合性）：舉例

③有效性

4、估計量的誤差限與可靠性

①誤差限與可靠性的定義

②參數(shù)估計的類型：i）點估計ii）區(qū)間估計

③估計精度

§3-2總體平均數(shù)u的矩估計

（-）學(xué)時：3學(xué)時

（-）教學(xué)目的：使學(xué)生掌握總體平均數(shù)的參數(shù)估計方法，重點掌握大樣本、重

復(fù)抽樣及小樣本的估計方法。

（三）教學(xué)過程與內(nèi)容

1、大樣本估計方法（n250）

①重復(fù)抽樣估計方法

a）估計值的確定：x

2

_N（H,—）

b）估計量概率分布：x~n

c）估計方法

U=X,\-可靠性1-￡

i）點估計：

「竿，元+竿］可靠性

ii）區(qū)間估計：L」

當(dāng)o未知時，用近似代替

u2cr2

d）樣本單元數(shù)的確定：°及

e）舉例說明其應(yīng)用

②不重復(fù)抽樣的估計方法（作簡單介紹）

a）o已知的估計方法

b）。未知估計方法

區(qū)間估計:

2、小樣本估計方法（n<50）

①條件：總體服從或近似服從正態(tài)分布

②。已知時的估計方法

-w|<1

uaa1-a（與大樣本一致）

③。未知時的估計方法

x-u

a

a）估計原理：6~N（0,1）；/1)

X-u

品

ns2

2—

、J

b）估計量的制定：T=w-1=s~t（n-1）

c）估計方法：

u=元,A=可靠性1-a

i）點估計：而1

xx+，可靠性"a

ii）區(qū)間估計

d）舉例說明其應(yīng)用

e）說明大樣本與小樣本方法間的關(guān)系

（四）作業(yè)：P96：10、11

§3-3總體頻率W的抽樣估計

（-）學(xué)時：3學(xué)時

（二）教學(xué)目的：

使學(xué)生掌握有關(guān)總體頻率的估計方法，重點掌握大樣本重復(fù)抽樣時總體頻率

的估計方法。

（三）教學(xué)過程和內(nèi)容：

1、估計量的確定：W

2、估計方法

①大樣本估計方法

a）重復(fù)抽樣條件下

i）用正態(tài)分布估計總體頻率（n?50,np>5,nq>5）

ii）用泊松分布估計總體頻率（n250,p<0.1或q<0.1）

由m?B（n,w）~P（㈤，（2=nw）查《泊松分布參數(shù)人的置信區(qū)間表》（附表

7）得到人的置信區(qū)間從而推及W的置信區(qū)間。

iii）舉例說明

b）不重復(fù)抽樣的估計方法（簡單介紹）

W?w,A（w）=uJ"-2"〃）,可靠性1一a

點估計：aVnN-1

區(qū)間估計：［w-A（w）,w+A（w）］

②小樣本估計方法（二項分布估計方法）

利用《二項分布參數(shù)的置信區(qū)間》（附表5）進(jìn)行求解，具體方法以例題形式

給出。

（四）；作業(yè)：P97：13、19、20

§3-4總體方差/的區(qū)間估計

（-）學(xué)時：1學(xué)時

（-）教學(xué)目的：使學(xué)生初步掌握總體方差的估計方法，學(xué)會簡單運用。

（三）教學(xué)過程與內(nèi)容：

1、設(shè)總體為正態(tài)或近似正態(tài)分布，于與52分別為樣本均值與樣本方差，有

Z2=誓~/2（〃_1）

（J

MS2

P（A<%2<%）=尸m<、<6）=i—a

2、cr-

2

通過力分布的上側(cè)分位數(shù)表計算a、b。

（四）作業(yè):P97：21

第四章統(tǒng)計假設(shè)檢驗

§4-1一般概念

一、統(tǒng)計假設(shè)和假設(shè)檢驗的概念

1.統(tǒng)計假設(shè)：任何一個有關(guān)隨機(jī)變量未知分布的假設(shè)稱為統(tǒng)計假設(shè)，簡稱假設(shè)。

引例：設(shè)某廠生產(chǎn)--種燈管，其壽命&?N（u,40000），長期生產(chǎn)情況看，此管平均壽命u

=1500小時。問采用新工藝后，此管壽命是否會提高？

分析：上述問題要判別新產(chǎn)品壽命是服從u>1500的正態(tài)分布（顯著提高），還是服從

u=1500的正態(tài)分布（設(shè)有顯著提高），這兩種情況用統(tǒng)計假設(shè)的形式表示：

第個統(tǒng)計假設(shè)u=1500表示采用新工藝后產(chǎn)品平均壽命設(shè)有顯著提高稱之

為原假設(shè)（零假設(shè)，解消假設(shè)），記為"。：u=1500

第二個統(tǒng)計假設(shè)u>1500表示壽命顯著提高，稱為備擇假設(shè)。用符號：H\-.

u>1500表示

在許多問題中，總體分母的類型已知（如上例），僅是一個或幾個參數(shù)未知，

只要對這一個或幾個參數(shù)的值作出假設(shè)，就完全確定了總體的分布。這種僅涉及到總體分布

的的未知參數(shù)的統(tǒng)計假設(shè)稱參數(shù)假設(shè)。

但有些問題，我們無法知道總體分布的具體類型。如某種農(nóng)作物農(nóng)藥的殘留量，之和

服從對數(shù)正態(tài)分布，也可能服從其它分布。因此，統(tǒng)計假設(shè)只能對未知分布函數(shù)的類型或其

它的某些特征提出某種假設(shè)，稱之非參數(shù)假設(shè)。

2.假設(shè)檢驗：通過抽取一個樣本進(jìn)行考，從而決定它能否合理地被認(rèn)為與假設(shè)相符,

這一過程稱假設(shè)檢驗。判別參數(shù)假設(shè)檢驗稱參數(shù)檢驗。

二、假設(shè)檢驗的基本思想

引例2：設(shè)袋中有白球及黑球1000個，但不知它們各是多少。現(xiàn)提出原假設(shè)：”。：白球是

999個，H：白球2999

如果”。為真，則從袋中任取一球“得黑球”的概率是0.001,也就是說若“。為真，

抽到黑球的可能性很小，即“得黑球”是個小概率事件，在一次試驗中幾乎不至于發(fā)生。但

假如實際抽樣“得黑球”這個事件竟然發(fā)生了，這就在"。為真的情況下產(chǎn)生了一個不合理

的現(xiàn)象。于是懷疑"。為真，從而拒絕原假設(shè)"。而接受備擇假設(shè)“i,即白球不是999個;

相反，如果“得黑球”事件沒有發(fā)生，這就只得接受“0。但是注意不否定”。，并不意味

著H一定成立。

三、假設(shè)檢驗的步驟

1.根據(jù)問題的要求建立原假設(shè)“。及備擇假設(shè)

2.選擇一個合適的統(tǒng)計量（該統(tǒng)計量一般是在假設(shè)"。成立前提下構(gòu)造）。

3.給定顯著水平a,確定"。的拒絕域“或接受域％。

所謂拒絕域：接受備擇假設(shè)“I的樣本觀測值的集合。

4.根據(jù)一次抽樣結(jié)果和小概率原理作出結(jié)論。

四、關(guān)于兩類錯誤

由于小概率事件在一次試驗中有發(fā)生可能性，因此，按小概率原理進(jìn)行檢驗，會犯兩

類錯誤。

1.第一類錯誤（棄真錯誤）："。事實上是正確的，但結(jié)論卻拒絕”。

犯第一類錯誤的概率為a,1-a為可靠性。

2.第二類錯誤（采偽錯誤）：事實上”。是不正確的，但結(jié)論卻接受“。

犯第二類錯誤的概率為"，1為檢驗功效。

一般地，a與夕是此消彼長，不可能同時很小。若要同時變小，必須加大樣本容量，

又不合實際。

§4-2總體平均數(shù)u的假設(shè)檢驗

一、類型："o：U="o,"i：uW"0

1.大樣本方法

I:重復(fù)抽樣條件下

x-u

a

在大樣本，重復(fù)抽樣條件下，6?N（0,1）

于是對于給定a，P〔@

x-u

0<------------

(y

當(dāng)"。成立時。有p16

也就是說，在“。成立下，出現(xiàn)「口"°卜箸”事件概率很小，只有七

.一〃0

(7

若令u=五，則“問〉“a”事件發(fā)生是個概率事件，在一次試驗中一般不會發(fā)生。

如果真不發(fā)生，則依小概率原理，接受“。；如果發(fā)生，則沒有理由接受“。，要拒絕“0

即接受“1。

于是得如下步驟：

⑴建立假設(shè)："。：瓦="0,"I：w#"。。即現(xiàn)實總體平均數(shù)與規(guī)定總體平均

數(shù)間無顯著差異。

⑵計算統(tǒng)計量："空〃3已知)

(b未知)

⑶小概率標(biāo)準(zhǔn)a,查表得“a

(4)當(dāng)間""a時，接受“。，當(dāng)何》"a時，拒絕/

II:不重復(fù)抽樣條件下

在大樣本不重復(fù)抽樣條件下,

因此，在“。成立下，有

則接受域卬0：拒絕域叱：IM〉分。

例1：某林場內(nèi)造了一塊杉木速生生產(chǎn)林，5年后調(diào)查其樹高，從中重復(fù)抽樣得50株,

x=10.8m,S=2.2m,問是否可以認(rèn)為該豐產(chǎn)林平均高與10m無顯著差異。(a=0.05)

H

解：i：設(shè)：o:u=u0=W⑷)

10.8-10

V50-1?2.55

ii：計算:2.2

u

iii；?/\=2.25]>w005=1-96

故根據(jù)原假設(shè)，即平均高與10m有顯著差異。

例2：某楊樹品種10年生平均高可達(dá)15m,另有一新楊樹品種，10年后采取重復(fù)析樣方式

隨機(jī)抽取60株進(jìn)行調(diào)查，得其平均高為17.2m,標(biāo)準(zhǔn)差2.3m,問新楊樹品種平均高與15m

是否有顯著差異？（。=0.05）

解：i：設(shè)：“。：M=Mo=15

ii：計算:

iii：vH=7.347>w005=1.96

根據(jù)原假設(shè)，即平均高與15m有顯著差異。

例3：某樹種仔在某地區(qū)的千粒重為185克，現(xiàn)從其它地方調(diào)來一批種子，隨機(jī)抽取65個

樣本測得平均千粒重169克，標(biāo)準(zhǔn)差13克，問所調(diào)來種子是否與該地區(qū)種子的千粒重有顯

著差異？（a=0.05）

解：i：設(shè)："o："="o=儂克

x—，（）/7169—185rrz-

u=--------A-1二---------A/65—1x—9.846

ii：計算：s13

.....\u\=9.846>uc.-1.96

...根據(jù)原假設(shè)，即所調(diào)來的種子與該地區(qū)種子千粒重有顯著差異。

2.小樣本方法（前提：小樣本，總體服從正態(tài)分布）

由第二章參數(shù)統(tǒng)計可知，在小樣本及總體服從正態(tài)分布前提下:

x-u

T=-------\n-l八

?X"I）

1=x_“0

故在“。成立下，s?X"-1）

因此對于顯著水平a,查f分布表有「例"工（〃T）｝二1-a或

P｛T|>7；（〃—l）｝=a

.?.%：PK%（〃T）,Wl;|T|>?a（n-l）

例5.作楊樹育苗試驗，得一定生長后，從株距為20cm的苗種隨機(jī)抽取了12株，苗高數(shù)據(jù)

為221、244、240、243、288、233、226、210、258、245、264、200（cm）,得苗高分布近

似正態(tài)，問能否認(rèn)為該楊樹苗高與240cm無顯著差異？（。=0.05）

解:依題可得x=239.30cm,s=24.035cm,?=12

i.設(shè)/："="。=240國

x-tinI-----7239.3—240rrz-r八八八，

T=-------=-----------------------------V12-1?-0.096

ii.計算:s24.035

W...n=0.096</5（11）=2.201

，楊樹苗高與240cm無顯著差異

例6.為調(diào)查某林楊滯尺蛾蛹密度，由該林志隨機(jī)抽取10個1，/土方，資料為（頭〃/）：

289、342、412、297、191、440、351、337、、304、357假定蛾蛹密度服從正態(tài)分布，問該

林場滯尺蛾蛹密度與352（頭〃"2）是否有顯著差異？（&=0.01）

解：i.設(shè)"o：”"0=352（頭//）

_s=.-x=65.51

ii,計算x=332,/=i

T=三5=曦薩而…6

iii,對于a=0.01,/=〃一1=9得%）I（9）=3.25

iv..|T|=0.916<^0|（9）=3.25

，該林場滯尺蛾蛹與352（頭/加之）無顯著差異

例7.某營林局用一定投資按技術(shù)規(guī)程育苗，在正常管理下，A樹種1年生苗木高服從平均

高為65cm的正態(tài)分布,現(xiàn)從苗圃中抽取5樣本，平均高為72.5、76.5、58.0、65.0、46.0（cm）

x=—52-^=63.6s=J-=10.85

解：5臺，N〃占

1.設(shè)：M=〃O=65

TC端……58

ii.計算:

iii,對于a=0.05,/=〃-1=4,得九05(4)=2.776

上囤=0.258＜玲,05(4)=2.776

二、類型：（a）"o：典="。，"i：M>Mo；（b）H°："="o,?<?o

在實際問題中，我們碰到的問題并不是想知道總體平均數(shù)是否向某一值無顯著差異,

而是想知道總體平均數(shù)必能否（超過或低于）某一規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)人,前面檢驗問題可以從兩

側(cè)分邊進(jìn)行檢驗，而現(xiàn)在則規(guī)定只能從一個方向上進(jìn)行，故稱單側(cè)檢驗。

對于雙側(cè)檢驗來說，兩邊各2.5%屬推翻假設(shè)的區(qū)域，而現(xiàn)在必然將5%概率全部歸到

一側(cè)來，是否大于某一標(biāo)準(zhǔn)，集中于右側(cè)，而是否小于某一標(biāo)準(zhǔn)，集中于左側(cè)。以大樣本情

況說，集中一側(cè)等于把2個2.5%搬到一邊來，相當(dāng)于分屬兩側(cè)時，一側(cè)占5%,從而兩側(cè)

將是10%的情形。

其檢驗方法與從側(cè)檢驗基本相同，所不的是臨界值（即）與拒絕域。

類型確定方法由x而定。

1、樣本方法

1）、重復(fù)抽樣條件下

檢驗步驟：⑴建立假設(shè)："。：M="O,乩：u>u0（”<〃o）

u上如品二jg

（2）計算：bs

⑶對于給定查表得“2a

叫/一〃0<Ul-2a

叫x-〃o<a

由正態(tài)分布對稱性知，

x-w()<-u

x-uI-----

U=-------0-7n—1>U2a

（4）對于（a）式，拒絕域為:W：

X-UI-

=Q

u--------7n-1〉~u2a

對于（b）式，拒絕域為:W.

例1.規(guī)定白楊插條育苗一年生平均高達(dá)160cm以上可以出圃，今在圃地上隨機(jī)抽取65株

作為調(diào)查的平均高為155cm,標(biāo)準(zhǔn)差不24cm,問這批毛白楊能否出圃？

解：x=155cm〈160cm。???毛白楊桿條苗高有可能低于160cm標(biāo)準(zhǔn)

⑴設(shè)：”0：〃="0=160,"|："<〃o=16Ocm

“ST，。765-1=-1.667

⑵計算:s24

⑶對于a=0.05,u2a1.645

(4)??u——1.667<—〃2a=—1?645

故拒絕"0,接受

例2.某苗圃規(guī)定楊樹苗平均高達(dá)60cm以上才能出圃，今從中隨機(jī)抽取64株，并求得

x=62cm,s=8.2cm,試問該苗木能否出圃？（a=0.05）

解：x=62cm>62cm

⑴設(shè)：Ho：〃=I%=60cm,H1：M>M0

u==62-6。J64—1=1.9359

⑵計算：s8.2

⑶對于a=0.05,112a=1-645

(4)??w=1.9359>u2a=1.645

拒絕"。，接受即這批苗木可以出圃。

例3.某苗圃規(guī)定楊樹苗平均高達(dá)60cm以上才能出圃，今從中抽取50株，得平均高為62.5,

標(biāo)準(zhǔn)差為9cm,問該批苗木能否出圃？（a=0。5）

解：Vx=62.5cm>60cm

60

'.⑴設(shè)“0：M=?o=,H]：U>uo=60

X—w/-62.5—60/TT7Ir.AA

u=------o-Vn-1=------------V50-1=1.944

⑵計算：s9

⑶對于。=0.05,142a=1645

(4)??u=1.944>u2a=1.645

...拒絕"。，接受"1,即可以出圃。

U=

P^x-uA<u

2）不重復(fù)抽樣（簡述）：由得

于是對于（a）型，拒絕域：吸：U>U2a

（b）型，拒絕域：叱：2a

2、小樣本方法：仍用t分布，即將雙側(cè)檢驗中Q（〃一1）改為，2a（〃-1）

即有檢驗方法：⑴建立假設(shè)："。："="。，乩：?>??（?<?o）

⑵計算：S

⑶對于給定a,查t分布雙側(cè)分位數(shù)表得‘2a（〃-1）

（4）對于（a）型，拒絕域叱：T>t2a（n-l）

（b）型，拒絕域％：T<-tla（n-\）

例4.某木材公司購買木材時，按質(zhì)論價，現(xiàn)從一批木材中隨機(jī)抽取16根，測得它們的小

頭直徑為12、10.2>11.4、13.6、14.5、16、8.4、9.6、18、8.0、12.4、13.6、10.8、15.4、7.6、

16.6（cm）。假定木材的小頭直徑服從正態(tài)分布，試問這批木材小頭直徑可達(dá)12cm以上？

-1981,1e2一22605.77…

X=3=]2.38-X-——12.38-=9.5962

解：16,n,=116

/.s=3.0978,?/x>12cm

⑴設(shè)：”0：“=〃O=12C〃2,H]：u>u0=12cm

12.38-12V16-1=0.475

（2）計算:3.0978

⑶對于a=0.05,f=/?-1=15；t2a=1.753

(4)T=0.475=L753